专题01 数轴在有理数中的五种常见应用-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（湘教版2024）

专题01 数轴在有理数中的五种常见应用 题型一：用数轴表示有理数 题型二：用数轴比较大小 题型三：求数轴上两点之间的距离 题型四：用数轴解决实际问题 题型五：数轴上的动点问题 题型一：用数轴表示有理数 指出如图中所表示的数轴上的A、B、C、D、E、F各点所表示的数． 解：由图可知，A点表示：；B点表示：4；C点表示：；D点表示：；E点表示：；F点表示7． 一．选择题（共3小题） 1．如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．如果在数轴上A点表示，那么在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是（　　） A． B．和 C．或 D． 3.数轴上表示数的点和表示数的点之间的整数点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二．解答题（共2小题） 4．已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示______的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示3的点与表示______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为10，（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 5．把下列各数：，，0，，1.5，． (1)分别在数轴上表示出来：    (2)将上述的有理数填入图中相应的圈内．    题型二：用数轴比较大小 在数轴上表示有理数：，并用“”将它们连接起来． 解：， 在数轴上表示，如图所示： ． 一．选择题（共6小题） 1．有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 2．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断，①；②；③；④；正确的个数是（    ） A． B． C． D． 6．已知是有理数，若在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，有结论：；；；，其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二．解答题（共2小题） 在数轴上把下列各数表示出来，并按从小到大顺序排列，，，，，． 9．有理数、在数轴上如图， (1)在数轴上表示、； (2)用、或填空：______，______，______，______ (3)试用连接，0，， 题型三：求数轴上两点之间的距离 如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C点表示的数． 【详解】设是点的对应点，由题意可知点是和的中点 当点在的右侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 当点在的左侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 故选：C． 一．选择题（共3小题） 1．如图，数轴上有A，B两个点，如果点C也在数轴上，且，那么点C所在的位置可能在（　　） A．点A左侧 B．点A和点B之间 C．点B右侧 D．无法确定 2．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移1个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．在数轴上，点表示的数是4，点表示的数是0，点表示的数是．定义：点在线段上，如果线段的长度有最大值，则称为点与线段的“闭距离”．例如：，当点与点重合时，．若，则的值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 二．解答题（共3小题） 4．阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为和3，则线段_______； (2)数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段_______； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为，求另一个点表示的数． 5．已知数轴上表示数的点与表示数的点之间得到距离为，表示数的点与表示数的点之间的距离为，求，两点之间的距离． 6．在数轴上，点表示的数为0，点表示的数为． 给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“闭距离”． 如图1，若，点表示的数为3，当点与点重合时，线段的长最大，值是4，则点与线段的“闭距离”为4． (1)如图2，在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为2． ①当时，点与线段的“闭距离”为___________； ②若点与线段的“闭距离”为3，求的值； (2)在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若线段上存在点，使得点与线段的“闭距离”为5，直接写出的最大值与最小值． 题型四：用数轴解决实际问题 六一到了，嘉嘉和同学要表演节目．嘉嘉骑车到同学家拿东西，再到学校，她从自己家出发，向东骑了2km到达淇淇家，继续向东骑了1.5km到达小敏家，然后又向西骑了4.5km到达学校．演出结束后又向东骑回到自己家． (1)以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出淇淇家，用点B表示出小敏家，用点C表示出学校的位置； (2)求淇淇家与学校之间的距离； (3)如果嘉嘉骑车的速度是，那么嘉嘉骑车一共用了多长时间？ （1）解：根据题意得： ∵以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，且向东骑了2km到达淇淇家，继续向东骑了1.5km到达小敏家， 则； ∴淇淇家的位置对应的数为2，小敏家的位置对应的数为3.5，学校的位置对应的数为，如图所示： ； （2）解：依题意，． 答：淇淇家与学校之间的距离是3km． （3）解：依题意， 则， ∴． 答：嘉嘉骑车一共用了30min． 一．解答题（共4小题） 1．某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费10元，超过的部分按每千米1.8元收费．某出租车公司坐落于南北方向的智慧大道边，司机小王从公司出发，在智慧大道上连续接送4批客人，行驶路程记录如下（规定公司以北为正，公司以南为负，单位：）． 第1批 第2批 第3批 第4批 (1)送完第4批客人后，出租车在公司的__________边（填“南或北”），距离公司__________的位置； (2)在这个过程中司机小王共收到这四位乘客的车费多少元？ (3)若将上述实际问题用数轴表示，数轴的单位长度为，点分别表示这四批客人的下车地点，若点表示出租车此时正在之间某一位置时，点在数轴上表示为，求的值． 2．元旦放假时，小明一家三口一起乘小轿车去乡下探望爷爷、奶奶和外公、外婆．早上从家里出发，向东走了6千米到超市买东西，然后又向东走了1.5千米到爷爷家，中午从爷爷家出发向西走了12千米到外公家，晚上返回家里．    (1)若以家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请将超市、爷爷家和外公家的位置在下面数轴上分别用点A、B、C表示出来； (2)问超市A和外公家C相距多少千米？ 3．【教材呈现】下面是华师版七年级上册数学教材第38页的“第6题”内容． 6. 求出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离： （1）3与                （2）与 （3）与                （4）与     你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗？ 【阅读材料】下面是聪聪同学在完成第38页的“第6题”内容后，写的一篇数学日记，其中一部分不小心被墨迹所覆盖． 9月20日  星期三   晴 我发现，数轴上，若A，B两点分别表示数，，那么A，B两点之间的距离与，两数有如下关系：． 我认识到，数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题． 我自编了如下这个问题： 如图，数轴上的点，分别表示有理数，． ①求，两点之间的距离． ②点为数轴上一点，且点到，两点的距离相等，请你求出点 所表示的数． 【解答问题】请同学们阅读完日记之后： (1)帮聪聪同学把被墨迹覆盖的部分补充完成： ； (2)回答聪聪同学自编的两个问题． 4．如图，相距的A、B两地间有一条笔直的马路，C地位于A、B两地之间且距A地，小明同学骑自行车从A地出发沿马路以每小时的速度向B地匀速运动，当到达B地后立即以原来的速度返回，到达A地时停止运动，设运动时间为t（小时），小明的位置为点P．    (1)以点C为坐标原点，以从A到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，指出点A所表示的有理数； (2)在（1）的数轴上，求时点P表示的有理数； (3)当小明距离C地1km时，直接写出所有满足条件的t值 题型五：数轴上的动点问题 阅读下面的材料：如图，若线段在数轴上，，点表示的数分别为， ，则线段的长（点到点的距离）可表示为，    请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点，用个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出，，三点的位置，并直接写出线段的长度； (2)若数轴上有一点，且，则点表示的数是什么？ (3)若将点向右移动，请用代数式表示移动后的点表示的数？ (4)若点以每秒的速度向左移动至点，同时点、点分别以每秒和的速度向右移动至点、点，设移动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而变化？请说明理由． 详解：（1）如图，   ； （2）设表示的数为， ∵， ∴， 解得：或， ∴点表示的数为或； （3）将点向右移动，则移动后的点表示的数为； （4）的值不会随着的变化而变化，理由如下： 根据题意得：， ， ∴， ∴的值不会随着的变化而变化． 一．选择题（共3小题） 1．如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 3．在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数 ，，将点向右平移个单位长度，得到点．若点到、两个点的距离相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 二．解答题（共4小题） 4．如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是，，，回答下列问题：    (1)将点向右移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (2)将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (3)移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等吗，你有几种移动方法，请写出来． 5．如图，数轴上A、B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A、B分别到达M、N两点，且满足（k为正整数），我们称A、B两点完成了一次“准相向运动”． (1)A、B两点之间的距离为 (2)若A、B两点完成了一次“准相向运动”． ①当时，M、N两点表示的数分别为 ， ； ②当k为任意正整数时，求M、N两点表示的数（用含字母k的式子表示）． 6．如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离． 7．已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数轴在有理数中的五种常见应用 题型一：用数轴表示有理数 题型二：用数轴比较大小 题型三：求数轴上两点之间的距离 题型四：用数轴解决实际问题 题型五：数轴上的动点问题 题型一：用数轴表示有理数 指出如图中所表示的数轴上的A、B、C、D、E、F各点所表示的数． 解：由图可知，A点表示：；B点表示：4；C点表示：；D点表示：；E点表示：；F点表示7． 一．选择题（共3小题） 1．如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：点表示的数是，点距离点有4个单位， 点表示的数是， 故选：C． 2．如果在数轴上A点表示，那么在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是（　　） A． B．和 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题综合考查了数轴上两点之间的路线，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 在数轴上表示出A点，找到与点A距离2个长度单位的点所表示的数即可．此类题注意两种情况：要求的点可以在已知点的左侧或右侧． 【详解】如图所示， ∴在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是和． 故选B． 3.数轴上表示数的点和表示数的点之间的整数点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了用数轴上的点表示数，根据题意得到和之间的整数有，0，1，2，3共5个，据此即可求解． 【详解】解：和之间的整数有：，0，1，2，3， 共5个， 数轴上表示数的点和表示数的点之间的整数点个数为5． 故选：C 二．解答题（共2小题） 4．已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示______的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示3的点与表示______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为10，（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 【答案】(1) (2)①；②，4 【分析】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到对称中心是解决问题的关键． （1）根据对称的知识，表示的点与表示2的点重合，则对称中心是原点，从而找到1的对称点； （2）由题意可确定对称点是表示的点，则： ①表示3的点与对称点距离为4，与左侧与对称点距离为4的点重合； ②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为5，据此求解 【详解】（1）解：根据题意得对折点是， 则1表示的点与数表示的点重合． 故答案为：； （2）解：①根据题意得对折点是， ∴和表示3的点重合的， ② 故点表示的数是， 点表示的数是． 5．把下列各数：，，0，，1.5，． (1)分别在数轴上表示出来：    (2)将上述的有理数填入图中相应的圈内．    【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了数轴和有理数的分类： （1）在数轴上描出各点即可； （2）根据有理数的分类即可求解． 【详解】（1）解：， 如图所示：    （2）解：如图，    题型二：用数轴比较大小 在数轴上表示有理数：，并用“”将它们连接起来． 解：， 在数轴上表示，如图所示： ． 一．选择题（共6小题） 1．有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴判断有理数的大小，根据点在数轴上的位置，以及数轴上的数右边比左边的大，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：； 故选C． 2．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴与有理数大小的比较，正确理解数轴与有理数大小的比较的方法是解题的关键．在数轴上标出有理数a的相反数所表示的点，再根据“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，即可判断答案． 【详解】在数轴上标出有理数a的相反数所表示的点，则a，，b按照从小到大的顺序排列为． 故选：A． 3．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是观察各点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小． 根据数轴上点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小即可得到答案． 【详解】解：由图可得：，且， ∴A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 根据图示，可得，，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据图示，可得，， ，， ，， ， 选项A不符合题意； ，， ， ， 选项B符合题意； ，， ，， ， 选项C不符合题意； ， ， ， ， 选项D不符合题意． 故选：B． 5．已知，，三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断，①；②；③；④；正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查学生数轴上的点的位置和数的关系，以及有理数大小比较，先根据在数轴上，右边的数总比左边的数大，得出，再由相反数、绝对值的定义以及有理数的加减法法则即可作出判断．解题关键是熟练掌握：正数大于，负数小于；负数的绝对值越大，这个数越小． 【详解】解：①由数轴上右边表示的数总大于左边表示的数， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴， ∴，故结论②错误； ③∵，，， ∴，故结论③错误； ④∵， ∴，故结论④正确， ∴正确的个数是个． 故选：B． 6．已知是有理数，若在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，有结论：；；；，其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了数轴及有理数的运算，根据，在数轴的位置，确定的符号及与的绝对值大小，再结合各项结论逐一进行判断即可得到答案，掌握数形结合分析问题是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， ∵， ∴，且， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 即，故正确； ∵，，且， ∴，故正确； ∴正确的个数有个， 故选：． 二．解答题（共2小题） 在数轴上把下列各数表示出来，并按从小到大顺序排列，，，，，． 【答案】数轴表示见解析，． 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，先化简各数，再把它们在数轴上表示出来，由数轴即可比较出大小，在数轴上正确表示出各数是解题的关键． 【详解】解：，，， 各数在数轴上表示如下： 由数轴可得，． 9．有理数、在数轴上如图， (1)在数轴上表示、； (2)用、或填空：______，______，______，______ (3)试用连接，0，， 【答案】(1)见解析 (2)，，， (3) 【分析】本题考查了绝对值的性质，利用数轴判断式子的正负，有理数大小比较，掌握有理数大小比较方法，相反数的意义，数形结合的思想是解决本题的关键． （1）根据相反数的几何意义在数轴上表示出、； （2）根据数轴得到，再利用绝对值的意义可得结论； （3）根据数轴得到，，，再判断式子的正负和大小． 【详解】（1）解：与a，与b都是关于原点对称的， 与在数轴上的位置如下图： （2）由图可知：， ，，，， 故答案为：，，，； （3），，， ，， ，， ． 题型三：求数轴上两点之间的距离 如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C点表示的数． 【详解】设是点的对应点，由题意可知点是和的中点 当点在的右侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 当点在的左侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 故选：C． 一．选择题（共3小题） 1．如图，数轴上有A，B两个点，如果点C也在数轴上，且，那么点C所在的位置可能在（　　） A．点A左侧 B．点A和点B之间 C．点B右侧 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴的有关知识，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式．根据数轴，判断A，B两点表示的数，求出，从而确定点C的位置． 【详解】解：由数轴可知：点A表示的数为，点B表示的数为1， ∴， ∵， ∴点C一定在点A和点B之间， 故选：B． 2．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移1个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含a的式子表示出点C是解决本题的关键． 先用含a的式子表示出点C，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意知：A点表示的数为a，B点表示的数为3，C点表示的数为， ， ， 解得或4， ， ， 故选：A． 3．在数轴上，点表示的数是4，点表示的数是0，点表示的数是．定义：点在线段上，如果线段的长度有最大值，则称为点与线段的“闭距离”．例如：，当点与点重合时，．若，则的值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点的距离；当点与点重合时，取得最大值． 【详解】解：若，则当点与点重合时，取得最大值， 故选：D． 二．解答题（共3小题） 4．阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为和3，则线段_______； (2)数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段_______； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为，求另一个点表示的数． 【答案】(1)7 (2)4 (3)另一个点表示的数为2或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （3）分两种情况讨论，当另一个点在右侧或当另一个点在左侧，再根据数轴上两点间的距离求解即可． 【详解】（1）数轴上点M、N代表的数分别为和3，则线段， 故答案为：7； （2）数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段， 故答案为：4； （3）由题可得：①当另一个点在右侧时，； ②当另一个点在左侧时，， 综上，另一个点表示的数为2或． 5．已知数轴上表示数的点与表示数的点之间得到距离为，表示数的点与表示数的点之间的距离为，求，两点之间的距离． 【答案】之间的距离为或或 【分析】本题考查了数轴上两点距离；根据题意求出与的值，即可确定出，两点之间的距离． 【详解】解：根据题意得：或，或， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． 综上所述，之间的距离为或或． 6．在数轴上，点表示的数为0，点表示的数为． 给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“闭距离”． 如图1，若，点表示的数为3，当点与点重合时，线段的长最大，值是4，则点与线段的“闭距离”为4． (1)如图2，在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为2． ①当时，点与线段的“闭距离”为___________； ②若点与线段的“闭距离”为3，求的值； (2)在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若线段上存在点，使得点与线段的“闭距离”为5，直接写出的最大值与最小值． 【答案】(1)①2；②或5 (2)m的最大值为4，最小值为 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴知识． （1）①认真读懂题意，按照“闭距离”的定义计算；②读懂题意，已知“闭距离”的值，求出m的取值； （2）按照m的正负值分情况讨论，计算出最大值、最小值． 【详解】（1）解：①根据题意可知，时，A到的最大值为的长， ∵， ∴点A与线段的“闭距离”为2， 故答案为：2； ②∵B点到的“闭距离”为3， ∴当时，， 当时，， ∴m的值为或5； （2）解：∵点C表示的数为，点D表示的数为，在线段上存在点G，使得点G与线段的“闭距离”为5， ∴当时，可得不等式组， ， 解得：， 当时，可得不等式组， ， 解得： 综上所述，或 ∴m的最大值为4，最小值为． 题型四：用数轴解决实际问题 六一到了，嘉嘉和同学要表演节目．嘉嘉骑车到同学家拿东西，再到学校，她从自己家出发，向东骑了2km到达淇淇家，继续向东骑了1.5km到达小敏家，然后又向西骑了4.5km到达学校．演出结束后又向东骑回到自己家． (1)以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出淇淇家，用点B表示出小敏家，用点C表示出学校的位置； (2)求淇淇家与学校之间的距离； (3)如果嘉嘉骑车的速度是，那么嘉嘉骑车一共用了多长时间？ （1）解：根据题意得： ∵以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，且向东骑了2km到达淇淇家，继续向东骑了1.5km到达小敏家， 则； ∴淇淇家的位置对应的数为2，小敏家的位置对应的数为3.5，学校的位置对应的数为，如图所示： ； （2）解：依题意，． 答：淇淇家与学校之间的距离是3km． （3）解：依题意， 则， ∴． 答：嘉嘉骑车一共用了30min． 一．解答题（共4小题） 1．某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费10元，超过的部分按每千米1.8元收费．某出租车公司坐落于南北方向的智慧大道边，司机小王从公司出发，在智慧大道上连续接送4批客人，行驶路程记录如下（规定公司以北为正，公司以南为负，单位：）． 第1批 第2批 第3批 第4批 (1)送完第4批客人后，出租车在公司的__________边（填“南或北”），距离公司__________的位置； (2)在这个过程中司机小王共收到这四位乘客的车费多少元？ (3)若将上述实际问题用数轴表示，数轴的单位长度为，点分别表示这四批客人的下车地点，若点表示出租车此时正在之间某一位置时，点在数轴上表示为，求的值． 【答案】(1)南； (2)元 (3) 【分析】（1）根据表格中的数据进行计算即可； （2）根据表格中的数据，一批一批计算即可； （3）根据题意，求出的取值范围进行解答． 【详解】（1）解： ， 故出租车在公司的南边，距离公司的位置； （2）解：由题意，由于不超过收费10元，超过的部分按每千米1.8元收费 第一批客人：元 第二批客人：，为元 第三批客人：元 第四批客人： 故共收到元． （3）解：点位置如图：    点表示出租车此时正在之间某一位置时 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，正数和负数，数轴以及化简绝对值，明确题意，熟练掌握有理数的混合运算，正数和负数，数轴以及化简绝对值是解题的关键． 2．元旦放假时，小明一家三口一起乘小轿车去乡下探望爷爷、奶奶和外公、外婆．早上从家里出发，向东走了6千米到超市买东西，然后又向东走了1.5千米到爷爷家，中午从爷爷家出发向西走了12千米到外公家，晚上返回家里．    (1)若以家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请将超市、爷爷家和外公家的位置在下面数轴上分别用点A、B、C表示出来； (2)问超市A和外公家C相距多少千米？ 【答案】(1)图见解析 (2)千米 【分析】本题考查用数轴表示有理数，数轴上两点间的距离． （1）根据向东为正，得到点表示的数为6，点表示的数为，点表示的数为，在数轴上表示即可； （2）根据两点间的距离公式，进行求解即可． 掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得：点表示的数为6，点表示的数为，点表示的数为，数轴上表示如图：    （2）由图可知：超市A和外公家C相距（千米）． 3．【教材呈现】下面是华师版七年级上册数学教材第38页的“第6题”内容． 6. 求出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离： （1）3与                （2）与 （3）与                （4）与     你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗？ 【阅读材料】下面是聪聪同学在完成第38页的“第6题”内容后，写的一篇数学日记，其中一部分不小心被墨迹所覆盖． 9月20日  星期三   晴 我发现，数轴上，若A，B两点分别表示数，，那么A，B两点之间的距离与，两数有如下关系：． 我认识到，数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题． 我自编了如下这个问题： 如图，数轴上的点，分别表示有理数，． ①求，两点之间的距离． ②点为数轴上一点，且点到，两点的距离相等，请你求出点 所表示的数． 【解答问题】请同学们阅读完日记之后： (1)帮聪聪同学把被墨迹覆盖的部分补充完成： ； (2)回答聪聪同学自编的两个问题． 【答案】(1) (2)①；②点C所表示的数为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离； （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）①利用数轴上两点之间的距离公式即可求解； ②由①得：，根据点到，两点的距离相等，得，进而可求解． 【详解】（1）解：依题意得： ， 故答案为：． （2）①∵点A，B分别表示有理数3，， ； ②设C所表示的数为c． ∵点C到A，B两点的距离相等，， ， ， ， 即：点C所表示的数为． 4．如图，相距的A、B两地间有一条笔直的马路，C地位于A、B两地之间且距A地，小明同学骑自行车从A地出发沿马路以每小时的速度向B地匀速运动，当到达B地后立即以原来的速度返回，到达A地时停止运动，设运动时间为t（小时），小明的位置为点P．    (1)以点C为坐标原点，以从A到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，指出点A所表示的有理数； (2)在（1）的数轴上，求时点P表示的有理数； (3)当小明距离C地1km时，直接写出所有满足条件的t值 【答案】(1) (2) (3)的值是或或或 【分析】（1）根据千米，且一个单位长度表示，点为坐标原点，从到为正方向，即可得到答案； （2）根据速度时间路程，计算出小时行走的路程，再减去2即可得到答案； （3）分四种情况：从到，当小明在点的左边时；从到，当小明在C点的右边时；返回时小明在C点的右边；返回时小明在点的左边，分别进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 千米，且一个单位长度表示，点为坐标原点，从到为正方向， 点所表示的有理数是； （2）解： ， 时，点所表示的有理数是； （3）解：从到，当小明在点的左边时，， 从到，当小明在C点的右边时，， 之间的距离是，点所表示的有理数是， 点表示的数为， 当返回时小明在C点的右边时，， 当返回时小明在点的左边时，， 综上所述，当小明距离地时，的值是或或或． 【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握行程问题中速度、时间和路程的关系是解此题的关键． 题型五：数轴上的动点问题 阅读下面的材料：如图，若线段在数轴上，，点表示的数分别为， ，则线段的长（点到点的距离）可表示为，    请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点，用个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出，，三点的位置，并直接写出线段的长度； (2)若数轴上有一点，且，则点表示的数是什么？ (3)若将点向右移动，请用代数式表示移动后的点表示的数？ (4)若点以每秒的速度向左移动至点，同时点、点分别以每秒和的速度向右移动至点、点，设移动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而变化？请说明理由． 详解：（1）如图，   ； （2）设表示的数为， ∵， ∴， 解得：或， ∴点表示的数为或； （3）将点向右移动，则移动后的点表示的数为； （4）的值不会随着的变化而变化，理由如下： 根据题意得：， ， ∴， ∴的值不会随着的变化而变化． 一．选择题（共3小题） 1．如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解． 【详解】解：已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且， 对应的数为：；故①是正确的； ，故②是正确的； 当时，，，故③是错误的； 在点的运动过程中，，故④是错误的； 故选：B． 2．数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的单动点问题，解决本题的关键要确定运动的路程和运动方向． 【详解】解：点以每秒个单位长度的速度运动， 点运动秒后的路程：， 又点向右运动， 点运动秒后表示的数为， 故选：C． 3．在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数 ，，将点向右平移个单位长度，得到点．若点到、两个点的距离相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了数轴上点的移动，由题意得点表示数为，点表示数为，点表示数为，熟知数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得点表示的数为， ∵点到、两个点的距离相等， ∴， 解得：， 故选：． 二．解答题（共4小题） 4．如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是，，，回答下列问题：    (1)将点向右移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (2)将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (3)移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等吗，你有几种移动方法，请写出来． 【答案】(1)1； (2)； (3)能，移动方法共有种：方案一：将点向右移动个单位，点向右移动个单位，此时三个点表示的数均为；方案二：将点向右移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为；方案三：将点向左移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为． 【分析】 本题考查数轴的简单应用，理解点在数轴上的移动规律与点对应的数相应的变化是解题的关键． （1）由数轴上的点的移动规律即可求解． （2）由数轴上的点的移动规律即可求解． （3）由数轴上的点的移动规律并分类讨论即可求解． 【详解】（1） 因为点表示的数是，所以将点向右移动个单位长度后，此时点所表示的数是； （2） 因为点表示的数是，所以将点向左移动个单位长度后，此时点所表示的数是； （3） 一共有种移动方法能使移动，，三个点中的任意两个点之后，三个点表示的数相等，且三种方案如下所述： 方案一：将点向右移动个单位，点向右移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 方案二：将点向右移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 方案三：将点向左移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 综上所述：移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等，且符合题意的移动方法共有种． 5．如图，数轴上A、B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A、B分别到达M、N两点，且满足（k为正整数），我们称A、B两点完成了一次“准相向运动”． (1)A、B两点之间的距离为 (2)若A、B两点完成了一次“准相向运动”． ①当时，M、N两点表示的数分别为 ， ； ②当k为任意正整数时，求M、N两点表示的数（用含字母k的式子表示）． 【答案】(1)4； (2)①5，；②，． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，数轴上的点表示有理数，根据题意得出是解题关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）①由题意可知，，再根据两点间距离公式，得出，即可得出答案； ②同①理可得，，进而得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：A、B两点表示的数分别是和3， 之间的距离为， 故答案为：4； （2）解：① 当时，， 两点在数轴上以相同的速度同时相向运动， ， ，， ， ， 表示的数为，N表示的数为， 故答案为：5；； ②同①理可得，， ， ， M点表示的数为，N点表示的数为． 6．如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离． 【答案】(1)点B所对应的数是； (2)A，B两点间距离是； 【分析】（1）本题考查数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值； （2）本题考查数轴上动点及两点间距离，根据动点表示出数字，结合距离公式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵A在数轴上所对应的数为，点B在点A右边距A点6个单位长度， ∴点B所对应的数为：， ∴点B所对应的数是； （2）解：∵点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点A运动到， ∴， ∵点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动， ∴点B运动到：， ∴A，B两点间距离为：． 7．已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)，，； (3)； (4)，，，． 【分析】（）根据题意求得时，点的位置，进而求得两点距离； （）先表示出点的位置表示的数，进而求得两点距离； （）根据题意，列一元一次方程，解方程求解即可； （）分点到达点之前，和点到达点之后，两种情形，根据两点距离为，建立一元一次方程解方程求解即可； 此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点距离问题，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）∵、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒， ∴时，点表示的数为， ∴当点运动秒时，，，， 故答案为：，，； （2）依题意，当点运动了秒时， 则，点表示的数为， ∴，， 故答案为：，，； （3）∵， ∴， 即或， 解得：， ∴点表示的数为； （4）根据题意，设经过秒后、两点之间的距离为个单位长度，点运动到点需要的时间为：（秒） 当点未到达点，    此时，，则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得：或， ∴点表示的数为或； 当点从点返回后，    此时，， 则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得或， ∴点表示的数为或， 综上所述，点表示的数为，，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 $$