第四章 基本平面图形 -期末复习课（四） 课件 2024—2025学年北师大版七年级数学上册

总复习　期末复习课 期末复习课（四） 数学 七年级上册 BS版 数学 七年级上册 BS版 知识梳理 典例讲练 目录 CONTENTS （第四章　基本平面图形） 1. 线段有 端点，射线有 端点，直线 ⁠ 端点. 两个　 一个　 没有　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 2. 直线的性质. （1）经过两个点有且只有 条直线（简述为：两点确定一 条直线）； （2）过一点的直线有 条； （3）直线是向两个方向无限延伸的，无端点，不可度量，不能 比较大小； （4）直线上有 多个点； （5）两条不同的直线最多有一个公共点. 一　 无数　 无穷　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 3. （1）若一条直线上有 n 个点，则在这条直线上一共 有 条线段，一共有 条射线； （2）平面内的 n 条直线两两相交，最多有 ⁠个 交点. 　 2 n 　 　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 4. 线段的性质. （1）两点之间的所有连线中， 最短； （2）两点之间线段的 ，叫作这两点之间的距离； （3）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的. 线段　 长度　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 5. 线段的中点. 若点 M 把线段 AB 分成 的线段 AM 与 BM ，则点 M 叫作 线段 AB 的中点. 6. 角平分线. 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个 ⁠的 角，这条射线叫作这个角的平分线. 相等　 相等　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 7. 平角和周角. 一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所 形成的角叫作 .终边继续旋转，当它又和始边重合时， 所形成的角叫作 ⁠. 8. 角度的换算. 1°＝ '，1'＝ ″. 9. 方向角. 以观测者的位置为中心，将 ⁠方向作为起始方向 旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）. 平角　 周角　 60　 60　 正北或正南　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 10. 从一个 n 边形的某个顶点出发，可以作 ⁠条对 角线，这些对角线可以把 n 边形分成 个三角形. n 边形共有 条对角线. （ n －3）　 （ n －2）　 　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 数学 七年级上册 BS版 典例讲练 0 2 类型一　多边形与圆 （1）六边形有 条对角线. 【思路导航】根据从 n 边形的一个顶点可以作对角线的条数为 （ n －3），即可得解. 9　 【解析】六边形过一个顶点可以作3条对角线，去掉重复计算 的，因此对角线的总条数为 ＝9.故答案为9. 【点拨】多边形的对角线的公式中﹐要注意是从一个顶点出发 还是任意一个顶点出发. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）半径为3cm，圆心角为120°的扇形面积为 cm2. （结果保留π） 【思路导航】根据扇形的面积公式进行计算即可. 3π　 【解析】因为 r ＝3cm， n ＝120°，根据扇形的面积公式 S ＝ ，得 S扇形＝ ＝3π（cm2）.故答案为3π. 【点拨】扇形的面积公式为 S ＝ ，在扇形的面积 S ，圆心角 度数 n °，半径 r 中，知道两个即可求出另一个. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 1. 已知过 m 边形的一个顶点有7条对角线， n 边形没有对角线， k 边形共有 k 条对角线，则代数式（ m － k ） n 的值为 ⁠. 2. 已知一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半 径为 ⁠. 125　 6　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型二　角的度量与方向角 （1）如图，某海域有三个小岛 A ， B ， O ，在小岛 O 处观 测到小岛 A 在它北偏东62°的方向上，观测到小岛 B 在它南偏东 38°12'的方向上，则∠ AOB 的度数是 ⁠. 79°48'　 【思路导航】根据方向角的概念及角度的运算法则即可求解. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【解析】因为 OA 是表示北偏东62°方向的一条射线， OB 是表 示南偏东38°12'方向的一条射线，所以∠ AOB ＝180°－62° －38°12'＝79°48'.故答案为79°48'. 【点拨】在进行角度的加减运算时，注意度、分、秒的换算. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）在2时15分时，钟面上时针与分针所成的锐角的度数 是 ⁠. 【思路导航】分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°，根 据具体时间计算即可. 22.5°　 【解析】在2时15分时，分针指向数字3，而时针从数字2开始转 动的角度为15×0.5°＝7.5°，所以此时时针与分针所成的锐 角的度数为30°－7.5°＝22.5°.故答案为22.5°. 【点拨】时针每分钟转过的角度为0.5°，分针每分钟转过 的角度为6°，在解题时注意时针与分针的动态变化过程及 最终位置. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 1. 已知∠α＝21'，∠β＝0.35°，则∠α与∠β的大小关系是 （　A　） A. ∠α＝∠β B. ∠α＞∠β C. ∠α＜∠β D. 无法确定 A 数学 七年级上册 BS版 返回目录 2. 从8：10到8：30，时钟的分针转过的角度为 ⁠°. 3. 如图，已知点 A 在点 O 的正南方向上，点 B 在点 O 的北偏东 60°方向上.若点 C 与点 A ， B 在同一平面内，且∠ BOC ＝ 110°，求∠ AOC 的度数. 120　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：根据题意可知，∠ AOB ＝180°－60°＝120°， 答图 ①当∠ BOC （如答图，∠ BOC1）在∠ AOB 的内部时， 因为∠ BOC ＝110°， 所以∠ AOC ＝∠ AOB －∠ BOC ＝120°－110°＝ 10°； ②当∠ BOC （如答图，∠ BOC2）在∠ AOB 的外部 时， 因为∠ BOD ＝60°， 所以∠ COD ＝∠ BOC －∠ BOD ＝110°－60°＝50°. 所以∠ AOC ＝180°－50°＝130°. 综上所述，∠ AOC 的度数为10°或130°. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型三　与线段长度有关的计算问题 已知点 A ， B ， C 在同一条直线上，且 AB ＝6， BC ＝10， 点 D ， E 分别是 AB ， BC 的中点，则 DE 的长为 ⁠. 【思路导航】根据题意求得 BD ， BE 的长，再利用点 C 与线段 AB 的关系分情况讨论即可. 8或2　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【解析】因为点 D ， E 分别是线段 AB ， BC 的中点， AB ＝6， BC ＝10，所以 BD ＝ AB ＝ ×6＝3， BE ＝ BC ＝ ×10＝5. ①如图1，当点 A 在线段 CB 的延长线上时， DE ＝ BD ＋ BE ＝3 ＋5＝8；②如图2，当点 A 在线段 BC 上时， DE ＝ BE － BD ＝5 －3＝2.故答案为8或2. 【点拨】解答本题的关键是掌握线段中点的性质，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 1. 如图，已知 B ， C 两点把线段 MN 分成三部分，其比为 MB ∶ BC ∶ CN ＝2∶3∶4，点 P 是 MN 的中点，且 PC ＝2， 求 MN 的长. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：设 MB ＝2 x ，则 BC ＝3 x ， CN ＝4 x . 所以 MN ＝ MB ＋ BC ＋ CN ＝9 x . 因为点 P 是 MN 的中点， 所以 MP ＝4.5 x . 所以 PC ＝ MC － MP ＝5 x －4.5 x ＝0.5 x ＝2. 解得 x ＝4. 所以 MN ＝9 x ＝36. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 2. 如图，已知点 P 是线段 AB 上一点， AB ＝12cm， C ， D 两点 分别从点 P ， B 同时向点 A 运动，点 C 的运动速度为2cm/s，点 D 的运动速度为3cm/s.设运动的时间为 t s. （1）若 AP ＝8cm. ①运动1s后，求 CD 的长； ②当点 D 在线段 PB 上运动时，试说明： AC ＝2 CD ； 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：（1）①由题意可知， CP ＝2×1＝2（cm）， DB ＝3×1＝ 3（cm）. 因为 AP ＝8cm， AB ＝12cm， 所以 PB ＝ AB － AP ＝4cm. 所以 CD ＝ CP ＋ PB － DB ＝2＋4－3＝3（cm）. ②因为 AP ＝8cm， AB ＝12cm， 所以 PB ＝4cm， AC ＝（8－2 t ）cm. 所以 DP ＝（4－3 t ）cm. 所以 CD ＝ CP ＋ DP ＝2 t ＋（4－3 t ）＝（4－ t ）cm. 所以 AC ＝2 CD . 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）若 t ＝2， CD ＝1cm，求 AP 的长. 解：（2）当 t ＝2时， CP ＝2×2＝4（cm）， DB ＝3×2＝6 （cm）. 当点 D 在点 C 的右边时，如图1所示. 因为 CD ＝1cm， 所以 CB ＝ CD ＋ DB ＝1＋6＝7（cm）. 所以 AC ＝ AB － CB ＝12－7＝5（cm）. 所以 AP ＝ AC ＋ CP ＝5＋4＝9（cm）； 数学 七年级上册 BS版 返回目录 当点 D 在点 C 的左边时，如图2所示. 因为 AD ＝ AB － DB ＝12－6＝6（cm）， 所以 AP ＝ AD ＋ CD ＋ CP ＝6＋1＋4＝11（cm）. 综上所述， AP ＝9cm或11cm. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型四　与角有关的计算问题 在同一平面内，已知∠ AOB ＝30°，射线 OC 在∠ AOB 的 外部，射线 OD 平分∠ AOC ，且∠ BOD ＝40°，则∠ AOC 度数 为 ⁠. 【思路导航】分射线 OB 在∠ AOC 内部与外部两种情况，利用 角平分线的性质分别求解即可. 140°或20°　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【解析】有两种情况：①如图1，若 OB 在∠ AOC 内部，则∠ AOD ＝∠ AOB ＋∠ BOD ＝30°＋40°＝70°.因为 OD 平分∠ AOC ，所以∠ AOC ＝2∠ AOD ＝2×70°＝140°； 图1 图1 ②如图2，若 OB 在∠ AOC 外部，则∠ AOD ＝ ∠ BOD －∠ AOB ＝40°－30°＝10°.因为 OD 平分∠ AOC ，所以∠ AOC ＝2∠ AOD ＝2×10°＝20°.综上所述，∠ AOC 的度数为140°或 20°.故答案为140°或20°. 图2 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【点拨】解答本题需利用题目条件找出角与角的关系.注意分类 讨论思想的应用. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 1. 如图，将长方形纸片 ABCD 的∠ C 沿着 GF 折叠（点 F 在 BC 上，且不与点 B ， C 重合），使点 C 落在长方形 ABCD 内部点 E 处.已知∠ BFE ＝3∠ BFH ，且∠ BFH ＝20°，则∠ GFH 的度 数是（　D　） A. 85° B. 90° C. 95° D. 100° D 数学 七年级上册 BS版 返回目录 2. 在同一平面内，已知∠ AOB ＝60°，∠ COB ＝20°，则∠ AOC 的度数是 ⁠. 【解析】当射线 OC 在∠ AOB 的内部时，∠ AOC ＝∠ AOB － ∠ COB ＝60°－20°＝40°；当射线 OC 在∠ AOB 的外部时，∠ AOC ＝∠ AOB ＋∠ COB ＝60°＋20°＝80°.所以∠ AOC 的度数为40°或80°.故答案为40°或80°. 40°或80°　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 3. （1）如图1，已知∠ AOC ∶∠ COD ∶∠ BOD ＝4∶2∶1.若 ∠ AOB ＝140°，求∠ BOC 的度数. 解：（1）由∠ AOC ∶∠ COD ∶∠ BOD ＝4∶2∶1， 设∠ BOD ＝ x °，则∠ AOC ＝4 x °，∠ COD ＝2 x °. 因为∠ AOB ＝140°， 所以 x ＋2 x ＋4 x ＝140.解得 x ＝20. 所以∠ BOD ＝20°，∠ COD ＝40°，∠ AOC ＝80°. 所以∠ BOC ＝20°＋40°＝60°. 图1 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）如图2，已知∠ AOC ∶∠ COD ∶∠ BOD ＝4∶2∶1， OP 平分∠ AOB . 若∠ AOB ＝β，求∠ COP 的度数（用含β的代数式 表示）. 图2 解：（2）设∠ BOD ＝ x °，则∠ AOC ＝4 x °，∠ COD ＝2 x °. 所以 x ＋2 x ＋4 x ＝β.所以 x ＝ β. 所以∠ AOC ＝ β. 因为 OP 平分∠ AOB ，所以∠ AOP ＝ β， 所以∠ COP ＝ β－ β＝ β. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）如图3，已知∠ AOC ＝80°，∠ BOD ＝20°， OE 平分∠ AOD ， OF 平分∠ BOC ，求∠ EOF 的度数. 图3 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：（3）因为 OF 平分∠ BOC ，∠ BOD ＝20°， 所以∠ COF ＝ （∠ BOD ＋∠ COD ）＝10°＋ ∠ COD . 因为 OE 平分∠ AOD ，∠ AOC ＝80°， 所以∠ AOE ＝ （∠ AOC ＋∠ COD ）＝40°＋ ∠ COD . 所以∠ COE ＝∠ AOC －∠ AOE ＝80°－ （40°＋ ∠ COD ）＝40°－ ∠ COD . 所以∠ EOF ＝∠ COE ＋∠ COF ＝40°－ ∠ COD ＋10°＋ ∠ COD ＝50°. 图3 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型五　有关角的动态问题 如图，两条直线 AB ， CD 相交于点 O ，且∠ AOC ＝∠ AOD ，射线 OM （与射线 OB 重合）绕点 O 按逆时针方向旋转，速度为 每秒15°，射线 ON （与射线 OD 重合）绕点 O 按顺时针方向旋转，速度为每秒10°.两射线 OM ， ON 同时运动，运动时间为 t 秒（本题出现的角均指不大于平角的角）. （1）图中一定有 个直角；当 t ＝2，∠ MON 的度数 为 ；当 t ＝4，∠ MON 的度数为 ⁠. 4　 140°　 170°　 【思路导航】（1）根据∠ AOC ＝∠ AOD 即可得出直角的个数；当 t ＝2时，或 t ＝4时，根据射线 OM ， ON 的位置，可得∠ MON 的度数； 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （1）【解析】因为两条直线 AB ， CD 相交于点 O ，∠ AOC ＝ ∠ AOD ，所以∠ AOC ＝∠ AOD ＝90°. 所以∠ BOC ＝∠ BOD ＝90°.所以图中一定有4个直角. 当 t ＝2时，∠ BOM ＝2×15°＝30°， ∠ NON ＝2×10°＝20°， 所以∠ MON ＝30°＋90°＋20°＝140°， 当 t ＝4时，∠ BOM ＝4×15°＝60°， ∠ DON ＝4×10°＝40°， 所以∠ MON ＝60°＋90°＋40°＝190°. 因为题中角均指不大于平角的角， 所以∠ MON ＝360°－190°＝170°. 故答案为4，140°，170°. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）当0＜ t ＜12时，若∠ AOM ＝3∠ AON －60°，试求出 t 的值. 【思路导航】（2）根据∠ AOM ＝3∠ AON －60°，列出方程 进行求解，即可得到 t 的值； 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）解：当 ON 与 OA 重合时， t ＝90÷10＝9（s）. 当 OM 与 OA 重合时， t ＝180°÷15＝12（s）. 图1 图1 如图1，当0＜ t ≤9时，∠ AON ＝90°－10 t °，∠ AOM ＝180° －15 t °. 由∠ AOM ＝3∠ AON －60°，可得180°－15 t °＝3（90°－10 t °）－60°，所以 t ＝2； 数学 七年级上册 BS版 返回目录 如图2，当9＜ t ＜12时，∠ AON ＝10 t °－90°，∠ AOM ＝180°－15 t °. 图2 由∠ AOM ＝3∠ AON －60°，可得180°－15 t °＝3（10 t °－90°）－60°，解得 t ＝ . 当∠ AOM ＝3∠ AON －60°时， t 的值为2或 . 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）当0＜ t ＜6时，探究 t 满足怎样的条件时， 的 值是定值； t 满足怎样的条件时， 的值不是定值. 【思路导航】（3）先判断当∠ MON 为平角时 t 的值，再分两种情况讨论计算 的值，根据结果作出判断. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）解：当∠ MON ＝180°时， ∠ BOM ＋∠ BOD ＋∠ DON ＝180°， 所以15 t °＋90°＋10 t °＝180°. 所以 t ＝ . 图3 ①如图3，当0＜ t ≤ 时， ∠ COM ＝90°－15 t °，∠ BON ＝90°＋10 t °，∠ MON ＝∠ BOM ＋∠ BOD ＋∠ DON ＝15 t °＋90°＋10 t °＝25 t °＋90°， 所以 ＝ ＝5（定值）. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 ②如图4，当 ＜ t ＜6时， ∠ COM ＝90°－15 t °，∠ BON ＝90°＋10 t °， ∠ AON ＝90°－10 t °. 则∠ MON ＝∠ COM ＋∠ AOC ＋∠ AON ＝90° －15 t °＋90°＋90°－10 t °＝270°－25 t °， 所以 ＝ （不是定值）. 综上所述，当0＜ t ≤ 时， 的值是定值5，当 ＜ t ＜6时， 的值不是定值. 图4 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【点拨】本题考查角计算的综合应用，将相关的角用含 t 的代数 式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨 论是解题的关键. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 如图1，点 O 是弹力墙 MN 上一点，魔法棒从 OM 的位置开始绕 点 O 向 ON 的位置按顺时针方向旋转，当转到 ON 位置时，则从 ON 位置弹回，继续向 OM 位置旋转；当转到 OM 位置时，再从 OM 的位置弹回，继续转向 ON 位置……按照这种方式将魔法棒 进行如下步骤的旋转：第1步，从 OA0（ OA0在 OM 上）开始旋 转α至 OA1；第2步，从 OA1开始继续旋转2α至 OA2；第3步，从 OA2开始继续旋转3α至 OA3…… 图1 数学 七年级上册 BS版 返回目录 例如：当α＝30°时， OA1， OA2， OA3， OA4的位置如图2所 示，其中 OA3恰好落在 ON 上，∠ A3 OA4＝120°；当α＝20° 时， OA1， OA2， OA3， OA4， OA5的位置如图3所示，其中第4 步旋转到 ON 后弹回，即∠ A3 ON ＋∠ NOA4＝80°，而 OA5恰好 与 OA2重合. 解答下面问题： 图2 图3 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （1）若α＝45°，在图4中借助量角器画出 OA2， OA3，其中∠ A3 OA2的度数是 ⁠. （1）【解析】如图1所示. 图1 45°　 图1 图4 数学 七年级上册 BS版 返回目录 由题意，得∠ A2 ON ＋∠ NOA3＝3×45°＝135°. 因为∠ NOA2＝180°－∠ A0 OA1－∠ A1 OA2＝180°－45°－2×45°＝45°， 所以∠ A3 OA2＝135°－2∠ NOA2＝135°－2×45°＝45°. 故答案为45°. 图1 图1 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）若α＜40°，且 OA3所在的射线平分∠ A2 ON ，求出α的值. （2）【解析】如图2所示. 图2 图2 由图可知， ∠ A0 OA2＝∠ A0 OA1＋∠ A1 OA2＝α＋2α＝3α. 所以∠ A2 ON ＝180°－∠ A0 OA2＝180°－3α. 由题意，得∠ A3 ON ＝α＋2α＋3α－180°＝ 6α－180°. 因为 OA3平分∠ A2 ON ， 所以180°－3α＝2（6α－180°）.所以α＝36°. 图1 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）若α＜35°，是否存在对应的α值使∠ A2 OA4＝30°？若存 在，直接写出对应的α值；若不存在，请说明理由. 图1 （3）【解析】分三种情况： ①如图3， OA4不从 ON 回弹时， 则有3α＋4α＝30°，所以α＝ °； 图3 数学 七年级上册 BS版 返回目录 图3 图4 ②如图4，当 OA4从 ON 回弹，且 OA4在 OA2的右边时， 则有3α－30°＋2（180°－6α）＝4α，所以α＝ °； ③如图5，当 OA4从 ON 回弹，且 OA4在 OA2的左边时， 则有4α－2（180°－6α）＝3α＋30°，所以α＝30°. 综上所述，对应的α值是 °或 °或30°. 图5 数学 七年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 七年级上册 BS版 $$