2.1.1等式与不等式（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

2.1.1 等式与不等式 课程标准 学习目标 （1）梳理等式的性质, 理解不等式的概念, 掌握不等式的性质。 （1）掌握不等式的性质，并会利用; （2）掌握利用作差或作商法比较两数或两式大小； （3）掌握证明不等式的技巧.（难点) 知识点01 关于两数大小的基本事实 如果，那么；如果，那么；如果，那么. 【即学即练1】比较与的大小. 知识点02 不等式的性质 (1) 传递性：； (2) 加法法则：； (3) 乘法法则：； (4) 倒数法则：； (5) 乘方法则：. 【即学即练2】已知且，则 ( ) A、 B、 C、 D、 【题型一：由已知条件判断所给不等式是否正确】 例1．根据条件：a，b，c满足，且，有如下推理：①   ②  ③  ④其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 变式1-1．已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用不等式的性质求解，若是选择题，也可采取排除法，即通过举反例进行否定. 【题型二：比较两个数的大小】 例2．设，，，则的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 变式2-2．设，，，则P，Q，R的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 比较带有根号的两个数的大小，思考方向主要是分析法，把带有根号的数值通过平方转化为不带根号的数值比较大小. 【题型三：作差法比较代数式的大小】 例3．实数，，满足且，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．下列不等式中成立的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 变式3-2．已知实数a，b，c满足，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分别为，且.若他每次购买数量一定，其平均价格为；若他每次购买的费用一定，其平均价格为，则（    ） A． B． C． D．，不能比较大小 【方法技巧与总结】 1 如果，那么；如果，那么；如果，那么. 2 比较两个式子，b大小，可采取作差法，判断与的大小比较. 【题型四：作商法比较代数式的大小】 例4．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？ 变式4-1．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 变式4-2．设，，则（    ）． A． B． C． D． 变式4-3．设，试比较与的大小. 【方法技巧与总结】 1 如果，且，那么；如果，那么；如果，且，那么. 2 比较两个式子，b大小，可采取作商法，判断与的大小比较，但此时要注意的正负； 3 往往式子是幂的形式，常用作商法. 【题型五：利用不等式求值或取值范围】 例5．（多选）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（   ） A． B． C． D． 变式5-1．已知，，则的取值范围是 . 变式5-2．若实数x，y满足1≤xy2≤4，3≤x2y≤5，则xy5的取值范围是 ． 变式5-3．（多选）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 利用不等式求值或取值范围，要注意严谨地不等式性质，不能想当然； 2 若，，则，但和是不对的. 【题型六：证明不等式】 例6．证明下列不等式： (1)若，求证：； (2)若，，，求证：． 变式6-1．已知函数．若，，且，求证：． 变式6-2．设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 变式6-3．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 【方法技巧与总结】 不等式的证明主要思路包括直接使用不等式的性质、作差法、作商法，也可利用分析法先把要证明的不等式转化为较为简单的不等式形式. 一、单选题 1．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2.如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3.若，那么下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 4.若、为实数，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.设，且，则此四个数中最大的是（    ） A． B． C． D． 6.设，已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7.同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（    ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 8.已知为三个非负实数，且满足，若，则u的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10.已知实数，，满足且，则（    ） A． B． C． D． 11.已知，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．如果，，那么，，从小到大的顺序是 13.设，且，则与的大小关系是 . 14.记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 四、解答题 15．（1）已知，且，证明：． （2）证明：． 16.已知为正实数．求证：. 17.已知三个不等式：①a，b，x均为正数  ②  ③ 请你以其中两个作为条件，余下一个为结论组成一个不等式命题，并判断其真假，若真请给出证明，若假请举出反例说明. 18.已知，求证：的充要条件是． 19．设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.1 等式与不等式 课程标准 学习目标 （1）梳理等式的性质, 理解不等式的概念, 掌握不等式的性质。 （1）掌握不等式的性质，并会利用; （2）掌握利用作差或作商法比较两数或两式大小； （3）掌握证明不等式的技巧.（难点) 知识点01 关于两数大小的基本事实 如果，那么；如果，那么；如果，那么. 【即学即练1】比较与的大小. 解析 ， . 知识点02 不等式的性质 (1) 传递性：； (2) 加法法则：； (3) 乘法法则：； (4) 倒数法则：； (5) 乘方法则：. 【即学即练2】已知且，则 ( ) A、 B、 C、 D、 解析 且，， ，，又，， ，，又, ， 成立，故选. 【题型一：由已知条件判断所给不等式是否正确】 例1．根据条件：a，b，c满足，且，有如下推理：①  ②  ③  ④其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】由，且得c<0，a<0，再根据不等式的性质对每个推理项判断即可. 【详解】由，因为，所以， 对于b的值可正可负也可为0， 因为，而，所以，所以①错误； 因为，，从而，所以②错误； 因为，当时，， 当时，由，所以③正确； 因为，，④正确； 综上可知，③④正确. 故选：B． 变式1-1．已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质判断AD；举例说明即可判断BC. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 变式1-2．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质或反例可得选项. 【详解】因为，所以，D正确； 当时，满足，但是，A,C不正确； 当时，满足，但是，B不正确； 故选：D 变式1-3．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D. 【详解】由于，取，，，无法得到，，故AB错误， 取,则，无法得到，C错误， 由于，则，所以， 故选：D 【方法技巧与总结】 利用不等式的性质求解，若是选择题，也可采取排除法，即通过举反例进行否定. 【题型二：比较两个数的大小】 例2．设，，，则的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对作差可求出，再对作差可求出，即可得出答案. 【详解】解：， 因为，， 而，所以，所以， ， 而，，， 而，所以， 综上，. 故选：D. 变式2-1．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 变式2-2．设，，，则P，Q，R的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对作差可求出，再对作差可求出，即可得出答案. 【详解】解：， ， ， 而，， 而， ，即， 综上，. 故选：B. 【方法技巧与总结】 比较带有根号的两个数的大小，思考方向主要是分析法，把带有根号的数值通过平方转化为不带根号的数值比较大小. 【题型三：作差法比较代数式的大小】 例3．实数，，满足且，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据，变形为比较c，b，根据，变形为，再与b作差比较. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以 故选：A 【点睛】本题主要考查数的大小比较以及不等式的基本性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 变式3-1．下列不等式中成立的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】B 【分析】利用作差法可求得A错误，B正确，D错误，取特殊值可证明C错误，可得结论. 【详解】对于A，易知， 又，所以，，所以，即，A错误； 对于B，， 又，可得，所以，即，可得B正确； 对于C，当时，不成立，即C错误； 对于D，易知，又，所以，即， 可得，因此D错误. 故选：B 变式3-2．已知实数a，b，c满足，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将变形得到得到大小关系，对变形得到得到大小关系，从而得到答案. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 故选：B. 变式3-3．某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分别为，且.若他每次购买数量一定，其平均价格为；若他每次购买的费用一定，其平均价格为，则（    ） A． B． C． D．，不能比较大小 【答案】B 【分析】根据条件分别计算出，作差比较大小即可. 【详解】假设每次购买这种物品的数量为m， 则平均价格； 假设每次购买这种物品所花的钱为， 则第一次购得该物品的数量为，第二次购得该物品的数量为， 则平均价格， 则， 所以， 故选：B. 【方法技巧与总结】 1 如果，那么；如果，那么；如果，那么. 2 比较两个式子，b大小，可采取作差法，判断与的大小比较. 【题型四：作商法比较代数式的大小】 例4．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？ 【答案】乙先到教室 【分析】设出从寝室到教室的路程，甲、乙两人的步行速度和跑步速度，分别表示出甲、乙两人到达教室所用时间，利用作商与1比较大小，即可判断谁先到教室． 【详解】设从寝室到教室的路程为s，甲、乙两人的步行速度为，跑步的速度为，且 甲所用的时间， 乙所用的时间满足： 则 所以 因为 所以，即乙先到教室 【点睛】本题考查了不等式比较大小在实际问题中的应用，注意选择好最后判断的依据，属于中档题． 变式4-1．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 变式4-2．设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 变式4-3．设，试比较与的大小. 【答案】当时两者相等；当时. 【分析】分成、，三种情况进行分类讨论，结合商比较法，判断出两者的大小关系. 【详解】依题意，， 当时，； 当时，： 当时，，所以； 当时，，所以. 故当时，，即. 【点睛】本小题主要考查商比较法比较大小，属于基础题. 【方法技巧与总结】 1 如果，且，那么；如果，那么；如果，且，那么. 2 比较两个式子，b大小，可采取作商法，判断与的大小比较，但此时要注意的正负； 3 往往式子是幂的形式，常用作商法. 【题型五：利用不等式求值或取值范围】 例5．（多选）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得A正确； 对于B中，由，根据不等式的性质，可得正确； 对于C中，由，可得C错误； 对于D中，由，可得D错误. 故选：AB. 变式5-1．已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质可得. 【详解】解：∵，∴， ∵，∴. 故答案为：. 变式5-2．若实数x，y满足1≤xy2≤4，3≤x2y≤5，则xy5的取值范围是 ． 【答案】[，] 【详解】 因为(xy2)3∈[1，64]，∈[，]，所以xy5＝(xy2)3·∈[，]. 变式5-3．（多选）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由不等式的性质直接求解. 【详解】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确； 故选：ACD. 【方法技巧与总结】 1 利用不等式求值或取值范围，要注意严谨地不等式性质，不能想当然； 2 若，，则，但和是不对的. 【题型六：证明不等式】 例6．证明下列不等式： (1)若，求证：； (2)若，，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据作出比较法，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）证明：因为， 又因为，所以，所以． （2）证明：由 ， 因为，， 所以，，，， 所以，． 因为，所以 又因为， 所以，即． 变式6-1．已知函数．若，，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用分析法，要证，只需证，再作差证明即可． 【详解】∵，，且， ∴要证， 只需证， 只需证， 而显然成立， 从而原不等式成立． 变式6-2．设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 变式6-3．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 【答案】(1)若，则；证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）用作差比较法即可； （2）结合（1）的结论即可证明. 【详解】（1）若，则. 证明：. 因为，所以，又，故， 因此. （2）在锐角三角形中，由（1）得， 同理， . 以上式子相加得. 【方法技巧与总结】 不等式的证明主要思路包括直接使用不等式的性质、作差法、作商法，也可利用分析法先把要证明的不等式转化为较为简单的不等式形式. 一、单选题 1．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A，当，时，满足，但是，故A错误； 对于B，当，时，满足，但是，故B错误； 对于C，当，时，满足，但是，故C错误； 对于D，因为，所以，即，故D正确. 故选：D 2.如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察三个数的特征可知最大，再利用作差法判断即可得出结果. 【详解】由选项可知，仅需要比较三个数的大小， 显然， ，所以最大， 由可得，， 所以，即 可得. 故选：D 3.若，那么下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法判断AD，利用不等式的性质判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，，，所以， 因为，，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：B 4.若、为实数，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若，若，则，此时有， 若，则，此时有， 所以，若，则“或”， 即“”“或”； 若“或”，若，不妨取，，则； 若，不妨取，，则. 所以，“”“或”. 因此，“”是“或”的充分不必要条件. 故选：A. 5.设，且，则此四个数中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式性质得，将代入判断大小，应用作差法比较大小. 【详解】由且， 由且， 由，即， 综上，，故最大是. 故选：A 6.设，已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作差即可判断. 【详解】时，， ， 故. 故选：B. 7.同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（    ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【答案】A 【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即得解 【详解】由题意，妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油 设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升 则，且 所以爸爸的加油方式更合算 故选：A 8.已知为三个非负实数，且满足，若，则u的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，，进而结合题意得，，再求得的最大小值后再求和即可得答案. 【详解】解：因为， 所以，， 所以，， 因为为三个非负实数， 所以，且，即， 所以，即， 所以，u的最大值为，最小值为， 所以，u的最大值与最小值之和为. 故选：A 二、多选题 9．若，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据题意，举出反例即可判断ABC，由作差法即可判断D 【详解】令，满足，但是，故A错误； 令，满足，但是，故B错误； 令，满足，但是，故C错误； 因为，所以，故D正确； 故选：ABC 10.已知实数，，满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】AC选项，作差法比较大小；B选项，举出反例；D选项，变形后，作差法比较大小. 【详解】因为且，所以， A选项，，故，A正确； B选项，不妨设，此时满足且，但，B错误； C选项，因为且，所以， ， 所以，C正确； D选项， ， 因为，所以， 故，D正确. 故选：ACD 11.已知，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得，所以A正确； 对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以，所以C错误； 对于D中，由，可得，所以D错误. 故选：AB. 三、填空题 12．如果，，那么，，从小到大的顺序是 【答案】 【分析】三个式子很明显都是负数，所以可通过作商和1比较判断大小。 【详解】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以； 同理，所以。 综上： 故答案为： 【点睛】此题考查比较大小，一般可以考虑作差，作商等方法进行比较，属于简单题目。 13.设，且，则与的大小关系是 . 【答案】 【分析】作差即可比较大小. 【详解】， 由于，且，则， 故， 故答案为： 14.记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解. 【详解】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解. 四、解答题 15．（1）已知，且，证明：． （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】(1)利用不等式的性质证明即可； (2)等价于证明+ +，对不等式两边同时平方后只需证明 ，再平方即可证明. 【详解】证明：（1）由，且， 所以，且 所以，所以 ， 即 ；所以 ，即 ． （2）要证， 只需证 ， 即证； 即证 ， 即证；即证，显然成立； 所以． 16.已知为正实数．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证. 【详解】证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 17.已知三个不等式：①a，b，x均为正数  ②  ③ 请你以其中两个作为条件，余下一个为结论组成一个不等式命题，并判断其真假，若真请给出证明，若假请举出反例说明. 【答案】答案见解析 【分析】结合不等式的性质即可证明. 【详解】方案一：条件：①②  结论：③ 若a，b，x均为正数，且，则，真命题 证明： ∵a，b，x均为正数， ∴， ∴，即 方案二：条件①③  结论：② 若a，b，x均为正数，且，则，真命题 证明：∵即化简得 又∵a，b，x均为正数 ∴ ∴即 方案三：条件②③  结论：① 若，且，则a，b，x均为正数，假命题 例如：，，，满足且，但a，b，x并不全为正数. 三种方案选一种作答即可. 18.已知，求证：的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】由不等式的性质及充要条件的含义证明． 【详解】证明：充分性（条件结论） 因为，所以， 又，所以， 所以充分性成立； 必要性（结论条件） 因为， 而，所以， 所以，所以必要性成立． 综上，的充要条件是． 19．设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 【答案】(1)不满足性质1，不满足性质1. (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）分别举反例证明和时性质1不成立； （2）先分别就，讨论证明若，且，则，再利用这个结论可得证； （3）结合（2）的结论可得解. 【详解】（1）记，， 假如，则当时，对任意，均有，不满足要求； 假如，则当，时，对任意，均有，， 若，同正或同负，则，其余情况下总有，不满足要求. （2）先来证明：若，且，则，同时该结论记为引理. 当时，， 当时，不妨设，则，又，所以. 所以若，且，则. 下面证当时，对任意，总存在，使得， 若，则取，此时， 其中，，且， 由引理可得， 若，则取，此时， 其中，，且，故由引理可得， 综上，当时，对任意，总存在，使得. （3）当时，当时，可取，使得，理由如下： 当时，取，则； 当时，取，则，则，故， 同理，可取，使得，此时， 所以当时，对任意，总存在，使得. 结合（2）的结论可得，对任意，总存在，使得. 综上，所有满足性质1的实数. 【点睛】思路点睛：此题考查等式和不等式的新定义问题，属于难题. （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，分别举反例证明和时性质1不成立； （3）分别就，分类讨论证明若，且，则，再利用这个结论证明当时，对任意，总存在，使得；再证明当时，对任意，总存在，使得，注意完备性. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$