2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 讲义-2024-2025学年高一数学暑假预习（人教A版2019必修第一册）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点一 解无参的一元二次方程 【解题思路】解一元二次不等式的一般步骤 (1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中． (4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集． 【例1】（24-25高一上·上海·假期作业）解下列不等式： (1)；(2)；(3).(4)；(5)； (6)；(7)． 【变式】 （23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）解下列一元二次不等式： (1)；(2)．(3)；(4)；(5)；(6)． (7)；(8).(9)(10) 知识点二 已知一元二次不等式的解求参数 【解题思路】已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号． (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 【例2】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式】 1．（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．的解集为 3．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 知识点三 分式不等式与绝对值不等式 【解题思路】 1.绝对值不等式 2.分式不等式 【例3-1】（24-25高一上·上海·假期作业）求下列不等式的解集. (1)(2)(3)(4) 【例3-2】（2025湖北）解下列关于x的不等式： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 【变式】 1（2023湖南）解下列不等式 （1）； （2）.（3）； （4）.（5） 2.（2023北京）解下列不等式： （1）； （2） （3）. （4）； （5）； （6）． 3．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）解不等式；（2）；（3）. 知识点四 实际应用题 【例4】（23-24高一上·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 【变式】 1．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 2．（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？ 3．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米．    (1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内； (2)要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？ 重难点一 一元二次函数的单调性求参 【例5-1】（23-24高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（23-24 陕西渭南·阶段练习）若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高一上·浙江·单元测试）设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2 ．（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）若函数 在区间 上是单调函数，则实数 的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 重难点二 解含参数的一元二次不等式 【解题思路】解含参数的一元二次不等式的步骤 （1） 二次项系数的讨论：二项式系数若含有参数，应讨论等于0、小于0、大于0. （2） 判断方程根的个数：判断根的个数，利用判别式与0的关系、 （3） 写出解集：无根时直接写解集；确定有两个根时，要讨论两根的大小关系，两根的大小关系有等于、大于、小于 【例6】（2025广东潮州）解下列关于的不等式 (1)；(2)；(3)；(4). 【变式】 （2023-2024江苏）解关于实数的不等式 (1) ；(2)；(3).(4)；(5) （6）（是常数）（7） 重难点三 一元二次不等式恒成立 【解题思路】一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值． 解不等式应用题的步骤 【例7-1】（2024高一广西）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例7-3】（23-24高一上·全国·期末）“，为真命题”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例7-4】（23-24高二下·重庆·期末）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏徐州·期末）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（23-24高一下·湖南·期中）设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 5．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 1． 单选题 1．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于的不等式的解集为，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24 山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）函数在区间上严格增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·陕西宝鸡·阶段练习）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2023春·福建泉州）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．或 6．（2023·全国·高一专题练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高一上·重庆沙坪坝·期末）关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数在上是单调函数，则的值可能为（    ） A． B．2 C．3 D．4 10．（23-24高二下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（    ） A． B．1 C．2 D．3 3． 填空题 12．（23-24高二下·福建福州·期中）已知，若关于的不等式的解集中恰有3个整数解，则的取值范围是 ． 13．（23-24·北京朝阳·期中）已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 . 14．（2024天津南开）已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 4． 解答题 15．（2024高一北京）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 16．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 17．（22-23高一上·天津·期末）已知函数 (1)若的解集为，求实数的值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求关于的不等式的解集. 18．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若，的解集为，求最小值. 19．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数，， (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点一 解无参的一元二次方程 【解题思路】解一元二次不等式的一般步骤 (1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中． (4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集． 【例1】（24-25高一上·上海·假期作业）解下列不等式： (1)；(2)；(3).(4)；(5)； (6)；(7)． 【答案】(1)或(2)(3)(4)或(5)(6) (7) 【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为，可化为：， 方程的根为， 不等式的解集为（或写为）. （2）原不等式可化为， 此不等式对应的一元二次方程的根的判别式， 原不等式的解集为. （3）原不等式对应的一元二次方程的根的判别式， 原不等式的解集为. （4）解：由可得，解得或，故原不等式的解集为或. （5）解：由可得，即，解得，故原不等式的解集为. （6）解：由可得，解得或，故原不等式的解集为. （7）解：由可得，，故原不等式的解集为. 【变式】 （23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）解下列一元二次不等式： (1)；(2)．(3)；(4)；(5)；(6)． (7)；(8).(9)(10) 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) (8)(9)；(10)； 【解析】（1）由，得，即，所以， 所以不等式得解集为； （2）由，得，无解，所以不等式的解集为. （3），所以，故不等式的解集为； （4），所以，故不等式的解集为； （5）因为的判别式，故原不等式的解集为； （6），所以或，故不等式的解集为. （7）可化为，解得或， 所以解集为. （8）可化为，解得， 所以解集为. （9）由，则或，所以或，故不等式解集为. （10）由，可得，所以不等式解集为. 知识点二 已知一元二次不等式的解求参数 【解题思路】已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号． (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 【例2】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【变式】 1．（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为，即，解得， 所以不等式的解集是． 故选：A 2．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．的解集为 【答案】D 【解析】根据题意,可以知道,的两根为. 由根与系数的关系得到： . 因为开口向下,则,故A正确. ,故B正确. 且,对称轴为,,故C正确. ,两边同时除以, 得到,解得,故D错误. 故选:D. 3．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式的解集为，则是方程的两个根，且， 于是，解得，则不等式为， 解得或，所以不等式的解集为或. 故选：D 知识点三 分式不等式与绝对值不等式 【解题思路】 1.绝对值不等式 2.分式不等式 【例3-1】（24-25高一上·上海·假期作业）求下列不等式的解集. (1)(2)(3)(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1），则，解得，所以解集为. （2）因为，所以，即， 解出或， 或，即，无实数解， 综上，解集为. （3），，， 两边平方得到：， 即，解得或， ，所以解集为：. （4），，即， 解得，故解集为. 【例3-2】（2025湖北）解下列关于x的不等式： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【解析】（1）由题得 由可得：或，又， 则得或，即不等式的解集为. （2）由，得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. （3）当，即时，，得，此时，， 当，即时，，得，此时，， 综上所述，，即不等式的解集为. （4）原不等式可化为或， 即或． 由图可知，原不等式的解集为或． （5）原不等式可化为，即， 即或，即或． 由图可知，原不等式的解集为或. （6）对于，变形为，即，与同解， ，即. 【变式】 1（2023湖南）解下列不等式 （1）； （2）.（3）； （4）.（5） 【答案】（1）（2）（3）；（4）（5） 【解析】（1），，即， 不等式的解集是. （2），或， 或.原不等式的解集为. （3）原不等式可化为.解不等式，得. （4）原不等式可化为.两边平方，得. 解不等式组，得. （5）∵，∴，即，解得：或， 即不等式的解为. 2.（2023北京）解下列不等式： （1）； （2） （3）. （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）（3）或. （4）（5）（6） 【解析】（1）等价于，解得， ∴原不等式的解集为. （2）由题意，不等式可转化为或，解得或，所以不等式的解集为. （3）∵，∴，∴，即. 此不等式等价于且x－≠0，解得或， ∴原不等式的解集为或. （4）移项、通分，，此不等式与不等式组的解集相同．解不等式组，得． （5）将原不等式转化为同解的整式不等式，即，所以原不等式解集为． （6）移项、通分，得．转化为整式不等式组或．解不等式组，得或．∴不等式的解集为 3．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）解不等式；（2）；（3）. 【答案】（1）；（2） ；（3） 【解析】（1），即， 令，有或或，则该不等式的解集为； （2），即， 令，有或或，又恒成立，故该不等式的解集为； （3），即，由，故， 对： 令，有或或， 又恒成立，故有， 故该不等式的解集为. 知识点四 实际应用题 【例4】（23-24高一上·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 【答案】(1)40 (2)102万平方米，30欧元/平方米 【解析】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 由题知，即，解得， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. （2）由题意得，整理得， 两边同除以得， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，故该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到102万平方米时，才可能使 年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和，此时的售价为欧元/平方米. 【变式】 1．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)40元； (2)至少应达到10.2万件，每件定价30元. 【解析】（1）设每件定价为t元，依题意得， 则，解得， 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元 （2）依题意，时，不等式有解 ， 等价于时，有解， 因为（当且仅当时等号成立）， 所以，此时该商品的每件定价为30元， 当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 2．（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？ 【答案】花卉的宽度至少为 【解析】设花卉带的宽度为，则，可得， 所以，草坪的长为，宽为， 则草坪的面积为， 因为草坪的面积不超过总面积的一半，则， 整理可得，解得，又因为，可得. 所以，花卉的宽度至少为. 3．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米．    (1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内； (2)要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？ 【答案】(1) (2)米时，用料最省． 【解析】（1）解：由，可得，则，则， 花坛AMPN面积等于， 由题意，可得，即， 解得或，所以AN的长应在范围内. （2）解：根据题以，可得扩建部分面积， 令，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，即米时，用料最省．    重难点一 一元二次函数的单调性求参 【例5-1】（23-24高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在区间上单调递减，所以，解得.故选：D 【例5-2】（23-24 陕西渭南·阶段练习）若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为二次函数在上为减函数， 所以的取值范围为，故选：D 【变式】 1．（23-24高一上·浙江·单元测试）设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的对称轴方程为：， 因为函数在区间上是减函数， 所以，解得， 故选：B 2 ．（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数开口向上，对称轴为， 若函数在区间上是增函数， 则，所以，故实数的取值范围是； 故选：A． 3．（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，满足在上为减函数； 当时，为二次函数， 要满足在区间上为减函数，则，解得. 综上，a的取值范围是. 故选：B. 4．（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）若函数 在区间 上是单调函数，则实数 的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于 在区间 上是单调函数，所以 当时，在区间 上是单调递增，则 ，解得， 当时，在区间 上是单调递减，则 ，解得， 综上故选：B 重难点二 解含参数的一元二次不等式 【解题思路】解含参数的一元二次不等式的步骤 （1） 二次项系数的讨论：二项式系数若含有参数，应讨论等于0、小于0、大于0. （2） 判断方程根的个数：判断根的个数，利用判别式与0的关系、 （3） 写出解集：无根时直接写解集；确定有两个根时，要讨论两根的大小关系，两根的大小关系有等于、大于、小于 【例6】（2025广东潮州）解下列关于的不等式 (1)；(2)；(3)；(4). 【答案】答案见解析 【解析】（1）由，可得或，则： 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； （2）由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. （3）由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为； 时，解集为； 时，解集为． （4）①当时，；∴. ②当时，由得或， （i）当即时，， （ⅱ）当即时，， （ⅲ）当即时，， 综上，当时，所求不等式的解集为. 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为. 【变式】 （2023-2024江苏）解关于实数的不等式 (1) ；(2)；(3).(4)；(5) （6）（是常数）（7） 【答案】答案见解析 【解析】（1）易知方程的， 由得，解得， 当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为． （2）不等式可化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式化为，其解集为； 当时，不等式化为， （ⅰ）当，即时，不等式的解集为； （ⅱ）当，即时，不等式的解集为； （ⅲ）当，即时，不等式的解集为. （3）对方程 ， 当时，即时不等式的解集为； 当时，即或时的根为，， 不等式的解集为； 综上，时不等式的解集为，或时不等式的解集为. （4）由可得， 当时，不等式的解为或； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为或 （5）由可得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （6）由，解得，或.故分以下情况讨论不等式的解集： ①当时，不等式为，无解； ②当时，不等式为，无解； ③当，即，或时， （i）当时，不等式可化为，解得，或； （ii）当时，不等式可化为，解得； ④当，即时， 不等式可化为，解得； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当，或，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （7）原不等式可化为， 当时，原不等式为，故原不等式的解集为， 当时，， 当时，则，原不等式的解集为或， 当时，则，原不等式的解集为或， 综上，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或 重难点三 一元二次不等式恒成立 【解题思路】一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值． 解不等式应用题的步骤 【例7-1】（2024高一广西）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，不等式在R上有解，∴，解得， ∴实数m的取值范围是.故选：A. 【例7-2】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 【例7-3】（23-24高一上·全国·期末）“，为真命题”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若“，为真命题”， 则，对恒成立，则，解得， 显然可以推出，但不可以推出， 则“，为真命题”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 【例7-4】（23-24高二下·重庆·期末）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于“，”为假命题， 故其否定为“，”为真命题，则，得， 故选：D 【变式】 1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意命题“，使”是真命题，所以， 当且仅当，有，所以实数m的取值范围是. 故选：C. 2．（23-24高一上·江苏徐州·期末）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 因此有，所以实数的最小值为， 故选：C 3．（23-24高一下·湖南·期中）设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由命题p为真命题，得，解得，显然， 所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】的解集为, 即恒成立， 当时，即，不符合题意， 当时，则’解得 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B 5．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】当时，，，不满足题意； 当时，,所以， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 1． 单选题 1．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于的不等式的解集为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 所以，解得， 所以. 故选：C. 2．（23-24 山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，得， 即，∴， 解得.又每枚的最低售价为15元，∴. 故选：B. 3．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）函数在区间上严格增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意知， 函数的图象对称轴为，开口向上， 因为函数在区间上严格增， 所以，解得. 故选：C. 4．（22-23高一上·陕西宝鸡·阶段练习）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若函数在区间上单调递增， 则，解得， 因为， 因此，“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件， 故选：B. 5．（2023春·福建泉州）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】因为不等式的解集为，所以应有， 解得.选择的必要不充分条件的范围，应该大于包含的范围，显然只有C项满足.故选：C. 6．（2023·全国·高一专题练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若关于的不等式有解,则，解得.故选：C. 7．（21-22高一上·重庆沙坪坝·期末）关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，， 则，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 故选：B. 8．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 2． 多选题 9．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数在上是单调函数，则的值可能为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】ABD 【解析】依题意可得的图象的对称轴为， 又函数在上是单调函数， 则或． 故选：ABD． 10．（23-24高二下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误； 对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3， 由韦达定理，，故，，即，故B正确； 对于C，由上分析可得，故C正确； 对于D，由上分析可得，故D正确. 故选：BCD. 11．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】AD 【解析】关于的不等式即， 即， 当时，即，解集为空集，不合题意； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故， 综合得的可能取值， 故选：AD 3． 填空题 12．（23-24高二下·福建福州·期中）已知，若关于的不等式的解集中恰有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于，， 则不等式的解为， 由于恰有3个解，其中，于是3个解为， 则要求，解出， 综上，． 故答案为： 13．（23-24·北京朝阳·期中）已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 . 【答案】4（答案不唯一） 【解析】不等式对任意正实数x恒成立， 即对任意正实数x恒成立， 当时，不等式，即，不符合对任意正实数x恒成立， 当时，令， 若对任意正实数x恒成立， 则，无解，或，解得. 所以的一个值可以是. 故答案为： 14．（2024天津南开）已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为当时，不等式恒成立，则， 原题意等价于当时，不等式恒成立， 又因为，当且仅当，即等号成立， 可得，所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 4． 解答题 15．（2024高一北京）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得 所以的取值范围是． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 16．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)4 (3)答案见解析 【解析】（1）由恒成立得：对一切实数x恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，，解得：； 综上所述：实数m的取值范围为． （2），， ， （当且仅当，即时取等号），的最小值为4． （3）由得：； ①当时，，解得：，即不等式解集为； ②当时，令，解得：，； 1）当，即时，不等式解集为； 2）当，即时，不等式解集为； 3）当，即时，不等式可化为， ，不等式解集为； 4）当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 17．（22-23高一上·天津·期末）已知函数 (1)若的解集为，求实数的值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)； (2)； (3)详见解析. 【解析】（1）因为的解集为， 所以且和3为方程的两根，所以， 解得； （2）对恒成立， ①当时，，符合题意； ②当时，，解得， 综上，实数a的取值范围是； （3）由，得， 即， 当时，，即， 当时，， 当时，，解得， 当时，， 解得，或， 当时，， 解得，或， 综上：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 ，或 当时，原不等式的解集为，或 18．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若，的解集为，求最小值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时，， 则，即， 解得或， 所以不等式的解集为； （2）因为的解集为， 所以方程的解为，且， 则， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以最小值为. 19．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数，， (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）当时，， 所以，所以，所以的解集为. （2）若对任意，都有成立，即在恒成立， 解法一：设，，对称轴，由题意，只须， ①当，即时，在上单调递增，所以，符合题意，所以； ②当，即时，在上单调递城，在单调递增， 所以，解得且， 所以. 综上，. 解法二：不等式可化为，即，设，， 由题意，只须，， 当且仅当即时等号成立，则， 所以，即. （3）若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足，， ，对称轴，在递减，在递增， ，，，对称轴， ①即时，在递增，恒成立； ②即时，在递减，在递增， ，，所以，故； ③即时，在递减，，， 所以，解得，综上：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$