1.2.3全称量词和存在量词（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

1.2.3 全称量词和存在量词 课程标准 学习目标 （1）通过已知的数学实例, 理解全称量词与存在量词的意义; （2）能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定； （3）能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。 （1）掌握全称量词和存在量词的概念; （2）会判断全称量词命题和存在量词命题的真假性；（难点) （3）理解全称量词命题和存在量词命题的否定. 知识点01 含有量词的命题 1 全称量词命题 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 含有全称量词的命题称为全称量词命题． 全称量词命题对中任意一个，有成立，记作． Eg：对所有末位数是的数能被整除，. 2 存在量词命题 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 含有存在量词的命题称为存在量词命题． 存在量词命题存在中的一个，使成立，记作. Eg：至少有一个质数是偶数，. 【即学即练1】 判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性. (1)对所有的正实数，为正且； (2)存在实数，使得； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据全称量词的定义可得命题为全称量词命题，取，可得命题为假命题； （2）根据全存在量词的定义可得命题为存在量词命题，根据判别式可得命题为真命题； 【详解】（1）为全称量词命题，且为假命题，如取，则不成立. （2）为存在量词命题，且为真命题，因为判别式. 知识点02 含量词命题的否定 一般地，命题“”的否定是“”； 命题“”的否定是“”. 【即学即练2】 命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特称命题的否定是全称命题分析判断. 【详解】由题意可得：命题“”的否定是“”. 故选：B. 【题型一：全称量词命题和存在量词命题的判断】 例1． 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再用符号表示即可． 【详解】（1）全称量词命题．表示为，． （2）存在量词命题．表示为一次函数，它的图象过原点． （3）全称量词命题．表示为二次函数，它的图象的开口都向上． 变式1-1．下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【答案】C 【分析】根据全称命题与特称命题中的量词即可判断求解. 【详解】选项A，B，D中，分别有“存在”，“至少”，“”这样的特称量词，所以选项A，B，D都为特称命题，选项C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题. 故选：C. 变式1-2．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 【答案】(1)全称量词命题 (2)全称量词命题 (3)全称量词命题 (4)存在量词命题 (5)存在量词命题 【分析】由已知结合全称量词命题及存在量词命题的定义分别检验各命题． 【详解】（1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于，故为全称量词命题． （2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． （3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题 （4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题． （5）命题可以改写为：存在一对整数x，y，使成立．故为存在量词命题． 【方法技巧与总结】 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 【题型二：全称量词命题和存在量词命题的真假性】 例2．下列命题中错误的有（    ）个 ① ； ②； ③ ； ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据全称命题和特称命题结合二次式分析判断. 【详解】对于①：因为，故①错误； 对于②：因为，故②错误； 对于③：当时，则，故③错误； 对于④：因为，则，故④正确； 可知命题中错误的有3个. 故选：D. 变式2-1．下列三个命题中有几个真命题（    ） ①，；②，； ③至少有一个实数，使得 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据已知命题的描述判断真假，即可得答案. 【详解】①由，可得或，为真命题； ②由，为假命题； ③当时，为真命题. 故选：C 变式2-2．下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】对A：由判断命题为假；对B：当时命题不成立；对C：由及关系判断命题为真；对D：由判断命题为假. 【详解】，，故是假命题； 当时，，故是假命题； ，，故是真命题； 方程中，此方程无解，故是假命题. 故选:：C. 变式2-3．在下列命题中，是真命题的是（    ） A． B． C． D．已知，则对于任意的，都有 【答案】B 【分析】可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/ 【详解】选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除； 选项B，，，故该选项正确； 选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除； 选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除. 故选：B. 变式2-4．下列命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】逐个判定命题的真假即可 【详解】对于A：，所以，A是真命题； 对于B：，所以当时命题不成立，B是假命题； 对于C：取，则满足，所以，，C是真命题； 对于D：取，则满足，所以，，D是真命题， 故选：B 变式2-5．设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是（　　） A．对，A是B的子集；对，C不是D的子集 B．对，A是B的子集；，C是D的子集 C．，A不是B的子集；对，C不是D的子集 D．，A不是B的子集；，C是D的子集 【答案】B 【分析】运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意，是的子集；再由，，求得集合，，即可判断正确，，，错误． 【详解】解：对于集合，， 可得当，即，可得， 即有，可得对任意，是的子集； 当时，，， 可得是的子集； 当时，，且， 可得不是的子集． 综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集． 故选：． 【点睛】本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于中档题． 【方法技巧与总结】 对于全称量词命题，若要判断命题是真命题，则需要给与证明；若要判断命题是假命题，只需要举出个反例； 对于存在量词命题，若要判断命题是真命题，则需要给出一个正例；若要判断命题是假命题，则要证明，往往采取反证法. 【题型三：根据全称量词命题的真假性求参数】 例3．若，是真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用参变量分离法可得出，当时，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围. 【详解】对任意的，，则， 因为，则，则，. 故选：C. 变式3-1．若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案． 【详解】易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题， 则方程有实数根，即． 故选：A． 变式3-2．若命题“”是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得的取值范围. 【详解】若命题“”是真命题， 则当时，不等式为对恒成立； 当时，要使得不等式恒成立，则，解得 综上，的取值范围为. 故选：D. 变式3-3．设为给定的一个实常数，命题，则“”是“命题为真命题”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先求出命题为真命题时，进而判断出答案. 【详解】由题意得对恒成立， 其中， 故在处取得最大值，最大值为4，故， 即命题为真命题时， 由于，但， 故则“”是“命题为真命题”的充分不必要条件. 故选：A 【方法技巧与总结】 1 对于恒成立求参数问题，可转化为最值问题，可采取分离参数法； 2 ，恒成立 ；，恒成立 . 【题型四：根据存在量词命题的真假性求参数】 例4．已知函数，则“，使”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 由不等式有解得到的取值范围，从而得到充分性不成立；通过，判断函数对应的不等式有解，说明必要性成立. 【详解】由” ，使”，即，所以， 即，充分性不成立； 已知函数，当“”时，，函数与轴有两个交点，所以“，使”成立，即必要性成立. 综述，已知函数，则“，使”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 变式4-1．已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最小值即得. 【详解】“，”为真命题，则“，”为真命题， 而，当且仅当时取等号，则， 所以实数a的取值范围为. 故选：A 变式4-2．已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得在，的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求的范围． 【详解】解：命题“，，”是真命题， 即有在，的最大值， 由在，上单调递增，可得取得最大值， 则，可得， 故选：． 【点睛】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题． 变式4-3．已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出为真命题时的范围，进一步可得答案． 【详解】由，得， ，， 则当时，取最小值2，所以， 命题，则，即， 若命题均为假命题，则且，即， ∴实数的取值范围为． 故选：B. 【方法技巧与总结】 1 对于能成立求参数问题，可转化为最值问题，可采取分离参数法； 2 ，恒成立 ；，恒成立 . 【题型五：含有一个量词的命题的否定】 例5．命题“对于任意，都有”的否定命题是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．对于任意，不都有 D．对于任意，都没有 【答案】B 【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解. 【详解】解：因为命题“对于任意，都有”是全称量词命题， 所以其否定命题为存在量词命题，即“存在，使”. 故选：B. 变式5-1．命题“，使得”的否定形式是（    ） A．，使得 B．都有 C．，使得 D．，都有 【答案】D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可求解. 【详解】“，使得”是全称命题，全称命题的否定是特称命题 故否定形式是，都有. 故选：D 变式5-2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题， 即命题“”的否定为“”. 故选：B. 变式5-3．下列命题的否定为假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据原命题与其否定真假性相反可得. 【详解】选项A：因无实数解，故命题，为假命题，其否定为真命题，故A错误； 选项B：当时，，当时，， 故，即命题，为假命题，其否定为真命题，故B错误； 选项C：当时，因为， 所以，即， 故命题，为真命题，其否定为假命题，故C正确； 选项D：，因，所以不一定为有理数， 故命题，为假命题，其否定为真命题，故D错误. 故选：C 【方法技巧与总结】 1 一般地，命题“”的否定是“”； 命题“”的否定是“”. 2 常见的否定形式 是 不是 都是 不都是 等于 不等于 都不是 至少有一个是 大于 小于等于 所有 不是所有 【题型六：含有一个量词的命题的否定的应用】 例6．已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为命题“，”为真命题，令，利用二次函数的性质求解. 【详解】解：因为命题p“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 令，其对称轴为， 当，即时，，解得，此时； 当，即时，，解得，此时无解； 当，即时，，即，此时， 综上：实数a的取值范围是， 故选：B 变式6-1．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项. 【详解】若命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， 即，恒成立， ，，当，取得最大值， 所以，选项中只有是的真子集， 所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为. 故选：D 变式6-2．已知命题：“，使”是假命题，则命题成立的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程解的情况、含有存在量词的命题的否定、充分条件和必要条件的定义分析运算即可得解. 【详解】解：∵“，使”是假命题， 即“，”是真命题， 即方程没有实数根， ∴ ∴，即命题：“，使”是假命题 等价于， 设有集合，命题：，命题的必要不充分条件为命题：， 则命题，而不能， ∴集合是集合的真子集，选项B中集合满足要求， ∴选项B正确. 故选：B. 变式6-3．设函数，命题“存在，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为命题“任意，”为真命题，进而得到在上恒成立，结合二次函数的性质，求得的最大值，即可求解. 【详解】由命题“存在，”的否定为命题“任意，”， 根据题意，可得命题“任意，”为真命题， 即对任意，不等式恒成立， 所以，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 根据二次函数的性质，当时，，即的最大值为， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 变式6-4．已知命题，的否定是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，利用分类讨论，求得参数范围，再根据充分不必要条件的定义，可得答案. 【详解】由题意，命题的否定为命题：，， 当时，则，解得，此时命题为真； 当时，函数为开口向下的二次函数，显然命题为真； 当时，函数为开口向上的二次函数，令， 解得，根据二次函数的性质，此时命题为真. 综上可知，当时，命题为真. 根据题意，结合充分不必要条件的定义，由， 故选：A. 【方法技巧与总结】 命题与命题的真假性是互异的. 一、单选题 1．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项CD不合题意，再判断出命题真假即可得出结论. 【详解】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题， 例如2是素数，但2是偶数，所以A错误； 对于B，易知“，”是全称量词命题， 且由可得，所以是真命题，即B正确； 对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意； 对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意； 故选：B 2.命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】“若，则”的否定为“且” 【详解】根据命题的否定形式可得：原命题的否定为“” 故选：C 3.给出下面四个命题： ①，； ②，； ③，的个位数字等于3； ④，. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据不等式性质和全称命题定义判断；②根据不等式性质和称命题定义判断；③用例举法判断；④用一元二次方程根的判断式判断. 【详解】对于①，因为，所以，，所以①对； 对于②，当时，，当时，，所以，成立，所以②对； 对于③，设，，，的个位数字等于的个位数字， 所以的个位数字都不等于3，所以③错； 对于④，因数，所以方程无实数解，所以④错. 故选：B. 4.下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例否定选项ABD，利用绝对值定义可得选项C正确. 【详解】当时，.故选项A判断错误； 由可得，.故选项B判断错误； .故选项C判断正确； 由，可得选项D判断错误. 故选：C 5.若“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原命题为假，则其否定为真即“，”是真命题，利用分离参数思想结合基本不等式求出最值即可得结果. 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 即存在，使成立.又等号仅当， 即时成立，所以只要，解得. 故选：B. 【点睛】对于能成立问题，常用到以下两个结论： （1）能成立⇔； （2）能成立⇔. 6.已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，命题：，为真命题，分、两种情况讨论，利用参变量分离法求出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，命题：，为真命题. ①当时，则，不合乎题意； ②当时，则，令， 则， 所以，当时，，则. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 7.已知命题，，命题，恒成立，若，至少有一个是假命题，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可判断命题为真命题，所以可得命题必定为假命题，进而得到参数的取值范围； 【详解】因为，中至少有一个为假命题，而命题，为真命题； 所以命题必定为假命题，所以，解得或. 又命题，为真命题，所以，于是. 故选：B. 【点睛】本题考查全称命题真假性的判断、复合命题真假性求参数取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 8.已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分别求两个命题为真命题时的取值范围，取其补集即可得答案. 【详解】 命题为真时恒成立，，即，， 命题为真时，即 ，解得：或. 命题“且”是真命题时，取交集部分，可得或， 所以命题“且”是假命题时，可得且， 故选： D. 二、多选题 9．下列命题中，是全称量词命题的有（    ） A．至少有一个，使成立 B．对任意的，都有成立 C．对所有的，都有不成立 D．存在，使成立 【答案】BC 【分析】利用全称量词命题的定义逐项判断可得出结论. 【详解】由全称量词命题的否定可知，BC选项中的命题为全称量词命题，AD选项中的命题不是全称量词命题. 故选：BC. 10.下列说法中正确的有（    ） A．命题是全称量词命题 B．“”是“”的既不充分又不必要条件 C．命题“”是真命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABD 【分析】选项A直接根据全称量词命题的定义判断，选项B利用特殊值法判断即可，选项C取特殊值说明即可，选项D利用充要条件判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，A正确； 不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件，B正确； 当时，，所以C错误； 关于的方程有一正一负根， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件， 故D选项正确． 故选：ABD． 11.下列四个结论中正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．设，，则“”的充分不必要条件是“” C．若“，”为假命题，则 D．若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数的取值范围是 【答案】CD 【分析】由全称命题的否定即可判断A，举出反例即可判断B，由一元二次不等式恒成立即可判断C，由二次函数的对称性即可判断D. 【详解】命题“，”的否定是“，”，故A错误； 当时，得不到，比如当时，不满足； 当时，也得不到，比如当，故B错误； 若“，”为假命题，则“，”为真命题， 则，故C正确； 函数，其对称轴为，由于函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则，故D正确； 故选：CD 三、填空题 12．命题是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是 命题(填“真”或“假”)． 【答案】 存在量词命题 真 【分析】根据量词“”即可判断它是存在量词命题，通过举列子可说明是真命题. 【详解】命题p是存在量词命题，当时，成立，故p是真命题． 故答案为：存在量词命题；真. 13.已知命题，则的否定形式是： . 【答案】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可. 【详解】根据题意，命题等价于，其否定为， 即或， 故答案为：. 14.若“”的否定是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用存在量词命题的否定是假命题得“”是真命题，再利用存在量词命题为真得关于x的方程有实根，最后利用判别式计算得结论． 【详解】因为“”的否定是假命题， 所以“”是真命题， 因此关于x的方程有实根， 所以，解得． 因此实数m的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 15．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除； (2)，； (3)，使为29的约数； (4)，． 【答案】(1)存在量词命题，真命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)存在量词命题，真命题 (4)全称量词命题，假命题 【分析】利用全称量词命题与存在量词命题的概念，及不等式的性质，举例子分别判断各命题. 【详解】（1）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题， 既能被整除，又能被整除，故该命题为真命题． （2）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 因为，所以恒成立，故该命题为真命题． （3）命题中含有存在量词“”，故是存在量词命题， 当时，为的约数，所以该命题为真命题． （4）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 当时，，所以该命题为假命题． 16.已知，命题． (1)判断是全称量词命题，还是存在量词命题； (2)若均为真命题，求的取值范围． 【答案】(1)是存在量词命题，是全称量词命题 (2) 【分析】（1）根据定义判断是全称量词命题，或是存在量词命题即可； （2）根据命题均为真命题分别求出的范围，之后取交集即可. 【详解】（1）因为符号“”表示“存在一个”，“存在一个”是存在量词， 所以是存在量词命题． 因为符号“”表示“所有”，“所有”是全称量词， 所以是全称量词命题． （2）若为真命题，则，解得． 若为真命题，则，解得． 因为均为真命题，所以的取值范围为． 17.设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若为真命题，即，使得不等式成立，则转化对于，即可. （2）若为真命题，即，不等式成立，则转化为对于，即可. 【详解】（1）若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则 （2）若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 18.已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，将方程有解问题转化为在值域内，求得二次函数的值域，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，然后分，与讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意，方程在上有解， 令，只需在值域内， 当时，，当时，， 所以值域为， 的取值集合为； （2）由题意，，显然不为空集. ①当，即时，， ， ； ②当，即时，，不合题意舍去； ③当，即时，. ， ； 综上可得或. 19．已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）考虑的情况，然后求解出的范围，最后根据对应范围在实数集下的补集求解出结果； （2）根据条件先分析出，然后考虑的情况，由此求解出符合条件的的取值范围. 【详解】（1）当时，， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，所以， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. （2）因为“，使得”是真命题，所以， 当时， 若，成立，此时，解得； 若，则有或，解得， 所以时，的取值范围是或， 所以命题为真命题时的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.3 全称量词和存在量词 课程标准 学习目标 （1）通过已知的数学实例, 理解全称量词与存在量词的意义; （2）能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定； （3）能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。 （1）掌握全称量词和存在量词的概念; （2）会判断全称量词命题和存在量词命题的真假性；（难点) （3）理解全称量词命题和存在量词命题的否定. 知识点01 含有量词的命题 1 全称量词命题 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 含有全称量词的命题称为全称量词命题． 全称量词命题对中任意一个，有成立，记作． Eg：对所有末位数是的数能被整除，. 2 存在量词命题 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 含有存在量词的命题称为存在量词命题． 存在量词命题存在中的一个，使成立，记作. Eg：至少有一个质数是偶数，. 【即学即练1】 判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性. (1)对所有的正实数，为正且； (2)存在实数，使得； 知识点02 含量词命题的否定 一般地，命题“”的否定是“”； 命题“”的否定是“”. 【即学即练2】 命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【题型一：全称量词命题和存在量词命题的判断】 例1． 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 变式1-1．下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 变式1-2．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 【方法技巧与总结】 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 【题型二：全称量词命题和存在量词命题的真假性】 例2．下列命题中错误的有（    ）个 ① ； ②； ③ ； ④ A．0 B．1 C．2 D．3 变式2-1．下列三个命题中有几个真命题（    ） ①，；②，； ③至少有一个实数，使得 A．0 B．1 C．2 D．3 变式2-2．下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式2-3．在下列命题中，是真命题的是（    ） A． B． C． D．已知，则对于任意的，都有 变式2-4．下列命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式2-5．设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是（　　） A．对，A是B的子集；对，C不是D的子集 B．对，A是B的子集；，C是D的子集 C．，A不是B的子集；对，C不是D的子集 D．，A不是B的子集；，C是D的子集 【方法技巧与总结】 对于全称量词命题，若要判断命题是真命题，则需要给与证明；若要判断命题是假命题，只需要举出个反例； 对于存在量词命题，若要判断命题是真命题，则需要给出一个正例；若要判断命题是假命题，则要证明，往往采取反证法. 【题型三：根据全称量词命题的真假性求参数】 例3．若，是真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式3-1．若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式3-2．若命题“”是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．设为给定的一个实常数，命题，则“”是“命题为真命题”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【方法技巧与总结】 1 对于恒成立求参数问题，可转化为最值问题，可采取分离参数法； 2 ，恒成立 ；，恒成立 . 【题型四：根据存在量词命题的真假性求参数】 例4．已知函数，则“，使”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式4-1．已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 对于能成立求参数问题，可转化为最值问题，可采取分离参数法； 2 ，恒成立 ；，恒成立 . 【题型五：含有一个量词的命题的否定】 例5．命题“对于任意，都有”的否定命题是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．对于任意，不都有 D．对于任意，都没有 变式5-1．命题“，使得”的否定形式是（    ） A．，使得 B．都有 C．，使得 D．，都有 变式5-2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．下列命题的否定为假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【方法技巧与总结】 1 一般地，命题“”的否定是“”； 命题“”的否定是“”. 2 常见的否定形式 是 不是 都是 不都是 等于 不等于 都不是 至少有一个是 大于 小于等于 所有 不是所有 【题型六：含有一个量词的命题的否定的应用】 例6．已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知命题：“，使”是假命题，则命题成立的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 变式6-3．设函数，命题“存在，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式6-4．已知命题，的否定是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 命题与命题的真假性是互异的. 一、单选题 1．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 2.命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 3.给出下面四个命题： ①，； ②，； ③，的个位数字等于3； ④，. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 5.若“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.已知命题，，命题，恒成立，若，至少有一个是假命题，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8.已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中，是全称量词命题的有（    ） A．至少有一个，使成立 B．对任意的，都有成立 C．对所有的，都有不成立 D．存在，使成立 10.下列说法中正确的有（    ） A．命题是全称量词命题 B．“”是“”的既不充分又不必要条件 C．命题“”是真命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 11.下列四个结论中正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．设，，则“”的充分不必要条件是“” C．若“，”为假命题，则 D．若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数的取值范围是 三、填空题 12．命题是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是 命题(填“真”或“假”)． 13.已知命题，则的否定形式是： . 14.若“”的否定是假命题，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除； (2)，； (3)，使为29的约数； (4)，． 16.已知，命题． (1)判断是全称量词命题，还是存在量词命题； (2)若均为真命题，求的取值范围． 17.设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 18.已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 19．已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$