第一章 集合与常用逻辑用语章末总结及测试 讲义-2024-2025学年高一数学暑假预习（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 章末总结及测试 考点一 元素的互异性 1．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 2．（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 3．（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知集合，若，则的取值为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 考点二 集合的关系 1．（2022高一·全国·专题练习）若集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．, 2．（2024·四川成都·三模）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 4．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）（多选）已知集合，若集合满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B．C．集合的个数为6 D．集合的个数为5 6．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 考点三 集合间的关系 1．（安徽省滁州市2023-2024学年2024年高一下学期期末教学质量监测数学试题）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东梅州·一模）已知集合，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24 山西吕梁·期末）（多选）已知全集，，则下列选项正确的为（    ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值. 6．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）设全集为，集合． (1)求及； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 考点四 充分条件与必要条件 1．（23-24广东梅州·期末）若，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分必要 2．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）（多选）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 4．（2024·重庆·三模）（多选）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 考点五 全称量词与存在量词 1．（23-24高一下·天津河西·期末）命题，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一下·山东泰安·期末）已知集合，，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题：“，”为真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）命题“存在实数x，使x>1”的否定是（    ） A．不存在实数x，使x≤1 B．对任意实数x，都有x≤1 C．存在实数x，使x≤1 D．对任意实数x，都有x>1 2．（23-24 浙江嘉兴·期中）已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 A． B． C．或 D．或 3．（2024·陕西榆林 ）设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）若集合,集合,且,则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一·全国·单元测试）设集合，．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·上海松江 ）已知，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0，1 D．﹣1，0，1 8．（2024高一上·江苏·专题练习）已知集合，集合，且，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·贵州黔南·二模）已知非空集合，，均为的真子集，且.则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一·山西吕梁·期末）已知全集，，则下列选项正确的为（    ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 三、填空题 12．（2024·安徽 ）已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 . 13．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 ． 14．（23-24 ·浙江宁波·期末）已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．（23-24高一·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 16．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，集合. (1)若“，”为假命题，求实数m的取值范围； (2)若中有只有三个整数，求实数m的取值范围. 17．（23-24高一·北京朝阳·期中）设为全集，集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 18．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 19．（23-24高二下·广东梅州·期末）设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件： ①，且Q中至少有两个元素； ②对于任意，当，都有； ③对于任意，若，则； 则称集合Q为集合P的“耦合集”． (1)若集合，求集合P1的“耦合集”； (2)集合，且，若集合存在“耦合集”． （i）求证：对于任意，有； （ii）求集合的“耦合集”的元素个数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语 章末总结及测试 考点一 元素的互异性 1．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【解析】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. 2．（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 【答案】A 【解析】若集合只有一个元素，则方程只有一个解， 当时，方程可化为，满足题意， 当时，方程只有一个解，则，解得， 所以或. 故选：. 3．（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 4．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知集合，若，则的取值为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】CD 【解析】由于，则或，解得或或， 当时，，满足条件; 当时，，满足条件; 当时，，不满足互异性，舍去. 所以的取值为1或3. 故选：CD. 考点二 集合的关系 1．（2022高一·全国·专题练习）若集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．, 【答案】C 【解析】，∴方程无解，即， 解得：，则实数的范围为， 故选：C. 2．（2024·四川成都·三模）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 即，故选项D正确，选项A、B、C错误.故选：D. 3．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 【答案】C 【解析】由于，所以，故的最大值为，故选：C 4．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由题意知中必有元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个， 所以集合的个数等价于集合的非空子集的个数，即， 故选：C. 5．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）（多选）已知集合，若集合满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．集合的个数为6 D．集合的个数为5 【答案】BC 【解析】，当时，方程的解为或； 当时，方程的解为， 得，A选项错误，B选项正确； 由且，则，共6个． C选项正确，D选项错误. 故选：BC 6．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【解析】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 考点三 集合间的关系 1．（安徽省滁州市2023-2024学年2024年高一下学期期末教学质量监测数学试题）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，，则.故选：D 2．（24-25高二下·全国·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，， 当时，， 所以， 所以. 故选：A 3．（2024·广东梅州·一模）已知集合，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】或，，， 故，则的取值范围为. 故选：D 4．（23-24 山西吕梁·期末）（多选）已知全集，，则下列选项正确的为（    ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】ABC 【解析】由题意得， 根据，,，，, 则； 作出Venn图:    则，A正确； 集合A中有3个元素，故A的不同子集的个数为，B正确； 由于，C正确； 因为，且，故，D错误， 故选：ABC. 5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值. 【答案】(1)5 (2) 【解析】（1）由题可得，由，得. 从而2，3是方程的两个根，即，解得. （2）因为，. 因为，又，所以， 即，，解得或. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则且，故符合题意， 综上，实数的值为. 6．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）设全集为，集合． (1)求及； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【解析】（1）， 或，， 故或， （2）， ， 当集合时，，解得：； 当集合时，，解得：． 综上，实数的取值范围为． 考点四 充分条件与必要条件 1．（23-24广东梅州·期末）若，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分必要 【答案】C 【解析】由，得不出， 所以“”是“”的不充分条件， 又，得不出， 所以“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：C. 2．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，又，，所以， 所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）（多选）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】ABD 【解析】因为的两个根为3和5，所以， 是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以或或， 当时，满足即可， 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是0，，. 故选：ABD. 4．（2024·重庆·三模）（多选）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】由题意，存在，使得，即， 当时，即时，的最小值为，故； 所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集， 结合选项可得，C和D项符合条件. 故选：CD 考点五 全称量词与存在量词 1．（23-24高一下·天津河西·期末）命题，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】命题，，则为，. 故选：C. 2．（23-24高一下·山东泰安·期末）已知集合，，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题“”为假命题，则命题的否定“”是真命题， 因为，， 所以，又因为，所以， 故选：C. 3．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题：“，”为真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由命题：“，”为真命题，即不等式在上恒成立， 可得，解得，所以实数的取值集合为. （2）解：由“”是“”的充分条件，可得， 因为，， 当时，可得，解得，此时满足； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 一、单选题 1．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）命题“存在实数x，使x>1”的否定是（    ） A．不存在实数x，使x≤1 B．对任意实数x，都有x≤1 C．存在实数x，使x≤1 D．对任意实数x，都有x>1 【答案】B 【解析】特称命题的否定是全称命题， 命题“存在实数x，使x>1”的否定是：对任意实数，．故选：B． 2．（23-24 浙江嘉兴·期中）已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】∵，是的必要不充分条件， 所以由能推出，而由推不出，，， 故选B. 3．（2024·陕西榆林 ）设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，而且， 且，解得． 故选：C． 4．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）若集合,集合,且,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为,根据题意,故, 所以, 则,即, 当时,与集合的互异性矛盾,故舍去; 当,时,,符合题意, 所以. 故选：B. 5．（23-24高一·全国·单元测试）设集合，．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，又，所以如图可得 或，解得或，即的取值范围是．    故选：C 6．（2024·上海松江 ）已知，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ∵，，∴∴．故选：D． 7．（22-23高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0，1 D．﹣1，0，1 【答案】D 【解析】由题意可得，集合A为单元素集， （1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，， （2）当a≠0时  则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1， 当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，， 当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，． 综上所述，a的取值为﹣1，0，1． 故选：D． 8．（2024高一上·江苏·专题练习）已知集合，集合，且，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知集合， 对于方程，解得，. 因为，则. ①当时，即时，成立； ②当时，即当时，因为，则，解得. 综上所述，的取值集合为. 故选：A. 二、多选题 9．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为， 又，所以，且，故A正确，B错误； ，，故C错误，D正确. 故选：AD. 10．（2024·贵州黔南·二模）已知非空集合，，均为的真子集，且.则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】因为， 对于选项A：可知，故A错误； 对于选项B：因为，所以为的真子集，故B错误； 对于选项C：可知为的真子集，故C正确； 对于选项D：因为为的真子集，且， 所以，故D正确； 故选：CD. 11．（23-24高一·山西吕梁·期末）已知全集，，则下列选项正确的为（    ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】ABC 【解析】由题意得， 根据，,，，, 则； 作出Venn图:    则，A正确； 集合A中有3个元素，故A的不同子集的个数为，B正确； 由于，C正确； 因为，且，故，D错误， 故选：ABC. 三、填空题 12．（2024·安徽 ）已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 . 【答案】 【解析】由题意可知：且， 当，则；当，则；当，则； 若，则，此时的所有元素之和为6，不符合题意，舍去； 若，则，此时的所有元素之和为4，不符合题意，舍去； 若且，则，故，解得或（舍去）； 综上所述：. 故答案为：. 13．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由， 因为不等式成立的一个充分不必要条件是， 所以有，等号不同时成立，， 当时，是不等式成立的充要条件，不符合题意， 所以，实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（23-24 ·浙江宁波·期末）已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】的真子集个数是3， 共有个元素，所以，. 若，则有，； 若，则有，无解. 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且，+ 解得，所以实数m的取值范围是． 16．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，集合. (1)若“，”为假命题，求实数m的取值范围； (2)若中有只有三个整数，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）由题意，知，则 ①，即，得； ②，则，此时有或，解得，此时m无解； 综上：m的取值范围为. （2）因，故中有只有三个整数时，可能为，0，1或0，1，2， 当时，，解得，即； 当时，，解得，无解； 综上：m的取值范围为. 17．（23-24高一·北京朝阳·期中）设为全集，集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）（1）由题意可得， 当时，， 所以， 因为， 所以 （2）由(1)知，， 若，即，解得，此时满足； 若，要使，则，解得， 综上，若，所求实数的取值范围为 18．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以， 解得，即实数m的取值范围是． 19．（23-24高二下·广东梅州·期末）设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件： ①，且Q中至少有两个元素； ②对于任意，当，都有； ③对于任意，若，则； 则称集合Q为集合P的“耦合集”． (1)若集合，求集合P1的“耦合集”； (2)集合，且，若集合存在“耦合集”． （i）求证：对于任意，有； （ii）求集合的“耦合集”的元素个数． 【答案】(1)或或 (2)（i）证明见详解；（ii）5 【解析】（1）由已知条件②得：的可能元素为：6，8，10； 检验可知均满足条件③，所以， 检验可知：或也符合题意， 所以或或. （2）（ⅰ）因为，， 由已知条件②得的可能元素为：， 由条件③可知，且， 可得， 同理可得， 所以对于任意，有； （ⅱ）因为，由（ⅰ）可知：， 则，即， 同理可得：，则， 又因为的可能元素为：， 即， 假设还存在其他元素， 因为，可知， 由集合性质可知：或， 则或， 即或，假设不成立， 所以不存在其他元素，所以共5个元素. 学科网（北京）股份有限公司 $$