专题突破1-1三角形的边、角、三线专项探究（4大题型）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

专题突破1：三角形的边、角、三线专题探究 1、三角形的三边关系 三角形任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边 ☆.判断三条线段能否构成三角形的方法： ①找出最长的线段，然后把最长的线段与较短的两条线段之和作比较； ②若较短的两条线段之和＞最长线段，则能构成三角形 若较短的两条线段之和≤最长线段，则不能构成三角形 2、三角形的内角和定理 三角形三个内角的和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和 ☆.利用三角形的内角和与外角定理求角度时，常和角平分线、高线、平行线、折叠等考点结合，做题时需要同步联系结合考点的作用与性质 3、三角形的“三线” 类型 所在位置 作用 三角形的中线 线段 △内部 1. △的中线能把原△分成面积相等的两部分，同比三等分线可以三等分原△的面积 2.△三条中线的交点叫重心，重心将中线分为2:1两部分 三角形的高线 线段 △内部、外部、边上 △中，有⊥时→求长度，想高线→有高线，想面积→有面积，想等积法；有⊥时→求角度，想90°→△中，直角外的两个小角互余 三角形的角平分线 线段 △内部 △的角平分线出现时，可得角相等，亦可得∠1=½∠2类结论 A B C D 如图，有： 4、常用模型 （1）飞镖模型： （2）三角形角平分线夹角模型： （3）角的“8”字模型： A C B O D 变型： （4）三角形高线与角平分线夹角模型： 题型一 三角形的三边关系 【例1】．（2023秋•温岭市期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．2cm，3cm，5cm B．2cm，3cm，4cm C．2cm，2cm，4cm D．1cm，2cm，4cm 【分析】根据三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断即可． 【解答】解：A．∵2+3＝5，∴不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； B．∵4﹣2＜3＜4+2，∴满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； C．∵2+2＝4，∴不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； D．∵1+2＜4，∴不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】．（2023秋•宁国市期末）嘉兴某校项目化学习小组研究“三角形周长”的课题，将3根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为10cm、3cm，则该三角形的周长可能是（　　） A．18cm B．19cm C．20cm D．21cm 【分析】根据三角形的三边关系，确定出第三根木棒长度的取值范围，即可确定三角形的周长的范围，结合选项即可得出答案． 【解答】解：设第三根木棒长x cm， ∵两根木棒的长分别为3cm、10cm， ∴10﹣3＜x＜10+3， 即7＜x＜13， ∵该三角形的周长＝13+x， ∴20＜13+x＜26， 【变式1-2】．（2023秋•东胜区校级期末）木工要做一个三角形支架，现有两根木条的长度分别为12cm和5cm，则不能作为第三根木条长度的为（　　） A．6cm B．9cm C．13cm D．16cm 【分析】根据三角形的三边关系，则第三根木条的取值范围是大于两边之差7，而小于两边之和17． 【解答】解：由三角形的三边关系得：12﹣5＜x＜12+5， 即7＜x＜17， ∴只有6cm不适合． 故选：A． 【变式1-3】．（2023秋•固始县期末）已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是 　2＜x＜18　． 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案． 【解答】解：根据三角形的三边关系可得：10﹣8＜x＜10+8， 即2＜x＜18， 故答案为：2＜x＜18． 【变式1-4】．（2023秋•椒江区校级期中）在△ABC中，AB＝5，BC＝2，若AC的长是偶数，则△ABC的周长为 　11或13　． 【分析】根据三角形三边的关系得到3＜AC＜7，然后找出此范围内的奇数即可． 【解答】解：根据题意得5﹣2＜AC＜5+2， 即3＜AC＜7， 而AC的长为偶数， 所以AC＝4或6． 当AC＝4时， 此时△ABC的周长为：2+4+5＝11， 当AC＝6时， 此时△ABC的周长为：2+5+6＝13， 故答案为：11或13． 【变式1-5】．（2023春•翠屏区校级期中）现有3cm、4cm、7cm、9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是　2　． 【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可． 【解答】解：四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9； 只有3，7，9和4，7，9能组成三角形． 故答案为：2． 【变式1-6】．（2022春•宿城区期末）已知一个三角形的三边长均为正整数，若其中仅有一条边长为5，且它又不是最短边，则满足条件的三角形有 　10　个． 【分析】由于其中仅有一条边长为5，且它又不是最短边，所以： ①当边长为5是最大的边长时，可能的情况有四种情况． ①当边长为5是第二大的边长时，可能的情况有六种情况． 【解答】解：∵一个三角形的三条边长均为正整数，且仅有一条边长为5，且它又不是最短边， ∴①当边长为5是最大的边长时，可能的情况有3、4、5；4、4、5；3、3、5；4、2、5等4种情况． ②当边长为5是第二大的边长时，可能的情况有2、5、6；3、5、7；3、5、6；4、5、6；4、5、7；4、5、8；共6种情况． 所以共有10个三角形． 故答案为：10． 【变式1-7】．（2023春•浙江期末）在△ABC中，AB＝8，AC＝1． （1）若BC是整数，求BC的长； （2）已知AD是△ABC的中线，若△ACD的周长为10，求三角形ABD的周长． 【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到BD＝CD，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）由题意得：AB﹣AC＜BC＜AC+AB， ∴7＜BC＜9， ∵BC是整数， ∴BC＝8； （2）∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD ∵△ACD的周长为10， ∴AC+AD+CD＝10， ∵AC＝1， ∴AD+CD＝9， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+AD+CD＝8+9＝17． 题型二 依据三角形的内角和定理、外角定理求解角度 【例2】．（2023春•浦江县期末）如图△ABC，已知BE为∠ABC的平分线．若∠ABC＝62°，∠A比∠ABC大10°，求∠BEC的度数是（　　） A．134° B．114° C．46° D．103° 【分析】先由BE平分∠ABC，可得∠ABE＝31°，由∠A比∠ABC大10°，可得∠A＝72°，再根据三角形外角即可求解． 【解答】解：∵BE平分∠ABC，且∠ABC＝62°， ∴， ∵∠A比∠ABC大10°， ∴∠A＝72°， ∵∠BEC＝∠A+∠ABE， ∴∠BEC＝72°+31°＝103°． 故选：D． 【变式2-1】．（2023秋•和县期末）已知△ABC的三个内角度数之比为3：4：5，则此三角形是（　　）三角形． A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不能确定 【分析】根据三角度数的比和三角形内角和定理将三角形的三角分别求出来，然后判定三角形的形状． 【解答】解：∵△ABC的三个内角度数之比为3：4：5， ∴设三角的度数分别为：3x°4x°5x°， ∴3x+4x+5x＝180 解得：x＝15， ∴三个内角的度数分别为：45°60°75°， ∴此三角形为锐角三角形． 故选：A． 【变式2-2】．（2023秋•洞头区校级月考）在△ABC中，BO平分∠ABC，过点O作PO⊥BO交线段AC的延长线于点P．若∠ACB﹣∠A＝20°，则∠APO的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【分析】延长BO交AC于D，根据已知条件得到∠ACB＝20°+∠A，求得∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣2∠A﹣20°＝160°﹣2∠A，根据角平分线的定义得到∠ABD＝＝80°﹣∠A，求得∠BDP＝80°，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：延长BO交AC于D， ∵∠ACB﹣∠A＝20°， ∴∠ACB＝20°+∠A， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣2∠A﹣20°＝160°﹣2∠A， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABD＝＝80°﹣∠A， ∵∠ABD＝∠BDP﹣∠A， ∴∠BDP＝80°， ∵OP⊥BD， ∴∠POD＝90°， ∴∠APO＝90°﹣∠BDP＝10°， 故选：A． 【变式2-3】．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．75° 【分析】先根据题意求出∠1，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【解答】解：由题意得：∠1＝90°﹣60°＝30°， 则∠α＝45°+30°＝75°， 故选：D． 【变式2-4】．（2022秋•拱墅区校级期末）如图，已知∠A＝20°，∠C＝50°，则∠AEB的度数是（　　） A．20° B．70° C．50° D．110° 【分析】直接根据三角形外角的性质解答即可． 【解答】解：∵∠AEB是△ACE的外角，∠A＝20°，∠C＝50°， ∴∠AEB＝∠A+∠C＝20°+50°＝70°． 故选：B． 【变式2-5】．（2023春•浦江县期末）一个三角形的其中两个外角分别是130°和75°，则可知第三只外角的度数是（　　） A．100° B．25° C．155° D．150° 【分析】根据题意求出三角形的两个内角，再根据外角的定义求出结果即可． 【解答】解：由题意可知：角形的其中两个内角180°﹣130°＝50°和180°﹣75°＝105°， ∴第三只外角的度数是50°+105°＝155°， 故选：C． 【变式2-6】．（2024春•秦淮区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点O处，若∠1+∠2＝80°，则∠BOC的度数为 　110°　． 【分析】先由折叠的性质和平角的定义得到∠AED+∠ADE＝140°，进而求出∠A＝40°，根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可． 【解答】解：由折叠的性质可得∠AED＝∠PED，∠ADE＝∠PDE， ∵∠1+∠AEP＝180°，∠2+∠ADP＝180°，∠1+∠2＝80°， ∴2∠AED+2∠ADE＝280°， ∴∠AED+∠ADE＝140°， ∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝40°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB， ∴2∠PBC+2∠PCB＝140°，即∠PBC+∠PCB＝70°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝110°， 故答案为：110°． 【变式2-7】．（2023秋•路桥区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BC于点E，交BD于点F．若∠ABC＝48°，求∠AFB的度数． 【分析】根据题意易得∠CBD＝24°，∠BEF＝90°，然后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，利用∠AFB＝∠BEF+∠CBD求解即可． 【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝48°， ∴， ∵AE⊥BC， ∴∠BEF＝90°， ∴∠AFB＝∠BEF+∠CBD＝90°+24°＝114°． 题型三 由三角形的“三线”的作用求解相关问题 【例3】．（2023秋•浙江期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等． 【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形． 故选：B． 【变式3-1】．（2023秋•鄞州区校级期末）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据高线的定义即可得出结论． 【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高， 故选：A． 【变式3-2】．（2023秋•东阳期末）已知：如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且，则阴影部分的面积为 　4　cm2． 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【解答】解：∵F为CE中点， ∴， ∵E为AD中点， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式3-3】．（2022春•诸暨期末）如图，∠D＝∠E＝∠FAC＝90°，则线段 　BD　是△ABC中AC边上的高． 【分析】根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答． 【解答】解：∵∠D＝90°， ∴BD⊥CD， ∴△ABC中AC边上的高是线段BD． 故答案为：BD． 【变式3-4】．（2023春•义乌期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°． （1）求∠AEC的度数； （2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，AC＝4，则BC＝　10　． 【分析】（1）根据三角形的高的概念得到ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ECB，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝65°， ∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°， ∴∠ECB＝∠ACB＝25°， ∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°； （2）∵F是AC中点， ∴AF＝FC， ∵△BCF与△BAF的周长差为3， ∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3， ∴BC﹣AB＝3， ∵AB＝7， ∴BC＝10， 故答案为：10． 【变式3-5】．（2023秋•杭州期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数． 【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA． 【解答】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60° ∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°， 又∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°， ∵AE、BF是角平分线， ∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°， ∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°， ∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°， ∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°． 故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°． 【变式3-6】．（2023秋•枣阳市期末）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线和中线， （1）下列结论：①BF＝AF，②∠BAE＝∠CAE，③S△ABF＝S△ABC，④∠C与∠CAD互余，其中错误的是 　①　（只填序号）． （2）若∠C＝62°，∠B＝30°，求∠DAE的度数． 【分析】（1）根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可； （2）根据三角形的高线，角平分线和中线以及三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：（1）∵AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线和中线， ∴BF＝FC，故①错误； ∴∠BAE＝∠CAE，故②正确； ∴S△ABF＝S△ABC，故③正确； ∴∠C与∠CAD互余，故④正确； 故答案为：①； （2）∵AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线和中线， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣62°﹣30°＝88°， ∴∠EAC＝∠BAC＝44°， ∵∠C＝62°， ∴∠DAC＝90°﹣62°＝28°， ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝44°﹣28°＝16°． 题型四 三角形内基础模型的相关考察 【例4】．（2023秋•奉化区期末）如图，AB⊥CD于点O，点E、F分别是射线OA、OC上的动点（不与点O重合），延长FE至点G，∠BOF的角平分线及其反向延长线分别交∠FEO、∠GEO的角平分线于点M、N．若△MEN中有一个角是另一个角的3倍，则∠EFO为（　　） A．45°或30° B．30°或60° C．45°或60° D．67.5°或45° 【分析】先根据角平分线和平角的定义可得：∠MEN＝90°，分4种情况讨论，①当∠MEN＝3∠M时，②当∠MEN＝3∠N时，③当∠N＝3∠M时，④当∠M＝3∠N时，根据三角形内角和及外角的性质可得结论． 【解答】解：∵EM平分∠FEB，EN平分∠BEG， ∴∠MEB＝∠FEM，∠NEB＝∠NEG， ∴∠MEB+∠NEB＝（∠FEB+∠BEG）＝90°， ∴∠MEN＝90°； ①当∠MEN＝3∠M时 ∴∠M＝∠MEN＝30°， ∵OM平分∠BOC， ∴∠MOB＝45°， ∴∠MEO＝45°﹣30°＝15°， ∴∠FEO＝30°， ∴∠EFO＝90°﹣30°＝60°； ②当∠MEN＝3∠N时， ∴∠N＝∠MEN＝30°， ∴∠M＝90°﹣30°＝60°＞45°， 此种情况不成立； ③当∠N＝3∠M时， 设∠M＝x°， ∴x+3x＝90， x＝22.5， ∴∠MEO＝45°﹣22.5°＝22.5°， ∴∠FEO＝45°， ∴∠EFO＝90°﹣45°＝45°； ④当∠M＝3∠N时， 设∠N＝y°， ∴y+3y＝90， y＝22.5， ∴∠M＝67.5°＞45° 此种情况不成立； 综上所述，∠EFO的度数为60°或45°； 故选：C． 【变式4-1】．（2024春•盐都区月考）在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠D＝35°，∠E＝72°，那么∠F＝　70　°． 【分析】连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，利用三角形的外角性质，可得出∠BEM＝∠BAE+∠B，∠DEM＝∠DAE+∠ADE，∠DFN＝∠DAF+∠ADF，∠CFN＝∠CAF+∠C，将其相加后可得出∠BED+∠CFD＝∠A+∠B+∠EDF+∠C，再代入各角的度数，即可求出结论． 【解答】解：连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，如图所示． ∵∠BEM是△ABE的外角， ∴∠BEM＝∠BAE+∠B． 同理可得出：∠DEM＝∠DAE+∠ADE，∠DFN＝∠DAF+∠ADF，∠CFN＝∠CAF+∠C， ∴∠BEM+∠DEM+∠DFN+∠CFN＝∠BAE+∠B+∠DAE+∠ADE+∠DAF+∠ADF+∠CAF+∠C， 即∠BED+∠CFD＝∠A+∠B+∠EDF+∠C， ∴72°+∠CFD＝52°+25°+35°+30°， ∴∠CFD＝70°． 故答案为：70． 【变式4-2】．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+∠1，∠BOC＝90°+∠2． 【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC， ∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC， 又∵∠DCE是△BCE的外角， ∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE， ＝（∠ACD﹣∠ABC） ＝∠1，故①正确； ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） ＝180°﹣（180°﹣∠1） ＝90°+∠1，故②、③错误； ∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD， ∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD， ∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°， ∵∠BOC是△COE的外角， ∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确； 故选：C． 【变式4-3】．（2023秋•金东区期末）如图，在△ABC中，AB＞AC，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，若AD与AE构成的角为∠1＝25°，∠B＝30°，则∠C＝　80　度． 【分析】由AD⊥BC，可得出∠ADB＝90°，在△ABD中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAD的度数，结合∠BAE＝∠BAD﹣∠1，可求出∠BAE的度数，由AE平分∠BAC，利用角平分线的定义，可求出∠BAC的度数，再在△ABC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠C的度数． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°． 在△ABD中，∠B＝30°，∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∴∠BAE＝∠BAD﹣∠1＝60°﹣25°＝35°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAE＝2×35°＝70°． 在△ABC中，∠B＝30°，∠BAC＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣70°＝80°． 故答案为：80． 【变式4-4】．（2023秋•义乌市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则∠CAD度数为 　55°　． 【分析】过点D分别作DM⊥BA，DN⊥BC，DG⊥AC，可证到DM＝DG，得到AD平分∠CAM，再利用三角形外角性质即可求解． 【解答】解：过点D分别作DM⊥BA，DN⊥BC，DG⊥AC，垂足分别是点M、N、G， ∵BD平分∠ABC，DM⊥BA，DN⊥BC， ∴DM＝DN， 同理可得，DN＝DG， ∴DM＝DG， ∵DM⊥BA，DG⊥AC， ∴AD平分∠CAM， ∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°， ∴∠CAM＝50°+60°＝110°， ∴， 所以∠CAD度数为55°． 故答案为：55°． 【变式4-5】．（2023秋•滨江区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线． （1）若∠B＝60°，∠C＝40°，求∠DAE的度数． （2）若∠B＝α，∠C＝β（α＞β），请直接写出∠DAE的度数（用含α，β的代数式表示）． 【分析】（1）由高线可得∠ADB＝90°，再由三角形的内角和可求得∠BAD＝30°，∠BAC＝80°，利用角平分线的定义可求得∠BAE＝40°，从而可求∠DAE的度数； （2）参照（1）进行求解即可． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高线， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝60°，∠C＝40°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝30°， ∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠BAC＝40°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°； （2）∵AD是△ABC的高线， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝α，∠C＝β， ∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝90°﹣α， ∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣α﹣β， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠BAC＝90°﹣， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破1：三角形的边、角、三线专题探究 1、三角形的三边关系 三角形任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边 ☆.判断三条线段能否构成三角形的方法： ①找出最长的线段，然后把最长的线段与较短的两条线段之和作比较； ②若较短的两条线段之和＞最长线段，则能构成三角形 若较短的两条线段之和≤最长线段，则不能构成三角形 2、三角形的内角和定理 三角形三个内角的和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和 ☆.利用三角形的内角和与外角定理求角度时，常和角平分线、高线、平行线、折叠等考点结合，做题时需要同步联系结合考点的作用与性质 3、三角形的“三线” 类型 所在位置 作用 三角形的中线 线段 △内部 1. △的中线能把原△分成面积相等的两部分，同比三等分线可以三等分原△的面积 2.△三条中线的交点叫重心，重心将中线分为2:1两部分 三角形的高线 线段 △内部、外部、边上 △中，有⊥时→求长度，想高线→有高线，想面积→有面积，想等积法；有⊥时→求角度，想90°→△中，直角外的两个小角互余 三角形的角平分线 线段 △内部 △的角平分线出现时，可得角相等，亦可得∠1=½∠2类结论 A B C D 如图，有： 4、常用模型 （1）飞镖模型： （2）三角形角平分线夹角模型： （3）角的“8”字模型： A C B O D 变型： （4）三角形高线与角平分线夹角模型： 题型一 三角形的三边关系 【例1】．（2023秋•温岭市期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．2cm，3cm，5cm B．2cm，3cm，4cm C．2cm，2cm，4cm D．1cm，2cm，4cm 【变式1-1】．（2023秋•宁国市期末）嘉兴某校项目化学习小组研究“三角形周长”的课题，将3根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为10cm、3cm，则该三角形的周长可能是（　　） A．18cm B．19cm C．20cm D．21cm 【变式1-2】．（2023秋•东胜区校级期末）木工要做一个三角形支架，现有两根木条的长度分别为12cm和5cm，则不能作为第三根木条长度的为（　　） A．6cm B．9cm C．13cm D．16cm 【变式1-3】．（2023秋•固始县期末）已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是 　 　． 【变式1-4】．（2023秋•椒江区校级期中）在△ABC中，AB＝5，BC＝2，若AC的长是偶数，则△ABC的周长为 　 　． 【变式1-5】．（2023春•翠屏区校级期中）现有3cm、4cm、7cm、9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是　 　． 【变式1-6】．（2022春•宿城区期末）已知一个三角形的三边长均为正整数，若其中仅有一条边长为5，且它又不是最短边，则满足条件的三角形有 　 　个． 【变式1-7】．（2023春•浙江期末）在△ABC中，AB＝8，AC＝1． （1）若BC是整数，求BC的长； （2）已知AD是△ABC的中线，若△ACD的周长为10，求三角形ABD的周长． 题型二 依据三角形的内角和定理、外角定理求解角度 【例2】．（2023春•浦江县期末）如图△ABC，已知BE为∠ABC的平分线．若∠ABC＝62°，∠A比∠ABC大10°，求∠BEC的度数是（　　） A．134° B．114° C．46° D．103° 【变式2-1】．（2023秋•和县期末）已知△ABC的三个内角度数之比为3：4：5，则此三角形是（　　）三角形． A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不能确定 【变式2-2】．2023秋•洞头区校级月考）在△ABC中，BO平分∠ABC，过点O作PO⊥BO交线段AC的延长线于点P．若∠ACB﹣∠A＝20°，则∠APO的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【变式2-3】．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．75° 【变式2-4】．（2022秋•拱墅区校级期末）如图，已知∠A＝20°，∠C＝50°，则∠AEB的度数是（　　） A．20° B．70° C．50° D．110° 【变式2-5】．（2023春•浦江县期末）一个三角形的其中两个外角分别是130°和75°，则可知第三只外角的度数是（　　） A．100° B．25° C．155° D．150° 【变式2-6】．（2024春•秦淮区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点O处，若∠1+∠2＝80°，则∠BOC的度数为 　 　． 【变式2-7】．（2023秋•路桥区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BC于点E，交BD于点F．若∠ABC＝48°，求∠AFB的度数． 题型三 由三角形的“三线”的作用求解相关问题 【例3】．（2023秋•浙江期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【变式3-1】．（2023秋•鄞州区校级期末）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】．（2023秋•东阳期末）已知：如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且，则阴影部分的面积为 　 　cm2． 【变式3-3】．（2022春•诸暨期末）如图，∠D＝∠E＝∠FAC＝90°，则线段 　 　是△ABC中AC边上的高． 【变式3-4】．（2023春•义乌期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°． （1）求∠AEC的度数； （2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，AC＝4，则BC＝　 　． 【变式3-5】．（2023秋•杭州期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数． 【变式3-6】．（2023秋•枣阳市期末）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线和中线， （1）下列结论：①BF＝AF，②∠BAE＝∠CAE，③S△ABF＝S△ABC，④∠C与∠CAD互余，其中错误的是 　 　（只填序号）． （2）若∠C＝62°，∠B＝30°，求∠DAE的度数． 题型四 三角形内基础模型的相关考察 【例4】．（2023秋•奉化区期末）如图，AB⊥CD于点O，点E、F分别是射线OA、OC上的动点（不与点O重合），延长FE至点G，∠BOF的角平分线及其反向延长线分别交∠FEO、∠GEO的角平分线于点M、N．若△MEN中有一个角是另一个角的3倍，则∠EFO为（　　） A．45°或30° B．30°或60° C．45°或60° D．67.5°或45° 【变式4-1】．（2024春•盐都区月考）在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠D＝35°，∠E＝72°，那么∠F＝　 　°． 【变式4-2】．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【变式4-3】．（2023秋•金东区期末）如图，在△ABC中，AB＞AC，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，若AD与AE构成的角为∠1＝25°，∠B＝30°，则∠C＝　 　度． 【变式4-4】．（2023秋•义乌市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则∠CAD度数为 　 　． 【变式4-5】．（2023秋•滨江区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线． （1）若∠B＝60°，∠C＝40°，求∠DAE的度数． （2）若∠B＝α，∠C＝β（α＞β），请直接写出∠DAE的度数（用含α，β的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$