第02讲 反比例函数的图象与性质（5大知识点+4大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（湘教版）

第02讲 反比例函数的图象与性质 课程标准 学习目标 反比例函数的图象与性质 1 会用描点法画反比例函数图象. 2 解并学会应用反比例函数图象的基本性质. 3 综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题 知识点01 画反比例函数的图象 1.步骤,列表、描点、连线. 2.注意:(1)反比例函数的图象不是直线不能用“两点法”画; (2)选取的点越多,画出的图象越准确. 【即学即练1】 1． 在平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象，并写出当时，y的取值范围. 【答案】图象见解析，或. 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质及画函数图象，描点画出图形，进而即可写出当时，y的取值范围． 【详解】解：列表如下： x … 1 2 3 6 … y … 6 3 2 1 … 函数图象如下： . 当时，或.    . 【即学即练2】 已知反比例函数 (1)直接写出自变量x的取值范围． (2)在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图象； x … … y … … (3) 观察图象，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)y随x的增大而增大 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，会运用描点法画函数图象是解题的关键． （1）根据分母不为零即可得解； （2）根据自变量的取值范围，给定x的值，并求出相应的y的值，并描点连线即可； （3）根据画出的图象回答即可． 【详解】（1）解：分母不为零可知：自变量x的取值范围是； （2）解：列表格如下： x … 1 2 3 4 … y … 1.5 2 3 6 … 描点并连线如下： （3）由图象可知：在每一个象限y随x的变化是y随x的增大而增大． 规律总结： (1)列表选点时,自变量x的取值一般以 0为中心取几对互为相反数的数，再分别求出对应的函数值 y. (2)注意函数图象与坐标轴一定不会相交. 知识点02 反比例函数（k>0）的图象与性质 当k>0时,反比例函数 的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小. 【即学即练1】 1．关于反比例函的图象，下列说法正确的是（　　） A．必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、把代入得：，则反比例函的图象不过点故本选项错误，不符合题意； B、，图象在第一、三象限，故本选项错误，不符合题意； C、沿x轴对折不重合，故本选项错误，不符合题意； 【即学即练2】 2． 如图是反比例函数（为常数，且）图象的一支． (1)判断该反比例函数图象的另一支位于哪个象限，并求出的取值范围． (2)在该反比例函数图象的某一支上任取和两点，如果，那么和有怎样的大小关系？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质． （1）根据反比例函数的对称性可得另一支在第三象限，根据反比例函数反比例函数图象在第一、三象限得到，可得； （2）根据反比例函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：该反比例函数图象的一支在第一象限，根据对称性可知另一支位于第三象限． ∵该反比例函数图象在第一、三象限， ∴， 解得； （2）解：∵该反比例函数图象在第一、三象限， ∴在每一个象限内，随的增大而减小． ∵， ∴． 知识点03 反比例函数（k<0）的图象与性质 当k<0时,反比例函数 的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大. 【即学即练1】 1.已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B．是轴对称图形，也是中心对称图形 C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D．图象分别位于第二、四象限内 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大，故A选项正确； B、反比例函数图象，是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确； C、过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点，故C选项错误； D、图象分别位于第二、四象限内，故D选项正确 故选：C． 2． D、两曲线关于原点对称，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【即学即练2】 2.在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大． (1)函数图象经过哪些象限？ (2)求k的取值范围． 【答案】(1)经过第二、四象限 (2) 【分析】（1）根据反比例函数的图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大，得到函数图象经过第二、四象限即可； （2）根据函数的图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大，得到反比例函数的系数小于0，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ∴函数经过第二、四象限． （2）∵在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ∴，解得． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 知识点04 反比例函数比例系数k的几何意义 过反比例函数图象上任意一点引x轴、y轴的垂线,所围成的矩形的面积为. 【即学即练1】 1．如图，已知A为反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为点B，则的面积为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】结合反比例函数关系是，设出点A坐标，再根据三角形面积即可求出答案． 【详解】∵A为反比例函数的图象上的一点， ∴设， ∵轴， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何求面积，解题关键是掌握反比例函数k的几何意义． 知识点05 反比例函数与一次函数的综合运用 反比例函数与一次函数的综合应用的常见类型: (1)求表达式; (2)求交点坐标; (3)求三角形面积; (4)比较函数值大小. 【即学即练1】 1. 如图，一次函数y= kx+b与反比例函数y=的图象交于A(-2，1)、B(1，a)两点． （1）分别求出反比例函数与一次函数的关系式； （2）观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围； 【答案】（1），；（2）或． 【分析】（1）先根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）结合点的横坐标，根据函数的图象即可得． 【详解】解：（1）将点代入得：， 则反比例函数的解析式为， 将点代入得：，即， 将点代入得：，解得， 则一次函数的解析式为； （2）当反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围是或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【即学即练2】 2. 如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于，B两点， 过点 B 作 轴于点 D， ，过点 A 作轴于点C． (1)求b的值及点B 的坐标； (2)观察图象，当反比例函数的值小于一次函数的值时，直接写出x的取值范围； (3)点 P 在线段 上，连接，，若 ，求点 P 的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合问题，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据已知条件把代入一次函数和反比例函数中，即可得出b和m 的值，再根据题意得出B点的横坐标代入反比例函数中即可得解； （2）根据反比例函数的值小于一次函数的值，得出反比例函数的图象应在一次函数的图象下方，观察图象即可得x的取值范围； （3）根据题意和（1）得出的长，设 ，求出和，再根据，得出关于t的方程，解出t的值，代入即可得出答案． 【详解】（1）解：一次函数 与反比例函数 的图象交于， 把代入一次函数和反比例函数中，得，， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， 过点 B 作 轴于点 D， ， 点B的横坐标，代入中，得：， ； （2）解：反比例函数的值小于一次函数的值， 反比例函数的图象应在一次函数的图象下方， 观察图象可得x的取值范围为； （3）解：轴于点C，轴于点 D，，， ，， ， P是线段上的一点， 设， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型01 判断(画)反比例函数图象 【典例1】下列各点中，在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将横、纵坐标分别相乘其积为者，即为反比例函数图象上的点，据此即可判断求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：由得，， 、∵， ∴点在反比例函数图象上，该选项符合题意； 、∵， ∴点不在反比例函数图象上，该选项不合题意； 、∵， ∴点不在反比例函数图象上，该选项不合题意； 、∵， ∴点不在反比例函数图象上，该选项不合题意； 故选：． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据图中的点的坐标结合反比例函数的解析式即可判断． 【详解】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意， 故选：D． 【变式1】函数的图象经过的象限是 ． 【答案】二、四 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ， 函数的图象经过的象限是二、四， 故答案为：二、四． 【变式2】如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键． 根据图象得出结论． 【详解】解：由图可知，当时，． 故答案为：． 【变式3】已知抛物线的关系式为 (1)完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象； … 1 2 3 4 … … … (2)根据图象回答：当时，的取值范围是 ． (3)根据图象回答：当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、画反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数解析式可以将表格补充完整，然后描点、连线即可得出图象； （2）根据函数图象，写出的取值范围即可； （3）根据函数图象，写出的取值范围即可． 【详解】（1）解：表格完成如下： … 1 2 3 4 … … … 画出函数图象如图所示： （2）解：由图象可得：当时，的取值范围是， 故答案为：； （3）解：由图象可得：当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 题型02 反比例函数的图象与性质 【典例1】一次函数（k为常数，且）图象上两点，，且，下列关于反比例函数图象性质的说法中，正确的是（    ） A．图象关于y轴对称 B．图象在第一、第三象限 C．y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，先根据题意得到，进而得到反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴一次函数中，y随x增大而减小， ∴， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大， ∴当时，， ∵反比例函数不关于y轴对称， ∴四个选项中，只有D选项说法正确，符合题意， 故选：D． 【变式1】关于反比例函数，下列说法中错误的是（   ） A．图象必经过点 B．它的图象分布在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，反比例函数中的时位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，根据这个性质选择则可． 【详解】解：A、∵，图象必经过点，故本选项说法正确，不符合题意； B、∵，∴函数图象分布在第一、三象限，故本选项说法正确，不符合题意； C、∵，∴反比例函数图象位于第一、三象限；在每个象限内，随的增大而减小，故本选项说法正确，不符合题意； D、∵当时，，不能等于0，∴故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数解析式可得反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再根据即可得到． 【详解】解：∵在中，， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，在反比例函数的图象上，且， ∴. 故选：C． 【变式3】已知在反比例函数 (m为常数， 且 的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点， 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由； (3)若Q为x轴上一点，且，求的面积． 【答案】(1)，该反比例函数的图象在第一、 三象限 (2)点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上，理由见解析 (3)6 【分析】（1）由点在该反比例数的图象上， 可得，可求，由，判断反比例函数的图象所在的象限即可； （2）由（1）可知，该反比例函数的解析式为，然后将3个点坐标代入判断即可； （3）由Q为x轴上一点，且，可知是等腰三角形，且点Q的坐标为，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ 点在该反比例数的图象上， ∴， 解得． ∵， ∴该反比例函数的图象在第一、 三象限． （2）解：由（1）可知，该反比例函数的解析式为， 当时，； 当时，； 当时，； ∴点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上． （3）解：∵Q为x轴上一点，且， ∴是等腰三角形，且点Q的坐标为， ∴， ∴的面积为6． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形等知识．熟练掌握反比例函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形是解题的关键． 题型03 反比例函数比例系数k的几何意义 【典例1】如图， P（a，a）是反比例函数在第一象限内图象上的一个点，以P为顶点作等边△PAB，使A、B落在x轴上，则△POA面积是（  ）    A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】如图，根据反比例函数系数k的几何意义求得点P的坐标，则易求PD＝4．然后通过等边三角形的性质易求线段AD＝，所以S△POA＝OA•PD＝××4＝． 【详解】如图，∵点P（a，a）是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点， ∴16＝a2，且a＞0， 解得，a＝4， ∴PD＝4． ∵△PAB是等边三角形， ∴AD＝＝． ∴OA＝4−AD＝， ∴S△POA＝OA•PD＝××4＝． 故选：D．    【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的性质．等边三角形具有等腰三角形“三线合一”的性质． 【变式1】如图，四边形是平行四边形，在x轴上，点B在y轴上，反比例函数 的图象经过第一象限点A，且平行四边形的面积为4，则k的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 作于，由四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，利用反比例函数图象得到． 【详解】解：作于，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴轴， ∴四边形为矩形， ∴， ， 而， ， 故选：A． 题型04 反比例函数与一次函数的综合运用 【典例1】如图，函数与在同一坐标系内的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答． 【详解】解：A、从一次函数的图象经过二、四象限知与反比例函数的图象相矛盾，错误； B、从一次函数的图象经过一、三象限知，则，一次函数过一、三、四象限，错误； C、从一次函数的图象经过二、四象限知，则，一次函数过一、二、四象限，反比例函数的图象过二、四象限，正确； D、从一次函数的图象经过一、三象限知，则，一次函数过一、三、四象限，错误． 故选：C． 【典例2】已知反比例函数 图象与一次函数的图象交于点，． (1)　　，　　，　　； (2)点是反比例函数图象上一点，且点横坐标大于2，连接、．若的面积是5，求出点的纵坐标． 【答案】(1)6，1， (2)点的纵坐标为2 【分析】（1）由点的坐标求出的值，即可得出反比例函数的解析式；由反比例函数解析式求出，由待定系数法求出的值； （2）求得的面积为，即可得出的面积是的面积的2倍，点作的平行线，交反比例函数的图象于，此时符合题意，求得直线与反比例函数的交点即可求得点的纵坐标． 【详解】（1）解：由题意得， ， 反比例函数的解析式是， 反比例函数过点， ， ， 一次函数的图象过点，． ，解得，， 故答案为：6，1，； （2）解：由（1）可知一次函数， ， ， ， 经过点作的平行线，交反比例函数的图象于，使点到直线和到直线的距离相等，则的面积是的面积的2倍， 直线的表达式为， 由，解得或， 点横坐标大于2， ， 点的纵坐标为2． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．利用了数形结合思想． 【变式1】如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项B正确，选项C错误，选项D错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A错误； 故选B． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点和点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)点C是y轴上的一个动点，当点C运动到何处时，的面积为6？ 【答案】(1)一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是 (2)当点C运动到或时，的面积为6 【分析】（1）把点代入函数中，即可求得a的值，从而得到反比例函数解析式为．把点代入反比例函数中，求得点A的坐标．采用待定系数法把点A，B的坐标代入函数中，求解即可得到一次函数解析式； （2）设直线与y轴的交点为D，则，设点C的坐标为，则，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，则，，根据即可得到关于n的方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式是． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得 ∴． ∵一次函数的图象经过，两点， ∴，解得． ∴一次函数的解析式是． （2）解： 设直线与y轴的交点为D， 则在中，令，则， ∴， 设点C的坐标为，则    过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， 点C的坐标为或． ∴当点C运动到或时，的面积为6． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 1．下列各点中，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中的特点是解答此题的关键．根据反比例函数中对各选项进行逐一判断即可． 【详解】 解：A、，此点不在反比例函数的图象上； B、，此点不在反比例函数的图象上； C、，此点不在反比例函数的图象上； D、，此点在反比例函数的图象上． 故选：D 2．若反比例函数的图象经过点，则它的图象一定还经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把代入求出即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴反比例函数一定还经过点， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记知识点是关键． 3．在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：由题意可知点与关于原点对称，点A的坐标为， 点的坐标为． 故选：． 4．如图，过原点的直线与反比例函数的图象相交于点，根据图中提供的信息可知，这个反比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象的特点可知两点关于原点对称，从而求出点坐标，再用待定系数法求反比例函数的解析式即可． 【详解】解： 是反比例函数与过原点的直线的交点， 关于原点对称， 由图形可知，点的坐标为：， 设反比例函数的解析式为：， 将代入解析式，得， 这个反比例函数解析式为：； 故选：A． 【点睛】此题考查了反比例函数图象的对称性、用待定系数法求反比例函数的解析式，正确得出两点关于原点对称是解答此题的关键． 5．关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象是中心对称图形 B．当时，随的增大而增大 C．图象经过点 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象和性质，可对各个选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由反比例函数的图象对称性可知，反比例函数的图象是关于原点对称，图象是中心对称图，本题说法正确，故该选项不符合题意； B．因为，所以当时在每个象限内，y随着x的增大而增大，本题说法正确，故该选项不符合题意； C．当时，，所以函数图象过点，本题说法正确，故该选项不符合题意； D．因为，函数图象位于第二、四象限，在每个象限内y随着x的增大而增大，当时，，所以当，则，本题说法不正确，故该选项符合题意； 故选：D． 6．已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据正比例函数的图象经过点，在第四象限，推出，根据反比例函数的图象位于第一、第三象限，推出，则一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可解答． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，在第四象限， ∴正比例函数经过二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 则一次函数的图象一定不经过第三象限， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质． 7．反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 8．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则、关于原点对称 D．若，，则 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数的性质是解题的关键．据此进行判断即可． 【详解】解：A．∵，即与异号， ∴点，在第一、三象限或第二、四象限， ∴，原说法正确，故此选项符合题意； B．∵， ∴，或，， ∴，则或，则， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， ∴，原说法错误，故此选项符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∴， ∴、关于原点对称，原说法正确，故此选项不符合题意； D．若，则反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 9．函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象不可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，弄清函数图象与相关参数的关系成为解题的关键． 由题意可得，，然后分别分析各选项，看是否存在矛盾即可解答． 【详解】解：，， A.该选项的图象要求中，则，对要求，两图象不存在矛盾，当时，对于函数与x轴交点的横坐标为与图象不存在矛盾，不符合题意； B. 该选项的图象要求中，则；对要求，两图象不存在矛盾；当时，对于函数与x轴交点的横坐标为与图象不存在矛盾，不符合题意； C. 该选项的图象要求中，则；对要求，两图象不存在矛盾，当时，对于函数与x轴交点的横坐标为与图象不存在矛盾，不符合题意； D. 该选项的图象要求中，则，对要求，两图象存在矛盾，符合题意． 故选D． 10．如图，点A，B在反比例函数的图象上，以为邻边作平行四边形，点C恰好落在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积是6，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形、平行四边形的性质等知识，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解答的关键．根据坐标与图形以及平行四边形的性质推导出，设，，进而求解得到，利用中点坐标公式得到，进而求得，代入求解k值即． 【详解】解：过B作于D、过A作轴于H，连接，交于点E， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴， ∵，又平行四边形的面积是6， ∴， 设，，则， 整理，得，即， ∵， ∴，则， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴与平分， ∴，则， ∵点C恰好落在反比例函数的图象上， ∴， 故选：A． 11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，若，则的值为（    ）    A．7 B．8 C．12 D．24 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，设直线与x轴于点C，联立函数解析式求出点A和点B的坐标，利用和得到关于a的方程，解方程即可. 【详解】解：设直线与x轴于点C，    当时，，解得， ∴点C的坐标是， ∴， 联立得，则， 解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为 ∴ ∴， 解得， 故选：A 12．如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键． 根据图象得出结论． 【详解】解：由图可知，当时，． 故答案为：． 13．写出一个经过点且在第一象限内y随x的增大而减小的函数解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征．掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限，且y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限，且y随x的增大而增大是解题关键．根据反比例函数的图象和性质直接写出函数解析式即可． 【详解】解：经过点且在第一象限内y随x的增大而减小的函数解析式为． 故答案为：． 14．如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值： ． 【答案】-4（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，先求出经过点的反比例函数的解析式分别为，结合已知两点分布在曲线的两侧，即可作答． 【详解】解：设经过点的反比例函数的解析式分别为 把两点分别代入，得出 ∴ 即经过点的反比例函数的解析式分别为 ∵已知两点分布在曲线的两侧，、 ∴ 则（答案不唯一） 故答案为： 15．反比例函数，，在同一坐标系中的图象如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，由图可知图象在第三象限，；，图象在第四象限，、；再取，如图所示，即可比较，的大小，熟记反比例函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，图象在第三象限，；，图象在第四象限，、； 取，如图所示： ； 综上所述，， 故答案为：． 16．若点与点是正比例函数图象与反比例西数图象的两个不同的交点，则 ． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数图象都关于原点对称，则交点也关于原点对称，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：∵点与点是正比例函数图象与反比例西数图象的两个不同的交点， ∴， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数图象的性质，关于原点对称的点的坐标特征，掌握以上知识是解题的关键． 17．关于反比例函数，下列说法：①图象位于第一、三象限；②图象不与坐标轴相交；③在每个象限内，y随x的增大而增大；④当时，，其中正确的说法有 个． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象与性质．根据反比例函数的图象与性质逐一判断． 【详解】解：在反比例函数中，；图象不与坐标轴相交， ， 图象位于第一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，； 正确的说法有个， 故答案为：． 18．若点、在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，根据，得到反比例函数的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，即可解答． 【详解】解：， ， 反比例函数的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， 点、在反比例函数的图象上，且， 时，点、在第一象限内， ， 故答案为：． 19．若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案． 【详解】解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为， 时，， ，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为， ． 故答案为：． 20．已知函数，其中是反比例函数，与成正比例，函数的自变量的取值范围是，且当时，． (1)解析式探究，根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为： (2)下表是y与x的几组对应值 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 表中表中　　，　　 (3)根据表中数据，在平面直角坐标系中，描点并画出该函数的图象； (4)结合画出的函数图象，解决问题： 估计时，x的值约为 （精确到）． 【答案】(1)， (2)； (3)详见解析 (4) 【分析】本题考查了反比例函数的图象，函数和方程的关系，数形结合是解题的关键． （1）求得用待定系数法设，则，将已知条件代入得关于方程组，即可求得该函数解析式； （2）把和分别代入（1）求得的解析式，即可求得、的值； （3）在平面直角坐标系中描点，用平滑曲线从左到右顺次连接各点，画出图象； （3）函数和直线的交点在4和5之间，通过分析得出结论． 【详解】（1）是反比例函数， 且， 解得， ， 设，则， 当时，． ， 解得， ， 故答案为：， （2）把代入得，， ， 把代入得，， ， 故答案为，； （3）根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，画出图象． （4）观察图象，函数和直线的交点在4和5之间， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 估计时，的值约为， 故答案为． 21．已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． （1）把点代入可得k的值，进而可得函数的解析式； （2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即可比较大小． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵， ∴函数图象位于第一、三象限， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴， ∴． 22．平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且． (1)若，求k的值； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象性质是解题的关键． （1）先根据，得出，把代入，得到，，把代入，得，从而得出 ，再根据，即可求解； （2）先根据，得出，再根据，，得出．然后把代入即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把代入，得， ∴，， 把代入，得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵，是反比例函数图象上的点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于点C、D．已知点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)观察图象，直接写出时x的取值范围是________． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】本题考查反比例函数、一次函数与方程的关系，图象法求解不等式，直角坐标系内面积求解；理解函数与方程，不等式的联系是解题的关键． （1）将已知的点坐标代入反比例函数解析式，求解参数k，将点代入反比例函数解析式，求解m，由点A，B，坐标，构建二元一次访组求解，得一次函数解析式； （2）由一次函数解析式求得点D坐标，进而求得的面积； （3）把不等式化为，再求解两个函数的交点的横坐标，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：的图象经过， ∴，则， ∴． ∵的图象经过点，则， ∴． 一次函数的图象经过，， ，解得 ∴ （2）解：∵直线， 当时，， ∴，， ∴的面积 （3）解：∵，即， ∴， 如图， 当时， ∴， 解得：，， ∴两点横坐标分别为，， ∴的解集是或． 24．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（为常数 (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)为轴上一点，若的面积为6，直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)或者； (3)的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据图象位置关系即可得解； （3）设，根据（1）可知直线的解析式为，如图，求解，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将点代入得， ∴， 将点、分别代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）根据图象可知，当或者时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，满足， ∴不等式的解集为或者； （3）解：根据（1）可知直线的解析式为，如图， 当时，则， ∴， 设， ∴， ∴ ， 解得：或； 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、待定系数法求函数解析式、利用图象解不等式、坐标与图形等知识，掌握反比例函数与一次函数图象与性质是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 反比例函数的图象与性质 课程标准 学习目标 反比例函数的图象与性质 1 会用描点法画反比例函数图象. 2 解并学会应用反比例函数图象的基本性质. 3 综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题 知识点01 画反比例函数的图象 1.步骤,列表、描点、连线. 2.注意:(1)反比例函数的图象不是直线不能用 画; (2)选取的点 ,画出的图象越准确. 【即学即练1】 1． 在平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象，并写出当时，y的取值范围. 【即学即练2】 已知反比例函数 (1)直接写出自变量x的取值范围． (2)在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图象； x … … y … … (3) 观察图象，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？ 规律总结： (1)列表选点时,自变量x的取值一般以 0为中心取几对互为相反数的数，再分别求出对应的函数值 y. (2)注意函数图象与坐标轴一定不会相交. 知识点02 反比例函数（k>0）的图象与性质 当k>0时,反比例函数 的图象由分别在第 象限内的两支曲线组成,它们与x轴、 轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而 . 【即学即练1】 1．关于反比例函的图象，下列说法正确的是（　　） A．必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称 【即学即练2】 2． 如图是反比例函数（为常数，且）图象的一支． (1)判断该反比例函数图象的另一支位于哪个象限，并求出的取值范围． (2)在该反比例函数图象的某一支上任取和两点，如果，那么和有怎样的大小关系？ 知识点03 反比例函数（k<0）的图象与性质 当k<0时,反比例函数 的图象由分别在第 象限内的两支曲线组成,它们与x轴、 都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而 . 【即学即练1】 1.已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B．是轴对称图形，也是中心对称图形 C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D．图象分别位于第二、四象限内 【即学即练2】 2.在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大． (1)函数图象经过哪些象限？ (2)求k的取值范围． 知识点04 反比例函数比例系数k的几何意义 过反比例函数图象上任意一点引x轴、y轴的 ,所围成的矩形的 为. 【即学即练1】 1．如图，已知A为反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为点B，则的面积为（   ） A． B．2 C．4 D． 知识点05 反比例函数与一次函数的综合运用 反比例函数与一次函数的综合应用的常见类型: (1)求表达式; (2)求交点坐标; (3)求三角形面积; (4)比较函数值大小. 【即学即练1】 1. 如图，一次函数y= kx+b与反比例函数y=的图象交于A(-2，1)、B(1，a)两点． （1）分别求出反比例函数与一次函数的关系式； （2）观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围； 【即学即练2】 2. 如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于，B两点， 过点 B 作 轴于点 D， ，过点 A 作轴于点C． (1)求b的值及点B 的坐标； (2)观察图象，当反比例函数的值小于一次函数的值时，直接写出x的取值范围； (3)点 P 在线段 上，连接，，若 ，求点 P 的坐标． 题型01 判断(画)反比例函数图象 【典例1】下列各点中，在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】函数的图象经过的象限是 ． 【变式2】如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【变式3】已知抛物线的关系式为 (1)完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象； … 1 2 3 4 … … … (2)根据图象回答：当时，的取值范围是 ． (3)根据图象回答：当时，的取值范围是 ． 题型02 反比例函数的图象与性质 【典例1】一次函数（k为常数，且）图象上两点，，且，下列关于反比例函数图象性质的说法中，正确的是（    ） A．图象关于y轴对称 B．图象在第一、第三象限 C．y随x的增大而增大 D．当时， 【变式1】关于反比例函数，下列说法中错误的是（   ） A．图象必经过点 B．它的图象分布在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【变式2】已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知在反比例函数 (m为常数， 且 的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点， 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由； (3)若Q为x轴上一点，且，求的面积． 题型03 反比例函数比例系数k的几何意义 【典例1】如图， P（a，a）是反比例函数在第一象限内图象上的一个点，以P为顶点作等边△PAB，使A、B落在x轴上，则△POA面积是（  ）    A．3 B．4 C． D． 【变式1】如图，四边形是平行四边形，在x轴上，点B在y轴上，反比例函数 的图象经过第一象限点A，且平行四边形的面积为4，则k的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 题型04 反比例函数与一次函数的综合运用 【典例1】如图，函数与在同一坐标系内的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【典例2】已知反比例函数 图象与一次函数的图象交于点，． (1)　　，　　，　　； (2)点是反比例函数图象上一点，且点横坐标大于2，连接、．若的面积是5，求出点的纵坐标． 【变式1】如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点和点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)点C是y轴上的一个动点，当点C运动到何处时，的面积为6？ 1．下列各点中，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则它的图象一定还经过点（    ） A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，过原点的直线与反比例函数的图象相交于点，根据图中提供的信息可知，这个反比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 5．关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象是中心对称图形 B．当时，随的增大而增大 C．图象经过点 D．若，则 6．已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 8．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则、关于原点对称 D．若，，则 9．函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象不可能是（    ）． A． B． C． D． 10．如图，点A，B在反比例函数的图象上，以为邻边作平行四边形，点C恰好落在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积是6，则k的值为（    ） A． B． C． D． 11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，若，则的值为（    ）    A．7 B．8 C．12 D．24 12．如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 13．写出一个经过点且在第一象限内y随x的增大而减小的函数解析式 ． 14．如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值： ． 15．反比例函数，，在同一坐标系中的图象如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 16．若点与点是正比例函数图象与反比例西数图象的两个不同的交点，则 ． 17．关于反比例函数，下列说法：①图象位于第一、三象限；②图象不与坐标轴相交；③在每个象限内，y随x的增大而增大；④当时，，其中正确的说法有 个． 18．若点、在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是 ． 19．若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 20．已知函数，其中是反比例函数，与成正比例，函数的自变量的取值范围是，且当时，． (1)解析式探究，根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为： (2)下表是y与x的几组对应值 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 表中表中　　，　　 (3)根据表中数据，在平面直角坐标系中，描点并画出该函数的图象； (4)结合画出的函数图象，解决问题： 估计时，x的值约为 （精确到）． 21．已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 22．平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且． (1)若，求k的值； (2)若，求证：． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于点C、D．已知点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)观察图象，直接写出时x的取值范围是________． 24．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（为常数 (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)为轴上一点，若的面积为6，直接写出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$