第一章 直线与圆（A考点梳理卷）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第一册）

第1章 直线与圆单元测试（A考点梳理卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 考点一、直线与直线的方程 一、单选题 1．已知直线的斜率为，则（    ） A．3 B． C．1 D． 2．如果直线与互相垂直，那么a的值等于（   ） A．－1 B． C． D．2 3．直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若两条直线和平行，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 5．已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 6．（多选）已知直线，直线，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与之间的距离为1 D．直线过定点 7．（多选）已知两点，点是直线：上的动点，则下列结论中正确的是（    ） A．存在使最小 B．存在使最小 C．存在使最小 D．存在使最小 8．若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 9．对任意的实数， 圆上一点到直线的距离的取值范围为 . 考点二、直线方程的综合应用 1．已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 2．已知直线． (1)若直线与直线垂直，且经过，求直线的斜截式方程； (2)若直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线的一般式方程． 3．一束光从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段上处． (1)若，求光从出发，到达点时所走过的路程； (2)若，求反射光的斜率的取值范围； (3)若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程． 考点三、圆与圆的方程 1．圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．相切 C．相交 D．内含 2．若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．设M是圆C：上的动点，是圆的切线，且，则点N到点距离的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．16 5．已知圆C过点，，，过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，若，则k的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）下列有关直线与圆的结论正确的是（    ） A．方程表示的直线必过点 B．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 C．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 D．若圆上恰有个点到直线的距离等于，则 7．（多选）已知圆，直线则下列命题中正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为4 C．直线与圆可能相离 D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 8．已知圆，直线，直线l被圆C截得的最短弦长为 ． 9．已知圆，直线，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为 . 考点四、直线与圆、圆与圆的综合应用 1．已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 2．已知圆：. (1)若直线过定点且与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，求的最小值. 3．已知圆与相交于A、B两点， (1)求的长； (2)求圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直线与圆单元测试（A考点梳理卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 考点一、直线与直线的方程 1．已知直线的斜率为，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由直线的一般式得斜率，即可求出答案. 【详解】因为的斜率为， 所以，则. 故选：B. 2．如果直线与互相垂直，那么a的值等于（   ） A．－1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】直接利用直线垂直的性质列方程求解即可. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得. 故选：C. 3．直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围. 【详解】直线的斜率为， 由于，设倾斜角为， 则，， 所以. 故选：B. 4．若两条直线和平行，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线平行求出，注意检验重合情形即可. 【详解】因为两直线平行， 所以， 解得或， 当时，两直线重合，舍去， 故选：D 5．已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】画出草图可知，点M、点N在直线同侧，运用对称性即可求得结果. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以．      故选：A. 6．（多选）已知直线，直线，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与之间的距离为1 D．直线过定点 【答案】BC 【分析】 通过的取值结合选项验证可得A,B,C的正误，利用求直线过定点的方法可得D的正误. 【详解】对于A，时，，显然与不垂直，A不正确； 对于B，时，，因为，所以，B正确； 对于C，当时，且，解得， 此时，与之间的距离为，C正确； 对于D，，令，解得， 所以直线过定点，D不正确. 故选：BC. 7．（多选）已知两点，点是直线：上的动点，则下列结论中正确的是（    ） A．存在使最小 B．存在使最小 C．存在使最小 D．存在使最小 【答案】ABD 【分析】 A：先求关于的对称点，根据与的交点坐标即可判断； B：设出点坐标，根据二次函数的性质求解出取最小值时点坐标； C：结合图示进行分析判断； D：根据绝对值的特点先判断出取最小值时点的位置，然后联立对应直线方程求解出点坐标. 【详解】对于A：设点关于直线的对称点为，所以，所以，所以， 所以，当且仅当为与交点时满足题意， 又因为，即， 所以，所以，所以，故A正确； 对于B：设，所以， 所以，当且仅当时有最小值， 此时，所以，故B正确； 对于C：如下图，根据与的位置关系可判断出有最大值，无最小值，故C错误；    对于D：因为，取等号时，即为垂直平分线与的交点， 因为垂直平分线方程为，即， 所以，所以，所以，故D正确； 故选：ABD. 8．若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【分析】变形得到方程组，求出定点坐标. 【详解】令，解得，故经过定点坐标为. 故答案为： 9．对任意的实数， 圆上一点到直线的距离的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据直线方程先求出直线所过的定点，然后考虑直线经过圆心，圆心与定点的连线垂直直线，结合直线与圆的位置关系确定出的取值范围. 【详解】由题意可知圆的圆心为，半径， 直线方程可化为， 令解得，所以直线过定点， 显然当直线与圆相切或相交时，取最小值且， 不妨令直线过原点，将代入，此时， 设圆心到直线的距离为，当直线与垂直时，取得最大值，下面证明： 当与直线垂直时，记为直线， 当不与直线垂直且直线不经过时，记为直线， 过作交于点，如下图所示， 由图可知为直角三角形，且为斜边，所以， 所以取最大值时，与直线垂直时， 故，， 但此时的方程为，即为， 此时无论取何值都无法满足要求，故取不到， 所以， 故答案为： 考点二、直线方程的综合应用 1．已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【详解】（1），，由中点坐标公式得中点为， 又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为， 整理得：. （2），，则，所以边上的高的直线的斜率为， 又，则边上的高的直线方程为， 整理得：． （3）因为，，则其中点坐标为， 而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：， 即. 2．已知直线． (1)若直线与直线垂直，且经过，求直线的斜截式方程； (2)若直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线的一般式方程． 【详解】（1）由题意设直线的方程为:， 由直线经过得:，解得:， 直线的方程为:，即. （2）由题意设直线的方程为:， 令，则;令，则， 所以直线两坐标轴围成的三角形的面积三角形的面积， 解得:， 所以直线的一般式方程为. 3．一束光从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段上处． (1)若，求光从出发，到达点时所走过的路程； (2)若，求反射光的斜率的取值范围； (3)若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程． 【详解】（1）关于轴的对称点，， 由 ，则此时， 所以光所走过的路程即． （2）对于线段，令其端点， 则， 所以反射光斜率的取值范围是． （3）若反射光与直线垂直，则由． ①当，即时，光所走过的最短路程为点到直线的距离， 所以路程． ②当，即时，光所走过的最短路程为线段，其中， 所以． 综上：． 考点三、圆与圆的方程 1．圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．相切 C．相交 D．内含 【答案】D 【分析】求出圆心距，小于两半径之差，得到位置关系. 【详解】的圆心为，半径为， 变形为，圆心为，半径为， 故圆心距， 故圆与圆的位置关系为内含. 故选：D 2．若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据圆上的任意两点关于直径对称即可求解. 【详解】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得， 故选：D． 3．已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由，得点轨迹方程，，故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值，点轨迹方程与直线联立方程组，求出点的坐标即可. 【详解】设，由，得，化简得， 由，得，所以， 故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值， 此时线段的方程为，由并结合， 解得故此时点的坐标为. 故选：C. 4．设M是圆C：上的动点，是圆的切线，且，则点N到点距离的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．16 【答案】A 【分析】根据切线性质可得点N的轨迹方程为圆，再根据圆上的点到定点距离的最值方法求解即可. 【详解】由题意得，圆心，半径为4， 又，∴， 即点N的轨迹方程为， ∴点N到点距离的最小值为. 故选：A. 5．已知圆C过点，，，过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，若，则k的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先求出圆的方程及圆心和半径2，然后利用直线与圆的弦长公式从而可求解. 【详解】设圆C：，易知，解得， 所以， 将，代入可得，，解得， 所以圆C的方程，则圆心C坐标为，半径为2. 设直线l：，则圆心到直线的距离， 又，则，即，整理得，解得， 所以k的最小值为，故C正确. 故选：C. 6．（多选）下列有关直线与圆的结论正确的是（    ） A．方程表示的直线必过点 B．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 C．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 D．若圆上恰有个点到直线的距离等于，则 【答案】ACD 【分析】对于，将直线方程化为即可判断；对于B，当截距为时即可判断；对于C，由圆的方程可得圆与圆相交，再将两圆的方程作差即可判断；对于D，由题意可得圆心到直线的距离等于，根据点到直线的距离公式即可判断． 【详解】对于，方程可化为， 直线过定点，故A正确； 对于B，当截距为时，直线方程为，故B错误； 对于C，圆的一般方程化为标准方程得，圆心为， 半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以圆与圆相交． 圆的标准方程化为一般方程得， 与圆的一般方程作差，可得，即， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为，故C正确； 对于D，若圆上恰有个点到直线的距离等于， 则圆心到直线的距离等于， 即，解得，故D正确． 故选：ACD 7．（多选）已知圆，直线则下列命题中正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为4 C．直线与圆可能相离 D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 【答案】AD 【分析】A选项，变形后得到方程组，求出直线恒过定点；B选项，令得，求出被轴截得的弦长；C选项，先判断出在圆内，从而得到直线与圆相交；D选项，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短，求出，得到直线方程. 【详解】A选项，变形为， 令，解得，故直线恒过定点，A正确； B选项，中令得， 故圆被轴截得的弦长为，B错误； C选项，将代入中得， 故在圆内，直线与圆相交，C错误； D选项，的圆心为， 当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 其中，此时，方程为， 故直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为，D正确. 故选：AD 8．已知圆，直线，直线l被圆C截得的最短弦长为 ． 【答案】 【分析】先求出直线过定点，数形结合得到当与故直线垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，求出最短弦长. 【详解】变形为，故直线过定点， 故当与故直线垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短， 其中的圆心为，半径为2， 此时弦长为. 故答案为： 9．已知圆，直线，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为 . 【答案】 【分析】根据圆的性质，得到四边形面积，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为， 则四边形面积， 要使得四边形面积的最小值，只需最小， 由圆心到直线的距离为， 所以四边形面积的最小值为. 故答案为：. 考点四、直线与圆、圆与圆的综合应用 1．已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【详解】（1）由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. （2）设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为. 2．已知圆：. (1)若直线过定点且与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，求的最小值. 【详解】（1）已知圆心，半径，                                 当直线斜率存在时，设直，即， 圆心到直线的距离为，解方程可得，    此时直线方程为，整理得. 当直线斜率不存在时，直线的方程为，满足题意.                                所以直线的方程为和. （2）直线的方程可化为点斜式，所以l过定点. 又点在圆C内，当直线l与直线垂直时，直线l被圆截得的弦最小. 因为，所以l的斜率， 所以l的方程为，即， 因为，， 此时 所以当时，的最小值为. 3．已知圆与相交于A、B两点， (1)求的长； (2)求圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程. 【详解】（1）两圆方程相减得即， 圆的圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，由垂径定理得. （2）由得或，不妨设，， 的垂直平分线为，由得圆心坐标为，半径长为， 所以圆的方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$