第1章 三角形的初步认识章末重难点检测卷-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第1章 三角形的初步认识 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（22-23八年级上·河南商丘·期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·浙江·阶段练习）如图四个图形中，线段是的高的图是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知三角形的两边长分别为，，那么这个三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江杭州·一模）将一把含角的直角三角板和一把直尺按如图所示的位置摆放(直尺一边经过A)，若．则的度数是（   ）    A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·新疆阿克苏·期中）下列命题中，是假命题的是（） A．两点确定一条直线 B．若，则 C．相等的角是对顶角 D．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种 6．（23-24七年级下·浙江温州·期末）将一副直角三角板（，）按如图所示摆放，点在上且点在的延长线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·浙江台州·期中）健康骑行逐渐受到人们喜欢，图1是便携式折叠自行车，图2是其示意图． ， ，平分．若，，则　　 A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，与的平分线交于点，若，，则四边形的周长为（    ） A．38 B．40 C．44 D．56 9．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，锐角中，平分平分与相交于点，则下列结论①；②连接，则；③；④若，则．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．③④ 10．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）如图，中，平分，是的中点，过点作的垂线交于点，连接，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24七年级下·广东惠州·期中）用“如果…那么…”形式将命题“同角的补角相等”可以改写成 ． 12．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，若，B、E、C、F在同一直线上，，则的长是 cm．    13．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 ．    14．（23-24七年级下·浙江温州·期末）图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则 度．当眼睛视线，且瑞瑞身体时， 度． 15．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知三边分别是、、， 化简 16．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ． 三、解答题（8小题，共68分） 17．（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，交于点，，．求证：．    18．（22-23九年级下·浙江衢州·阶段练习）如图，在的网格中，已知的顶点均在格点上．请按要求在图1和图2的网格内画图（图1，图2在答题纸上）    (1)在图1中画出格点，使得与全等（点不与点重合）． (2)在图2中画出的外心． 19．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，，点E，P，F分别在，，上，连结，，且满足． (1)若，求的度数． (2)若度，度，探索m，n之间的数量关系，并说明理由． 20．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，已知，．下面给出四个条件：①；②；③；④．请你从中任选一个条件，使得，并写出证明过程．    21．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在中，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)探究：小明认为如果不知道与的具体度数，只知道，也能得出的度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由． 22．（23-24七年级下·浙江金华·期末）光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角（锐角）与反射光线与镜面的夹角（锐角）相等，例如：在图1中，有． (1)如图2，已知有两个平面镜镜面与镜面，入射光线能够经镜面形成反射，记反射光线分别为． ①当，时，求的度数． ②记，，当时，求，之间的等量关系． (2)如图3，已知有三个平面镜，其中镜面放在水平地面上固定，调整镜面与镜面的摆放角度，使得入射光线能够经镜面形成反射，记反射光线分别为． ①当，，时，求的度数． ②记，，当m，n存在怎样的等量关系时，有成立，请写出关于m，n之间的等量关系，并说明相应理由． 23．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）综合与实践． 活动主题 设计一款日常的多功能椅子 素材1 座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提供舒适的工作和休息． 图1是某折叠式靠背椅的实物图，图2是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应和，椅腿可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆，靠背与椅腿的夹角在转动过程中形状保持不变．此时椅面和靠背平行．注：三角形内角和为． 素材2 图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆与椅腿夹角变小，使与椅面贴合，此时椅面与地面平行． 素材3 座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求． 素材4 通过将靠背与椅腿的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面下H点与E点之间设置成三个卡档，来调整靠背和椅面的角度，以满足不同的需要．图4是舒适档．椅面倾角为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角β为靠背的延长线与椅面的延长线的夹角． 24．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图1，一块三角板如图放置，，直线分别交于点，的角平分线交于点，交于点是线段上的一点（不与重合），连接交于点． (1)判断之间的关系，并说明理由； (2)若． ①用含的代数式表示的度数； ②当时，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，求出此时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的初步认识 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（22-23八年级上·河南商丘·期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用证明三角形全等的理解，观察图形可得三角形的两角及其夹边，选择答案即可，理解利用证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：∵由图可得三角形的两角及其夹边， ∴依据可画出全等的三角形， 故选：D． 2．（22-23九年级下·浙江·阶段练习）如图四个图形中，线段是的高的图是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形的高线的定义是解题的关键； 三角形的高是从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段，据此求解即可． 【详解】解：根据三角形高的定义可知四个选项中只有D选项中线段是的高， 故选：D． 3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知三角形的两边长分别为，，那么这个三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的三边之间的关系及整式的加减，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再确定这个三角形的周长C的取值范围即可． 【详解】解：设第三边长x． 根据三角形的三边关系， 得，即， ∴这个三角形的周长C的取值范围是， 即． 故选：B． 4．（2024·浙江杭州·一模）将一把含角的直角三角板和一把直尺按如图所示的位置摆放(直尺一边经过A)，若．则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理等，如图，根据平行线的性质可得，根据对顶角相等可得，再利用三角形内角和为180度即可求解． 【详解】解：如右图所示，    ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 5．（23-24七年级下·新疆阿克苏·期中）下列命题中，是假命题的是（） A．两点确定一条直线 B．若，则 C．相等的角是对顶角 D．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种 【答案】C 【分析】本题主要考查命题的真假判断，根据命题与定理进行一一判断可得答案． 【详解】解：A．两点确定一条直线，是真命题，不符合题意； B．若，则，是真命题，不符合题意； C．相等的角不一定是对顶角，是假命题，符合题意； D．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，是真命题，不符合题意； 故选C． 6．（23-24七年级下·浙江温州·期末）将一副直角三角板（，）按如图所示摆放，点在上且点在的延长线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，直角三角形两锐角互余． 先根据平行线的性质得出，再求出，则，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（23-24七年级下·浙江台州·期中）健康骑行逐渐受到人们喜欢，图1是便携式折叠自行车，图2是其示意图． ， ，平分．若，，则　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得，，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C． 8．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，与的平分线交于点，若，，则四边形的周长为（    ） A．38 B．40 C．44 D．56 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，构造辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．过点作，根据角平分线可证明，，得到，，从而推算出四边形的周长等于． 【详解】解：如下图所示，过点作， 的平分线交于点E， ∴， ，， ， ∴， ∵，， ∴， 同理可得： ， ∵， ∴四边形的周长为， 故选：C． 9．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，锐角中，平分平分与相交于点，则下列结论①；②连接，则；③；④若，则．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、全等三角形的常见辅助线-截长补短等知识点，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．①根据即可判断；②假设，可推出得到，即可判断；③在上取一点，使得，证、即可判断；④作，证，设，根据即可判断． 【详解】解：∵ ∴ ∵平分平分 ∴ ∴，故①正确； 如图1所示： ∵平分平分 ∴ 若， 则 ∴ ∴ ∵， ∴，与题目条件不符，故②错误； 在上取一点，使得，如图1所示： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，故③正确； 作，如图2所示： ∵，， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 即： ∴ 设，则 ∵ ∴ ∵ ∴ 解得： ∴，故④正确； 故选：C 10．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）如图，中，平分，是的中点，过点作的垂线交于点，连接，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件得到垂直平分，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，得，根据角平分线的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到． 【详解】是的中点，过点作的垂线交于点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查三角形的性质定理，关键要掌握中垂线的性质． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24七年级下·广东惠州·期中）用“如果…那么…”形式将命题“同角的补角相等”可以改写成 ． 【答案】如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题；先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式即可． 【详解】解：用“如果…那么…”形式将命题“同角的补角相等”可以改写成“如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等”； 故答案为：如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等． 12．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，若，B、E、C、F在同一直线上，，则的长是 cm．    【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到，再根据，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：3． 13．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质；过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过O作于点E，    ∵平分于点D， ∴， ∴的面积为：， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·浙江温州·期末）图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则 度．当眼睛视线，且瑞瑞身体时， 度． 【答案】 155 65 【分析】本题考查平行线的判定及性质，垂直的定义，三角形外角的性质． 延长，交于点N，延长，交于点M．由得到，再根据三角形外角的性质得到，由，即可求得，进而，又，则，再由即可求得． 【详解】解：延长，交于点N，延长，交于点M． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：155；65 15．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知三边分别是、、， 化简 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算．根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解． 【详解】解：∵、、分别为的三边长， ∴，， ∴，，， ∴ 故答案为：． 16．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ． 【答案】 【分析】连接，过作，如图所示，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，由等腰三角形性质得出，最后利用外角性质即可得到答案． 【详解】解：连接，过作，如图所示： ∵平分，平分， ， ∴平分，则， ∵平分，平分， ∴， ， ， ∴，则， ∵将纸片沿折叠，点落在点处， ∴， ∴， ， ∴， 是的一个外角， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于是解题的关键． 三、解答题（8小题，共68分） 17．（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，交于点，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法是解题的关键． 在中根据角角边可判定，可得，由此即可求解． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即． 18．（22-23九年级下·浙江衢州·阶段练习）如图，在的网格中，已知的顶点均在格点上．请按要求在图1和图2的网格内画图（图1，图2在答题纸上）    (1)在图1中画出格点，使得与全等（点不与点重合）． (2)在图2中画出的外心． 【答案】(1)画图见详解 (2)画图见详解 【分析】（1）根据角边角的判定方法即可求解； （2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵与全等，即是公共边， ∴过点作，过点作，交于点，如图所示，      ∴即为所求图形． （2）解：三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点，如图所示，分别作的垂直平分线，交于点，    ∴点是的外心． 【点睛】本题主要考查格点图形的作图，掌握三角形全等的判定，三角形外心的定义是解题的关键． 19．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，，点E，P，F分别在，，上，连结，，且满足． (1)若，求的度数． (2)若度，度，探索m，n之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质． （1）由平行线当性质推出，即可求出． （2）延长交反向延长线于K，由平行线的性质推出，由垂直的定义得到，由三角形外角的性质得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 延长交反向延长线于K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，已知，．下面给出四个条件：①；②；③；④．请你从中任选一个条件，使得，并写出证明过程．    【答案】选②（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，先选择合适的条件，再证明两个三角形全等是关键．本题已经有条件，，证明，再补充条件证明即可． 【详解】解：选一个条件；②（答案不唯一），理由如下： ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 21．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在中，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)探究：小明认为如果不知道与的具体度数，只知道，也能得出的度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)可以， 【分析】本题考查角平分线定义、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线定义即可解答； （2）先利用三角形内角和定理可得，然后根据角的和差即可解答； （3）用表示出、，然后根据角的和差可得，最后将代入即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴. ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ （3）解：可以，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 若，则． 22．（23-24七年级下·浙江金华·期末）光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角（锐角）与反射光线与镜面的夹角（锐角）相等，例如：在图1中，有． (1)如图2，已知有两个平面镜镜面与镜面，入射光线能够经镜面形成反射，记反射光线分别为． ①当，时，求的度数． ②记，，当时，求，之间的等量关系． (2)如图3，已知有三个平面镜，其中镜面放在水平地面上固定，调整镜面与镜面的摆放角度，使得入射光线能够经镜面形成反射，记反射光线分别为． ①当，，时，求的度数． ②记，，当m，n存在怎样的等量关系时，有成立，请写出关于m，n之间的等量关系，并说明相应理由． 【答案】(1)①；②； (2)①；②，理由见解析． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理： （1）①根据题意可得，则由平角的定义得到，再由平行线的性质得到，据此根据平角的定义可得答案；②根据平角的定义得到,，再由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）①先根据题意和平角的定义求出，，则，过点G作，由平行线的性质得到，则，再证明，得到，则，即可得到．②先求出，过点G作，则，证明，得到，得到，进而推出，则，即． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ②∵，， ∴, ， ∵， ∴， 即，∴， ∴． （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点G作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②，理由如下： ∵， ∴， 过点G作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 23．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）综合与实践． 活动主题 设计一款日常的多功能椅子 素材1 座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提供舒适的工作和休息． 图1是某折叠式靠背椅的实物图，图2是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应和，椅腿可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆，靠背与椅腿的夹角在转动过程中形状保持不变．此时椅面和靠背平行．注：三角形内角和为． 素材2 图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆与椅腿夹角变小，使与椅面贴合，此时椅面与地面平行． 素材3 座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求． 素材4 通过将靠背与椅腿的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面下H点与E点之间设置成三个卡档，来调整靠背和椅面的角度，以满足不同的需要．图4是舒适档．椅面倾角为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角β为靠背的延长线与椅面的延长线的夹角． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：①；②25度 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理，理解题意，看懂角度前后的变化是解答的关键． 任务1：利用平行线的性质和三角形的内角和定理求解即可； 任务2：过F作，则，根据平行线的性质得到，，进而可由推导出； 任务3：①根据平行线的性质得到，再根据三角形的内角和定理求解即可； ②求出工作档时的，进而作差即可得答案． 【详解】解：任务1： ∵，， ∴， ∵，， ∴； 任务2：由题意，，， 如图，过F作，则， ∴，， ∴， ∴； 任务3：①如图，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②工作档时如图，已知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背需要转过25度． 24．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图1，一块三角板如图放置，，直线分别交于点，的角平分线交于点，交于点是线段上的一点（不与重合），连接交于点． (1)判断之间的关系，并说明理由； (2)若． ①用含的代数式表示的度数； ②当时，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，求出此时的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②当的其中一边与的某一边平行时t的值为5秒或秒或秒或秒或秒 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形的内角和及一元一次方程在几何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键． （1）作，根据，得出，根据平行线的性质得出，即可求解； （2）①设，则，，根据，得出，结合平分，，即可得出，解得，由（1）得即可求解； ②当时，，，，分为（i）当时，（ii）当时，（iii）当时，即与在同一直线上时，（iv）当时，（v）当时，分别画图求解； 【详解】（1）解：． 理由如下： 作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①设，则，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得； ②解：当时，，，， （i）当时，延长交边于P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当绕E点旋转时，， ∴； （ii）当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当绕点E旋转时，， ∴； （iii）当时，即与在同一直线上时， ∴， ∴当绕点E旋转时，， ∴， （iv）当时， ∵， ∴． ∴当旋转时，． ∴； （v）当时， ∵，， ∴． ∴当旋转时，． ∴， 当的其中一边与的某一边平行时t的值为5秒或秒或秒或秒或秒． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$