1.2.1&1.2.2命题与充分条件和必要条件（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

1.2.1&1.2.2 命题与充分条件和必要条件 课程标准 学习目标 （1）通过对典型数学命题的梳理, 理解必要条件的意义, 理解性质定理与必要条件的关系; （2）通过对典型数学命题的梳理, 理解充分条件的意义, 理解判定定理与充分条件的关系； （3）通过对典型数学命题的梳理, 理解充要条件的意义, 理解数学定义与充要条件的关系。 （1）掌握命题的概念，并会判断命题的真假性; （2）理解命题的否定，它们之间的真假性互异 ； （3）掌握充分条件、必要条件和充要条件的概念，会判定命题的充分性和必要性.（难点) 知识点01 命题 1 命题 （1）概念：能够作出判断的语句叫做命题，成立的命题叫做真命题，不成立的命题叫做假命题. （2）命题通常由条件和结论组成，“若，则”的形式，其中叫作命题的条件，叫作命题的结论。 当命题“若，则”是真，则记作，读作“推出”； 当命题“若，则”是假，则记作，读作“推不出”. 2 命题的否定 若果是一个命题，则“不成立”也是一个命题，叫作的否定，记作，读作“非”.它们之间的真假性互异. 【即学即练1】 下列命题为真命题的是（    ） A．每一个二次函数的图象都是开口向上 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．梯形的对角线相等 D．有些菱形是正方形 知识点02 充分条件和必要条件 1充分条件与必要条件 1 概念 当“若，则”成立，即时，把叫作的充分条件，叫作的必要条件. ② 是的______条件(填写是否充分、必要) 完成此题型，可思考 从左到右，若则充分，若则不充分； 从右到左，若则必要，若则不必要. 【例】帅哥是男人的____________条件. ③ 从集合的角度理解 命题对应集合， 若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件. 注 若，则称为小范围，为大范围. 【例】帅哥是男人的____________条件. 2 充要条件 如果既有，又有，就记作.此时我们称是的充分必要条件，简称充要条件. 是的充分必要条件指成立当且仅当成立.在这种情况下，和称为互相等价. 结论 命题对应集合， ① 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则； ③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则； ⑤ 若是的充要条件，则. 【即学即练2】 已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型一：命题的概念及其真假性】 例1．（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．所有平行四边形的对角线互相平分 B．若是无理数，则一定是有理数 C．若，则关于的方程有两个负根 D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 变式1-1．有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 变式1-2．下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 变式1-3．甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖；乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 变式1-4．已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 【方法技巧与总结】 1 能够作出判断的语句叫做命题，成立的命题叫做真命题，不成立的命题叫做假命题. 2 命题通常由条件和结论组成，“若，则”的形式 3 判断命题的真假性，先要确定“已知条件是什么，要求证什么”，再判断真假性. 【题型二：命题的否定】 例2．“且”的否定形式为 . 变式2-1．陈述句“或”的否定形式是（    ）． A．且 B．且 C．且 D．或 变式2-2．写出命题：若，则且的否定，并判断真假（    ） A．：若，则且，真命题 B．：若，则且，真命题 C．：若，则或，假命题 D．：若，则或，假命题 【方法技巧与总结】 1 常见的否定形式 是 不是 都是 不都是 等于 不等于 都不是 至少有一个是 大于 小于等于 所有 不是所有 2 命题和它的否定的真假性是互异的. 【题型三：判断命题的充分性或必要性】 例3．有限集合中元素的个数记作，若都为有限集合,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-1．已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 变式3-2．已知：，：，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 变式3-3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-4．“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-5．设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 变式3-6．已知实数，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【方法技巧与总结】 1 当“若，则”成立，即时，把叫作的充分条件，叫作的必要条件. 2 是的______条件(填写是否充分、必要) 完成此题型，可思考 从左到右，若则充分，若则不充分； 从右到左，若则必要，若则不必要. 3从集合的角度理解，命题对应集合， 若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件. 【题型四：根据命题的充分条件或必要条件求参数】 例4．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的值为（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．-2或-4 变式4-1．若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式4-2．不等式“在上恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲､乙､丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 变式4-4．设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 命题对应集合， ① 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则； ③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则； ⑤ 若是的充要条件，则. 【题型五：命题充要条件的判断】 例5．等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．三个数，，不全为零的充要条件是（    ） A．，，都不是零 B．，，中最多有一个是零 C．，，中只有一个是零 D．，，中至少有一个不是零 变式5-3．设表示有限集合A中元素的个数.则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式5-4．（多选）设全集为R，在下列条件中，满足的充要条件的有（    ） A． B． C． D． 变式5-5．（多选）在整数集中，被6除余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充要条件是“” 【方法技巧与总结】 如果既有，又有，就记作.此时我们称是的充分必要条件，简称充要条件. 是的充分必要条件指成立当且仅当成立.在这种情况下，和称为互相等价. 【题型六：命题充要条件的证明】 例5．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，利用这一方法，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，且，点C在线段OB上．设，．结合该图形解答以下问题： (1)用a，b表示OF，OC，FC； (2)根据OF与FC的大小关系，结合（1）的结论可得到什么不等式？并证明是该不等式取等号的充要条件． 变式6-1．已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 变式6-2．求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 变式6-3．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且．则△ABC为直角三角形的充要条件是．试用边长a，b，c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明． 变式6-4．求证：对任意实数，，，成立，等号成立的充分必要条件． 【方法技巧与总结】 命题充要条件的证明，需要证明命题的充分性和必要性，证明的过程中明确什么是条件什么是结论！ 一、单选题 1．下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.对于实数，，，且是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3.在△ABC中，AB2+BC2=AC2是△ABC为直角三角形的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4.命题，命题不都为0，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 5.已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（    ） A． B． C． D． 6.已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7.已知，，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 8.设实数，，则“”是“”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．下列说法不正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 10．下列叙述中不正确的是（    ） A．若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”； B．若，则“”的充要条件是“”； C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； D．“”是“”的充分不必要条件. 11．设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 三、填空题 12．“若，则”的否定形式为 ． 13.命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ． 14.已知：函数的值恒为负，则是的 条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 四、解答题 15．下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？ (1)个位数是5的自然数能被5整除； (2)凡直角三角形都相似； (3)上课请不要讲话； (4)若两个角互为补角，则这两个角不相等； (5)你是高一学生吗？ (6). 16.判断下列命题的真假，并说明理由. (1)“”是“”的必要不充分条件； (2)“”是“”的充要条件. 17.设集合，，命题p：，命题q：． (1)若p是q的充要条件，求正实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围． 18.设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 19．对于给定集合，若集合中任意两个不同元素之和仍是集合中的元素，则称集合是“封闭集合”．设为实常数且，集合，证明：集合为“封闭集合”的充要条件是：存在整数，使得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.1&1.2.2 命题与充分条件和必要条件 课程标准 学习目标 （1）通过对典型数学命题的梳理, 理解必要条件的意义, 理解性质定理与必要条件的关系; （2）通过对典型数学命题的梳理, 理解充分条件的意义, 理解判定定理与充分条件的关系； （3）通过对典型数学命题的梳理, 理解充要条件的意义, 理解数学定义与充要条件的关系。 （1）掌握命题的概念，并会判断命题的真假性; （2）理解命题的否定，它们之间的真假性互异 ； （3）掌握充分条件、必要条件和充要条件的概念，会判定命题的充分性和必要性.（难点) 知识点01 命题 1 命题 （1）概念：能够作出判断的语句叫做命题，成立的命题叫做真命题，不成立的命题叫做假命题. （2）命题通常由条件和结论组成，“若，则”的形式，其中叫作命题的条件，叫作命题的结论。 当命题“若，则”是真，则记作，读作“推出”； 当命题“若，则”是假，则记作，读作“推不出”. 2 命题的否定 若果是一个命题，则“不成立”也是一个命题，叫作的否定，记作，读作“非”.它们之间的真假性互异. 【即学即练1】 下列命题为真命题的是（    ） A．每一个二次函数的图象都是开口向上 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．梯形的对角线相等 D．有些菱形是正方形 【答案】D 【分析】根据题意结合二次函数以及几何知识逐项分析判断. 【详解】对于选项A：例如，其图象是开口向下的，故A错误； 对于选项B：根据平行线的传递性可知：一条直线与两条直线都平行，则这两条直线也平行，故B错误； 对于选项C：例如直角梯形的对角线不相等，故C错误； 对于选项D：正方形也是菱形，即有些菱形是正方形，故D正确； 故选：D. 知识点02 充分条件和必要条件 1充分条件与必要条件 1 概念 当“若，则”成立，即时，把叫作的充分条件，叫作的必要条件. ② 是的______条件(填写是否充分、必要) 完成此题型，可思考 从左到右，若则充分，若则不充分； 从右到左，若则必要，若则不必要. 【例】帅哥是男人的____________条件. 解析 从左到右，显然若是个帅哥，那他肯定是男人，即充分； 从右到左，若是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要. ③ 从集合的角度理解 命题对应集合， 若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件. 注 若，则称为小范围，为大范围. 【例】帅哥是男人的____________条件. 解析 设集合帅哥，集合男人，显然，帅哥是小范围，推得出男人这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件. 2 充要条件 如果既有，又有，就记作.此时我们称是的充分必要条件，简称充要条件. 是的充分必要条件指成立当且仅当成立.在这种情况下，和称为互相等价. 结论 命题对应集合， ① 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则； ③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则； ⑤ 若是的充要条件，则. 【即学即练2】 已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】当时，且，所以成立， 当时，得或，即不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【题型一：命题的概念及其真假性】 例1．（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．所有平行四边形的对角线互相平分 B．若是无理数，则一定是有理数 C．若，则关于的方程有两个负根 D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 【答案】AD 【分析】根据真命题的定义对各个选项逐一判断即可. 【详解】对于A，所有平行四边形的对角线互相平分，所以A正确； 对于B，当时，是无理数，所以B错误； 对于C，由关于的方程有两个负根，得解得，所以C错误． 对于D，两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比，所以D正确． 故选：AD 变式1-1．有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据命题的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A 变式1-2．下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可. 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 变式1-3．甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 【答案】C 【分析】根据四人的描述可知，甲和丙的说法要么同时成立，要么同时不成立；若同时成立则可知丁的说法也对，这不合题意；所以甲和丙的说法都不成立，据此分情况讨论即可得出结论. 【详解】由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”． 所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． 若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对， 这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误； 若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立 所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖． 即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙. 故选：C 变式1-4．已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 【答案】C 【分析】对命题举反例说明即可；对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确； 【详解】对命题：令，则集合是封闭集， 故， 但，故不是封闭集，故命题假； 对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集， 所以， 同理可得， 所以， 所以是封闭集，故命题真； 故选：C 【方法技巧与总结】 1 能够作出判断的语句叫做命题，成立的命题叫做真命题，不成立的命题叫做假命题. 2 命题通常由条件和结论组成，“若，则”的形式 3 判断命题的真假性，先要确定“已知条件是什么，要求证什么”，再判断真假性. 【题型二：命题的否定】 例2．“且”的否定形式为 . 【答案】或 【分析】根据原命题的否定的定义可直接写出结论. 【详解】原命题的否定形式为：或， 故答案为：或. 变式2-1．陈述句“或”的否定形式是（    ）． A．且 B．且 C．且 D．或 【答案】C 【分析】根据命题的否定的概念求解即可. 【详解】“或”的否定形式是：且. 故选：C 变式2-2．写出命题：若，则且的否定，并判断真假（    ） A．：若，则且，真命题 B．：若，则且，真命题 C．：若，则或，假命题 D．：若，则或，假命题 【答案】D 【分析】由原命题的否定的定义求解并判断真假即可. 【详解】由题意得：若，则或， 因为命题为真命题，所以为假命题， 故选：D. 【方法技巧与总结】 1 常见的否定形式 是 不是 都是 不都是 等于 不等于 都不是 至少有一个是 大于 小于等于 所有 不是所有 2 命题和它的否定的真假性是互异的. 【题型三：判断命题的充分性或必要性】 例3．有限集合中元素的个数记作，若都为有限集合,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据集合新定义以及集合交集、子集的含义即可判断. 【详解】因为，所以，又因为都为有限集合， 所以，则正向可以推出， 若，举例，，但，则反向无法推出， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 变式3-1．已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可. 【详解】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出， 因为是的的充分条件，所以， 因为是的必要条件，所以， 因为是的必要条件，所以， 因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确， 因为，，，所以， 推不出，故是的充分不必要条件，②正确； 因为，，所以，是的充分条件，命题③错误； 因为，，所以，又， 所以是的充要条件，命题④错误； 故选：B. 变式3-2．已知：，：，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】依次判断充分性、必要性，即可求解. 【详解】由，解得，由，解得， 所以能推出，不能推出，则是的充分不必要条件. 故选：A 变式3-3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由不等式的性质，分别判断充分性和必要性是否满足. 【详解】由等价于， 由等价于， 由推不出，由可以推出， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 变式3-4．“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解方程，求出方程的根，分别从充分性，必要性两方面验证即可. 【详解】由，得，解得或, 所以时，具有充分性； 而时，或，不具有必要性. 故选：B 变式3-5．设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与推出关系即可. 【详解】由，则，可得，可推出，反向推不出，满足； 由，则，推不出，反向可推出，不满足； 由，则或或，推不出，反向可推出，不满足； 由，则，推不出，反向可推出，不满足； 故选：A 变式3-6．已知实数，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据“”与“”互相推出情况判断属于何种条件. 【详解】当时，则中至少有一个数大于，不妨设此数为， 若，则，所以，所以，所以， 若，则，此时显然成立， 若，此时也显然成立， 所以充分性满足； 当时，则中至少有一个数大于，不妨设此数为， 若，则，因为，所以， 若，则显然成立， 若，则也显然成立， 所以必要性满足， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题在充分、必要条件问题的背景下考查不等式的性质，解答本题的关键在于分类讨论思想的运用以及对不等式性质的理解. 【方法技巧与总结】 1 当“若，则”成立，即时，把叫作的充分条件，叫作的必要条件. 2 是的______条件(填写是否充分、必要) 完成此题型，可思考 从左到右，若则充分，若则不充分； 从右到左，若则必要，若则不必要. 3从集合的角度理解，命题对应集合， 若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件. 【题型四：根据命题的充分条件或必要条件求参数】 例4．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的值为（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．-2或-4 【答案】C 【解析】求出对应的集合分别为，由求解. 【详解】令， ， 由已知，且，∴. ∴或，解得或. 故选：C. 变式4-1．若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出不等式的解集，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】依题意，，解不等式，得， 由不等式成立的充分条件是，得， 于是，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 变式4-2．不等式“在上恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】因为“不等式在上恒成立”，所以等价于二次方程的判别式，即. 所以A选项, 是充分不必要条件，A正确； B选项中，不可推导出，B不正确； C选项中，不可推导出，故C不正确； D选项中，不可推导出，故D不正确. 故选：A. 变式4-3．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲､乙､丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数， 故， 因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 故且，解得， 故“”中的数字可以是1或2. 故选：C 变式4-4．设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充分必要条件和集合的包含关系求解即可. 【详解】由，解得， 所以， 又由，解得， 所以， 因为是的必要不充分条件， 所以集合真包含于， 所以，解得， 经检验，时，，满足题意； 时，，满足题意； 所以实数的取值范围是. 故选:A. 【方法技巧与总结】 命题对应集合， ① 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则； ③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则； ⑤ 若是的充要条件，则. 【题型五：命题充要条件的判断】 例5．等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，化简得到，进而得到答案. 【详解】因为，所以， 展开得，化简得，所以， 所以等式成立的充要条件是. 故选：D. 变式5-1．已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用维恩图求解. 【详解】因为，则关系如图， 由图可知BCD选项错误，正确. 故选：A 变式5-2．三个数，，不全为零的充要条件是（    ） A．，，都不是零 B．，，中最多有一个是零 C．，，中只有一个是零 D．，，中至少有一个不是零 【答案】D 【分析】，，不全为零即，，中至少有一个不是零. 【详解】解：，，不全为零即，，中至少有一个不是零 故选：D． 变式5-3．设表示有限集合A中元素的个数.则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据和题干条件得到，从而得到答案. 【详解】因为， 又， 所以，故， 故则是的充要条件. 故选：C 变式5-4．（多选）设全集为R，在下列条件中，满足的充要条件的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据集合的运算性质及集合间的关系逐项判断即可. 【详解】因为时，，不满足题意，故A错误； 若，显然只有时成立，不满足题意，故B错误； 若，则，同时若时，，满足题意，故C正确； 当时，则，同时，则满足题意，故D正确， 故选：CD. 变式5-5．（多选）在整数集中，被6除余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充要条件是“” 【答案】ACD 【分析】根据题意，由所给定义，逐项分析判断即可求解. 【详解】因为余，故A正确； 因为，所以，故B错误； 任意整数被6除必余其中之一， 所以，故C正确； 整数属于同一“类”，则， 所以，故，反之也成立，故D正确； 故选：ACD 【方法技巧与总结】 如果既有，又有，就记作.此时我们称是的充分必要条件，简称充要条件. 是的充分必要条件指成立当且仅当成立.在这种情况下，和称为互相等价. 【题型六：命题充要条件的证明】 例5．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，利用这一方法，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，且，点C在线段OB上．设，．结合该图形解答以下问题： (1)用a，b表示OF，OC，FC； (2)根据OF与FC的大小关系，结合（1）的结论可得到什么不等式？并证明是该不等式取等号的充要条件． 【答案】(1)，，； (2)，当且仅当时取等号；证明见解析 【分析】（1）根据图形在结合勾股定理求解即可. （2）首先根据题意得到，再证明充分性和必要性即可. 【详解】（1）因为，，可得圆O的半径为， 又由， 在直角中，可得，． （2）因为，所以，当且仅当时取等号． 充分性：当时，，，所以； 必要性：当时；平方得：， 所以， 所以． 变式6-1．已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论． 【详解】解：先证明充分性： 若，则成立． 所以“”是“”成立的充分条件； 再证明必要性： 若，则， 即， ， ， ， ， 即成立． 所以“”是“”成立的必要条件. 综上：成立的充要条件是． 变式6-2．求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【答案】证明见解析 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可. 【详解】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 变式6-3．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且．则△ABC为直角三角形的充要条件是．试用边长a，b，c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明． 【答案】△ABC为锐角三角形的充要条件为．证明见解析 【分析】根据勾股定理易得△ABC为锐角三角形的充要条件是．再分别证明充分与必要性即可． 【详解】设a，b，c分别是△ABC的三条边，且，△ABC为锐角三角形的充要条件是． 充分性：在△ABC中，若，则不是直角， 假设为钝角，如图①，作，交BC延长线于点D， 则由勾股定理得， ， 即，与“”矛盾， 故为锐角，即△ABC为锐角三角形，故充分性成立； 必要性：在△ABC，是锐角，作，D为垂足，如图②， 则由勾股定理得， ， 即，故必要性成立． 故△ABC为锐角三角形的充要条件为． 变式6-4．求证：对任意实数，，，成立，等号成立的充分必要条件． 【答案】见解析 【分析】化简可得，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论. 【详解】证明： ， 当且仅当时，取等号， 所以当时，对任意实数，，，成立，等号成立， 当对任意实数，，，成立，等号成立时，， 所以对任意实数，，，成立，等号成立的充分必要条件． 【方法技巧与总结】 命题充要条件的证明，需要证明命题的充分性和必要性，证明的过程中明确什么是条件什么是结论！ 一、单选题 1．下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角形全等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤. 【详解】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确; 对于②，菱形不一定有外接圆，故错误， 对于③，方程的判别式为，故正确， 对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误， 对于⑤，,故正确; 故选：C． 2.对于实数，，，且是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若“且”则“”成立， 当，时，满足，但且不成立， 故且”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 3.在△ABC中，AB2+BC2=AC2是△ABC为直角三角形的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件结合直角三角形的性质判定即可. 【详解】在△ABC中，若AB2+BC2=AC2， 则， 即△ABC为直角三角形， 若△ABC为直角三角形，推不出， 所以AB2+BC2=AC2不一定成立， 综上，AB2+BC2=AC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件， 故选：A 4.命题，命题不都为0，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】 故不都为0，得到答案. 【详解】 故不都为0， 故是的充要条件. 故选：A 5.已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设集合或，集合，根据是的充分不必要条件，得到集合是集合的真子集，最后根据集合的包含关系判断即可. 【详解】设集合或，集合， 因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 故， 所以B选项符合要求，ACD选项不符合要求. 故选：B. 6.已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 7.已知，，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】直接利用不等式的性质判断充分条件和必要条件. 【详解】解：对于命题，可得到，但是与9没有关系， 当命题，整理， 即得到，故是的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查不等式的性质以及利用等价法判断必要不充分条件，考查学生的运算和推理能力，属于基础题. 8.设实数，，则“”是“”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】本题先根据不等式的性质判断“”推导出“”，说明充分性满足，再借用反例判断“”推导不出“”，说明必要性不满足，从而给出答案. 【详解】解：∵，∴ ，即， ∴ ，∴，∴ 充分性满足； ∵，取，时，，∴ 必要性不满足. 故选：A. 【点睛】本题考查条件充分性与必要性的判定，是基础题. 二、多选题 9．下列说法不正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 【答案】AB 【分析】根据命题的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误； 对于选项B：语句“当时，方程有实根”是陈述句， 当时，则，方程无实根， 即“当时，方程有实根”为假， 故该语句是命题，所以选项B错误； 对于选项C：由菱形的定义和性质可知：对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 即命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题，故C正确； 对于选项D：当时，， 所以“时，”是真命题，故D正确； 故选：AB 10．下列叙述中不正确的是（    ） A．若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”； B．若，则“”的充要条件是“”； C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； D．“”是“”的充分不必要条件. 【答案】AB 【分析】对于AB，举例判断即可，对于C，当方程有一正根和一负根时，求出的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义分析判断，对于D，由求出的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】对于A，当时，若，则恒成立，所以A错误， 对于B，当时，由推不出，所以B错误， 对于C，当方程有一个正根和一个负根时，有，解得， 因为能推出，而不一定有， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，所以C正确， 对于D，由，得，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，所以D正确， 故选：AB 11．设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】ABD 【分析】根据是的充分不必要条件，得到是的真子集，再分情况讨论即可得到的可能取值. 【详解】因为的两个根为3和5，所以， 是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以或或， 当时，满足即可， 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是0，，. 故选：ABD. 三、填空题 12．“若，则”的否定形式为 ． 【答案】若，则或 【分析】根据命题的否定形式直接得出答案. 【详解】“若，则”的否定形式： 若，则或. 故答案为：若，则或. 13.命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为一次函数的图像经过一、二、四象限， 则满足，解得， 即一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是. 故答案为：. 14.已知：函数的值恒为负，则是的 条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】判断命题之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】由于函数， 当时，，而， 即此时函数的值恒为负； 当时，函数的值也恒为负， 故函数的值恒为负，推不出， 故是的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要 四、解答题 15．下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？ (1)个位数是5的自然数能被5整除； (2)凡直角三角形都相似； (3)上课请不要讲话； (4)若两个角互为补角，则这两个角不相等； (5)你是高一学生吗？ (6). 【答案】(1)真命题，原因见解析 (2)假命题，原因见解析 (3)不是命题（祈使句） (4)假命题，原因见解析 (5)不是命题（一般疑问句） (6)不是命题（无法判断真假） 【分析】（1）真命题，设这个自然数为加以说明； （2）假命题，举反例； （3）不是命题，不是陈述句； （4）假命题，举反例； （5）不是命题，是问句； （6）不是命题，不可以判断真假. 【详解】（1）是命题，并且是真命题． 这是因为个位数是的自然数可写成的形式，而， 所以能被整除，即“个位数是的自然数能被整除”是一个真命题； （2）是命题，并且是假命题. 取三个角分别为的直角三角形，它与三个角分别为的直角三角形不相似．所以“凡直角三角形都相似”是一个假命题； （3）不是命题，因为“上课请不要讲话”不是判断语句，所以它不是一个命题； （4）是命题，并且是假命题， 取一个角为，另一个角也为，它们是互补的，所以它是假命题； （5）不是命题.因为“你是高一学生吗？”是问句，不是表示判断的陈述句，所以它不是命题； （6）不是命题.虽然“”是陈述句，但是它包含一个可变的对象，无法判断其真假，因此它不是命题. 16.判断下列命题的真假，并说明理由. (1)“”是“”的必要不充分条件； (2)“”是“”的充要条件. 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题，理由见解析 【分析】（1）通过判定命题的充分性与必要性即可得出结论； （2）通过判定命题的充分性与必要性即可得出结论. 【详解】（1）该命题是假命题.理由如下， 充分性：当时，，充分性成立， 必要性：由，得，，必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件，故该命题是假命题. （2）该命题是真命题.理由如下， 充分性：若，则，充分性成立， 必要性：若，则，必要性成立. 故该命题是真命题. 17.设集合，，命题p：，命题q：． (1)若p是q的充要条件，求正实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过解不等式可得，由p是q的充要条件，得，即，从而即可求出实数a的取值范围； （2）根据p是q的必要不充分条件，得，从而即可求出实数a的取值范围． 【详解】（1）由，得， 解得，所以， 由p是q的充要条件，得，即，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）由p是q的必要不充分条件，得， 又，则，所以，解得， 综上实数a的取值范围是． 18.设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】设两个方程公共实数根，代入方程化简得到，求得，代入，得到，证得必要性成立；由，可得，代入两个方程，化简得到两方程有公共实数根，进而得到充分性成立，即可得证. 【详解】证明：必要性：设方程与有公共实数根， 则 两式相减并整理，可得 因为，所以，将此式代入中， 整理得，故. 充分性：因为，可得，所以， 将代入方程中，可得， 即， 将代入方程中，可得， 即 故两方程有公共实数根. 所以关于的方程与有公共实数根的充要条件. 19．对于给定集合，若集合中任意两个不同元素之和仍是集合中的元素，则称集合是“封闭集合”．设为实常数且，集合，证明：集合为“封闭集合”的充要条件是：存在整数，使得． 【答案】证明见详解 【分析】根据“封闭集合”的定义从充分性和必要性两个方面分别证明. 【详解】对， 不妨设，则， 若集合为“封闭集合”，即，则， ∵， ∴， 设，即， 又∵对，均有，则 ∴； 故存在整数，使得； 若存在整数，使得，则， ∵，则，且， ∴； 综上所述：集合为“封闭集合”的充要条件是：存在整数，使得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$