专题1.3 交集、并集（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

专题1.3 交集、并集 知识点一 交集 1.定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B. 2.符号：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 3.图示： 知识点二 并集 1.定义：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B 2.符号：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 3.图示： 【拓广解读】 1.交集与并集 并集 交集 简单性质 A∪A＝A；A∪∅＝A A∩A＝A；A∩∅＝∅ 常用结论 A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)； B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆B A∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A； (A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A 2.交集、并集与补集 (1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合． (2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． (3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的图示． 知识点三 区间 （1）一般区间的表示． 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a＜x＜b} 开区间 __(a，b)__ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] （2）特殊区间的表示. 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【特别提醒】　 ①关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点． ②区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆． ③正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号． ④区间的端点a,b，b-a称为区间的长度. 题型一 交集运算 解题技巧提炼 判断集合关系的方法有三种： 求集合A∩B的方法与步骤 (1)步骤 ①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)． (2)方法 ①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集． ②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示． 1．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·重庆·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江西南昌·期末）已知集合 ，则的真子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 题型二 并集运算 解题技巧提炼 1.对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解． 2.求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个． 3.对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到． 5．（广东省深圳市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题）已知集合 ，则 （      ） A． B． C． D． 6．（广西壮族自治区玉林市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量监测数学试题）集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 题型三 根据交集运算结果求集合或参数 解题技巧提炼 遇到A∪B＝B，A∩B＝A等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B． 9．（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知集合，若，则可能是（    ） A．-3 B．0 C．3 D．6 10．（2024高二下·湖南·学业考试）已知集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 11．（2024·甘肃兰州·三模）设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·福建泉州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 13．（2024·河南·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四 根据并集运算结果求集合或参数 解题技巧提炼 1.A∪B＝B⇔A⊆B 2.当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解. 14．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知集合，，且，则m的值为（    ） A． B．或 C．或或 D．或或或 15．（多选）（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）设，，若，则实数的值可以是（    ） A．0 B． C．4 D．1 16．（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 17．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知集合．若，则实数 ． 题型五 交集、并集、补集的综合运算 解题技巧提炼 1.对于无限集，长借助于数轴，将已知集合及全集标在数轴上，然后根据交集、并集、补集的定义求解，这样形象直观. 2.对于有限集，先列举出集合中的元素，在结合交、并、补集的定义求解.有时借助于图示法更中国直观形象. 18．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 20．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二下·甘肃白银·期末）设全集，则（    ） A． B． C． D． 题型六 根据集合的混合运算求集合、参数 解题技巧提炼 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)． 22．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 23．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 24．（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 25．（23-24高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 题型七 区间的认识及其应用 解题技巧提炼 两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助图示． ②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 26．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）下列叙述正确的是（    ） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 27.（23-24高一上·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为 . 28.（23-24高一上·全国·课后作业）（1）用区间表示且为 ． （2）已知区间，则的取值范围是 ． 题型八 易于导致出错的空集 解题技巧提炼 空集是任何集合的子集，在涉及集合关系、集合运算时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 29．（多选）（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 30．（多选）（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（   ） A．1 B．0 C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 交集、并集 知识点一 交集 1.定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B. 2.符号：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 3.图示： 知识点二 并集 1.定义：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B 2.符号：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 3.图示： 【拓广解读】 1.交集与并集 并集 交集 简单性质 A∪A＝A；A∪∅＝A A∩A＝A；A∩∅＝∅ 常用结论 A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)； B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆B A∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A； (A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A 2.交集、并集与补集 (1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合． (2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． (3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的图示． 知识点三 区间 （1）一般区间的表示． 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a＜x＜b} 开区间 __(a，b)__ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] （2）特殊区间的表示. 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【特别提醒】　 ①关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点． ②区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆． ③正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号． ④区间的端点a,b，b-a称为区间的长度. 题型一 交集运算 解题技巧提炼 判断集合关系的方法有三种： 求集合A∩B的方法与步骤 (1)步骤 ①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)． (2)方法 ①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集． ②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示． 1．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 2．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 3．（23-24高二下·重庆·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交运算即可求解. 【详解】若,则 故选：B. 4．（23-24高二下·江西南昌·期末）已知集合 ，则的真子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】先求出集合，再根据交集的定义及真子集的定义即可得解. 【详解】， 则， 所以的真子集个数为. 故选：A. 题型二 并集运算 解题技巧提炼 1.对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解． 2.求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个． 3.对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到． 5．（广东省深圳市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题）已知集合 ，则 （      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集含义即可得到答案. 【详解】根据并集的含义知， 故选：D. 6．（广西壮族自治区玉林市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量监测数学试题）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程求出集合，再求. 【详解】依题意，， 而，所以. 故选：C. 7．（24-25高一上·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：A. 8．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集和并集的定义，可得答案. 【详解】因为集合，所以，， 故选：B 题型三 根据交集运算结果求集合或参数 解题技巧提炼 遇到A∪B＝B，A∩B＝A等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B． 9．（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知集合，若，则可能是（    ） A．-3 B．0 C．3 D．6 【答案】B 【分析】依题意，得，即可求解． 【详解】解：因为，所以， 故选：B 10．（2024高二下·湖南·学业考试）已知集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据集合的交集求解即可. 【详解】因为，， 所以，故. 故选：A 11．（2024·甘肃兰州·三模）设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合交集、并集概念计算即可. 【详解】因为集合，若，则， 即集合，所以. 故选：A 12．（2024·福建泉州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】C 【分析】化简可得，，，由求出，，即可求． 【详解】，， 若， 则，， 故． 故选：C. 13．（2024·河南·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知：，，，列不等式求解即可. 【详解】由中有2个元素可知：，，， 可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 题型四 根据并集运算结果求集合或参数 解题技巧提炼 1.A∪B＝B⇔A⊆B 2.当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解. 14．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知集合，，且，则m的值为（    ） A． B．或 C．或或 D．或或或 【答案】C 【分析】根据并集的结果可得或，再根据集合的性质求解即可. 【详解】由可得或，解得，，或. 又集合与，故，故，或. 故选：C 15．（多选）（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）设，，若，则实数的值可以是（    ） A．0 B． C．4 D．1 【答案】ABD 【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的a. 【详解】，因为，所以，所以或或或， 若，则； 若，则； 若，则； 若，无解． 故选：ABD 16．（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合并集定义可得，将中所有元素代入计算即可得. 【详解】由，则， 故有，解得，即. 故答案为：. 17．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知集合．若，则实数 ． 【答案】 【分析】依据给定的并集结果，分类讨论求解参数即可. 【详解】因为，故4必定在中， 当时，解得或，而此时有或， 解得或，故此时， 当时，解得，此时，不满足，故排除， 综上，即实数的值为. 故答案为： 题型五 交集、并集、补集的综合运算 解题技巧提炼 1.对于无限集，长借助于数轴，将已知集合及全集标在数轴上，然后根据交集、并集、补集的定义求解，这样形象直观. 2.对于有限集，先列举出集合中的元素，在结合交、并、补集的定义求解.有时借助于图示法更中国直观形象. 18．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果； 【详解】由，而， 所以. 故选：A 19．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 20．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为全集，集合，所以， 又，所以， 故选：A. 21．（23-24高二下·甘肃白银·期末）设全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集，补集的概念进行求解即可. 【详解】因为，所以或， 因为，所以. 故选：D. 题型六 根据集合的混合运算求集合、参数 解题技巧提炼 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)． 22．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，，，再假设推出矛盾，即可得到，同理得到，，，即可得解. 【详解】因为，， 所以，，，，，， 若，则，，所以，与题意矛盾，所以， 同理可证，，， 所以. 故选：A 23．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【详解】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 24．（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且，+ 解得，所以实数m的取值范围是． 25．（23-24高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）集合的交集和补集的运算计算得出结果；（2）根据已知条件，求解参数范围 【详解】（1）由，得， 方法1： 可得或， 由题，有或， 所以或． 方法2： 则， 所以，或． （2）依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为． 题型七 区间的认识及其应用 解题技巧提炼 两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助图示． ②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 26．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）下列叙述正确的是（    ） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【分析】根据区间的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，用区间可表示为，错误； 对于B，用区间可表示为，错误； 对于C，用集合可表示为，错误； 对于D，用集合可表示为，正确； 故选：D 27.（23-24高一上·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由区间的含义列出限制条件可得答案. 【详解】由题意，，解得. 故答案为： 28.（23-24高一上·全国·课后作业）（1）用区间表示且为 ． （2）已知区间，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）根据区间的表示方法表示即可， （2）由题意可得，从而可求出的取值范围. 【详解】（1）且用区间可表示为， （2）由题意得，得，即的取值范围. 故答案为：；. 题型八 易于导致出错的空集 解题技巧提炼 空集是任何集合的子集，在涉及集合关系、集合运算时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 29．（多选）（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】ABC 【分析】空集是任何一个集合的子集，由，分别对和进行分类讨论求实数的值. 【详解】解得，则. 当时，方程无解，则； 当时，方程有解，则且， 因为，所以，因此，即或，即. 综上所述，时,的值为. 故选：ABC. 30．（多选）（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】ABD 【分析】由，可得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】， 因为，所以， 当时，， 当时，， 则或，所以或， 综上所述，或或. 故选：ABD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$