1.1菱形的性质与判定 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

1　菱形的性质与判定 第1课时　菱形的性质 1．菱形的定义：有一组邻边_________的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质：(1)菱形是____________图形(也是中心对称图形)，它的对称轴有_______条； (2)菱形的四条边_________，菱形的对角线____________． 相等 轴对称 2 相等 互相垂直 3 1．如图，在▱ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC，∴▱ABCD是菱形(________________________________________).(请在括号内填上理由) 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 5 2．如图，菱形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ABD的度数是( ) A．10° B．40° C．50° D．80° C 6 (2，－3) 4．若菱形的一条边长为5，则这个菱形的周长为( ) A．20 B．18 C．16 D．25 5．(2023·贵阳期中)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是( ) A．12 B．16 C．20 D．24 A B 8 6．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF.求证：AE＝AF. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D. 又∵BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF(SAS)， ∴AE＝AF. 9 D B 8 60° 4 A 10．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，CD的中点，若BD＝4，EF＝3，则菱形ABCD的周长为 __________． 14 11．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠EOA＝______________． 25° 15 12．(贵阳月考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠ABC＝120°，AB＝6. (1)求∠BAC的度数； (2)求对角线AC的长． 16 13．(贵阳模拟改)如图①，在菱形ABCD中，E，F分别是边CB，DC上的点，连接AE，AC，AF，EF，∠B＝∠EAF＝60°. (1)连接AC，求证：△ABE≌△ACF； (2)求证：∠BAE＝∠CEF； (3)如图②，若点E，F分别移动到边CB，DC的延长线上，其余条件不变，请猜想∠BAE与∠CEF的大小关系，并给予证明． 19 21 22 1　菱形的性质与判定 第2课时　菱形的判定 1．有一组邻边_________的平行四边形是菱形．　 2.对角线___________的平行四边形是菱形． 3．四边__________的四边形是菱形． 相等 互相垂直 相等 25 1．如图，要使▱ABCD成为菱形，下列添加的条件正确的是( ) A．AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD B 27 2．(贵州黔东南州月考)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( ) A．∠ACB＝60° B．∠B＝60° C．AB＝BC D．AC＝B D 28 3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定▱ABCD是菱形的是( ) A．OB＝OD B．AC＝BD C．OA＝OD D．AC⊥BD D 29 4．(教材P6例2变式)如图，在▱ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则当AB＝_______时，▱ABCD是菱形． 5 30 5．(2023·六盘水水城区期中)如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是( ) A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B 31 6．如图，两张宽度相等的长方形纸条交叉重叠在一起，交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD的形状是( ) A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．一般平行四边形 A 32 7．(教材P5“议一议”变式)如图，AC＝16，分别以点A，C为圆心，以长度10为半径作弧，两条弧分别相交于点B和点D，依次连接A，B，C，D. (1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由； (2)连接BD交AC于点O，求BD的长． 33 8．根据平行四边形如图所标注的角的度数，一定能判定其为菱形的是( ) B 36 9．(贵阳模拟)如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5千米，村庄C到公路l1的距离为4千米，则C到公路l2的距离是( ) A．6千米 B．5千米 C．4千米 D．3千米 C 37 10．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：_________________________________________________，使四边形ABCD成为菱形． AD∥BC(或AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD等) 38 11．如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF.请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②DE＝DF；③∠3＝∠4中选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形． (1)你添加的条件是____________(填序号)； (2)添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形． ①或③ 39 解：(1)证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD. 又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AD＝AB. 又∵BA＝BC，∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵BA＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； 42 13．如图，在给定的▱ABCD上作一个菱形，甲、乙二人的做法如下： 甲：分别以点A，B为圆心，以AB的长为半径画弧交AD于点E，交BC于点F，连接EF，则四边形ABFE为菱形； 乙：以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AD于点E，连接BE，作BE的垂直平分线交BC于点F，则四边形ABFE为菱形． 45 根据两人的做法可判断( ) A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 C 46 1　菱形的性质与判定 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 对角线 AC·BD AC·h 1．如图，在菱形ABCD中． (1)若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积是( ) A．6 B．12 C．24 D．48 (2)菱形ABCD的面积为28，对角线AC＝7，则对角线BD的长为__________． C 8 51 2．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，则它的面积是__________． 96 52 4．如图，在▱ABCD中，AB＝BC＝5，对角线BD＝6，则对角线AC的长为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 C 55 5．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝80°，连接AC，那么∠ACD的度数为( ) A．45° B．50° C．55° D．60° B 56 6．(郴州中考)如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BF，FD，DE，EB.求证：四边形DEBF是菱形． 57 7．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要在对角线AC上找两点E，F，使得四边形BFDE是菱形，如图，现有甲、乙两种方案，则正确的方案是( ) A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 C 60 8．如图，分别以点A，点B为圆心，5为半径画弧，两弧交于M，N两点，已知AB＝6，则以A，B，M，N四点为顶点的四边形的面积是_________． 24 61 16 62 10．(2023·贵阳期末改)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE. (1)求证：四边形AECD为菱形； (2)若∠CEB＝60°，DC＝4，求△ABC的面积． 63 30° △BCD 66 ①②④ 67 △AFC △CAE 68 B 69 3.如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为(2，3)，则点C的坐标为_____________________. 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. (1)若∠BAO＝55°，则∠ABO的度数为( ) A．20°　 　B．25°　 　C．30°　 　D．35° (2)若AC＝6，BD＝8，则AB的长为( ) A．4 B．5 C．6 D．8 8．如图，在菱形ABCD中． (1)(甘肃中考)若AB＝2 eq \r(5) cm，AC＝4 cm，则BD的长为______cm； (2)若∠ABD＝30°，BD＝4 eq \r(3) ，则∠BAC＝_______，AC＝________． 9．(贵阳乌当区月考)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A，B的坐标分别为(0，2)，(－1，0)，则点D的坐标为( ) A．( eq \r(5) ，2) B．(2， eq \r(5) ) C．( eq \r(3) ，2) D．(2， eq \r(3) ) 4 eq \r(13) 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°， ∴∠BAD＝60°，AC⊥BD， ∴∠BAC＝30°； (2)∵AB＝6，∴OB＝ eq \f(1,2) AB＝3， ∴OA＝ eq \r(3) OB＝3 eq \r(3) ， ∴AC＝2OA＝6 eq \r(3) . 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AB∥CD，CA平分∠BCD. ∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC. ∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝60°，∴∠B＝∠ACD＝60°. ∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF.在△ABE和△ACF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠ACF，,AB＝AC，,∠BAE＝∠CAF，)) ∴△ABE≌△ACF(ASA). (2)由△ABE≌△ACF知AE＝AF， ∴△AEF为等边三角形，∴∠AEF＝60°， ∴∠CEF＋∠AEB＝120°. ∵∠BAE＋∠AEB＝120°，∴∠BAE＝∠CEF. (3)∠BAE＝∠CEF.证明：由(1)知∠ABC＝∠ACD＝60°， ∠EAF＝∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴∠ABE＝∠ACF＝120°，∠BAE＝∠CAF. ∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE＝AF， ∴△AEF为等边三角形， ∴∠AEF＝60°，∴∠AEB＋∠CEF＝60°. ∵∠AEB＋∠BAE＝∠ABC＝60°， ∴∠BAE＝∠CEF. 解：(1)四边形ABCD是菱形，理由如下： 由题意可得AB＝AD＝CB＝CD＝10， ∴四边形ABCD是菱形； (2)∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝ eq \f(1,2) AC＝8，OB＝OD， ∴OB＝ eq \r(AB2－OA2) ＝ eq \r(102－82) ＝6， ∴BD＝2OB＝12. 解：(2)证明：添加①. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C. 又∵∠1＝∠2，AE＝CF，∴△ADE≌△CDF(AAS)， ∴AD＝CD，∴▱ABCD为菱形；添加③. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C. 又∵AE＝CF，∠3＝∠4， ∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AD＝CD， ∴▱ABCD为菱形． 12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长． (2)由(1)易知AB＝AD＝BC＝CD＝5. ∵BD⊥DE，∴∠BDE＝90°， ∴∠DBC＋∠E＝∠BDC＋∠CDE＝90°. 又∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC， ∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE＝BC， ∴BE＝2BC＝10， ∴DE＝ eq \r(BE2－BD2) ＝ eq \r(102－82) ＝6， ∴四边形ABED的周长为AD＋AB＋BE＋DE＝5＋5＋10＋6＝26. 菱形的面积等于其____________的乘积的一半． 如图，在菱形ABCD中，S菱形ABCD＝ eq \f(1,2) ___________＝__________． 3.(教材P8例3变式)如图，菱形花坛ABCD的周长为80 m，∠ABC＝120°，沿着花坛的对角线修建两条小路AC和BD. (1)求两条小路AC和BD的长； (2)求菱形花坛ABCD的面积． 解：(1)设AC与BD相交于点O， ∵菱形花坛ABCD的周长为80 m， ∴AB＝BC＝20 m，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO， ∴∠BAC＝ eq \f(1,2) (180°－∠ABC)＝ eq \f(1,2) ×(180°－120°)＝30°， ∴BO＝ eq \f(1,2) AB＝10 m，∴BD＝2BO＝20 m， AO＝ eq \r(AB2－BO2) ＝ eq \r(202－102) ＝10 eq \r(3) (m)， ∴AC＝2AO＝20 eq \r(3) m， ∴两条小路AC和BD的长分别为20 eq \r(3) m，20 m； (2)S菱形花坛ABCD＝ eq \f(1,2) AC·BD＝ eq \f(1,2) ×20 eq \r(3) ×20＝200 eq \r(3) (m2). 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠DCB，AC平分∠DAB，CA平分∠DCB， ∴∠DAC＝∠BAC＝ eq \f(1,2) ∠DAB， ∠DCA＝∠ACB＝ eq \f(1,2) ∠DCB， ∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠ACB. ∵AE＝CF， ∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS)， ∴DE＝BE＝BF＝DF， ∴四边形DEBF是菱形． 9．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F.若∠ACB＝60°，CD＝4 eq \r(3) ，则四边形CEDF的周长是_______． 解：(1)证明：∵E为AB中点，∴AB＝2AE. ∵AB＝2CD，∴2AE＝2CD， ∴AE＝CD，∵AB∥CD， ∴四边形AECD是平行四边形，∠DCA＝∠BAC. ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC. ∵∠DCA＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DCA， ∴DA＝DC，∴四边形AECD为菱形； (2)∵AE＝CE＝DC＝4，∴AE＝BE＝CE＝4. ∵∠CEB＝60°，∴△BCE是等边三角形， ∴∠BCE＝60°，BC＝BE＝4. ∵∠ACE＝∠CAE， ∴∠CEB＝∠ACE＋∠CAE＝2∠ACE＝60°，∴∠ACE＝30°， ∴∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝30°＋60°＝90°. ∵AB＝2AE＝8，∴AC＝ eq \r(AB2－BC2) ＝ eq \r(82－42) ＝4 eq \r(3) ， ∴S△ABC＝ eq \f(1,2) BC·AC＝ eq \f(1,2) ×4×4 eq \r(3) ＝8 eq \r(3) ， ∴△ABC的面积为8 eq \r(3) . 1．【基础模型探究】如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，∠DAB＝60°，DF⊥AB于点F. 结论：①∠DAC＝∠BAC＝∠ADF＝∠BDF＝________；②△ABD和_____________均为等边三角形； ③S菱形ABCD＝__________________＝ eq \f(\r(3),2) BC2. eq \f(1,2)) AC·BD 【变式1】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG.有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD＝ eq \f(\r(3),4) AB2.其中正确结论的序号是_________________． 2．【模型拓展探究】如图，在菱形ABCD中，E，F是动点，∠BAD＝120°，∠ECF＝60°，EF与AC交于点G. 结论：①△ECF为等边三角形；②△BEC≌__________，△CDF≌____________；③∠AGE＝∠AFC；④S△AGF∶S△AGE＝_____________________． eq \f(AF,AE) 或 eq \f(FG,EG) 【变式2】如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE＋CF的长度( ) A．逐渐增加　　　　　　B．恒等于4 C．先减小再增加　　　 D．恒等于2 eq \r(3) $$