2.1 等式性质与不等式性质 讲义-2024-2025学年高一数学暑假预习（人教A版2019必修第一册）

2.1 等式性质与不等式性质 知识点一 用不等式(组)表示不等关系 【解题思路】1.将不等关系表示成不等式(组)的解题思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 2.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 【例1-1】（22-23高一上·四川眉山·阶段练习）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 【例1-2】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 2．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 知识点二 作差法、作商法比较大小 【解题思路】作差法或作商法比较两个实数大小的解题思路 （1） 作差或作商 （2） 变形：采用配方、因式分解、通分、分子分母有理化等 （3） 定号：作差法-判断差值与0的大小；作商法-判断商与1的大小 （4） 结论：利用实数a、b大小比较的结果 【例2-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【例2-2】（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【变式】 1．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·假期作业）（1） ;    （2） ; （3） ;      （4） ,; （5） 3．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 知识点三 不等式的性质 【解题思路】利用不等式性质判断命题真假解题思路 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 【例3-1】（23-24高二下·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例3-2】．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式】 1．（2024高二上·福建·学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点四 不等式的性质求取值范围 【解题思路】利用不等式的性质求取值范围的解题思路 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． 【例4-1】（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（22-23高一上·河南·阶段练习）若，则下列各式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）（多选）已知，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·假期作业）如果，则 （1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 . 1． 单选题 1．（2023广西）如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024浙江杭州·阶段练习）已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 3．（24-25高一上·全国·假期作业）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2023云南）若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高一假期作业）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 6．（2024·新疆克拉玛依）如果，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2023·内蒙古呼和浩特）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（    ） A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱 8．（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则． 2． 多选题 9．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 10．（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·浙江·期中）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 3． 填空题 12．（2024高三·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为 ． 13．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知，则的取值范围是 . 14．（23-24高二下·天津河西·期末）给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若a，b是非零实数，且，则； ④若，则 4． 解答题 15．（23-24高一上·云南红河·期中）比较下列两式大小： (1)与 (2)与 （3）已知，试比较与的大小. （4）已知，试比较和的大小. 16．（22-23高一上·山东淄博·阶段练习）（1）如果，，求，，的取值范围. （2）已知，满足，，求的取值范围. （3）实数a，b满足，. ①求实数a，b的取值范围； ②求的取值范围. 17．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）现有四个长方体容器，的底面积均为，高分别为；的底面积均为，高分别为（其中）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定与大小的情况下有没有必胜的方案？若有，有几种？请加以证明. 18．（22-23高一·全国·课堂例题）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？ (1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 19．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数．使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值（直接写结果，无需推导）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 等式性质与不等式性质 知识点一 用不等式(组)表示不等关系 【解题思路】1.将不等关系表示成不等式(组)的解题思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 2.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 【例1-1】（22-23高一上·四川眉山·阶段练习）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为. 因为两段绳子长度之差不小于，所以， 化简得：. 故选：D 【例1-2】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即，故选：D． 【变式】 1．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【解析】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错. 故选：C 2．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得，，所以有.故选：B. 3．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【答案】C 【解析】设A、B货箱分别有x，y节，则， A：共50节且，，满足； B：共50节且，，满足； C：共50节且，，不满足； D：共50节且，，满足； 故选：C. 知识点二 作差法、作商法比较大小 【解题思路】作差法或作商法比较两个实数大小的解题思路 （1） 作差或作商 （2） 变形：采用配方、因式分解、通分、分子分母有理化等 （3） 定号：作差法-判断差值与0的大小；作商法-判断商与1的大小 （4） 结论：利用实数a、b大小比较的结果 【例2-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】因为，所以.故选：A. 【例2-2】（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【解析】∵，即.又，.故答案为：>. 【变式】 1．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 当且仅当时等号成立，故.故选：D 2．（24-25高一上·上海·假期作业）（1） ;    （2） ; （3） ;      （4） ,; （5） 【答案】 < < < > > 【解析】（1）因为,所以; （2）因为,所以; （3）因为,所以; （4）,因为,所以,则; （5）,因为,所以,则. 故答案为:（1）;（2）;（3）;（4）;（5）. 3．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①；②；③； 【解析】解：① ， 因为，所以，即；. ② ，. ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以，所以，所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以，所以.. 知识点三 不等式的性质 【解题思路】利用不等式性质判断命题真假解题思路 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 【例3-1】（23-24高二下·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A：当时，显然不成立，故A错误； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：B. 【例3-2】．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时，满足，但，故充分性不成立， 若，当时，必有成立，当时，必有，故必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件，故B正确. 故选：B 【变式】 1．（2024高二上·福建·学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当，时，满足，但是，故A错误； 对于B，当，时，满足，但是，故B错误； 对于C，当，时，满足，但是，故C错误； 对于D，因为，所以，即，故D正确. 故选：D 2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，D正确； 当时，满足，但是，A,C不正确； 当时，满足，但是，B不正确； 故选：D 3．（2024·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，或，则，即充分性成立； 当时，，则，即必要性成立； 综上可知，“”是“”的充要条件. 故选：C. 4．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即，故选项A正确； 当时，满足，但，此时，，故选项B，C错误； 当时，由可得，故选项D错误.故选:A． 知识点四 不等式的性质求取值范围 【解题思路】利用不等式的性质求取值范围的解题思路 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． 【例4-1】（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，，所以，故选：D 【例4-2】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则有，解得， 所以， 又因为，所以， 又因为，所以，即.故选：B. 【变式】 1．（22-23高一上·河南·阶段练习）若，则下列各式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，又，则.故选：D. 2．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，故， 即.故选：D 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）（多选）已知，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得，所以A正确； 对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以，所以C错误； 对于D中，由，可得，所以D错误. 故选：AB. 4．（24-25高一上·上海·假期作业）如果，则 （1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 . 【答案】 【解析】由①，②， 得：，, 由②得：③， 由①③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故答案为：，，， 1． 单选题 1．（2023广西）如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，根据面积公式可以得到.故选:C． 2．（2024浙江杭州·阶段练习）已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【解析】已知.则， 所以， ，因此，. 故选:C. 3．（24-25高一上·全国·假期作业）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，， 又，所以. 故选：D. 4．（2023云南）若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A：，又，知：，但无法确定符号，错误； B：，，故，正确； C：由，知，即，正确； D：由，有，正确； 故选：A 5．（2023·全国·高一假期作业）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A：当时，，A错误； 对于B：当时，，B错误； 对于C：取满足，，而，此时，C错误； 对于D：当时，则，所以，即，又，所以，D正确. 故选：D. 6．（2024·新疆克拉玛依）如果，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对A，取，则，故A错； 对B，取，则，故B错； 对C，取，则，故C错； 对D，由于，所以，，且，则， 则，故D正确； 故选：D. 7．（2023·内蒙古呼和浩特）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（    ） A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱 【答案】C 【解析】依题意可设买大竹子，每根单价为， 购买小竹子，每根单价为， 所以， 即，即， 因为， 所以， 根据选项，， 所以买大竹子根，每根元. 故选：C 8．（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则． 【答案】C 【解析】A选项，，故A错误； B选项，，因不清楚的正负情况，故B错误； C选项，当时，； 当时，， 当时，， 综上，故C正确； D选项，，故D错误.故选： 2． 多选题 9．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确； 故选：ACD. 10．（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，由和不等式性质可得，故A正确； 对于B，因，若取，，，， 则，，所以，故B错误； 对于C，因，若取，，，， 则，，所以，故C错误； 对于D，因为，则，又因则， 由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确． 故选：AD． 11．（23-24高一下·浙江·期中）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，因为，所以，故A符合题意； 对于B，因为，所以，所以，即，故B符合题意； 对于C，因为，所以，即，故C符合题意； 对于D，取，但有，故D不符合题意. 故选：ABC. 3． 填空题 12．（2024高三·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为 ． 【答案】a＜b 【解析】因为b－a＝2（x＋2）2－（x＋1）（x＋3）＝2x2＋8x＋8－（x2＋4x＋3）＝x2＋4x＋5＝（x＋2）2＋1＞0，所以a＜b. 13．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知，， ，，则，所以. 故答案为： 14．（23-24高二下·天津河西·期末）给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若a，b是非零实数，且，则； ④若，则 其中正确的命题是 ．（填对应序号即可） 【答案】③④ 【解析】对①，当时，结论错误，故①错误； 对②，当时，即，故结论错误； 对③，因为是非零实数，所以，所以即，故③成立； 对④因为，所以即；即，所以，故④正确. 故答案为：③④ 4． 解答题 15．（23-24高一上·云南红河·期中）比较下列两式大小： (1)与 (2)与 （3）已知，试比较与的大小. （4）已知，试比较和的大小. 【答案】(1) (2) （3） （4） 【解析】（1）解：由， 所以. （2）解：由， 所以． （3）由， 因为，，可得，所以. （4）（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 16．（22-23高一上·山东淄博·阶段练习）（1）如果，，求，，的取值范围. （2）已知，满足，，求的取值范围. （3）实数a，b满足，. ①求实数a，b的取值范围； ②求的取值范围. 【答案】（1），，；（2）（3）①② 【解析】（1）因为，， 所以，，， 所以，； （2）设，， 则，解得， 所以， 又，， 所以，则， 所以的取值范围是. （3）①∵，∴，. ②， 因为，所以， 又，所以， 所以. 17．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）现有四个长方体容器，的底面积均为，高分别为；的底面积均为，高分别为（其中）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定与大小的情况下有没有必胜的方案？若有，有几种？请加以证明. 【答案】有，只有1种，证明见详解 【解析】设A，，，的体积分别为，，，， 每人从四种容器中取两个容器有三种对应情况：， 因为， 因为，的大小关系不确定，故与大小无法确定， 故不管先取者取，还是，都不能确保胜利； 因为， 因为，的大小关系不确定，故与大小无法确定， 故不管先取者取，还是，都不能确保胜利； 因为， 所以，即先取者先取，必可保证胜利； 综上，先取者有必胜方案，且只有种，就是先取． 18．（22-23高一·全国·课堂例题）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？ (1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【答案】(1)若，，则． (2)若，，且，则． 【解析】（1）解：设糖水b克，含糖a克，易知糖水浓度为， 加入m克糖后的糖水浓度为， 则提炼出的不等式为：若，，则． （2）设淡糖水克，含糖克，易知淡糖水浓度为， 设浓糖水克，含糖克，易知浓糖水浓度为， 则混合后的糖水浓度为， 所提炼出的不等式为：若，，且，则． 19．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数．使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值（直接写结果，无需推导）． 【答案】(1)上位点“坐标”和下位点坐标分别为和 (2)点既是点的“下位点”又是点的“上位点”，证明见解析 (3)4039 【解析】（1）由， 根据题设中的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和． （2）点既是点的“下位点”又是点的“上位点”，证明如下： 点是点的“上位点”， ，， ， ，点是点的“下位点”， ， ，点是点的“上位点”； 点既是点的“下位点”又是点的“上位点”； （3）若正整数满足条件，在,时恒成立， 由（2）中的结论可知，，时，满足条件， 若，由于， 则对，时不恒成立， 因此，的最小值为4039． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$