广东省汕尾市2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题

开封前注意保密 汕尾市2023一2024学年度第二学期高中一年级教学质量监测 数学 本试题共4页,考试时间120分钟,满分150分 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的信息填写清楚、准确,将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区城内作答,超出答题区域书写的答案无效。 3.答题时请按要求用笔,保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不得使用涂改 液、修正带、刮纸刀。考试结束后,请将本试题及答题卡交回。 一、单选题:本题包括8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.DC+AB-AC= A.DB B.BC C.AD D.CB 2已知复数:=分+月 1 ,则2= B. C.1 D.-1 2 3.若高为√5的圆锥的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的母线长为 A.5 B.6 C.2 D.4 4.若tana=3,则。1+sin2a 2cos2a sin 2a A.-1 B.2 c D.4 5.已知a,b是两条直线, ,B是两个平面,下列命题正确的是 A.若a∥a,b∥a,则a∥b B.若a∥B,aCa,bCB,则a,b是异面直线 C.若aCa,bC,a∥B,b∥B,则a∥B D.若a⊥B,aC,x∩B=b,a⊥b,则a⊥B 6.已知向量a=(2,3),b=(1,0),则向量a-b在向量b上的投影向量为 A.(1,0) B.(2,0) C.(0,3) D.(0,3) 7.已知在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为4的正方形,直线PD 与平面ABCD所成角的正弦值为号,则该四棱锥的外接球的表面积为 A.16m B.32m C.48 D.64T 高一 数学第1页(共4页) 8.在 ABC中,AB=AC,点0为 ABC的垂心,且满是Ad=xA店+yAC,cs∠BAC= 则x+y= A分 B.-1 c. D. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多 项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知x)=sim(2wx+写)(如>0)的最小正周期为m,则 A.0=1 B.函数代x)的图象关于直线x=-石对称 C.函数代x)在区间[-号,引上单调递增 D.将函数代)的图象向右平移7个单位长度后得到的图象关于y轴对称 10.下列命题正确的有 A.若名 2∈R,则,2互为共轭复数 B.在矩形ABCD中,AB+AD=|AB-AD C.已知点P在 ABC所在的平面内,且P P戌=P店 P元=P元.PA,则点P是 ABC 的垂心 D.若0是面积为4的 ABC内部的一点,且OA+O店+2OC=0,则 A0C的面积为1 I1.如图,P是棱长为2的正方体ABCD-A1B,C,D,的表面上一个动点,F是棱A,B1的中 点,则 A.存在点P使得AP⊥A,C 0 B.若点P满足AP⊥BF,则动点P的轨迹长度为2√5 C.若点P满足PF∥平面A,C,D,则动点P的轨迹是正六 P 边形 D D.当点P在侧面B,BCC,上运动,且满足FP=√2时,则 二面角A-CD-P的最大值为60 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.sin20 cos110 +c0s160 sin70 = 13.若复数z=a+bi(a>0)的模为5,虚部为4,则复数z= I4.已知在 ABC中,AC=45,LB=牙,则A店 AC的最大值为 高一 数学第2页(共4页) 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知向量a=(1,3),b=(-1,0) (1)证明:(a+b)⊥b. (2)求a与b的夹角. 16.(15分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,BC∥AD,PA=PB=AB=BC=之AD,E是PD的中点 (1)证明:CE∥平面PAB, (2)若AD⊥平面PAB,PA=2,求三棱锥E-PAB的体积. E 17.(15分) 记 ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2 bcos C=2a+c (1)求B. (2)设b=9,若M是边AC上一点,2AM=MC,且∠MAB=∠MBA,求a,c的值. 18.(17分) 在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90 ,∠ACB=∠ADC=30 ,PA⊥平面ABCD, E,F分别为PD,PC的中点,PA=2AB. (1)证明:平面PAC⊥平面AEF (2)求二面角E-AC-B的大小 高一 数学第3页(共4页) 19.(17分) 设是定义在区间D上的函数,若对任意的,名eD,有作)), 2 测称)为区间D上的下凸函数:若对任意的,名eD,有作到≥), 则称八x)为区间D上的上凸函数.反之也成立 (1)尼知函数)=de0,》求证: () ()函数)xe(0,受)为下凸函数 (参考公式:2 sin asin B=cos(x-B)-cos(a+ )) (2)已知函数g()=ax2+ -之,其中a>0,且函数g(x)在区间(0,1)内为上凸函数, 求实数a的取值范围. 高一 数学第4页(共4页)山尾市2023-2024学年度第二学期高中一年级教学质量监测 答案及评分标准(参考)数学 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。 题号 C. 答案 D D 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。全部选对的得6分,部分选对 的得部分分,有选错的得0分 题号 10 /7 答案 AC BCD AC 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.-113.3+4i 14.24+163 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) (1)证明:因为a=(1,3),b=(-1,0), 所以a+b=(1-1,3+0)=(0,③), ......................... 所以(a+b)·b=0x(-1)+/3x0=0. .............................. 所以(a+b)Ib. (2)解:因为a=(1,3),b=(-1,0), 所以1aI=1+(3)=2,1b1=(-1)+0=1. .................. 又a·..1..-..为.....-1............................ 10分 ab -1 所以cos(a,b)= Tab=2x1 2 又(a,b)=[0,n], ...........................分 16.(15分) (1)证明:如图,取PA的中点F,连接EF,BF 因为E是PD的中点, .....................2分 高一·数学 答案及评分标准(参考) 第1页(共4页) 所以EFBC. 所以四边形EFBC是平行四边形, ..........分 所以CE//BF (用面面平行证明要两个线面平行,各2分) 因为CEC平面PAB,BFC平面PAB. .........................................分 所以CE//平面PAB (2)解:由(1)可知EF/AD. 又AD1平面PAB 所以EF1平面PAB,即EF是三校锥E-PAB的高. ............ ............分 .........1.... 3: 故三校锥E-PAB的休积为23 ........5分 3 17.(15分) 解:(1)因为2bcosC=2a+c. 即2sin Bcos C=2sin( B+C)+sin C =2sin Bcos C+2cos Bsin C+sin C, ....... 3分 所以2cos Bsin C=-sin C. 因为Ce(0,π),所以sinC≠0. 3: .................... (2)如图所示,因为2AM=MC,b=9 所以AV=3,MC=6 .......................... ................分 又乙MAB= MBA,所以BM=AM=3. 在△ABC中,由余弦定理得,b=a^{}+c}-2accosB$$ 即................................................................... 10分 因为2AM=MC,所以AM-1Ac, 所以BM=BA+AM=BA+A=BA+(B-BA)-2BA+B ............ 两边平方得BM-4C^4B·BC 4 +4accosB. .............................................分 所以.-....-.2......②.............................................. 1.分 高一·数学 答案及评分标准(参考) 第2页(共4页) ②-①得3c^②}=3ac,所以a=c, ...........4分 代人①解得a=c=33(负值已舍去) ..................................15分 18.(17分) (1)证明:因为PA1平面ABCD,CDC平面ABCD 所以CDIPA. 因为乙ACD=90*,所以CD1AC. ........... 在△PCD中,因为E,F分别为PD,PC的中点,所以EF/DC, 所以 EF1PA, EF1AC. 因为PAOAC=A. 所以EF1平面PAC 因为EFC平面AEF. 所以平面PAC1平面AEF. (2)解:如图,取AD的中点M,连接EM,则EM//PA,取AC的中点H,连接EH,MH. 则MH/CD. ............. 由EM/PA,PA1平面ABCD,可得EM1平面ABCD,..9分 由MH//CD.CD1AC. 可得MH1AC. .......... 因为MHI是斜线EH在平面ABCD上的射影, 所以AC1EH. .........................1.. (证出AC1平面EMH,同样给2分) 所以之EHM是二面角E-AC-D的平面角, .........13分 所以二面角E-AC-B的平面角与乙EHM互补 在△ACD中,设AC=2x,由乙ACD=90*,乙ADC=30*. 可得CD=23x,所以MH-/③x 因为 ABC=90$, ACB=30*,所以 $PA=2 /AB=AC=2x$$ 在直角三角形EHM中. 所以 EHM=30o. .................................................. 6分 即二面角E-AC-B的大小为150 ......................-... 19.(17分) (1)证明:(i)因为sinx=2sin 2 1-cosx2sin2. 2 高一,数学 答案及评分标准(参考) 第3页(共4页) 1-cosx ..................................分 tan x.tanx。 cosx cos x2 sin x.cos x+sin x cos x1 sin(x,+x) = sinxsinx? sin x. sin x2 sin x. sin x2 .................................4分 2sin(x.+x) 2sin(x.+x) #cos(七_)-+o(×+)>-1-co(+) .........分 ....................分 #)()() 所以 即函数/(x)为下凸函数 ................ (2)解:因为函数g(x)在区间(0,1)内为上凸函数, 恒成立. ............. 2 因为g(x)+g(x)-28({2) .........分 -{() ..........1.. (x.+x2)2 a(x2+x2}-2xx) 2 (x.+x)” 对+(+)} a(x-x)}(x.-x)(3x.+x)(x2-x.)(3x+x) (x:+2)} (+)2} ......................... ..分 (x.-x)2(x-x)2(}+4xx+) 2. (×:+x)2} a(-x)2(x.-x)2(x)+4xx+) 所以 2 <0. .......................................... #(x+x)2} 13分 ...14分 因为0<x.<x<1.所以xxE(0.1).x.+xE(0.2).(x+x)E(0.4). , “22} 2 2 3 一>1+ ...................................................... 16分 所以a<3. 又a>0, 所以实数a的取值范围为(0,3] 高一·数学 答案及评分标准(参考) 第4页(共4页)