3.2.2 奇偶性（1）导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版(2019)数学必修第一册导学案 第三章 函数的概念与性质 3.2.2 奇偶性(1) 知识点一 偶函数、奇函数的概念 定义 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数 奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数,称为非奇非偶函数 定义域 特征 偶函数、奇函数定义域关于原点对称 等价 形式 若f(x)≠0,则=-1 f(x)为奇函数;=1 f(x)为偶函数 知识点二 偶函数、奇函数的图象特征 1.偶函数的图象特征 若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,若一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数. 2.奇函数的图象特征 若一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形;反之,若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. 【答一答】 1.奇偶性定义中的“∀”可以省略吗? 2.从奇偶函数的定义来考虑,若对于奇(偶)函数定义域内的任意一个自变量x,它的相反数-x也在定义域内吗?由此得到什么结论?y=x2,x∈[-1,1)是偶函数吗? 3.若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)等于什么? 4.一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数吗?函数图象关于原点对称呢? 5.如图是偶函数f(x)在y轴右侧部分的图象,试画出函数f(x)在y轴左侧部分的图象. 【例题探究】 类型一 判断函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=+; (2)f(x)=; (3)f(x)=|x+a|-|x-a|(a∈R); (4)f(x)=; (5)f(x)= [变式训练1] (1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y= B.y=x+C.y=x2+ D.y=x+x2 (2)函数f(x)=是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 类型二 函数奇偶性的图象特征 [例2] (1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) (2)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图,则不等式f(x)<0的解集是_. [变式训练2] (1)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,则不等式f(x-2)≥0的解集是_ (2)奇函数y=f(x)的局部图象如图所示,则f(2)与f(4)的大小关系为_ 类型三 利用函数的奇偶性求参数 [例3] (1)已知函数f(x)=x2+(2-m)x+m2+12为偶函数,则m的值是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 (2)设函数f(x)=为奇函数,则a=_. [变式训练3] (1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a], 则a=_,b=_ (2)已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为_ 类型四 抽象函数的奇偶性 [例4] 函数f(x),x∈R,若对任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x)为奇函数. [变式训练4] 若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是( ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数 【课堂小练】 1.f(x)=x3+的图象关于( ) A.原点对称 B.y轴对称 C.y=x对称 D.y=-x对称 2.函数f(x)=的奇偶性为( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 3.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a= . 4.已知f(x)是定义在[-3,0)∪(0,3]上的奇函数,当x>0时,f(x)的图象如图所示,那么f(x)的值域是 . 5.判断函数f(x)=的奇偶性. 【课堂小结】 1.定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个条件, f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式: f(-x)= f(x) f(-x)∓f(x)=0 = 1(f(x)≠0). 3.函数奇偶性的图象特征 (1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. (2)如果一个函数是偶函数,则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数. 【答案解析】 【答一答】 1.奇偶性定义中的“∀”可以省略吗? 提示:不能省略.如函数y=x2,x∈[-2,3],有f(-2)=4=f(2),f(-1)=f(1),但不能因此就说函数y=x2,x∈[-2,3]是偶函数,因为f(-3)是没有定义的.从这个意义上来说,“∀”实则强调的是函数的定义域一定要关于原点对称.这个条件是必不可少的.抛开了这个条件去讨论函数的奇偶性是毫无意义的.也就是说在讨论一个函数的奇偶性之前,要先探讨函数的定义域. 2.从奇偶函数的定义来考虑,若对于奇(偶)函数定义域内的任意一个自变量x,它的相反数-x也在定义域内吗?由此得到什么结论?y=x2,x∈[-1,1)是偶函数吗? 提示:若对于奇(偶)函数定义域内的任意一个自变量x,它的相反数-x也在定义域内.结论:在函数的定义域内,奇(偶)函数的定义域是对称的.y=x2,x∈[-1,1)不是偶函数,原因是f(-1)≠f(1)(f(1)不存在). 3.若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)等于什么? 提示:∵f(-x)=-f(x),∴f(0)=-f(0),即2f(0)=0,f(0)=0. 4.一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数吗?函数图象关于原点对称呢? 提示:若一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数;图象关于原点对称,则这个函数是奇函数. 5.如图是偶函数f(x)在y轴右侧部分的图象,试画出函数f(x)在y轴左侧部分的图象. 提示:利用偶函数的图象关于y轴对称的特点,可作出函数y=f(x)在y轴左侧部分的图象.如图所示. 【例题探究】 类型一 判断函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=+; (2)f(x)=; (3)f(x)=|x+a|-|x-a|(a∈R); (4)f(x)=; (5)f(x)= [思路分析] 判断函数的奇偶性时,要先求定义域,再进行奇偶性的判断.若有些函数解析式较复杂,可在定义域的基础上化简,然后判断.判断含参函数的奇偶性时,注意对参数进行分类讨论,也可以代入特殊值进行验证. [解] (1)函数f(x)=+的定义域为{-1,1},关于原点对称,此时f(x)=0,所以函数f(x)=+既是奇函数又是偶函数. (2)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数. (3)函数的定义域为(-∞,+∞),关于原点对称. ①当a≠0时,f(-x)=|-x+a|-|-x-a| =|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x); ②当a=0时,f(x)=|x+a|-|x-a|=|x|-|x|=0. 综上,当a≠0时,函数f(x)为奇函数; 当a=0时,函数f(x)既是奇函数又是偶函数. (4)由1-x2≥0,得-1≤x≤1. 由|x+2|-2≠0,得x≠0,且x≠-4. 故函数f(x)的定义域是[-1,0)∪(0,1],关于原点对称.显然x∈[-1,0)∪(0,1]时,x+2>0. 则f(x)==. ∵f(-x)==-=-f(x), ∴f(x)=是奇函数. (5)方法一:∵函数f(x)的定义域是 (-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当x>0时,-x<0, ∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x). 当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x). ∴函数f(x)为奇函数. 方法二:作出函数的图象,如图所示的实线部分:由图可知,该函数为奇函数. 【方法提炼】 判断函数奇偶性的常用方法 1定义法:一般地,当给出函数解析式时常用定义法判断. 2图象法:在函数图象已知或易画出的情况下才使用. 3验证法:求出函数的定义域,当定义域关于原点对称时,判断fx f-x是否为0 fx≠0是否为 1. 4性质法:利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性,以及复合函数的奇偶性判断. 说明:判断一个定义域关于原点对称的函数不具有奇偶性,只要举出反例使f-x≠ fx即可. [变式训练1] (1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( D ) A.y= B.y=x+ C.y=x2+ D.y=x+x2 解析:a,C选项是偶函数,B选项是奇函数,D选项既不是奇函数,也不是偶函数.∴选D. (2)函数f(x)=是( A ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 解析:函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 关于原点对称.当x>0时, -x<0,f(-x)=-(-x)2-1 =-(x2+1)=-f(x); 当x<0时,-x>0, f(-x)=(-x)2+1 =x2+1=-(-x2-1)=-f(x). 综上可知,函数f(x)=是奇函数. 类型二 函数奇偶性的图象特征 [例2] (1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) (2)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图,则不等式f(x)<0的解集是_. [思路分析] (1)利用函数的奇偶性和单调性作出函数f(x)的草图求解; (2)利用奇函数图象的对称性,画出函数f(x)在[-5,0]上的图象,再根据图象写出不等式f(x)<0的解集. [解析] (1)由f(x)在(-∞,0]上是减函数,又偶函数的图象关于y轴对称知,f(x)在[0,+∞)上是增函数. 又由f(2)=0知,函数图象过点(2,0). 故作符合题设条件的示意图如图(1), 由图象知使f(x)<0的x的取值范围为(-2,2),故选D. (2)由奇函数的性质知,其图象关于原点对称,则f(x)在定义域[-5,5]上的图象如图(2),由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|-2<x<0,或2<x≤5}. [答案] (1)D (2){x|-2<x<0或2<x≤5} 【方法提炼】 1.巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞,0](或[0,+∞))上对应的函数图象. 2.奇偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型:利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题. (2)策略:利用函数的奇偶性作出相应函数的图象,根据图象直接观察. [变式训练2] (1)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,则不等式f(x-2)≥0的解集是(-∞,_1]∪[3,_+∞). 解析:由题意知偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,且f(-1)=f(1)=0,所以f(x-2)≥0可转化为x-2≥1或x-2≤-1,解得x≥3或x≤1, ∴所求解集是(-∞, 1]∪[3, +∞). (2)奇函数y=f(x)的局部图象如图所示,则f(2)与f(4)的大小关系为f(2)>f(4). 解析:因为奇函数的图象关于原点对称, 所以f(2)=-f(-2),f(4)=-f(-4), 由函数图象可知f(-2)<f(-4), 所以-f(-2)>-f(-4),即f(2)>f(4). 类型三 利用函数的奇偶性求参数 [例3] (1)已知函数f(x)=x2+(2-m)x+m2+12为偶函数,则m的值是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 (2)设函数f(x)=为奇函数,则a=_. [思路分析] 这是一类已知函数奇偶性,逆向探索参数取值的问题.对于这类问题可以根据定义进行求解,但我们更提倡利用常见奇、偶函数的特征来解决. [解析] (1)因为函数f(x)=x2+(2-m)x+m2+12为偶函数, 所以f(x)=f(-x), 即x2+(2-m)x+m2+12 =(-x)2-(2-m)x+m2+12, 即4-2m=0,所以m=2. (2)方法一:(定义法) 由已知f(-x)=-f(x), 即=-. 显然x≠0得,x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a, 故a+1=0,得a=-1. 方法二:(特值法) 由f(x)为奇函数得 f(-1)=-f(1), 即=-, 整理得a=-1. [答案] (1)C (2)-1 【方法提炼】 已知函数的奇偶性求参数值的三种思路 1若表示定义域的区间含有参数,则可利用对称性列出关于参数的方程. 2一般化策略:对x取定义域内的任一个值,利用f-x与fx的关系式恒成立来确定参数的值. 3特殊化策略:根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解,不过,这种方法求出的参数值要代入解析式检验,看是否满足条件,不满足的要舍去. [变式训练3] (1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=,b=0; 解析:因为偶函数的定义域关于原点对称, 所以a-1=-2a,解得a=. 又函数f(x)=x2+bx+b+1为二次函数, 结合偶函数图象的特点,易得b=0. (2)已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为5. 解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6, 所以(-3)2+a (-3)=-6,解得a=5. 类型四 抽象函数的奇偶性 [例4] 函数f(x),x∈R,若对任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x)为奇函数. [证明] 令a=0,则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0. 又令a=-x,b=x,代入f(a+b)=f(a)+f(b),得 f(-x+x)=f(-x)+f(x).即f(-x)+f(x)=0, ∴f(-x)=-f(x).∴f(x)为奇函数. [变式训练4] 若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是( C ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数 解析:令x1=x2=0,得f(0)=2f(0)+1,所以f(0)=-1.令x2=-x1,得f(0)=f(x1)+f(-x1)+1,即f(-x1)+1=-f(x1)-1,所以f(x)+1为奇函数. 【课堂小练】 1.f(x)=x3+的图象关于( A ) A.原点对称 B.y轴对称 C.y=x对称 D.y=-x对称 解析:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.又f(-x)=(-x)3+=-x3-=-(x3+)=-f(x),∴f(x)是奇函数,∴其图象关于原点对称. 2.函数f(x)=的奇偶性为( D ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析:函数f(x)=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,故f(x)是非奇非偶函数. 3.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=0. 解析:∵f(x)=f(-x),∴x2-|x+a|=x2-|-x+a|. ∴|x+a|=|x-a|,平方得4ax=0恒成立.∴a=0. 4.已知f(x)是定义在[-3,0)∪(0,3]上的奇函数,当x>0时,f(x)的图象如图所示,那么f(x)的值域是[-3,-1)∪(1,3]. 解析:利用奇函数图象的性质可以得到函数f(x)在[-3,0)上的图象,如图所示,利用图象得到函数f(x)的值域为[-3,-1)∪(1,3]. 5.判断函数f(x)=的奇偶性. 解:函数f(x)的定义域为R,关于原点对称. 当x>0时,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)+3 =-(-x2+2x-3)=-f(x). 当x<0时,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3 =-(x2+2x+3)=-f(x). 而x=0时,f(0)=3≠-f(0),所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 学科网(北京)股份有限公司 $$