第六章反比例函数习题课件 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第六章　反比例函数 1　反比例函数 1. 在下列函数中,y是x的反比例函数的为 (　　) A. y= B. y= C. y=- D. =2 2. 若函数y=是关于x的反比例函数,则a必须满足 (　　) A. a≠0 B. a≠1 C. a≠-1 D. a为一切实数 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. (教材P150习题6.1第1题变式)俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备,若他目前已有存款2000元,后期每个月计划存相同金额,则他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款金额x(元)之间的函数表达式为 　　　　,该函数是　　　　函数.  4. 已知y=(1-m)是反比例函数,则m的值为　　　　.  5. 已知y是x的反比例函数,且当x=-3时,y=4,则反比例函数的表达式为 　　　　,当x=6时,y=　　　　.  y= 反比例 -1 y=- -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 已知反比例函数y=-. (1) 写出这个函数对应的k值; (2) 当x=-10时,求函数y的值; (3) 当y=6时,求自变量x的值. (1) 对应的k值为-　 (2) 当x=-10时,y=-=　 (3) 当y=6时,6=-,解得x=- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 写出下列问题中两个变量之间的函数表达式,并判断其是不是反比例函数. (1) 底边为3cm的三角形的面积y(cm2)与底边上的高x(cm); (2) 一艘轮船从相距200km的甲地驶往乙地,该轮船的平均速度v(km/h)与航行时间t(h); (3) 在检修100m长的管道时,每天能检修10m,剩下的未检修的管道长y(m)与已检修天数x. (1) y=x　不是反比例函数　 (2) v=　是反比例函数　 (3) y=100-10x　不是反比例函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 如图,小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:在一根匀质的木杆中点O左侧的固定位置点A处悬挂重物,在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉,改变弹簧秤与点O的距离x(cm),观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况.实验数据记录如下: 猜测y与x之间的函数关系,并求出函数表达式. 观察数据,可得x,y的乘积为定值300,∴ y与x之间的函 数关系为反比例函数.设y=(k≠0),把x=10,y=30代入,得 k=300.∴ y= x/cm … 10 15 20 25 30 … y/N … 30 20 15 12 10 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 已知经过闭合电路的电流I(A)与电路的电阻R(Ω)是反比例函数关系.根据下表判断a和b的大小关系为 (　　) A. a>b B. a≥b C. a<b D. a≤b A I/A 5 a … b … R/Ω 20 30 40 50 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 下列关系中,两个变量之间为反比例函数关系的是 (　　) A. 长40米的绳子剪去x米,还剩y米 B. 买单价3元的笔记本x本,花了y元 C. 正方形的面积为S,边长为a D. 菱形的面积为20,对角线的长分别为x,y D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 近视眼镜是凹透镜,是一种为了矫正视力,让人们可以清晰地看到远距离的物体的眼镜.下表是关于近视眼镜的度数y与镜片焦距x(米)的几组对应数据.根据表中数据,若要配置500度的近视眼镜,则可选镜片的焦距为 　　　　米(精确到0.01米).  0.20 近视眼镜的度数y 200 250 400 500 1000 镜片焦距x/米 0.50 0.40 0.25 ? 0.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 已知函数y=(m2+2m). (1) 如果y是关于x的正比例函数,求m的值; (2) 如果y是关于x的反比例函数,求m的值,并写出此时y关于x的函数表达式. (1) ∵ y是关于x的正比例函数,∴ m2-m-1=1,且m2+2m≠0,解得m=2或m=-1　 (2) ∵ y是关于x的反比例函数,∴ m2-m-1=-1,且m2+2m≠0,解得m=1.此时y关于x的函数表达式为y= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 已知y与x-1成反比例,当x=3时,y=4,求y关于x的函数表达式,并求当x=2时,函数y的值. 由题意,可设y=(k≠0).将x=3,y=4代入,得4=,解得k=8.∴ y关于x的函数表达式为y=.∴ 当x=2时,y==8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 某隧道是全线控制性工程,首期工程需挖掘土石方600千立方米.设计划平均每天挖掘土石方x千立方米,需用y天,且完成首期工程的时间不超过600天. (1) 求y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围; (1) 根据题意,得y=.∵ y≤600,∴ x≥1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 由于工程进度的需要,实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米,比原计划提前了100天完成,则实际挖掘了多少天完成首期工程? (2) 设实际挖掘了m天完成首期工程.根据题意,得-=0.2,解得m1= -600(不合题意,舍去),m2=500.经检验,m=500是原分式方程的解,且符合题意.∴ 实际挖掘了500天完成首期工程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第六章　反比例函数 2　反比例函数的图象与性质 第1课时　反比例函数的图象 1. (2023·永州)已知点M(2,a)在反比例函数y=的图象上,其中a,k为常数,且 k>0,则点M一定在 (　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 关于反比例函数y=-的图象,下列说法中,错误的是 (　　) A. 图象与坐标轴无交点 B. 两个分支分布在第一、三象限 C. 两个分支关于直线y=x成轴对称 D. 两个分支关于原点成中心对称 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. (2022·贵阳)如图,在平面直角坐标系中有P,Q,M,N四个点,其中恰有三点在反比例函数y=(k>0)的图象上,则不在该函数图象上的点是 (　　) A. P B. Q C. M D. N C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. (教材P154习题6.2第3题变式)如图,小明在同一平面直角坐标系中画出了一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象,则它们的交点坐标是 　　 　　　.  5. 若反比例函数y=(k≠0)的图象位于第一、三象限,则关于x的一元二次方程x2+kx-k=0的根的情况是　 . (-2,-3)和(3,2) 有两个不相等的实数根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. (教材P153随堂练习变式)如图所示为三个反比例函数y=,y=,y=在x轴上方的图象,由此观察得到k1,k2,k3的大小关系,并写出比较过程. 由反比例函数图象所在的象限,可知k1<0,k2>0,k3>0. 在x轴上取一值x=1,则有k3>k2.∴ k3>k2>k1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 已知y是关于x的反比例函数,且当x=2时,y=3. (1) 求y关于x的函数表达式; (2) 在如图所示的平面直角坐标系中画出函数图象; (3) 试判断点A,B(3,5)是否在该函数的图象上,并说明理由. (1) ∵ y是关于x的反比例函数,∴ 设反比 例函数的表达式为y=(k≠0).∵ 当x=2时, y=3,∴ k=2×3=6.∴ y关于x的函数表达 式为y=　 (2) 函数图象如图所示　 (3) 点A在该函数图象上,点B不在该函数的图象上　理由:∵ 12×=6,∴ 点A在该函数的图象上.∵ 3×5=15≠6,∴ 点B不在该函数的图象上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. (2023·泰安)一次函数y=ax+b与反比例函数y=(a,b为常数且均不等于0)在同一平面直角坐标系内的图象可能是 (　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 已知A,B,C,D四点在反比例函数y=的图象上,有下列结论:① 四边形ABCD可以是平行四边形;② 四边形ABCD可以是菱形;③ 四边形ABCD不可能是矩形;④ 四边形ABCD不可能是正方形.其中,正确的是　　　　(填序号).  10. (2023·泰安)如图,在平面直角坐标系中,正方形的中心在 原点O,且正方形的一组对边与x轴平行,P(3a,a)是反比例函 数y=的图象与正方形的一个交点.若图中涂色部分的面积 等于36,则这个反比例函数的表达式为　　　　. ①④ y= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图,在平面直角坐标系中,▱OABC的边OC在x轴上,对角线AC,OB交于点M,函数y=(x>0)的图象经过点A(3,4)和点M.求: (1) k的值和点M的坐标; (1) ∵ 点A(3,4)在函数y=(x>0)的图象上,∴ k=3×4=12. ∵ 四边形OABC是平行四边形,∴ AM=MC.∴ 易得点M 的纵坐标为2.∵ 点M在函数y=(x>0)的图象上,∴ 令y= 2,则x=6.∴ 点M的坐标为(6,2)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) ▱OABC的周长. (2) ∵ AM=MC,点A的坐标为(3,4),点M的坐标为(6,2), ∴ 易得点C的坐标为(9,0),OA==5.∴ OC=9. ∴ ▱OABC的周长为2×(5+9)=28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 已知变量x,y的部分对应值如下表: x … -4 -3 -2 -1 y … 1 2 x 1 2 3 4 … y -2 -1 - - … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1) 根据表中给出的对应值写出x与y之间的函数表达式,并在如图所示的平面直角坐标系中画出大致图象. (1) 由题表,易得函数表达式为y=-　 函数图象如图所示　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 在这个函数图象上有一点P(x,y)(x<0),过点P分别作x轴和y轴的垂线并延长,与直线y=x-2分别交于A,B两点.若△PAB的面积等于,求点P的坐标. (2) 由题意,得点P的坐标为,则点A的坐标为(x, x-2).由题意,易知△PAB是等腰直角三角形.∵ S△PAB= ,∴ PA=PB=5.∵ x<0,∴ PA=yP-yA=--x+2.∴ --x+2= 5,解得x1=-2,x2=-1.∴ 点P的坐标为(-2,1)或(-1,2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第六章　反比例函数 2　反比例函数的图象与性质 第2课时　反比例函数的性质 1. 若在反比例函数y=(k≠0)图象的任一支上,y的值都随x值的增大而增大, 则下列各点可能在这个函数图象上的为 (　　) A. (2,0) B. (-1,-3) C. (-1,2) D. (3,2) 2. (2023·武汉)关于反比例函数y=,下列结论正确的是 (　　) A. 图象位于第二、四象限 B. 图象与坐标轴有公共点 C. 图象所在的每一个象限内,y的值随x值的增大而减小 D. 若图象经过点(a,a+2),则a=1 C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. (2023·通辽)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=-的图象上,且x1<0 <x2,则下列结论一定正确的是 (　　) A. y1+y2<0 B. y1+y2>0 C. y1-y2<0 D. y1-y2>0 4. (教材P157习题6.3第1题变式)若反比例函数y=(k≠0)的图象经过点P,则在这个函数图象所在的每一个象限内,y的值随x值的增大而 　　　　(填“增大”或“减小”).  D 增大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 如图,A是反比例函数y=(k≠0)图象在第一象限内的一点,AB⊥y轴,垂足为B,S△AOB=3.有下列结论:① 常数k=3;② 在每个象限内,y的值随x值的增大而减小;③ 当y>2时,x的取值范围是x<3;④ 若点D(a,b)在该函数图象上,则点D'(b,a)也在该函数图象上.其中,正确的是　　　　(填序号). ②④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. (教材P157习题6.3第2题变式)已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(2,y3)都在反比例函数y=的图象上,试比较y1,y2,y3的大小关系. ∵ k2+2>0,∴ 反比例函数y=的图象的两个分支分别位于第一、三象限,且在每一个象限内y的值随x值的增大而减小.∵ -2<-1<0<2,∴ 点A(-2, y1),B(-1,y2)位于第三象限,点C(2,y3)位于第一象限.∴ y2<y1<0,y3>0.∴ y2< y1<y3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. (2022·温州)反比例函数y=(k≠0)的图象的一支如图所示,它经过点(3, -2). (1) 求这个反比例函数的表达式,并补画这个函数图象的另一支; (1) 把(3,-2)代入y=(k≠0),得-2=, 解得k=-6.∴ 这个反比例函数的 表达式为y=-　补画这个函数图 象的另一支如图所示　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 当y≤5,且y≠0时,求自变量x的取值范围. (2) 当y=5时,-=5,解得x=-.∴ 由图,可知当y≤5, 且y≠0时,x≤-或x>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. (2023·宜昌)某反比例函数图象上四个点的坐标分别为(-3,y1),(-2,3),(1, y2),(2,y3),则y1,y2,y3的大小关系为 (　　) A. y2<y1<y3 B. y3<y2<y1 C. y2<y3<y1 D. y1<y3<y2 9. 如图,正方形的四个顶点分别位于两个反比例函数y=和y=的图象的四个分支上,则实数n的值为 (　　) A. -3 B. - C. D. 3 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图所示为反比例函数y=-(x<0)与y=(x>0)的图象,过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线,分别与这两个函数的图象交于点M,N.若A是x轴上的任意一点,连接MA,NA,则S△AMN=　　　　. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图,反比例函数y=的图象经过点A(4,m),AB⊥x轴于点B,且△AOB的面积为2. (1) 求k和m的值; (1) ∵ △AOB的面积为2,∴ 易得k=4.∴ 反比例函数的表 达式为y=.∵ 点A(4,m)在反比例函数y=的图象上,∴ m= =1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 若点C(x,y)也在反比例函数y=的图象上,当-3≤x≤-1时,求y的取值范围. (2) 当x=-3时,y=-;当x=-1时,y=-4.∵ k=4>0,∴ 当x<0时, y的值随x值的增大而减小.∴ 当-3≤x≤-1时,y的取值范围 是-4≤y≤- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. (2022·株洲)如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在函数y1=(x<0),y2 =(x>0,k>0)的图象上,点C在第二象限,AC⊥x轴于点P,BC⊥y轴于点Q,连接AB,PQ.已知点A的纵坐标为-2. (1) 求点A的横坐标. (1) ∵ 点A在函数y1=(x<0)的图象上,点A的 纵坐标为-2,∴ -2=,解得x=-1.∴ 点A的横坐 标为-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 记四边形APQB的面积为S.若点B的横坐标为2,试用含k的代数式表示S. (2) ∵ 点B在函数y2=(x>0,k>0)的图象上,点B 的横坐标为2,∴ 点B的坐标为.∴ 易得 PC=OQ=,BQ=2.∵ 点A的坐标为(-1,-2),∴ 易 得OP=CQ=1,AP=2.∴ AC=2+,BC=1+2=3.∴ S=S△ABC-S△PQC=BC·AC-PC·CQ=×3×-×1=3+k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第六章　反比例函数 3　反比例函数的应用 1. (教材P159习题6.4第1题变式)若反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(2, -3),则该反比例函数的图象也一定经过 (　　) A. 点(-2,-3) B. 点(-3,-2) C. 点(1,-6) D. 点(6,1) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. (2023·随州)已知蓄电池的电压为定值,使用某蓄电池时,电流I(A)与电阻R(Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示,则当电阻为6Ω时,电流为 (　　) A. 3A B. 4A C. 6A D. 8A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 劳动教育课上,徐老师带领学生对三类小麦种子的发芽情况进行统计.如图,用A,B,C三点分别表示三类种子的发芽率y与该类种子用于试验的粒数x的情况,其中点B在反比例函数图象上,则三类种子中,发芽数量最多的是　　　　类种子(填“A”“B”或“C”).  C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 在对某物体做功一定的情况下,力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离S(m)成反比例函数关系,其图象如图所示.当S<30时,F的取值范围是 　　　　.   　 　 5. (教材P160习题6.4第3题变式)如图,正比例函数y1=x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A,B两点,其中点A的横坐标为2,则点B的坐标为 　　　　,当y1>y2时,x的取值范围是　　　　　　　　. F>12 (-2,-1) x>2或-2<x<0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. (2023·台州)如图,密度计悬浮在不同的液体中时,浸在液体中的高度h(cm)是液体的密度ρ(g/cm3)的反比例函数,当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时,h=20. (1) 求h关于ρ的函数表达式; (2) 当密度计悬浮在另一种液体中时,h=25,求该种液体的密度. (1) 设h关于ρ的函数表达式为h=.把ρ=1,h=20代入,得k=1× 20=20.∴ h关于ρ的函数表达式为h=　 (2) 把h=25代入h=,得25=,解得ρ=0.8.∴ 该种液体的密度为0.8g/cm3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. (2023·宁夏)给某气球充满一定质量的气体,在温度不变时,气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数,其图象如图所示. (1) 当气球内的气压超过150kPa时,气球会爆炸,若将气球近似看成一个球体,要使气球不会爆炸,气球的半径至少为多少()? (1) 设反比例函数的表达式为p=.根据题图,可得k=120× 0.04=4.8.∴ p=.∴ 当p=150时,V==0.032.设气球的半 径为rm.∴ ×3r3=0.032,解得r=0.2.∵ k=4.8>0,∴ p随V的增大而减小.∵ 要使气球不会爆炸,∴ V≥0.032,此时r≥0.2.∴ 气球的半径至少为0.2m　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 请你利用p与V的关系,试解释为什么超载的车辆容易爆胎. (2) 由于车辆超载,轮胎体积变小,胎内气压增大导致爆胎 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 某新款茶吧机开机加热时水温每分上升20℃,加热到 100℃后停止加热,水温开始下降,此时水温y(℃)与通电时 间x(min)成反比例关系,当水温降至20℃时,饮水机再自动 加热.若水温在20℃时接通电源,水温y(℃)与通电时间x(min)之间的关系如图所示,有下列说法:① 水温从20℃加热到100℃,需要4min;② 水温下降过程中,y与x之间的函数表达式满足y=;③ 在一个加热周期内,水温不低于40℃的时间为8min;④ 上午10:00接通电源,可以保证当天10:30能喝到不低于38℃的水.其中,正确的是　　　　(填序号). ①②④ 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. (2023·滨州)如图,直线y=kx+b(k,b为常数)与双曲线y=(m为常数)相交于A(2,a),B(-1,2)两点. (1) 求直线AB对应的函数表达式; (1) 由题意,将B(-1,2)代入y=,得2=,解得m=-2.∴ 双 曲线对应的函数表达式为y=-.又∵ 点A(2,a)在双曲线 上,∴ a=-1.∴ A(2,-1).将A(2,-1),B(-1,2)代入y=kx+b,得 解得∴ 直线AB对应的函数表达式为y=-x+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 在双曲线y=上任取两点M(x1,y1),N(x2,y2),若x1<x2,试判断y1和y2的大小关系; (3) 请直接写出关于x的不等式kx+b>的解集. (2) 由题意,可分成两种情形.① 点M,N在双曲线的同一支 上.∵ -2<0,∴ 在双曲线y=-的同一支上,y的值随x值的增 大而增大.∴ 当x1<x2时,y1<y2.② 点M,N不在双曲线的同一 支上.∵ x1<x2,∴ x1<0<x2.∴ y1>0>y2,即此时y1>y2　 (3) x<-1或0<x<2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. (2022·枣庄)某市环保局对一企业的排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0毫克/升.环保局要求该企业立即整改,在15天内(含15天)排污达标.整改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(毫克/升)与时间x(天)之间的关系如图所示,其中线段AC表示前3天的变化规律,第3天时硫化物的浓度降为4.5毫克/升.从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y(毫克/升)与时间x(天)之间的关系如下表: 时间x/天 3 5 6 9 … 硫化物的浓度y/(毫克/升) 4.5 2.7 2.25 1.5 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1) 在整改过程中,当0≤x<3时,求硫化物的浓度y(毫克/升)与时间x(天)之间的函数表达式. (1) 设线段AC对应的函数表达式为y=kx+b(0≤x<3).把(0, 12),(3,4.5)代入,得解得∴ 当0 ≤x<3时,硫化物的浓度y(毫克/升)与时间x(天)之间的函数 表达式为y=-2.5x+12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 在整改过程中,当x≥3时,求硫化物的浓度y(毫克/升)与时间x(天)之间的函数表达式. (2) ∵ 3×4.5=5×2.7=6×2.25=9×1.5=…=13.5,∴ y是x 的反比例函数.∴ 当x≥3时,硫化物的浓度y(毫克/升)与时 间x(天)之间的函数表达式为y=　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3) 该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天内不超过最高允许的1.0毫克/升?为什么? (3) 该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天内不超过 最高允许的1.0毫克/升　当x=15时,y==0.9.∵ 0.9<1.0, ∴ 该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天内不超过最 高允许的1.0毫克/升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第六章　反比例函数 小专题(十一)　反比例函数中k的几何意义 类型一　同一象限内运用k的几何意义 模型展示: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1. 如图,过反比例函数y=(k>0)在第一象限内的图象上任意两点A,B,分别作x轴的垂线,垂足分别为C,D,连接OA,OB.设△AOC与△BOD的面积分别为S1,S2,则它们的大小关系是 (　　) A. S1>S2 B. S1=S2 C. S1<S2 D. 无法确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 如图,A是反比例函数y=-(x>0)的图象上的一点,过点A作AB⊥y轴于点B,P是x轴上的一个动点,则△ABP的面积为 (　　) A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 如图,矩形AOBC的面积为4,反比例函数y=的图象的一支经过矩形对角线的交点P,则该反比例函数的表达式为　　　　.  　 　 4. 如图,点A,B在反比例函数y=(x>0)的图象上,点A,B的纵坐标分别是3和6,连接OA,OB,则△OAB的面积是　　　　. y= 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图,A,B两点在双曲线y=(x>0)上,分别经过A,B两点向坐标轴作垂线段,若涂色部分的面积为1,求S1+S2的值. ∵ A,B两点在双曲线y=(x>0)上,分别经过A,B两点向坐标 轴作垂线段,∴ 根据反比例函数的图象的性质,得两个大矩 形的面积都等于|k|=4.∴ S1+S2=4+4-1×2=6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 类型二　同一反比例函数图象在两个象限内运用k的几何意义 模型展示: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 如图,A,B是函数y=的图象上关于原点O对称的任意两点,AC∥y轴,交x轴于点C,BD∥y轴,交x轴于点D,设四边形ADBC的面积为S,则 (　　) A. S=1 B. 1<S<2 C. S=2 D. S>2 　　 7. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx(k≠0)与双曲线y=相交于A,B两点,过点A作AM⊥x轴,过点B作BN⊥y轴,则图中涂色部分的面积为　　　　.  C 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图,在平面直角坐标系中,面积为a的矩形ABCD的边与坐标轴平行或垂直,顶点A,C分别在函数y=的图象的两个分支上,则图中两块阴影部分面积的和等于　　　　(用含a的式子表示).  　 　 9. 如图,过原点O的直线与双曲线y=交于A,B两点,过点B作BC⊥x轴,垂足为C,连接AC.若S△ABC=5,则k的值是　　　　. a-4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 类型三　两个反比例函数中运用k的几何意义 模型展示: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 如图,函数y=(x>0)和y=(x>0)的图象将第一象限分成三个区域,M是区域②内一点,MN⊥x轴于点N,则△MON的面积可能是 (　　) A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 3.5 C 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图所示为反比例函数y=和y=(k1<k2)在第一象限的图象,直线AB ∥x轴,并分别交两条曲线于A,B两点.若S△AOB=2,则k2-k1的值是 (　　) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图,点M在双曲线y=-(x<0)上,点N在双曲线y=(k≠0,x<0)上,MN∥x轴,分别过点M,N向x轴作垂线,垂足分别为Q,P.若矩形MNPQ的面积是7,则k的值为　　　　. -10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 双曲线C1:y=(x>0)和C2:y=(x>0)如图所示,设点P在双曲线C1上,PC ⊥x轴于点C,交双曲线C2于点A,PD⊥y轴于点D,交双曲线C2于点B,求四边形PAOB的面积. ∵ PC⊥x轴,PD⊥y轴,∴ 易得S△AOC=S△BOD=,S矩形PCOD= |2|=2.∴ 四边形PAOB的面积=2-2×=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第六章　反比例函数 小专题(十二)　反比例函数与一次函数、 几何图形的综合应用 类型一　反比例函数与一次函数的综合应用 1. 反比例函数y=-的图象与一次函数y=2x的图象 (　　) A. 没有交点 B. 有一个交点 C. 有两个交点 D. 有三个交点 2. 已知反比例函数y=(k>1,且k≠2)的图象与一次函数y=-7x+b的图象共有两个交点,且两交点横坐标的乘积x1·x2>0,请写出一个满足条件的k的值:　　　 　. A 1 2 3 4 5 6 答案不唯一,如1.5 3. (2023·鞍山)如图,直线AB与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(-2,m), B(n,2),过点A作AC∥y轴,交x轴于点C,在x轴正半轴上取一点D,使OC= 2OD,连接BC,AD,△ACD的面积是6. (1) 求反比例函数的表达式; (1) 连接OA.∵ OC=2OD,△ACD的面积是6,∴ 易得S△AOC =4.∵ 点A在反比例函数y=(x<0)的图象上,∴ 易得|k|=8. ∵ 反比例函数的图象在第二象限,∴ k=-8.∴ 反比例函 数的表达式为y=-(x<0) 1 2 3 4 5 6 (2) 若P为第一象限内直线AB上一点,且△PAC的面积等于△ABC面积的2倍,求点P的坐标. (2) ∵ 点A(-2,m),B(n,2)在反比例函数y=-(x<0)的图象上, ∴ A(-2,4),B(-4,2).设直线AB对应的函数表达式为y=ax+b, 则解得∴ 直线AB对应的函数表达式为y=x+6.∵ AC∥y轴,交x轴于点C,∴ C(-2,0).∴ 易得S△ABC=×4×2=4.设点P的坐标为(t,t+6)(t>0).∴ S△PAC=×4(t+2)=2S△ABC=8.∴ 2t+4=8,解得t=2.∴ 点P的坐标为(2,8) 1 2 3 4 5 6 4. (2023·巴中)如图,正比例函数y=kx(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象 交于A,B两点,点A的横坐标为-4,点B的纵坐标为-6. (1) 求反比例函数的表达式. (2) 观察图象,直接写出关于x的不等式kx<的解集. (1) ∵ 正比例函数y=kx(k≠0)与反比例函数y=(m≠0) 的图象交于A,B两点,∴ 点A,B关于原点对称.∵ 点A 的横坐标为-4,点B的纵坐标为-6,∴ A(-4,6),B(4,-6). ∵ 点A(-4,6)在反比例函数y=(m≠0)的图象上,∴ 6= ,解得m=-24.∴ 反比例函数的表达式为y=-　 (2) -4<x<0或x>4 1 2 3 4 5 6 (3) 将直线AB向上平移n个单位长度,交双曲线于C,D两点,交y轴、x轴于点E,F,连接OD,BD.若△OBD的面积为20,求直线CD对应的函数表达式. (3) 连接BE,过点B作BG⊥y轴于点G.∵ 点A(-4,6)在正 比例函数y=kx(k≠0)的图象上,∴ 6=-4k,解得k=-.∴ 直 线AB对应的函数表达式为y=-x.∵ CD∥AB,∴ S△OBD =S△OBE=20.∵ B(4,-6),∴ BG=4.∴ S△OBE=OE·BG=20. ∴ OE=10.∴ E(0,10).∴ 易得直线CD对应的函数表达式为y=-x+10 1 2 3 4 5 6 类型二　反比例函数与几何图形的综合应用 5. (2023·眉山)如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,2),与反比例函数y=在第四象限内的图象交于点C(6,a). (1) 求反比例函数的表达式. (1) 将A(4,0),B(0,2)代入y=kx+b,得解得 ∴ 一次函数的表达式为y=-x+2.将C(6,a) 代入,得a=-×6+2=-1.∴ C(6,-1).将C(6,-1)代入y=, 得m=-6.∴ 反比例函数的表达式为y=- 1 2 3 4 5 6 (2) 当kx+b>时,直接写出x的取值范围. (2) 设一次函数与反比例函数的图象在第二象限交 于点D.联立解得或 ∴ D(-2,3).∴ 由题图,可知当kx+b>时,x<-2或0<x<6 1 2 3 4 5 6 (3) 在双曲线y=上是否存在点P,使以A,B,P为顶点的三角形是以A为直角顶点的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 (3) 存在　如图,过点A作AE⊥BC,交y轴于点E.∵ 易得∠BAO+∠EAO= ∠EAO+∠AEO=90°,∴ ∠BAO=∠AEO.∵ ∠AOB=∠EOA=90°,∴ △AOB∽△EOA.∴ =.∵ 易知OB=2,OA=4,∴ =.∴ EO=8.∴ E(0, -8).设直线AE对应的函数表达式为y=nx+t.将A(4,0),E(0,-8)代入,得解得∴ 直线AE对应的函数表达 式为y=2x-8.联立解得或 ∴ 点P的坐标为(1,-6)或(3,-2) 1 2 3 4 5 6 6. 在平面直角坐标系中,A是反比例函数y=(x>0)图象上的一个动点,连接AO,AO的延长线交反比例函数y=(k>0,x<0)的图象于点B,过点A作AE⊥y轴于点E. (1) 如图①,过点B作BF⊥x轴于点F,连接EF,BE. ① 若k=1,求证:四边形AEFO是平行四边形; (1) ① 设点A的坐标为(a>0),则当k=1时,由对称性, 可知点B的坐标为.∴ AE=OF=a.∵ AE⊥y轴, ∴ AE∥OF.∴ 四边形AEFO是平行四边形 1 2 3 4 5 6 ② 若k=4,求△BOE的面积. ② 如图①,过点B作BD⊥y轴于点D.∵ AE⊥y轴,∴ AE∥ BD.∴ 易得△AEO∽△BDO.∴ =.∵ 易知S△AEO=1×=,S△BDO==2,∴ =.∴ =.∴ S△BOE =2S△AEO=1 1 2 3 4 5 6 (2) 如图②,过点E作EP∥AB,交反比例函数y=(k>0,x<0)的图象于点P,连接OP.对于确定的实数k,动点A在运动过程中,△POE的面积是否会发生变化?请说明理由. 1 2 3 4 5 6 (2) 不会发生变化　理由:如图②,过点P作PH⊥x轴于点H,设PE与x轴交 于点G,点A的坐标为(a>0),点P的坐标为(b<0),则AE=a,OE=, OH=-b,PH=-.∵ 易得四边形AEGO是平行四边形,∴ ∠EAO=∠EGO, AE=OG.∵ ∠EGO=∠HGP,∴ ∠EAO=∠HGP.又∵ ∠OEA=∠PHG= 90°,∴ △AEO∽△GHP.∴ =.∵ GH=OH-OG=-b-a, ∴ =.∴ +-k=0,解得=.∵ a,b异号,k >0,∴ =.∴ S△POE=OE·OH=×(-b)=-= .∴ 对于确定的实数k,动点A在运动过程中,△POE 的面积不会发生变化. 1 2 3 4 5 6 $$