第05讲 有理数的乘方及混合运算（3大知识点+5大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（湘教版2024）

第05讲 有理数的乘方及混合运算 课程标准 学习目标 1. 有理数的乘方的意义 2. 科学记数法 3. 有理数的混合运算 1.理解并掌握有理数的乘方； 2.理解并掌握科学记数法； 3.能熟练运用有理数混合运算. 知识点01 有理数乘方的意义 有理数乘方的意义 : 1． 求n个相同因数的 的运算,叫做乘方,乘方的 叫做幂.(a是 ,n是 )表示n个a相 ,其中a叫做 ,n叫做 ,读做a的n次幂(或a的n次方). 2． 通常读做a的 ,通常读做a的 .规定为a. 3． 正数的任何正整数次幂都是 ;负数的 次幂是负数, 次幂是正数;0的任何正整数次幂都是 . 【即学即练1】 1．的底数、指数、结果分别是（    ） A． B． C．2，4，16 D． 【即学即练2】 （    ） A． B．6 C． D．8 【即学即练3】 平方等于9的数是（  ） A． B．3 C． D． 知识点02 科学记数法 把一个绝对值大于 的数记做的形式,其中a是整数数位只有 的数(即1≤|a|<10),这种记数法叫做科学记数法。 【即学即练1】 1.国家电影局2024年1月1日公布2023年中国电影行业重要指标．全年电影票房为549.15亿元，其中国产影片票房为460.05亿元，占比为；城市院线观影人次为12.99亿．其中460.05亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2. 2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数用科学记数法表示为，则原数中0的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点03 有理数的混合运算 1. 先算 ,再算乘除,最后算 ; 2. 如果有括号,就先进行 里面的运算 3. 同级运算, 依次进行, 【即学即练1】 1.计算： (1) (2)． 题型01 有理数的乘方运算 【典例1】计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【变式1】下列各式计算结果等于2024的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】某种细菌在培养过程中，平均每半小时分裂繁殖一次（由一个分裂为两个），经过2小时，这种细菌由一个分裂繁殖成（    ） A．8个 B．16个 C．32个 D．64个 题型02 科学记数法 【典例1】中国高速磁悬浮列车亮相于2023年世界制造大会，该列车车头修长，与子弹头相似，时速可达，数据可用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】2024年4月25号，我国神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时29000千米，数据29000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式2】若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（    ） A．39600 B．396000 C．0.0000396 D．0.00000396 题型03 有理数的混合运算 【典例1】，括号里应该填（    ） A． B．0 C．1 D． 【典例2】计算： (1) (2) 【变式1】计算题 (1) (2) (3) (4) 题型04 用运算律简化有理数的混合运算 【典例1】用简便方法计算． 【变式1】用简便方法计算： (1) (2) 题型05 有理数的混合运算的应用 【典例1】一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队的工作效率比甲队高，甲、乙两队单独完成这项工程的时间比是（　　） A． B． C． D． 【典例2】夏季快要到了，某服装厂为我校学生们新订制了一批夏季校服，已知校服每套的成本是130元，为了合理定价，卖出时以每套150元为标准，超过150元的部分记为正，不足150元的部分记为负．每批的销售量以50套为标准，超过或不足的数量分别用正、负来表示，服装厂的老板记录了五批校服的售价情况和售出情况： 批次 一 二 三 四 五 每套价格相对于标准价格（元） 相对于标准销售数量（套） 15 10 (1)这五批校服中，哪批校服售出销售额最高？最高销售额是多少？ (2)这五批校服销售后，共盈利多少元？ 【变式1】在2024年“五·一”黄金周期间，哈市凤凰山旅游景区在三天假期中，每天旅游的人数变化如下表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 4月29日 4月30日 5月1日 人数变化单位：万人 －0.1 ＋0.3 －0.2 若4月30日的游客人数为1.5万人，且每张入山门票为100元，那么三天内游客管理中心一共收取 门票费 万元 【变式2】比优特超市最近进了一批新品牌的牛奶，每箱进价元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每箱以元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，超市记录第一周牛奶的售价情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每箱价格相对于标准价格（元） 售出箱数 (1)这一周超市售出的牛奶单价最高的是星期__________，最高单价是__________元 (2)这一周超市出售此种牛奶盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 1．下列说法正确的是（    ） A．是负数，不是有理数 B．0既没有倒数也没有相反数 C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数 D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是 2．下列四个选项中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．使式子：的运算结果为正整数，“□”中的运算符号为（    ） A． B． C． D． 4．我市为鼓励居民节约用水，对家庭用水户按分段计费方式收取水费；若每月用水不超过15m3，则按每立方米1.2元收费；若每月用水量超过15m3，则超过部分按每立方米2元收费．如果某居民在某月的用水量为25m3，这户居民这个月缴纳了水费（　　） A．30元 B．50元 C．38元 D．42元 5．计算：（    ） A． B．8 C． D．4 6．表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 7．下列说法中，正确的是（   ） A．和互为相反数 B．非负数的绝对值是它本身 C．倒数是它本身的数是0和1 D．两个数平方后，原来较大的数仍较大 8．已知，，，则的值为（    ） A．8或 B．或2 C．或 D．2或8 9．当时，下列式子：①；② ；③；④ 中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 10．为有理数，下列说法中正确的是（　　） A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于 11．《热辣滚烫》是一部励志电影，讲述了一个女人在绝望中努力奋斗，最终实现自我突破的故事，故事启示我们“命运只负责洗牌，出牌的永远是自己，一切都来得及”，截止2月底，电影全国票房累计约3300000000元．数据3300000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 12．银河系中的恒星大约有颗，是一个（    ） A．11位数 B．12位数 C．13位数 D．14位数 13．计算： ． 14．的次幂是 ，是 的平方数． 15．若，则 ， ． 16．数乘，积是一个完全平方数，则的最小值为 ． 17．2024年1月1日晚，经文化和旅游部数据中心测算，元旦假期3天，全国国内旅游出游约135000000人次．135000000用科学记数法表示为 ． 18．36 000 000用科学记数法表示应为 ；的原数是 19．现定义两种运算“⊕”和“※”．对于任意两个整数， ， ，那么 ⊕ ． 20．甲、乙两条船，在同一条河上相距210千米．若两船相向而行，则2小时相遇；若同向而行，则14小时甲赶上乙，则甲船的速度为 21．计算：． 22．设今天是星期二，从今天起，天后的那天是星期几？请说明理由． 23．在计算“”中的“□”填入运算符号． (1)填入“×”并计算； (2)要使结果最小，“□”内应填写什么符号；并直接写出这个最小值． 24．用简便方法计算： (1) (2) 25．有20筐萝卜，以每筐24千克为标准，超过或不足的千克数分别用正，负来表示，记录如下： 与标准质量的值（单位：千克） 1 0 2.5 筐数 1 2 3 6 4 4 (1)20筐萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)20筐萝卜一共重多少千克？ (3)若萝卜每筐进价60元，在运输过程中有的萝卜损耗掉不能出售，剩下的以每千克多少元出售，才能获得的利润？（精确到0.1） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的乘方及混合运算 课程标准 学习目标 1. 有理数的乘方的意义 2. 科学记数法 3. 有理数的混合运算 1.理解并掌握有理数的乘方； 2.理解并掌握科学记数法； 3.能熟练运用有理数混合运算. 知识点01 有理数乘方的意义 有理数乘方的意义 : 1． 求n个相同因数的乘积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂.(a是有理数,n是正整数)表示n个a相乘,其中a叫做底数,n叫做指数,读做a的n次幂(或a的n次方). 2． 通常读做a的平方,通常读做a的立方.规定为a. 3． 正数的任何正整数次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,偶次幂是正数;0的任何正整数次幂都是0. . 【即学即练1】 1．的底数、指数、结果分别是（    ） A． B． C．2，4，16 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数幂的概念，有理数的乘方计算，对于式子，其中a叫做底数，m叫做指数，据此结合有理数乘方计算法则求解即可． 【详解】解：的底数是2，指数是4，其结果为， 故选：D． 【即学即练2】 （    ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方，一个负数的立方等于它的绝对值的立方的相反数． 【详解】解：， 故选C． 【即学即练3】 平方等于9的数是（  ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算，根据，进而可求解，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 平方等于9的数是， 故选C． 知识点02 科学记数法 把一个绝对值大于10的数记做的形式,其中a是整数数位只有一位的数(即1≤|a|<10),这种记数法叫做科学记数法。 【即学即练1】 1.国家电影局2024年1月1日公布2023年中国电影行业重要指标．全年电影票房为549.15亿元，其中国产影片票房为460.05亿元，占比为；城市院线观影人次为12.99亿．其中460.05亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：460.05亿． 故选：D． 【即学即练2】 2. 2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数用科学记数法表示为，则原数中0的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．根据科学记算法将恢复原数，然后得出答案即可． 【详解】解：， 即原数中0的个数为5个． 故选：C． 知识点03 有理数的混合运算 1. 先算乘方,再算乘除,最后算加减; 2. 如果有括号,就先进行括号里面的运算 3. 同级运算,从左到右依次进行, 【即学即练1】 1.计算： (1) (2)． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）先算乘除法，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型01 有理数的乘方运算 【典例1】计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【变式1】下列各式计算结果等于2024的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 根据有理数的混合运算法则进行计算． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意： D、，不符合题意． 故选：C． 【变式2】在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数． 故选：A． 【变式3】某种细菌在培养过程中，平均每半小时分裂繁殖一次（由一个分裂为两个），经过2小时，这种细菌由一个分裂繁殖成（    ） A．8个 B．16个 C．32个 D．64个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方的实际应用，先计算出2个小时要经理4次繁殖，再计算即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ， （个）， 故选：B． 题型02 科学记数法 【典例1】中国高速磁悬浮列车亮相于2023年世界制造大会，该列车车头修长，与子弹头相似，时速可达，数据可用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴用科学记数法可表示为． 故选：B． 【变式1】2024年4月25号，我国神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时29000千米，数据29000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握科学记数法的方法是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，原数，原数变为时，小数点向左移动的位数即为的值，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式2】若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（    ） A．39600 B．396000 C．0.0000396 D．0.00000396 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：B． 题型03 有理数的混合运算 【典例1】，括号里应该填（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的理解，理解和，积，商的含义是解本题的关键，先计算，，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴括号内填的是； 故选A 【典例2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)9 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式先计算乘除运算，再计算加法运算即可求出值； （2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式1】计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是： （1）先去括号，然后计算加减法即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可即可； （3）先算乘方，再算乘除法即可； （4）先算乘除法，再算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解∶ ． 题型04 用运算律简化有理数的混合运算 【典例1】用简便方法计算． 【答案】 【分析】假本题考查了有理数四则混合运算，设，，把字母代入原式化简含有字母的式子，最后再把a和b的值代入化简后的式子求出结果，据此计算． 【详解】解：假设，， 原式 ． 【变式1】用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则，以及乘法分配律在有理数范围依旧适用． （1）根据乘法分配律进行计算即可； （2）根据乘法分配律的逆用进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型05 有理数的混合运算的应用 【典例1】一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队的工作效率比甲队高，甲、乙两队单独完成这项工程的时间比是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据甲队单独做需要10天完成，乙队的工作效率比甲队高，求得乙队单独做需要的天数，于是得到结论． 【详解】解：乙队单独做需要的天数： （天）， 甲、乙两队单独完成这项工程的时间比是， 故选：B． 【典例2】夏季快要到了，某服装厂为我校学生们新订制了一批夏季校服，已知校服每套的成本是130元，为了合理定价，卖出时以每套150元为标准，超过150元的部分记为正，不足150元的部分记为负．每批的销售量以50套为标准，超过或不足的数量分别用正、负来表示，服装厂的老板记录了五批校服的售价情况和售出情况： 批次 一 二 三 四 五 每套价格相对于标准价格（元） 相对于标准销售数量（套） 15 10 (1)这五批校服中，哪批校服售出销售额最高？最高销售额是多少？ (2)这五批校服销售后，共盈利多少元？ 【答案】(1)第二批校服售出销售额最高，最高销售额是9425元 (2)共盈利4995元 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出算式进行计算． （1）分别计算出每一批的销售额，再进行比较即可； （2）用总销售额减去总成本，即可解答． 【详解】（1）解：第一批：（元）， 第二批： （元）， 第三批：（元）， 第四批：（元）， 第五批：（元）， ∵， ∴第二批校服售出销售额最高，最高销售额是9425元． （2）解： （元）， 答：共盈利4995元． 【变式1】在2024年“五·一”黄金周期间，哈市凤凰山旅游景区在三天假期中，每天旅游的人数变化如下表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 4月29日 4月30日 5月1日 人数变化单位：万人 －0.1 ＋0.3 －0.2 若4月30日的游客人数为1.5万人，且每张入山门票为100元，那么三天内游客管理中心一共收取 门票费 万元 【答案】400 【分析】本题考查了正数和负数及有理数的混合远算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【详解】4月29日游客为（万人）， 5月1日游客为（万人）， 则（万元）， 即三天内游客管理中心一共收取门票费400万元， 故答案为：400． 【变式2】比优特超市最近进了一批新品牌的牛奶，每箱进价元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每箱以元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，超市记录第一周牛奶的售价情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每箱价格相对于标准价格（元） 售出箱数 (1)这一周超市售出的牛奶单价最高的是星期__________，最高单价是__________元 (2)这一周超市出售此种牛奶盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 【答案】(1)一，； (2)这一周超市出售此种牛奶盈利，盈利元． 【分析】（）根据题意及正数和负数的实际意义即可求解； （）根据正数和负数的实际意义列式计算即可求解； 本题考查了正数和负数及有理数混合运算的实际应用，结合已知条件正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格可知，这一周超市售出的牛奶单价最高的是星期一，最高单价是元， 故答案为：一，； （2）解：这一周售出牛奶的总箱数为：箱， ∴销售额为：元， 购进这一批牛奶的成本为：元， ∵元， ∴这一周超市出售此种牛奶盈利，盈利元． 1．下列说法正确的是（    ） A．是负数，不是有理数 B．0既没有倒数也没有相反数 C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数 D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是 【答案】A 【分析】 本题考查了相反数的定义以及有理数的定义，有理数的乘方，根据相关内容的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是负数，是无限不循环小数，不是有理数，故该选项正确，符合题意； B、0没有倒数，但有相反数，即为0，故该选项错误，不符合题意； C、如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数也可以是正数，故该选项错误，不符合题意； D、如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是，故该选项错误，不符合题意； 故选：A 2．下列四个选项中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，根据运算法则计算判断即可． 【详解】A. ，错误，不符合题意； B. ，错误，不符合题意； C. ，正确，符合题意；     D. ，错误，不符合题意； 故选C． 3．使式子：的运算结果为正整数，“□”中的运算符号为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则成为解题的关键． 先计算，然后再根据即可解答． 【详解】解：， A. 由，故该选项不符合题意； B. 由，故该选项符合题意； C.由，则该选项不符合题意； D.由，则该选项不符合题意． 故选：B． 4．我市为鼓励居民节约用水，对家庭用水户按分段计费方式收取水费；若每月用水不超过15m3，则按每立方米1.2元收费；若每月用水量超过15m3，则超过部分按每立方米2元收费．如果某居民在某月的用水量为25m3，这户居民这个月缴纳了水费（　　） A．30元 B．50元 C．38元 D．42元 【答案】C 【分析】根据题意，可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解： （元）， 即这户居民这个月缴纳了水费38元， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 5．计算：（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，先计算乘方，再按照有理数运算顺序计算即可． 【详解】解：原式 故选：B． 6．表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 【答案】B 【分析】本题考查有理数幂的概念理解，掌握表示个相乘，进行判断即可． 【详解】解：表示3个5相乘的相反数； 故选B． 7．下列说法中，正确的是（   ） A．和互为相反数 B．非负数的绝对值是它本身 C．倒数是它本身的数是0和1 D．两个数平方后，原来较大的数仍较大 【答案】B 【分析】本题考查了相反数、乘方以及绝对值的性质．根据相反数、乘方以及绝对值的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A、和互为倒数，不是互为相反数，本选项不符合题意； B、非负数的绝对值是它本身，本选项符合题意； C、倒数是它本身的数是0和1，还有，本选项不符合题意； D、两个数平方后，原来较大的数不一定较大，本选项不符合题意； 故选：B． 8．已知，，，则的值为（    ） A．8或 B．或2 C．或 D．2或8 【答案】D 【分析】根据绝对值和乘方的性质，求得，，即可求解． 【详解】解：由可得，解得或 由可得或， 由可得 所以，或， ∴或 故选：D． 【点睛】此题考查了绝对值，乘方的性质，解题的关键是根据题意，正确求得，． 9．当时，下列式子：①；② ；③；④ 中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 10．为有理数，下列说法中正确的是（　　） A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于 【答案】B 【分析】此题考查非负数的性质，正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，，解题的关键是掌握偶次方的非负性． 【详解】解：、当时，，此选项说法错误，不符合题意； 、∵， ∴，即是正数，此选项说法正确，符合题意； 、当时，，此选项说法错误，不符合题意； 、∵，则， ∴，的值不大于，此选项说法错误，不符合题意； 故选：． 11．《热辣滚烫》是一部励志电影，讲述了一个女人在绝望中努力奋斗，最终实现自我突破的故事，故事启示我们“命运只负责洗牌，出牌的永远是自己，一切都来得及”，截止2月底，电影全国票房累计约3300000000元．数据3300000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的要求，将3300000000变为，分别确定a和n的值即可． 本题考查了科学记数法，其表示形式为，正确确定a和n的值是解答本题的关键．n是整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：， 故选：C． 12．银河系中的恒星大约有颗，是一个（    ） A．11位数 B．12位数 C．13位数 D．14位数 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，将用科学记数法表示的数变回原数，即可求解． 【详解】解：，是一个12位数， 故选B． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方和乘法，根据有理数的乘方和乘法运算法则进行计算即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 14．的次幂是 ，是 的平方数． 【答案】 16 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，乘方运算的逆运算，根据运算法则可得答案． 【详解】解：， 是的平方数， 故答案为：， 15．若，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的非负性及乘方运算的符号规律，根据绝对值的非负性及乘方的非负性即可求解，熟练掌握绝对值的非负性及乘方运算的符号规律是解题的关键． 【详解】解：依题意得：，即：， ，即：， 故答案为：，2． 16．数乘，积是一个完全平方数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要了考查完全平方数，根据题意先把分解因数，结合最小即可求得的值，解题的关键是正确理解完全平方数可以分解为两个相同数的乘积． 【详解】解：由， ∵数乘，积是一个完全平方数， ∴是一个完全平方数， ∴的最小值为， 故答案为：． 17．2024年1月1日晚，经文化和旅游部数据中心测算，元旦假期3天，全国国内旅游出游约135000000人次．135000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 18．36 000 000用科学记数法表示应为 ；的原数是 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，以及将用科学记数法表示的数变回原数，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位）． 【详解】解：36 000 000用科学记数法表示应为， 的原数是， 故答案为：，． 19．现定义两种运算“⊕”和“※”．对于任意两个整数， ， ，那么 ⊕ ． 【答案】14 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是读懂新定义，利用新定义计算．读懂新定义，利用新定义计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：14． 20．甲、乙两条船，在同一条河上相距210千米．若两船相向而行，则2小时相遇；若同向而行，则14小时甲赶上乙，则甲船的速度为 【答案】60(千米/小时) 【分析】本题利用的行程问题中的两个关系式为：路程相遇时间=速度和，追及路程追及时间=速度差． 两船相向而行，2小时相遇，根据路程÷相遇时间=速度和可知两船速度和为：(千米/时)；两船同向行，14小时甲赶上乙，根据追及路程追及时间=速度差可知甲乙的速度差为：(千米/时)，由和差问题可得甲：(千米/时)． 【详解】解：甲的速度为： (千米/小时)． 答：甲的速度为每小时60千米． 故答案为：60(千米/小时)． 21．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的法则是解题的关键． 先算乘方和小括号里面的减法，再算除法，最后算减法． 【详解】解： ． 22．设今天是星期二，从今天起，天后的那天是星期几？请说明理由． 【答案】天之后是星期五．理由见解析 【分析】本题考查的是有理数的乘方，根据题意找出规律是解答此题的关键． 先求出、、、、、、的值，找出规律，根据余数即可解答． 【详解】解： ，，，，，，， 规律如下： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 … 余数 3 2 6 4 5 1 3 2 6 4 5 1 3 … 发现的余数按3，2，6，4，5，1循环往复， ， 的余数等于的余数，即为3， 天之后是星期五． 23．在计算“”中的“□”填入运算符号． (1)填入“×”并计算； (2)要使结果最小，“□”内应填写什么符号；并直接写出这个最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查有理数的混合运算， （1）按照有理数的混合运算法则计算即可； （2）依次填入加减乘除进行计算，再比较即可作答． 【详解】（1）解：根据题意有：； （2）填入“”， ； 填入“”， ； 填入“”， ； 填入“”， ； 故填写“”，结果最小，最小为． 24．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则，以及乘法分配律在有理数范围依旧适用． （1）根据乘法分配律进行计算即可； （2）根据乘法分配律的逆用进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 25．有20筐萝卜，以每筐24千克为标准，超过或不足的千克数分别用正，负来表示，记录如下： 与标准质量的值（单位：千克） 1 0 2.5 筐数 1 2 3 6 4 4 (1)20筐萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)20筐萝卜一共重多少千克？ (3)若萝卜每筐进价60元，在运输过程中有的萝卜损耗掉不能出售，剩下的以每千克多少元出售，才能获得的利润？（精确到0.1） 【答案】(1)5.5 (2)480 (3)3.3 【分析】本题考查了正负数，有理数的混合运算在实际问题中的应用，正确理解题意，掌握运算法则是解题的关键． （1）运用有理数的减法法则计算即可； （2）运用有理数的混合运算解决； （3）分别计算获得20%的利润的总售价和可以售出的质量，然后用除法解题即可． 【详解】（1）解：（千克） 答：最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克 （2）解：（千克） 答：20筐萝卜一共重480千克 （3）解：，，（元） 答：剩下的以每千克3.3元出售． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$