第18讲 图形的相似章末13种题型总结【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第18讲 图形的相似章末十三种题型总结 【热考题型】 【考点一】由比例的性质求值或证明 1．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 2．（23-24九年级上·浙江温州·期末）已知线段，，满足． (1)求的值． (2)当线段是线段，的比例中项，且时，求的值． 3．（20-21八年级上·重庆渝中·期末）阅读理解： 已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：． 证明：∵， ∴． ∴． 根据以上方法，解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，且a≠b，c≠d，证明． 4．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知，判断下列比例式是否成立，并说明理由． (1)． (2)． 【考点二】由平行判断成比例的线段 5．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：． 6．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，为平行四边形的对角线上一点，，的延长线交的延长线于点，交于点，求的值．    7．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，中，为中点，为上一点，的延长线交于点，的延长线交于点，，且过点与、分别交于点和点．求证：      (1)； (2)． 8．（22-23九年级上·浙江绍兴·阶段练习）定义：如图1，点、把线段分割成三条线段、和，若，则称是线段的比例中段，、是线段的中段分点． (1)已知点、是线段的中段分点． ①若，，则　　； ②在图1中，若，，求的长． (2)如图2，在中，是线段的比例中段，、分别是线段、延长线上的点，且，、的延长线分别交线段于点，．探究是否为线段的比例中段，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．. 【考点三】黄金分割 9．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比． (1)求该矩形画框的宽； (2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号） 10．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）背景知识：宽与长的比等于（约为0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是______米．（结果取整数） 实验操作：折一个黄金矩形 第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形（如图4）． 问题思考： （2）图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由； （3）以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，若，则这个矩形的面积是______（直接写出结果）．    11．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接．在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上． (1)求线段、的长； (2)求证：； (3)请指出图中的黄金分割点． 12．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？ 【考点四】证明两三角形相似 13．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 14．（2024·北京西城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．    (1)求的值； (2)求证：． 15．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 16．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，，且，，求证：．    【考点五】证明三角形对应线段成比例 17．（20-21九年级上·江苏·阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O， （1）求证：△EBC是等腰三角形； （2）已知：AB=7，BC=5，求的值． 18．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 19．（2023·吉林四平·三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 【考点六】相似与翻折 20．（2024·内蒙古兴安盟·一模）综合与实践课上，老师让同学们以“特殊的平行四边形折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作发现 如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点 ，求证：； (2)迁移探究 如图，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长． 21．（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 折一折：把边长为的正三角形纸片，将其沿直线折叠，使点落在点处，分别得到图①、图②．填一填，做一做： (1)图①中阴影部分的周长为 ． (2)图①中，若，则 ． (3)图①中的相似三角形（包括全等三角形）共有 对； (4)如图②，点落在边上，若，则 ． 22．（2024·湖北孝感·二模）综合与实践∶ 【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究． 【探究发现】如图 1，在 中， （1）操作发现：将 折叠，使边落在边上，点C的对应点是点E，折痕交于点 D，连接，则 °，设， 那么 （用含x的式子表示）； （2）进一步探究发现：顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为 这个比值被称为黄金比．请在 （1）的条件下证明： ． 【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图 1 中的 是黄金三角形． （3）如图2， 在菱形中，．求这个菱形较长对角线的长． 23．（2024·江苏扬州·二模）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，则的值为______； （2）如图2，当，时，求的值； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 【考点七】利用相似三角形性质与判定求解 24．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．    (1)若，求线段的长． (2)若的面积为3，求平行四边形的面积． 25．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）在菱形中，点E为线段延长线上的一点，连接，交对角线于点F，交边于点G，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 26．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）在正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 27．（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）已知在中，，，，D为边上的一点．过点D作射线，分别交边于点E、F． (1)当D为的中点时： ①如图1，若，，与的数量关系是________；与是否相等？________（填“是”或“否”）； ②将绕点D旋转到图2位置时，①中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由； (2)改变点D的位置，当点D是的三等分点时，直接写出的值． 【考点八】利用相似求坐标 28．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以O为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为． (2)证明和相似． 29．（22-23九年级上·四川成都·期中）在正方形网格中，的顶点分别为，，．    (1)以点为位似中心，以位似比在位似中心的异侧将放大为，放大后点B，C两点的对应点分别为，，请画出； (2)在（1）中，若点为线段上任一点，直接写出变化后点M的对应点的坐标．（用含a，b的代数式表示） 30．（20-21九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）以原点为位似中心，在轴上方画出放大2倍后的，并直接写出点的坐标． 【考点九】在网格中作相似图形 31．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）在平面直角坐标系内，线段的两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，相似比为，将线段缩小得到线段，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 32．（20-21九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知点、，以原点О为位似中心，相似比位1：4，把缩小，则点A的对应点的坐标是 ． 33．（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）已知，，将以坐标原点为位似中心，放大得到，且面积是面积的倍，则的对应顶点的坐标为 ． 【考点十】相似三角形的应用 34．（23-24九年级上·四川成都·期末）【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 35．（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 36．（2024·河南南阳·二模）如图，小明和小亮利用学过的知识测量操场旗杆的高度，测量时，小明让小亮站在点B处，此时，小亮影子的顶端与旗杆的影子顶端在点E 处重合，且BE的长为2米；小明又让小亮沿着射线的方向走15米到达旗杆的另一侧N处，此时，小亮观测到旗杆顶端C 的仰角为45°，已知小亮的身高为1.6米，请你根据相关测量信息，计算旗杆的高度．（结果保留一位小数）    37．（2024·陕西西安·二模）如图，2024龙年春晚西安分会场，千人齐诵《将进酒》，让西安火遍天际．作为西安人，你知道大雁塔的高度吗？ 小华拿着一部长为的手机站在广场上离大雁塔的点处（即米），他把手机竖直并将手臂向前伸（即），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点在一条直线上，点在一条直线上），已知点到手机的距离为．则大雁塔的高度为多少米？（精确到）    【考点十一】利用相似三角形的性质与判定探究规律探究问题 38．（2024·黑龙江绥化·二模）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交x轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形按这样的规律进行下去，则点到轴的距离是 ． 39．（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 40．（22-23九年级上·山东青岛·期末）知识回顾 设的面积为1．如图1，分别将，边2等分，，是其分点，连接，交于点，得到四边形， （1）则的面积　　，　　； （2）求出四边形的面积． 【拓展探究】（3）如图2，分别将，边3等分，，，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积　　； 如图3，分别将，边4等分，，，，，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积　　； 按照这个规律进行下去，若分别将，边等分，，得到四边形，其面积　　． 【知识运用】 （4）①如图4，中，，，，，，求四边形的面积． ②如图4，中，，，如果，，直接写出四边形的面积． 41．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x、y轴上，且．将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形……以此规律，得到正方形，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【考点十二】利用相似三角形的性质与判定探究多结论问题 42．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（ ） A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 43．（22-23九年级下·湖北襄阳·期中）如图所示，边长为4的正方形中，对角线，交于点O，E在线段上，连接，作交于点F，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 44．（2024·山东青岛·二模）如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处．下列结论：①；②；③；④．正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 45．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点，连接、、，且与交于点，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的是 ．（填序号） 46．（2024·福建漳州·一模）如图，在正方形中，点是对角线的交点，点在边上，连接，交于点，过点作，垂足为点，连接．现给出以下结论： ①； ②平分； ③； ④若，则点是的中点． 其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号） 【考点十三】利用相似三角形的性质与判定探究新定义问题 47．（2024·浙江·二模）新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点E、F分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在CD边上，点A的对应点为，过点E作于点G，当矩形也是黄金矩形（）时，则（    ） A． B． C． D． 48．（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 49．（2024九年级下·上海·专题练习）定义：如图1，点，把线段分割成、和，如果以、、为边的三角形是一个直角三角形，那么称点、是线段的勾股分割点．问题：如图2，在中，已知点、是边的勾股分割点（线段，射线、与射线分别交于点、．如果，，，那么的值为 ． 50．（2024·内蒙古赤峰·一模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．    (1)如图1，在中，，是的角平分线，E，F分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形． (2)如图2，在的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，E，F在格点上． (3)如图3，在（1）的条件下，取中点M，连接并延长交于点Q，延长交于点N．若N为的中点，，，求邻余线的长．   ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 图形的相似章末十三种题型总结 【热考题型】 【考点一】由比例的性质求值或证明 1．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键． （1）根据等比性质求解即可； （2）根据给出的条件得出，，，再代入，然后进行整理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，且， ∴，，， ∵， 则， ∴的值为8． 2．（23-24九年级上·浙江温州·期末）已知线段，，满足． (1)求的值． (2)当线段是线段，的比例中项，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查比例线段，解题的关键是理解比例线段的定义，属于中考常考题型． （1）由题意，，利用整体代入的思想解决问题； （2）判断出a，b的值，再根据比例中项的定义求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：，， ． 3．（20-21八年级上·重庆渝中·期末）阅读理解： 已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：． 证明：∵， ∴． ∴． 根据以上方法，解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，且a≠b，c≠d，证明． 【答案】（1）；（2）证明过程见解析 【分析】（1）根据计算即可； （2）先在等式两边同时减去1再结合计算即可； 【详解】（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键． 4．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知，判断下列比例式是否成立，并说明理由． (1)． (2)． 【答案】(1)成立，见解析 (2)不成立，见解析 【分析】本题考查了比例的性质，等式的性质，熟练掌握比例的性质，等式的性质是解题的关键 （1）由，可得，根据，可证． （2）设，则．则，然后进行判断作答即可． 【详解】（1）解：比例式成立．理由如下： ∵， ∴， ∴，即． （2）解：比例式不成立．理由如下： 设，则． ∵， ∴， 又∵， ∴． 【考点二】由平行判断成比例的线段 5．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论； （2）根据平行线分线段成比例定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：由菱形可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 6．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，为平行四边形的对角线上一点，，的延长线交的延长线于点，交于点，求的值．    【答案】 【分析】由，可得，即，得出，由，可得：． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，求出． 7．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，中，为中点，为上一点，的延长线交于点，的延长线交于点，，且过点与、分别交于点和点．求证：      (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，由为中点，即可证得； （2）根据平行线分线段成比例得出，等量代换后得到，再得出． 【详解】（1）证明：， ． ， ． 由为中点，即可证得． （2）证明：连接．    ， ． 由（1）可得， ， ， ． 【点睛】考查三角形一边平行线的判定定理，注意根据相等的比例作为中间量进行等比例转换． 8．（22-23九年级上·浙江绍兴·阶段练习）定义：如图1，点、把线段分割成三条线段、和，若，则称是线段的比例中段，、是线段的中段分点． (1)已知点、是线段的中段分点． ①若，，则　　； ②在图1中，若，，求的长． (2)如图2，在中，是线段的比例中段，、分别是线段、延长线上的点，且，、的延长线分别交线段于点，．探究是否为线段的比例中段，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．. 【答案】(1)①，②1或4. (2)是线段的比例中段，理由见解析 【分析】（1）根据点、是线段的中段分点，可得，据此进行计算即可； （2）设，根据平行线分线段成比例定理，得出，，，再根据，得出，即可得到是线段的比例中段． 【详解】（1）①由题可得，，，， ； 故答案为：； ②设，则由题可得：， 解得或4， 的长为1或4； （2）是线段的比例中段． 理由如下：设， ， ， 同理，，， ，，， 是线段的比例中段， ， ， ， 即是线段的比例中段． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 【考点三】黄金分割 9．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比． (1)求该矩形画框的宽； (2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号） 【答案】(1)厘米； (2)元． 【分析】()根据宽与长的比值等于黄金分割比列出算式即可求解； ()求出矩形画框的面积，进而即可解决问题； 本题考查了黄金分割，二次根式的运算，熟知黄金分割的定义是解题的关键. 【详解】（1）解：∵矩形画框的宽与长的比值等于黄金分割比，且长为厘米， ∴矩形画框的宽为厘米； （2）解：矩形画框的面积为（平方厘米）， ∴矩形画框的材料成本为元， 答：生产一个该画框所需要的材料成本为元． 10．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）背景知识：宽与长的比等于（约为0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是______米．（结果取整数） 实验操作：折一个黄金矩形 第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形（如图4）． 问题思考： （2）图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由； （3）以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，若，则这个矩形的面积是______（直接写出结果）．    【答案】（1）19；（2）存在，见解析；（3）或 【分析】本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键： （1）直接根据黄金矩形的定义，列式计算即可； （2）设，根据题意，易得：，根据黄金分割求出，进而求出，求出的值，即可得出结论； （3）分为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得：帕特农神庙的高度与面宽的比约为， ∴帕特农神庙的高度； 故答案为：19； （2）存在，理由如下： 设，则：， 由折叠可知 ， ∵矩形就是黄金矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形为黄金矩形； （3）∵，则：， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当为黄金矩形的长时，则宽为， 则矩形的面积为：； 当为黄金矩形的宽时，则长为， 则矩形的面积为：； 综上：矩形的面积为或． 11．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接．在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上． (1)求线段、的长； (2)求证：； (3)请指出图中的黄金分割点． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念． （1）要求的长，只需求得的长，又，，则； （2）根据（1）所求分别求出的值即可证明结论； （3）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点M是的黄金分割点． 【详解】（1）解：在中，，由勾股定理知： ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴； （3）解：∵， ∴点M是的黄金分割点． 12．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？ 【答案】米 【分析】本题考查了黄金分割，分式方程的应用，设米，则米，把数据代入，得到关于的分式方程，解方程即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键． 【详解】解：设米，则米， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，，为分式方程的解， ∵， ∴， 答：他至少走米，恰好站在舞台的黄金分割点上． 【考点四】证明两三角形相似 13．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 14．（2024·北京西城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）把代入即可求解； （）由得直线的方程为，求出，从而得，，，然后根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可求证； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵在直线上， ∴， 解得：； （2）由（）得， ∴所在直线的方程为， 当时，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 又， ∴． 15．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 16．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，，且，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，先求出，， 再证明即可． 【详解】证明：，且，， ， ，且， ， ， ， 又∵， 【考点五】证明三角形对应线段成比例 17．（20-21九年级上·江苏·阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O， （1）求证：△EBC是等腰三角形； （2）已知：AB=7，BC=5，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，结合题目条件给的角平分线，可以证明，再利用等腰三角形的判定证明是等腰三角形； （2）证明，利用对应边成比例求出的比值． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握这些性质定理结合题目条件进行证明求解． 18．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，判定两三角形相似是解题关键， （1）证出，结合对顶角相等即可证明结论； （2）根据相似三角形性质证出即可证出结论． 【详解】（1）证明：在四边形中，， ， 恰好平分， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ， ． 19．（2023·吉林四平·三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①由可证，即可证，可进一步推出结论；②连接，作于点，作于点，过点作于点．可证，推出，设，则，则可分别求出，的长，即可求出结论； （2）过点作，且，连接，，构造平行四边形，证，推出，证明再证明为直角三角形，且可求出其三边的比，即可求出的值． 【详解】（1）解：①， ，． ， ，即． 又， ， ． 如图②，连接，作于点，作于点，过点作于点．    ， ， 又， ， ． 又， ， ， ， 设，则， ． （2） 如答图（2），过点作，且，连接，，    则四边形为平行四边形． ， ． ， ， ． 又， ， ，即． ， ． ， 设，， 则在中，． ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够通过作出合适的辅助线构造相似三角形，并且能够灵活运用相似三角形的判定与性质． 【考点六】相似与翻折 20．（2024·内蒙古兴安盟·一模）综合与实践课上，老师让同学们以“特殊的平行四边形折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作发现 如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点 ，求证：； (2)迁移探究 如图，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）利用证明即可； （）延长，交于点，设，根据勾股定理求出，证明，设，则，然后对应边成比例即可求出结果． 【详解】（1）∵将沿翻折到处，四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴； （2）如图，延长，交于点，    设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿翻折到处， ∴， ∴， 在中，， ∴ 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 21．（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 折一折：把边长为的正三角形纸片，将其沿直线折叠，使点落在点处，分别得到图①、图②．填一填，做一做： (1)图①中阴影部分的周长为 ． (2)图①中，若，则 ． (3)图①中的相似三角形（包括全等三角形）共有 对； (4)如图②，点落在边上，若，则 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，根据阴影部分的周长的计算方法将线段转换为等边三角形三边之和，由此即可求解； （2）根据折叠的性质可得，根据平角的性质可算出的值，结合三角形内角和定理可求出的度数，由次即可求解； （3）根据相似三角形的判定方法“两角对应相等，两三角形相似”即可求解； （4）根据等边三角形的性质可求出，根据角的关系可证明，设，则，根据相似三角形的性质可求出，，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据折叠的性质可得，， 如图所示，设与交于点，与交于点， ∵阴影部分的周长为：， ∴ ， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴阴影部分的周长为， 故答案为：； （2）解：根据折叠可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴，且， ∴相似三角形有（包括全等三角形）：，，共4对， 故答案为：4； （4）解：∵，是边长为6的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴，且， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∴， 解得，（不合题意舍去）， 经检验是原方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（2024·湖北孝感·二模）综合与实践∶ 【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究． 【探究发现】如图 1，在 中， （1）操作发现：将 折叠，使边落在边上，点C的对应点是点E，折痕交于点 D，连接，则 °，设， 那么 （用含x的式子表示）； （2）进一步探究发现：顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为 这个比值被称为黄金比．请在 （1）的条件下证明： ． 【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图 1 中的 是黄金三角形． （3）如图2， 在菱形中，．求这个菱形较长对角线的长． 【答案】（1）72，；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质即可得出答案， （2）先证明，可得，进而得出一元二次方程，求出解即可； 对于拓展应用：根据菱形的性质得出是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，可求出，进而求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：根据折叠可知． ， ； 根据折叠可知，，， ， ， ， ． 故答案为：72，； （2）证明：，， ． 由折叠知， ， 又， ， ， 即， 整理得：， 解得：（舍去）， ； 拓展应用：解：菱形较长对角线． 如图3，在上截取，连接， 得是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形， 根据黄金三角形的底与腰的比值为，由， 可得， ． ，， ， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，折叠的性质，黄金分割，相似三角形和性质和判定，菱形的性质，解一元二次方程等，理解黄金三角形并应用是解题的关键． 23．（2024·江苏扬州·二模）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，则的值为______； （2）如图2，当，时，求的值； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，从而可得，即可得结果； （2）利用“一线三等角”得出，则，，代入计算得，再利用勾股定理求出的长，从而得出答案； （3）过作于点，则易得，，，由对应边成比例可得，设，，则在中，由勾股定理可得，的关系，从而可求得结果． 【详解】解：（1）根据折叠的性质，得，， ， 四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处． ，， 在矩形中，，， ，， ， ， ， ， ，，， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ， ， ， ， ； （3）过作于点，如图， 平分，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设，，则，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 即， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 【考点七】利用相似三角形性质与判定求解 24．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．    (1)若，求线段的长． (2)若的面积为3，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据平行四边形的性质得出，证明，得出，根据，求出； （2）根据平行四边形的性质得出，，说明，，得出，求出，得出，根据，求出，得出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 25．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）在菱形中，点E为线段延长线上的一点，连接，交对角线于点F，交边于点G，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）由菱形的性质得到，，然后结合，即可证明，进而得到； （2）先由菱形得到，，从而得到，再结合，得到，证明得到，代入数据，计算即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，． ， ， ； （2）证明：四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 解得． 26．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）在正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （）利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质定理解答即可； （）利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 27．（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）已知在中，，，，D为边上的一点．过点D作射线，分别交边于点E、F． (1)当D为的中点时： ①如图1，若，，与的数量关系是________；与是否相等？________（填“是”或“否”）； ②将绕点D旋转到图2位置时，①中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由； (2)改变点D的位置，当点D是的三等分点时，直接写出的值． 【答案】(1)①，是；②，理由见详解 (2)的值为1或4 【分析】（1）①证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可证明；证明，根据相似三角形的性质可得，即可得出答案； ②过点作于点，作于点，利用同角的余角相等得，则，可知，由①知，，即可证明； （2）过点作于点于点，根据，可得，再证明，得出，分为①当时，和②当时，分别计算即可； 【详解】（1）解：①∵， ∴四边形是矩形， ∴； ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 则， 故答案为：，是； ②仍然成立． 如图，过点作于点，作于点， 则， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ， 由①知，， ， 即． （2）如图，过点作于点于点， ， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）②可得， ， ∵， ∴， ， ①当时， 则， ∴， ； ②当时， 则， ∴， ； 综上，的值为1或4． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点八】利用相似求坐标 28．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以O为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为． (2)证明和相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键． （1）根据位似变换的性质画出图形即可； （2）先用勾股定理算出两个三角形的各边长，然后根据对应边的比相同即可证明结论． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）证明：小正方形边长为1， ∴，，， ，，， ∵，，， ∴， ∴． 29．（22-23九年级上·四川成都·期中）在正方形网格中，的顶点分别为，，．    (1)以点为位似中心，以位似比在位似中心的异侧将放大为，放大后点B，C两点的对应点分别为，，请画出； (2)在（1）中，若点为线段上任一点，直接写出变化后点M的对应点的坐标．（用含a，b的代数式表示） 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）利用位似变换的性质，，，再结合，，，即可分别作出B，C的对应点，，再连接即可作答； （2）探究坐标变化规律，可得结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求：    （2）解：因为，，且由（1）的图可知，， 所以变化后点的对应点的坐标为． 【点睛】本题考查作图−位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型． 30．（20-21九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）以原点为位似中心，在轴上方画出放大2倍后的，并直接写出点的坐标． 【答案】（1）画图见解析；；（2）画图见解析；． 【分析】（1）根据题意得到A，B，C关于原点O的对称点连接即可； （2）根据位似图形的作图方法作图即可； 【详解】解：（1）根据题意可得，，，如图，， （2）根据题意可得，，，连接即可，如图，． 【点睛】本题主要考查了旋转变换和位似变换，准确作图是解题的关键． 【考点九】在网格中作相似图形 31．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）在平面直角坐标系内，线段的两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，相似比为，将线段缩小得到线段，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似变换的坐标变换规律，掌握位似变换中的坐标变换规律是解决此题的关键． 利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出点坐标． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小得到线段， ∴A点与点是对应点， ∵点的对应点A的坐标为位似比为：， ∴点的坐标为：或． 故选：D． 32．（20-21九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知点、，以原点О为位似中心，相似比位1：4，把缩小，则点A的对应点的坐标是 ． 【答案】（﹣1，2）或（1，﹣2）． 【分析】分对应点与AB在位似中心O同侧时，以及与AB在位似中心O异侧时，根据位似图形的性质得出即可． 【详解】解：∵点A（﹣4，8）、B（﹣12，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为1：4，把△ABO缩小， ∴A点坐标都乘以或﹣即可得出答案， 则点A的对应点的坐标为：（﹣1，2）或（1，﹣2）， 故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）． 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，注意要分在位似中心的同侧与异侧两种情况求解． 33．（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）已知，，将以坐标原点为位似中心，放大得到，且面积是面积的倍，则的对应顶点的坐标为 ． 【答案】或． 【分析】根据面积是面积的倍，可得到与的相似比为，当与在位似中心的同侧时，点横纵坐标都乘以，当与在位似中心的异侧时，点横纵坐标都乘以，即可求解． 【详解】解：如图， 以坐标原点为位似中心，放大得到， ∽， 面积是面积的倍， ， 相似比， ， ， ， 同理可得：． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了位似变换，位似图形与坐标的关系，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标比等于或，本题知道位似图形面积之比是相似比的平方是解题的关键． 【考点十】相似三角形的应用 34．（23-24九年级上·四川成都·期末）【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 【答案】问题1：证明见解析；问题2： 【分析】本题考查了相似三角形的应用；问题1：证明，根据相似三角形的性质可得； 问题2：根据相似三角形的性质，将数据代入比例式，即可求解． 【详解】问题1：由题可得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴①号“”字与②号“字”测试的视力相同 问题2：由（1）可得      ∵ ∴ ∴ 答：②号“”的高度应为 35．（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 36．（2024·河南南阳·二模）如图，小明和小亮利用学过的知识测量操场旗杆的高度，测量时，小明让小亮站在点B处，此时，小亮影子的顶端与旗杆的影子顶端在点E 处重合，且BE的长为2米；小明又让小亮沿着射线的方向走15米到达旗杆的另一侧N处，此时，小亮观测到旗杆顶端C 的仰角为45°，已知小亮的身高为1.6米，请你根据相关测量信息，计算旗杆的高度．（结果保留一位小数）    【答案】旗杆的高度为米． 【分析】本题考查矩形的性质，三角形相似的应用．由题意可知点E，A，C在同一条直线上．连接，过点作于点F．根据矩形的性质结合题意可知，米．设米，则米，由题意可求出米．又易证，得出，代入数据，解出x的值即可． 【详解】解：∵小亮影子的顶端E与旗杆的影子C顶端重合， ∴点E，A，C在同一条直线上． 如图，过点作于点F．    ∴四边形为矩形， ∴，米， ∵， ∴， 设米，则米， 由题意可知米， ∴米， ∴米． ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 答：旗杆的高度为米． 37．（2024·陕西西安·二模）如图，2024龙年春晚西安分会场，千人齐诵《将进酒》，让西安火遍天际．作为西安人，你知道大雁塔的高度吗？ 小华拿着一部长为的手机站在广场上离大雁塔的点处（即米），他把手机竖直并将手臂向前伸（即），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点在一条直线上，点在一条直线上），已知点到手机的距离为．则大雁塔的高度为多少米？（精确到）    【答案】大雁塔的高度约为． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点，证明，利用相似三角形性质得到，进而得到，即可解题． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点，   ， ， 由题知：，，， ， ， ，即， 解得：． 答：大雁塔的高度约为． 【考点十一】利用相似三角形的性质与判定探究规律探究问题 38．（2024·黑龙江绥化·二模）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交x轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形按这样的规律进行下去，则点到轴的距离是 ． 【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，勾股定理．根据勾股定理可得正方形的边长为，根据相似三角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的，依次得到第四个正方形和第五个正方形的边长，进一步得到点到轴的距离． 【详解】 解：在中，，， 正方形的边长为， ，， ， ， ， 依此可得，， ， 点到轴的距离是． 故答案为：． 39．（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键． 首先求出是三角形的中位线，得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理，根据规律可写出，再n将取2023，计算即可得答案． 【详解】解∶的中点，， 为中点， ， ， ， ， 的面积是 ， 推理， ， 同理， 故答案为∶ 40．（22-23九年级上·山东青岛·期末）知识回顾 设的面积为1．如图1，分别将，边2等分，，是其分点，连接，交于点，得到四边形， （1）则的面积　　，　　； （2）求出四边形的面积． 【拓展探究】 （3）如图2，分别将，边3等分，，，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积　　； 如图3，分别将，边4等分，，，，，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积　　； 按照这个规律进行下去，若分别将，边等分，，得到四边形，其面积　　． 【知识运用】 （4）①如图4，中，，，，，，求四边形的面积． ②如图4，中，，，如果，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1），；（2）四边形的面积为；（3），，；（4）①四边形的面积为；②． 【分析】（1）将边2等分，得的面积，即可求解；根据中位线性质可知，，得，即可求解； （2）如图所示，连接，由相似三角形的性质可知，根据同底等高得，，即可求解； （3）连接，，图1中，，是两边的三等分点，得，，得，且，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，得，根据同高的两三角形面积比等于底边之比，可得，，即可求解；同理得：图3中；以此类推，将 ，边等分，得到四边形，， （4）①，利用上面的结论，可得四边形的面积． ②由上问可知． 【详解】解：（1）将边2等分， 的面积， 连接， ，分别将，边2等分， ，， ， ， 故答案为：，； （2）如图所示，连接， 图1中，，是两边的中点， ，， ，且， ， 是的中点， ， ， ， ； （3）连接，， 图1中，，是两边的三等分点， ，， ，且， ， 是的三等分点， ， ， ， ； 同理得：图3中； 以此类推，将，边等分，得到四边形， ， 故答案为：，，； （4）①， ， 四边形的面积． ②由上问可知． 【点睛】本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的解题原理归纳结论，考查图形的变化问题及三角形面积的计算，三角形相似等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想． 41．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x、y轴上，且．将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形……以此规律，得到正方形，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点所在的象限，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， 将正方形绕原点O顺时针旋转，且，得到正方形， 再将正方绕原点O顺时针旋转，且，得到正方形…以此规律， ∴每4次循环一周，， ∵， ∴点与同在一个象限内， ∴点． 故选：A． 【考点十二】利用相似三角形的性质与判定探究多结论问题 42．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（ ） A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．由折叠性质和平行线的性质可得，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出，再求出即可判断②正确；由得，求出即可判断③正确；根据即可判断④错误． 【详解】由折叠性质可知：， ∵， ∴． ∴． ∴． 故正确； ∵，， ∴． ∵， ∴． 故正确； ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 故正确； ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴与不相似． ∴． ∴与不平行． 故错误； 故选A． 43．（22-23九年级下·湖北襄阳·期中）如图所示，边长为4的正方形中，对角线，交于点O，E在线段上，连接，作交于点F，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由“”可证，可得，，由四边形的内角和定理可证，可得； 通过证明，可得； 通过证明，可得，通过证明，可得，可得结论； 通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    四边形是正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ，故正确； ，， ， ， 又， ， ， ，故正确； ．．，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，故正确； ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ，故正确， 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 44．（2024·山东青岛·二模）如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处．下列结论：①；②；③；④．正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】由矩形的性质得，由折叠得，则，可判断①正确；由，得，则，可判断②正确；因为，所以，则，由，求得，则，由，求得，则，所以，可判断③错误；因为，所以，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ，， ∴由折叠得， ，故①正确； ∵，点在上，点在上， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 解得， ， ， 故③错误； ， ， 故④正确， 故选：B． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定、三角形的面积公式等知识，求得及是解题的关键． 45．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点，连接、、，且与交于点，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等高模型等知识．根据菱形的判定、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误． 设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积的面积， ∴四边形的面积为，的面积为， ．故④正确， 故答案为：①②④． 46．（2024·福建漳州·一模）如图，在正方形中，点是对角线的交点，点在边上，连接，交于点，过点作，垂足为点，连接．现给出以下结论： ①； ②平分； ③； ④若，则点是的中点． 其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，由正方形的性质得出，，证明，得出，即可得出，结合，得出，由相似三角形的性质即可判断①；由，，得出，即可判断③；由点是上任意一点，则不一定是的角平分线，即可判断②；由结合正方形的性质得出，证明，由相似三角形的性质结合正方形的性质得出，即可判断④，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ，，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确，符合题意； ， ， ，故③正确，符合题意； 点是上任意一点， 不一定是的角平分线，故②错误，不符合题意； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是的中点，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 【考点十三】利用相似三角形的性质与判定探究新定义问题 47．（2024·浙江·二模）新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点E、F分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在CD边上，点A的对应点为，过点E作于点G，当矩形也是黄金矩形（）时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查黄金比，矩形与折叠，勾股定理． 连接，根据黄金矩形的定义设，，则，证明得到，从而，设，则 ，在中，根据构造方程，求解得到，从而． 【详解】连接， ∵矩形是黄金矩形，，， ∴设，， ∵矩形是黄金矩形，， ∴， ∴， ∵四边形是四边形翻折得到， ∴，， ， ∴， ∵在矩形中，， 又 ∴， ∴， ∴， 设，则 ， ∵在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴． 故选：D 48．（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质等知识带你，由是等腰三角形，，则，即，分和两种情形，分别根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质求解即可．正确分类是解题的关键 【详解】解：∵和相似， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，即， ①当时，即， ∴， ②当时，， ∴， 故选：C． 49．（2024九年级下·上海·专题练习）定义：如图1，点，把线段分割成、和，如果以、、为边的三角形是一个直角三角形，那么称点、是线段的勾股分割点．问题：如图2，在中，已知点、是边的勾股分割点（线段，射线、与射线分别交于点、．如果，，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及应用，涉及新定义，相似三角形的判定与性质，解题的关键是读懂新定义，用含的式子表示和．由点、是边的勾股分割点（线段，，，可得，而，即得，，，，从而可得答案． 【详解】解：点、是边的勾股分割点（线段，，， ， ， ，， ， ， ， 同理， ， ． 故答案为：． 50．（2024·内蒙古赤峰·一模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．    (1)如图1，在中，，是的角平分线，E，F分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形． (2)如图2，在的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，E，F在格点上． (3)如图3，在（1）的条件下，取中点M，连接并延长交于点Q，延长交于点N．若N为的中点，，，求邻余线的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键． （1）由等腰三角形的“三线合一“性质可得，则可得与互余，即与互余，从而可得答案； （2）画出图形即可． （3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得、，再判定，从而列出比例式，将已知线段的长代入即可得解． 【详解】（1）解：，是的角平分线， ， ， ， 与互余， 四边形是邻余四边形； （2）解：如图所示（答案不唯一），四边形为所求；    （3）解：，是的角平分线， ， ， ， ， ，点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$