第1章 三角形的初步知识知识归纳与题型训练（10类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

第1章 《三角形的初步知识》 知识归纳与题型训练（10题型清单） 一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 二、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 三、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 四、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点诠释： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 五、三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 六、全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 七、全等三角形的性质 全等三角形对应边相等、对应角相等 要点诠释：全等三角形的周长相等、面积相等、对应边上的“三线”也相等 八、全等三角形的判定 （1）三边分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）； （2）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）； （3）两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）； （4）两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）； 要点诠释：在判定两个三角形全等时，需要注意以下几点 （1） 全等三角形的判定的一般步骤：准备条件——罗列条件——得出全等； （2） 在全等三角形的判定中，已经有什么条件，还需要推导什么条件，一定要认真审题后再定； （3） 全等三角形的判定和性质通常是同时考察的，一般先让判定两个三角形全等，然后再由其性质得对应边相等或对应角相等 九、线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线定义：将一条线段平分，并且垂直于该线段的一条直线叫做这条线段的垂直平分线； 线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 要点诠释： 线段垂直平分线性质定理的证明原理是SAS 线段垂直平分线性质定理的主旨是“点到点的距离相等” 十、角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等； 要点诠释： 角平分线性质定理的证明原理是AAS 角平分线性质定理的主旨是“点到边的距离相等” 十一、定义与命题、证明 定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义 命题：判断某一件事情的句子叫做命题，正确的命题称你为真命题，错误的命题称为假命题； 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理；定理可以作为判断其他命题真假的依据； 证明：要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明； 要点诠释： 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但是不具备命题的结论的实例 十二、尺规作图 定义：用没有刻度的直尺和圆规作图，称为尺规作图 题型一　三角形的三边关系 例题： 1．（2024春•连云港期末）已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为（　　） A．9 B．4 C．5 D．13 【分析】设第三边为x，根据三角形三边关系定理得出9﹣4＜x＜9+4，再逐个判断即可． 【解答】解：设第三边为x， 则9﹣4＜x＜9+4， 5＜x＜13， 符合的数只有9， 故选：A． 2．（2023秋•固始县期末）已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是 　2＜x＜18　． 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案． 【解答】解：根据三角形的三边关系可得：10﹣8＜x＜10+8， 即2＜x＜18， 故答案为：2＜x＜18． 3．（2024春•大渡口区期末）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（　　） A．3，6，9 B．3，5，9 C．2，6，4 D．4，6，9 【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可． 【解答】解：A、3+6＝9，错误； B、3+5＜9，错误； C、2+4＝6，错误； D、6+4＞9，正确， 故选：D． 4．（2023春•织金县期末）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是　2　． 【分析】根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周长的差＝AB﹣BC． 【解答】解：∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， ∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC， ∵AB＝5，BC＝3， ∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2． 故答案为：2． 巩固训练 5．（2023春•翠屏区校级期中）现有3cm、4cm、7cm、9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是　2　． 【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可． 【解答】解：四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9； 只有3，7，9和4，7，9能组成三角形． 故答案为：2． 题型二　三角形的内角和与外角 例题： 1．如图，y与x的关系式为（　　） A．y＝x+55 B．y＝x﹣35 C．y＝125﹣x D．y＝x+35 【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义即可得到结论． 【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，x+∠BCA＝180°， ∴x＝35+y， 即y＝x﹣35， 故选：B． 2．（2024春•江干区校级期末）如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向下折叠，点A落在点A′处，当EA'∥BC时，∠1＝　70　度． 【分析】先根据已知条件求出∠ACB的底数，然后根据折叠可知：∠AED＝∠A′ED＝45°，再利用平行线的性质求出∠EFD，最后利用三角形内角和求出∠1即可． 【解答】解：由折叠可知：∠AED＝∠A′ED， ∵∠A＝25°，∠B＝65°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠ACB＝90， ∵EA'∥BC， ∴∠AEA′＝∠ACB＝90°， ∴∠AED＝∠A′ED＝45°， ∵EA'∥BC，∠B＝65°， ∴∠EFD＝∠B＝65°， ∵∠1+∠EFD+∠A′ED＝180°， ∴∠1＝180°﹣65°﹣45°＝70°． 故答案为：70． 3．（2023春•金东区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝48°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE中一个角是另一个角的2倍，则∠ACD＝　16°或32°或96°　． 【分析】根据题意，分点E在线段BC上和点E在BC的延长线上，分别画出图形，再利用平移性质和三角形的外角性质得到∠AGD、∠ACD、∠CDE之间的数量关系，进而求解即可． 【解答】解：当点E在线段BC上时，设AC与DE交于点G， 由平移性质得AB∥DE，则∠AGD＝∠BAC＝48°， 如图1，当∠CDE＝2∠ACD时， ∵∠AGD是△CDG的外角， ∴∠AGD＝∠CDE+∠ACD＝3∠ACD， ∴∠ACD＝16°； 如图2，当∠ACD＝2∠CDE时， ∵∠AGD＝∠CDE+∠ACD＝3∠CDE， ∴∠CDE＝16°，则∠ACD＝32°； 当点E在BC的延长线上时，如图3，设AC和DE的延长线交于点G， 则∠AGD＝∠BAC＝48°， ∵∠ACD是△DCG的外角， ∴∠ACD＞∠CDE， 当∠ACD＝2∠CDE时，∠ACD＝∠G+∠CDE＝2∠CDE， ∴∠CDE＝∠AGD＝48°，则∠ACD＝96°， 故答案为：16°或32°或96°． 巩固训练 4．（2024•周村区一模）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（　　） A．75° B．60° C．105° D．120° 【分析】根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， 故选：A． 5．已知，在△ABC中，∠A＝∠B+∠C，则△ABC是 　直角　三角形． 【分析】利用三角形的内角和定理可得结论． 【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C， ∴2∠A＝180°． ∴∠A＝90°． 故答案为：直角． 6．（2024春•鄞州区校级期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，则△ABC中最小内角的度数为 　20° 或 30°　． 【分析】理解“三倍角三角形”的意义，分类讨论得结论． 【解答】解：当∠B＝60°是最小角的三倍时，此时三角形的三角分别为：100°、60°、20°，故最小角为20°； 当∠B＝60°，另外两个角的关系满足3倍关系， 设最小角为x°，则x+3x+60＝180，∴x＝30． 此时最小角为30°． 故答案为：20° 或 30°． 7．（2023春•金华期末）如图，在三角形ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为F，D，且∠CDG＝∠BEF，若∠AGD＝70°，求∠ACB的度数． 【分析】先由EF⊥AB，CD⊥AB得EF∥CD，进而得∠BEF＝∠BCD，再根据∠CDG＝∠BEF得∠BCD＝∠CDG，则∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠ACD+∠CDG，然后根据三角形外角定理可得∠ACB的度数． 【解答】解：∵EF⊥AB，CD⊥AB， ∴∠EFB＝∠CDB＝90°， ∴EF∥CD， ∴∠BEF＝∠BCD， ∵∠CDG＝∠BEF， ∴∠BCD＝∠CDG， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠ACD+∠CDG， ∵∠AGD是△CDG的一个外角， ∴∠AGD＝∠ACD+∠CDG， ∴∠ACB＝∠AGD＝70°． 题型三　三角形的“三线” 例题： 1．（2024•常州一模）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（　　） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答． 【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分， ∴他所作的线段AD应该是△ABC的中线， 故选：B． 2．（2024春•即墨区期中）下列各图中，正确画出AC边上的高线的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案． 【解答】解：△ABC中AC边上的高即为过点B作AC的垂线段，该垂线段即为AC边上的高，四个选项中只有选项D符合题意， 故选：A． 3．（2023秋•衢州期末）如图，AD和AE分别是△ABC的角平分线和高线，已知∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．40° 【分析】先求出∠BAC，∠DAC的度数，根据平分线平分角求出∠CAE，再利用∠DAC﹣∠CAE进行求解即可． 【解答】解：∵∠B＝60°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∵AD和AE分别是△ABC的角平分线和高线， ∴∠ADC＝90°，， ∴∠DAC＝90°﹣40°＝50°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝50°﹣40°＝10°； 故选：A． 4．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　cm2． 【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半． 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）． 故答案为1． 5．（2024春•淮阳区期末）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数． 【分析】用∠A表示出∠B、∠ACB，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求出∠A，再求出∠ACB，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE计算即可得解． 【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠ACB， ∴∠B＝2∠A，∠ACB＝3∠A， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠A+2∠A+3∠A＝180°， 解得∠A＝30°， ∴∠ACB＝90°， ∵CD是△ABC的高， ∴∠ACD＝90°﹣30°＝60°， ∵CE是∠ACB的角平分线， ∴∠ACE＝×90°＝45°， ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝60°﹣45°＝15°． 巩固训练 6．（2024春•象山县校级月考）如图，把△ABC的各边延长2倍至A1，B1，C1，那么△A1B1C1的面积是△ABC的面积的（　　） A．4倍 B．7倍 C．19倍 D．20倍 【分析】连接AC1，CB1，BA1，根据等底同高三角形面积比等于底边之比求解即可得到答案 【解答】解：连接AC1，CB1，BA1， ∵△ABC的各边延长2倍至A1，B1，C1， ∴，，，，，＝2B1BC， ∴， 故选：C． 7．（2023秋•淮北期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　30　°． 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数． 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°， ∵∠PCM是△BCP的外角， ∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°， 故答案为：30°． 8．（2023秋•奉化区期末）在△ABC中，E为边AC的中点，点D在边BC上，BD：CD＝5：8，AD、BE交于点F，若△ABC的面积为26，则S△AEF﹣S△BDF＝　3　． 【分析】由E为AC的中点可知，S△ABE＝S△ABC，由BD：CD＝5：8可知，S△ABD＝S△ABC，根据S△AEF﹣S△BDF＝（S△ABE﹣S△ABF）﹣（S△ABD﹣S△ABF）＝S△ABE﹣S△ABD＝可得出结论． 【解答】解：∵点E为AC的中点， ∴S△ABE＝S△ABC＝×26＝13， ∵BD：CD＝5：8， ∴S△ABD＝S△ABC＝×26＝10， ∴S△AEF﹣S△BDF＝（S△ABE﹣S△ABF）﹣（S△ABD﹣S△ABF）＝S△ABE﹣S△ABD＝13﹣10＝3． 故答案为：3． 9．（2023秋•蛟河市期末）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°，则∠ADC的度数为　85°　． 【分析】根据角平分线定义求得∠BAD＝∠BAC，根据直角三角形的两个锐角互余求得∠ABE＝90°﹣∠BAC，再根据三角形的外角的性质即可求得∠ADC的度数． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，BE是高，∠BAC＝50°， ∴∠BAD＝∠BAC＝25°，∠ABE＝40°． ∵∠EBC＝20°， ∴∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝∠ABE+∠EBC+∠BAD＝40°+20°+25°＝85°． 故答案为：85°． 10．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝60°，AD是BC边上的高，∠ACB的平分线CF交AD于点E．求∠AEC的度数． 【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠ACB的度数，然后根据角平分线的定义得到∠ECD的值，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可． 【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°， 又∵CF是∠ACB的平分线， ∴， 又∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠AEC＝90°+∠ECD＝90°+20°＝110°． 11．（2023春•曲阳县期末）如图，在△ABC中，AE是边BC上的高． （1）若AD是BC边上的中线，AE＝3cm，S△ABC＝12cm2，求DC的长； （2）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小． 【分析】（1）三角形的面积知道了，高知道了，根据三角形的面积公式，求出底边长，再根据中线性质求出DC的长度． （2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线性质求出∠BAD的度数，三角形外角与内角的关系可求出∠ADE的度数，在直角三角形中进而求出∠DAE的大小． 【解答】解：（1）∵AE＝3cm，S△ABC＝12cm2， ∴BC＝12×2÷3＝8（cm）， ∵AD是BC边上的中线， ∴DC＝BC＝4cm； （2）∵∠B＝40°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝90°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝45°， ∠ADE是△ABD的一个外角， ∠ADE＝∠B+∠BAD＝40°+45°＝85°， 在直角三角形ADE中∠DAE＝90°﹣85°＝5°． 题型四　定义与命题、证明 例题： 1．下列语句中，不是命题的是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．作角A的平分线 D．内错角相等 【分析】找到不是判断一件事情的语句的选项即可． 【解答】解：A、两点确定一条直线，是命题，不符合题意； B、垂线段最短，是命题，不符合题意； C、没有做出任何判断，不是命题，符合题意； D、内错角相等，是命题，不符合题意； 故选：C． 2．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝40°，∠2＝50° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1＝40°，∠2＝40° 【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断即可． 【解答】解：A、∠1＝∠2＝45°满足∠1+∠2＝90°，但不满足∠1≠∠2，满足题意； B、∠1＝40°，∠2＝50°满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意； C、∠1＝50°，∠2＝50°不满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意； D、∠1＝40°，∠2＝40°不满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意； 故选：A． 3．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式 　如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．　． 【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，即可解决问题． 【解答】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 巩固训练 4．（2024春•临海市校级期中）以下命题中，其中是假命题的是（　　） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．0的平方根是0 D．﹣1的立方根是﹣1 【分析】根据平行线性质，对顶角性质、平方根和立方根判断即可． 【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题； B、对顶角相等，是真命题； C、0的平方根是0，是真命题； D、﹣1的立方根是﹣1，是真命题； 故选：A． 5．（2024•镇海区校级模拟）能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（　　） A．a＝1 B．a＝ C．a＝ D．a＝﹣2 【分析】根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可． 【解答】解：当a＝﹣2时，|a|＝﹣a， 说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题， 故选：D． 6．（2023秋•滨江区期末）将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 　如果两个角是对顶角，那么它们相等　． 【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面． 【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等； 故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等． 题型五　全等三角形的性质 例题： 1．（2023秋•孟村县期末）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　　） A．12 B．7 C．2 D．14 【分析】由全等三角形的性质得到AC＝DC＝7，CB＝CE＝5，再根据BD＝DC+CB即可得解． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴AC＝DC，CB＝CE， ∵CE＝5，AC＝7， ∴CB＝5，DC＝7， ∴BD＝DC+CB＝7+5＝12． 故选：A． 2．（2024•益阳三模）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180° 【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可． 【解答】解：∵△AOB≌△ADC， ∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD， ∴∠BAC＝∠OAD＝α， 在△ABC中，， ∵BC∥OA， ∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°， ∴， 整理得，α＝2β． 故选：B． 3．（2022春•邓州市期末）如图，△PAC≌△PBD，若∠A＝40°，∠BPD＝20°，则∠PCD的度数为 　60°　． 【分析】根据全等三角形的性质得出∠APC＝∠BPD＝20°，根据三角形的外角性质得出∠PCD＝∠A+∠APC，再代入求出答案即可． 【解答】解：∵△PAC≌△PBD，∠BPD＝20°， ∴∠APC＝∠BPD＝20°， ∵∠A＝40°， ∴∠PCD＝∠A+∠APC＝40°+20°＝60°， 故答案为：60°． 4．（2021秋•芜湖期中）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，AB＝6，BC＝8，CE＝10． （1）求△ABC的周长； （2）求△ACE的面积． 【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等求出AC，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据全等三角形的性质求出∠ACE＝90°，根据等腰直角三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△CDE，CE＝10， ∴AC＝CE＝10， ∵AB＝6，BC＝8， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝6+8+10＝24； （2）∵∠B＝90°， ∴∠ACB+∠BAC＝90°， ∵△ABC≌△CDE， ∴∠ECD＝∠CAB， ∴∠ACB+∠ECD＝90°， ∴∠ACE＝90°， ∵AC＝CE＝10， ∴△ACE的面积＝×10×10＝50． 5．（2022秋•鄞州区校级期末）如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D． （1）求证：CE⊥AB； （2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长． 【分析】（1）由△ABD≌△CFD，得出∠BAD＝∠DCF，再利用三角形内角和即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出AD＝DC，即可得出BD＝DF，进而解决问题． 【解答】（1）证明：∵△ABD≌△CFD， ∴∠BAD＝∠DCF， 又∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CDF＝90°， ∴CE⊥AB； （2）解：∵△ABD≌△CFD， ∴BD＝DF， ∵BC＝7，AD＝DC＝5， ∴BD＝BC﹣CD＝2， ∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3． 巩固训练 6．（2023秋•科左中旗期末）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（　　） A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE 【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断． 【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C， ∴AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，BE＝DC，AD＝AE， 故A、B、C正确； AD的对应边是AE而非DE，所以D错误． 故选：D． 7．如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 　3　． 【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝8，计算即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， 又BC＝8， ∴EF＝8， ∵EC＝5， ∴CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3． 故答案为：3． 8．（2023秋•衢江区期末）如图，△ABC≌△ADE，点D恰好落在BC上，且DE⊥AC，∠B＝79°，则∠E的度数为 　68°　． 【分析】根据全等三角形的性质可得对应角和对应边相等，再根据等腰三角形的性质，即可解答． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴AB＝AD，∠B＝∠ADE，∠E＝∠C， ∴∠ADB＝∠B＝79°， ∴∠EDC＝180°﹣2×79°＝22°． ∵DE⊥AC ∴∠C＝90°﹣∠EDC＝68° ∴∠E＝∠C＝68° 故答案是：68°． 9．（2022秋•涟水县期中）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一条直线上． （1）若∠BED＝140°，∠D＝75°，求∠ACB的度数； （2）若BE＝2，EC＝3，求BF的长． 【分析】（1）由三角形外角性质求得∠F，然后由全等三角形的对应角相等来求∠ACB的度数； （2）根据全等三角形对应边相等可得BC＝EF，然后根据BF＝BE+EF计算即可得解． 【解答】解：（1）∵∠BED＝140°，∠D＝75°， ∴∠F＝∠BED﹣∠D＝65°． ∵△ABC≌△DEF， ∴∠ACB＝∠F＝65°； （2）∵BE＝2，EC＝3， ∴BC＝BE+EC＝5 ∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF＝5， ∴BF＝BE+EF＝2+5＝7． 故答案为：7． 10．（2023秋•新田县期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s． （1）如图（1），当t＝　或　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． 【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可； （2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P在AC上，AP＝4，AQ＝5，②当点P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度． 【解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1， 若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP＝BC＝cm， 此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+＝， 移动的时间为：÷3＝秒， ②当点P在BA上时，如图①﹣2 若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD＝AB，即点P为BA中点， 此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+＝cm， 移动的时间为：÷3＝秒， 故答案为：或； （2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F； ①当点P在AC上，如图②﹣1所示： 此时，AP＝4，AQ＝5， ∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）＝cm/s， ②当点P在AB上，如图②﹣2所示： 此时，AP＝4，AQ＝5， 即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm， ∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）＝cm/s， 综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF， 点Q的运动速度为cm/s或cm/s． 题型六　全等三角形的判定 例题： 1．（2024•凉州区二模）如图，B，D分别是位于线段AC两侧的点，连接AB，AD，CB，CD，则下列条件中，与∠BAC＝∠DAC相结合无法判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．AB＝AD B．CB＝CD C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D 【分析】由于∠BAC＝∠DAC，加上AC为公共边，则根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAC，AC＝AC， ∴当添加AB＝AD时，△ABC≌△ADC（SAS），所以A选项不符合题意； 当添加CB＝CD时，不能判断△ABC≌△ADC（SAS）；所以B选项符合题意； 当添加∠BCA＝∠DCA时，△ABC≌△ADC（ASA），所以C选项不符合题意； 当添加∠B＝∠D时，△ABC≌△ADC（AAS），所以D选项不符合题意． 故选：B． 2．（2023秋•兴国县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝14cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以2cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为　 　或6或8　． 【分析】根据垂直的定义及直角三角形的性质易证∠PEC＝∠CFQ，∠PCE＝∠CQF．只需PC＝QC，就可得到△PEC与△CFQ全等，然后只需根据点P和点Q不同位置进行分类讨论即可解决问题． 【解答】解：∵PE⊥l于E，QF⊥l于F， ∴∠PEC＝∠CFQ＝90°， ∴∠QCF+∠CQF＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠PCE+∠QCF＝90°， ∴∠PCE＝∠CQF， ①当0≤t＜4时，点P在AC上，点Q在BC上，如图， 此时有AP＝2t cm，BQ＝3t cm，AC＝8cm，BC＝14cm． 当PC＝QC即8﹣2t＝14﹣3t， 解得t＝6，不合题意舍去； ②当4＜t＜5时，点P在BC上，点Q也在BC上，如图， 若PC＝QC，则点P与点Q重合，即2t﹣8＝14﹣3t， 解得t＝； ③当5≤t＜时，点P在BC上，点Q在AC上，如图， 当PC＝QC即2t﹣8＝3t﹣14， 解得t＝6； ④当≤t＜7时，点Q停在点A处，点P在BC上，如图， 当PC＝QC即2t﹣8＝8， 解得t＝8； 综上所述：当t等于或6或8时，以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等． 故答案为：或6或8． 3．（2023秋•滨海新区期末）已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF． 求证：△ABF≌△DCE． 【分析】根据BE＝CF求出BF＝CE，根据平行线的性质得出∠B＝∠C，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE﹣EF＝CF﹣EF， 即BF＝CE， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）． 4．（2023秋•西湖区期末）如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，已知∠B＝∠DEF，BE＝CF．下面给出四个条件：①AC＝DF；②AB＝DE；③AC∥DF；④∠A＝∠D．请你从中任选一个条件，使得△ABC≌△DEF，并写出证明过程． 【分析】由全等三角形的判定，即可解决问题． 【解答】解：选一个条件；②AB＝DE（答案不唯一），理由如下： ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， 在△ABC≌△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 5．（2022秋•镇海区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝AB，AD⊥BC，过点C作CE∥AB，∠BCE＝70°，连接ED并延长ED交AB于点F． （1）求∠CAD的度数； （2）证明：△CDE≌△BDF； 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠BCE＝70°，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠B＝70°，根据直角三角形两锐角互余，即可求得∠CAD的度数； （2）根据等腰三角形的性质得到CD＝BD，根据平行线的性质得到∠E＝∠DFB，∠ECD＝∠B，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； 【解答】（1）解：∵CE∥AB，∠BCE＝70°， ∴∠B＝∠BCE＝70°， ∵AC＝AB， ∴∠ACD＝∠B＝70°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣70°＝20°； （2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴CD＝BD， ∵CE∥AB， ∴∠E＝∠DFB，∠ECD＝∠B， 在△CDE与△BDF中， ， ∴△CDE≌△BDF（AAS）． 巩固训练 6．（2024•邗江区二模）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【分析】已知两三角形三边分别相等，可考虑SSS证明三角形全等，从而证明角相等． 【解答】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是SSS 证明如下： 由题意得，PN＝PM， 在△ONP和△OMP中， ， ∴△ONP≌△OMP（SSS） 所以∠NOP＝∠MOP 故OP为∠AOB的平分线． 故选：A． 7．（2024•桂林一模）如图，把长短确定的两根木棍AB，AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　） A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等 【分析】有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，由此即可判断． 【解答】解：在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD， 此时△ABC和△ABD不全等， ∴有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故选：A． 8．（2022秋•泾阳县月考）已知△ABC和△CDE均为等边三角形，A、C、E在一条直线上．求证： （1）AD＝BE； （2）△DPC≌△EQC． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，求出∠ACD＝∠BCE，再根据全等三角形的判定定理推出△ACD≌△BCE即可； （2）根据全等三角形的性质得出∠PDC＝∠QEC，根据等边三角形的性质得出∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠DCP＝∠ECQ，再根据全等三角形的判定定理证明即可． 【解答】证明：（1）∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴AC＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACD+∠BCD＝∠ECD+∠BCD， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； （2）∵△ACD≌△BCE， ∴∠PDC＝∠QEC， ∵△ABC和△CDE均为等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠DCP＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°， 即∠DCP＝∠ECQ， 在△DPC和△EQC中， ， ∴△DPC≌△EQC（ASA）． 9．（2021秋•章贡区期末）如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒． （1）当t＝3时，BP＝　2　cm； （2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形； （3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等． 【分析】（1）当t＝3时，点P运动到线段BC上，即可得到BP的长度； （2）分三种情况讨论，①当点P在AB上时，②当点P在BC上时，③当点P在AD上时，根据全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质即可得到答案； （3）根据题意，要使一个三角形与△DCQ全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间． 【解答】解：（1）当t＝3时，点P走过的路程为：2×3＝6， ∵AB＝4， ∴点P运动到线段BC上， ∴BP＝6﹣4＝2， 故答案为：2； （2）①当点P在AB上时，△CDP是等腰三角形， ∴PD＝CP， 在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°， ∴△DAP≌△CBP（HL）， ∴AP＝BP， ∴AP＝＝2， ∴t＝＝1， ②当点P在BC上时，△CDP是等腰三角形， ∵∠C＝90°， ∴CD＝CP＝4， ∴BP＝CB﹣CD＝2， ∴t＝＝3， ③当点P在AD上时，△CDP是等腰三角形， ∵∠D＝90°， ∴DP＝CD＝4， ∴t＝＝9， 综上所述，t＝1或3或9时，△CDP是等腰三角形； （3）根据题意，如图，连接CQ，则AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90o，DQ＝5， ∴要使一个三角形与△DCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ， ①当点P运动到P1时，CP1＝DQ＝5，此时△DCQ≌△CDP1， ∴点P的路程为：AB+BP1＝4+1＝5， ∴t＝5÷2＝2.5， ②当点P运动到P2时，BP2＝DQ＝5，此时△CDQ≌△ABP2， ∴点P的路程为：AB+BP2＝4+5＝9， ∴t＝9÷2＝4.5， ③当点P运动到P3时，AP3＝DQ＝5，此时△CDQ≌△AB P3， ∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP3＝4+6+4+1＝15， ∴t＝15÷2＝7.5， ④当点P运动到P4时，即P与Q重合时，DP4＝DQ＝5，此时△CDQ≌△CDP4， ∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP4＝4+6+4+5＝19， ∴t＝19÷2＝9.5， 综上所述，时间的值可以是：t＝2.5，4.5，7.5或9.5， 故答案为：2.5或4.5或7.5或9.5． 题型七　全等三角形的性质与判定 例题： 1．（2024春•鄞州区校级期末）如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【分析】利用ASA证明△ACD≌△BFD，得DF＝DC，再根据三角形面积可得CD的长，从而可得答案． 【解答】解：∵AD，BE是△ABC的高线， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠AEB＝90°， ∵∠BFD＝∠AFE， ∴∠DBF＝∠CAD， 在△ACD和△BFD中， ， ∴△ACD≌△BFD（ASA）， ∴DC＝DF， ∵△ACD的面积为12， ∴×CD×6＝12， ∴CD＝4， ∴DF＝4， ∴AF＝AD﹣DF＝2， 故选：C． 2．（2024春•南海区期中）如图，AD是△ABC的BC边上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为　3＜AC＜17　． 【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根据三角形的三边关系即可求解． 【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD＝5，连接CE． 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD， ∴CE＝AB． 在△ACE中，AE﹣EC＜AC＜AE+CE， 即5+5﹣7＜AC＜5+5+7， 3＜AC＜17． 故答案为3＜AC＜17． 3．（2023秋•临潼区期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【分析】由角平分线的定义、三角形的内角和定理得∠AOB与∠C的关系，判定①正确；在AB上取一点H，使BH＝BE，证△HBO≌△EBO，得∠BOH＝∠BOE＝60°，再证△HAO≌△FAO，得AF＝AH，判定②正确；过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，由三角形的面积证得③正确；即可得出结论． 【解答】解：①∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB， ∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，故①正确； ②∵∠C＝60°， ∴∠BAC+∠ABC＝120°， ∵AE，BF分别是∠BAC与∠ABC的平分线， ∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠AOF＝60°， ∴∠BOE＝60°， 如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，连接OH， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠HBO＝∠EBO， 在△HBO和△EBO中， ， ∴△HBO≌△EBO（SAS）， ∴∠BOH＝∠BOE＝60°， ∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠AOH＝∠AOF， 在△HAO和△FAO中， ， ∴△HAO≌△FAO（ASA）， ∴AF＝AH， ∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确； ③过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M， ∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴点O在∠C的平分线上， ∴ON＝OM＝OD＝a， ∵AB+AC+BC＝2b ∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×ON+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，故③正确． 故选：C． 4．（2024•潮州模拟）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF． （1）求证：CF∥AB； （2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数． 【分析】（1）求出△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得出∠A＝∠ACF，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出∠A＝∠ACB，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】（1）证明：∵E为AC中点， ∴AE＝CE， 在△AED和△CEF中， ， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∴∠A＝∠ACF， ∴CF∥AB； （2）解：∵AC平分∠BCF， ∴∠ACB＝∠ACF， ∵∠A＝∠ACF， ∴∠A＝∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°， ∴2∠A＝130°， ∴∠A＝65°． 巩固训练 5．（2023秋•长兴县期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，若∠DAE＝∠DEA，∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．4 C． D．6 【分析】先证∠BAD＝∠CDE，AD＝DE，利用AAS证得△ABD和△DCE全等，得出AB＝DC＝12，BD＝CE，结合CD＝3BD，求出BD的长，即为CE的长． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB， ∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，且∠ADE＝∠B， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵∠DAE＝∠DEA， ∴AD＝DE， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴AB＝DC，BD＝CE， ∵AB＝AC＝12， ∴DC＝12， ∴CD＝3BD， ∴BD＝4， ∴CE＝BD＝4， 故选：B． 6．（2024•济南模拟）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是 　2　． 【分析】根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，就可以求出DE的值． 【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC+∠BCE＝90°． ∵∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC＝1，CE＝AD＝3． ∴DE＝EC﹣CD＝3﹣1＝2 故选答案为2． 7．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝40°，点D是△ABC外角∠ACF平分线上的一点，连接AD、BD，若∠ADB＝∠ACB，则∠DAC＝　25　度． 【分析】过点D作DE⊥AC于点E，作DG⊥BF于点G，先根据角平分线的性质得到DE＝DG，然后得到△ADE≌△BDG，得到DA＝DB，然后根据等边对等角得到∠DAB的度数即可解题． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，作DG⊥BF于点G， ∵点D是∠ACF平分线上的一点， ∴DE＝DG，∠DEA＝∠DGB， 又∵∠DAC+∠ADB＝∠DBC+∠ACB，∠ADB＝∠ACB， ∴∠DAC＝∠DBC， ∴△ADE≌△BDG（AAS）， ∴DA＝DB， 又∵∠ABC＝90°，∠BAC＝40°， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°﹣40°＝50°， ∴， ∴∠DAC＝∠DAB﹣∠CAB＝65°﹣40°＝25°， 故答案为：25． 8．（2023秋•兴国县期末）如图，△ABC与△BDE是全等的等边三角形，且A、B、D三点共线，AE、CD交于点O，∠AEB＝∠EAB．现有如下结论：①∠AED＝90°；②∠BCD+∠AEB＝60°，③OB⊥AD；④AE＝CD；⑤OB平分∠CBE，平分∠AOD；⑥AO+OB＝AD；一定成立的有（　　）个． A．5个 B．6个 C．3个 D．4个 【分析】利用全等三角形的性质和等边三角形的性质依次判断可求解． 【解答】解：∵△ABC与△BDE是全等的等边三角形， ∴∠ABC＝∠CAB＝∠EBD＝60°＝∠BED，AB＝BC＝AC＝BE＝BD＝DE， ∴∠BAE＝∠BEA＝30°，∠BCD＝∠BDC＝30°， ∴∠AED＝90°，∠BCD+∠AEB＝60°，故①②正确； ∴∠BDC＝∠EDC＝30°， 在△BDO和△EDO中， ， ∴△BDO≌△EDO（SAS）， ∴BO＝EO，∠OBD＝∠OED＝90°，∠DOB＝∠DOE， ∴∠OBE＝∠OEB＝30°，OB⊥AD，故③正确； ∴∠DOB＝∠DOE＝60°， ∴∠AOB＝60°， ∴OB平分∠AOD， ∵∠CBE＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE＝60°，∠OBE＝30°， ∴∠CBO＝∠EBO＝30°， ∴OB平分∠CBE，故⑤正确； ∵∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABE＝∠CBD＝120°， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD，故④正确； ∵OB＝OE， ∴AO+OB＝AO+OE＝AE， 在Rt△AED中，AD＞AE， ∴AO+OB≠AD，故⑥错误， 故选：A． 9．（2024•番禺区二模）已知：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 【分析】根据SAS证明△ABF≌△DCE，由全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∴BF＝CE， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠A＝∠D． 10．（2024•凉州区二模）如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD． （1）求证：△ABC≌△CDE． （2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度数． 【分析】（1）由“ASA”可证△ABC≌△CDE； （2）由全等三角形的性质可得AC＝CE，∠ACB＝∠CED＝37°，即可求解． 【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE， ∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°． ∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠DCE＝90°． ∴∠BAC＝∠DCE． 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（ASA）． （2）解：∵△ABC≌△CDE， ∴AC＝CE，∠ACB＝∠CED＝37°， ∴∠CAE＝∠AEC＝45°， ∴∠AED＝37°+45°＝82°． 题型八　线段垂直平分线的性质定理 例题： 1．（2023秋•孟村县期末）如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A＝50°，则∠BPC＝（　　） A．100° B．95° C．90° D．50° 【分析】连接AP，延长BP交AC于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，根据三角形外角的性质即可求出∠BPC． 【解答】解：连接AP，延长BP交AC于D， ∴∠BPC＝∠PDC+∠ACP＝∠BAC+∠ABP+∠ACP， ∵点P是AB，AC的垂直平分线的交点， ∴PA＝PB＝PC， ∴∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP， ∴∠BPC＝∠BAC+∠BAP+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°， 故选：A． 2．（2023春•桃城区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝15，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E． （1）求△ABD的周长； （2）若∠B＝35°，求∠BAD的度数． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质易得到△ABD的周长＝AB+BC； （2）根据等腰三角形的“两个底角相等”得到∠C＝∠B＝∠CAD＝35°，所以由三角形内角和定理易求∠BAD的度数． 【解答】解：（1）如图，∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∵AB＝AC＝12，BC＝15， ∴△ABD的周长是：AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝12+15＝27； （2）如图，∵AB＝AC，∠B＝35°， ∴∠B＝∠C＝35°， 又∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠C＝35°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAC＝180°﹣105°＝75°． 巩固训练 3．（2024•武威二模）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝2，则BC的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝5，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝5， ∴EB＝EA＝5， ∴BC＝EB+EC＝5+2＝7． 故选：B． 4．（2024•鹤城区校级一模）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、点E，连接AD．若AE＝5cm，△ACD的周长为16cm，则△ABC的周长为 　26　cm． 【分析】根据线段垂直平分线性质求出BD＝DA，求出△ABC的周长即可． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴BD＝DA，AB＝2AE＝10（cm） ∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝AB+BD+DC+AC＝AB+（AD+AC+CD）＝10+16＝26（cm）， 故答案为：26． 5．（2023秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E． （1）已知△ADE的周长7cm，求BC的长； （2）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数． 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，EA＝EC，然后利用等量代换可得△ADE的周长＝BC，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠DAB＝30°，∠C＝∠EAC＝40°，然后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵DM是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵EN是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∵△ADE的周长7cm， ∴AD+DE+AE＝7cm， ∴BD+DE+EC＝7cm， ∴BC＝7cm， ∴BC的长为7cm； （2）∵DA＝DB， ∴∠B＝∠DAB＝30°， ∵EA＝EC， ∴∠C＝∠EAC＝40°， ∴∠DAE＝180°﹣∠B﹣∠BAD﹣∠C﹣∠EAC＝40°， ∴∠DAE的度数为40°． 题型九　角平分线的性质定理 例题： 1．（2023秋•德庆县期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点 【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点． 故选：B． 2．（2023秋•义乌市期末）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若△ABC面积为30cm2，AB＝8cm，AC＝7cm，则DE的长为（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．5cm 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列式求解即可． 【解答】解：∵AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∴， ∴， 解得DE＝4cm， 故选：A． 3．（2023秋•长兴县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F． （1）求证：DE＝DF； （2）若∠BDE＝55°，求∠BAC的度数． 【分析】（1）根据∠B＝∠C，D是BC的中点，根据角平分线的性质即可得出结论． （2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵D是BC的中点，AB＝AC， ∴AD平分∠BAC， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF； （2）解：∵DE⊥AB， ∴∠BED＝90°， ∵∠BDE＝55°， ∴∠B＝35°， ∴∠C＝35°， ∴∠BAC＝110°． 巩固训练 4．（2023秋•枣阳市期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB； 【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE＝PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：A． 5．（2023秋•临海市期中）已知△ABC． （1）如图1，若三角形的内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，求证： ①∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）； ②∠BOC＝90°+∠A； （2）如图2，若三角形的外角∠DBC与∠ECB的平分线交于点O，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系，请说明理由； （3）如图3，，若三角形的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线交于点O，则∠BOC与∠A的数量关系为 　∠BOC＝∠A　．（只写结论，不需证明） 【分析】（1）①先由角平分线的定义得∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，进而得∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），再根据∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°可得出结论； ②先由∠ABC+∠ACB+∠A＝180°得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，由①的结论即可得出结论； （2）先由角平分线的定义得∠OBC＝∠DBC，∠OCB＝∠ECB，进而由平角的定义得∠OBC＝90°﹣∠ABC，∠OCB＝90°﹣∠ACB由此得∠OBC+∠OCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），再由∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A可得出∠OBC+∠OCB＝90°+∠A，然后根据∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°可得出∠BOC与∠A的数量关系； （3）设AC，OB交于点E，先由角平分线的定义得∠ABO＝∠ABC，∠ACO＝∠ACD＝90°﹣∠ACB，然后证∠ACO+∠BOC＝∠A+∠ABO，由此得90°﹣∠ACB+∠BOC＝∠A+∠ABC，再结合∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A可得出∠BOC与∠A的数量关系． 【解答】（1）①证明：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）， 又∴∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）； ②证明：∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， 由①的结论得：∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A． （2）解：∠BOC与∠A的数量关系是：∠BOC＝90°﹣∠A，理由如下： ∵三角形的外角∠DBC与∠ECB的平分线交于点O， ∴∠OBC＝∠DBC，∠OCB＝∠ECB， 又∵∠DBC＝180°﹣∠ABC，∠ECB＝180°﹣∠ACB， ∴∠OBC＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC，∠OCB＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A， ∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠BOC+∠OBC）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A． （3）解：∠BOC与∠A的数量关系是：∠BOC＝∠A，理由如下： 设AC，OB交于点E，如图所示： ∵三角形的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线交于点O， ∴∠ABO＝∠ABC，∠ACO＝∠ACD， ∵∠ACD＝180°﹣∠ACB， ∴∠ACO＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB， ∵∠ACO+∠BOC+∠OEC＝180°，∠A+∠ABE+∠AEB＝180°， 又∵∠OEC＝∠AEB， ∴∠ACO+∠BOC＝∠A+∠ABO， ∴90°﹣∠ACB+∠BOC＝∠A+∠ABC， ∴∠BOC＝∠A﹣90°+（∠ABC+∠ACB）， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BOC＝∠A﹣90°+（180°﹣∠A）＝∠A． 题型十　尺规作图 例题： 1．（2024•淮滨县三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝4，则△AFH的周长为（　　） A．8 B．6 C．4 D． 【分析】由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，AF＝AH，可得AF＝BF＝AH，由∠ACB＝90°，可得CF＝CH，则△AFH的周长为AF+AH+FH＝2BF+2FC＝2（BF+FC）＝2BC＝8． 【解答】解：由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，AF＝AH， 则AF＝BF， ∴AF＝BF＝AH， ∵∠ACB＝90°， ∴CF＝CH， ∴△AFH的周长为AF+AH+FH＝2BF+2FC＝2（BF+FC）＝2BC＝8． 故选：A． 2．（2024•岗巴县一模）如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别截取OC，OD，使OC＝OD．再分别以点C，D为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．其作图原理是：△OCP≌△ODP，这样就有∠AOP＝∠BOP，那么判定这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【分析】根据SSS证明三角形全等即可． 【解答】解：由作图可知OC＝OD，CP＝DP， 在△POC和△POD中， ， ∴△POC≌△POD（SSS）， ∴∠POC＝∠POD，即线OP就是∠AOB的平分线． 故选：D． 3．（2023秋•宁波期末）如图，在△ABC中，∠BAC是钝角．（保留作图痕迹） （1）用无刻度的直尺和圆规作AB，AC的垂直平分线，分别交BC于点D、E； （2）连结AD，AE，若∠DAE＝20°，求∠BAC的度数． 【分析】（1）利用基本作图，分别作AB和AC的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，则∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，再利用三角形外角性质得到∠ADE＝2∠B，∠AED＝2∠C，然后利用三角形内角和得到∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，则可计算出∠B+∠C＝80°，接着可计算出∠BAC的度数． 【解答】解：（1）如图，点D、E为所作； （2）∵AB，AC的垂直平分线，分别交BC于点D、E， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠ADE＝2∠B，∠AED＝2∠C， ∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°， ∴2∠B+2∠C+20°＝180°， ∴∠B+∠C＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣80°＝100°． 巩固训练 4．（2023秋•下陆区期末）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【分析】由PA+PB＝BC和PC+PB＝BC易得PA＝PC，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AC的垂直平分线上，进而得出结论． 【解答】解：∵PA+PB＝BC，而PC+PB＝BC， ∴PA＝PC， ∴点P在AC的垂直平分线上， 即点P为AC的垂直平分线与BC的交点． 故选：D． 5．（2024•罗湖区校级模拟）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据作一个角的平分线，作一个角等于已知角，作线段的垂直平分线的方法一一判断即可． 【解答】解：由作图可知，作图正确的有①②， 故选：A． 6．（2023秋•凤阳县期末）如图，在△ABC中，AB＞AC． （1）用直尺和圆规作BC的中垂线，交AB于点D（要求保留作图痕迹）； （2）连接CD，若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长． 【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出直线MN； （2）利用线段垂直平分线的性质得出△ADC的周长为＝AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示： 直线MN即为所求； （2）由（1）可知，直线MN是线段BC的垂直平分线， ∴DC＝DB， ∴△ACD的周长为＝AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB， ∵AB＝8，AC＝4， ∴△ACD的周长为8+4＝12． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 《三角形的初步知识》 知识归纳与题型训练（10题型清单） 一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 二、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 三、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 四、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点诠释： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 五、三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 六、全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 七、全等三角形的性质 全等三角形对应边相等、对应角相等 要点诠释：全等三角形的周长相等、面积相等、对应边上的“三线”也相等 八、全等三角形的判定 （1）三边分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）； （2）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）； （3）两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）； （4）两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）； 要点诠释：在判定两个三角形全等时，需要注意以下几点 （1） 全等三角形的判定的一般步骤：准备条件——罗列条件——得出全等； （2） 在全等三角形的判定中，已经有什么条件，还需要推导什么条件，一定要认真审题后再定； （3） 全等三角形的判定和性质通常是同时考察的，一般先让判定两个三角形全等，然后再由其性质得对应边相等或对应角相等 九、线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线定义：将一条线段平分，并且垂直于该线段的一条直线叫做这条线段的垂直平分线； 线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 要点诠释： 线段垂直平分线性质定理的证明原理是SAS 线段垂直平分线性质定理的主旨是“点到点的距离相等” 十、角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等； 要点诠释： 角平分线性质定理的证明原理是AAS 角平分线性质定理的主旨是“点到边的距离相等” 十一、定义与命题、证明 定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义 命题：判断某一件事情的句子叫做命题，正确的命题称你为真命题，错误的命题称为假命题； 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理；定理可以作为判断其他命题真假的依据； 证明：要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明； 要点诠释： 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但是不具备命题的结论的实例 十二、尺规作图 定义：用没有刻度的直尺和圆规作图，称为尺规作图 题型一　三角形的三边关系 例题： 1．（2024春•连云港期末）已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为（　　） A．9 B．4 C．5 D．13 2．（2023秋•固始县期末）已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是 　 　． 3．（2024春•大渡口区期末）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（　　） A．3，6，9 B．3，5，9 C．2，6，4 D．4，6，9 4．（2023春•织金县期末）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是　 　． 巩固训练 5．（2023春•翠屏区校级期中）现有3cm、4cm、7cm、9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是　 　． 题型二　三角形的内角和与外角 例题： 1．如图，y与x的关系式为（　　） A．y＝x+55 B．y＝x﹣35 C．y＝125﹣x D．y＝x+35 2．（2024春•江干区校级期末）如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向下折叠，点A落在点A′处，当EA'∥BC时，∠1＝　 　度． 3．（2023春•金东区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝48°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE中一个角是另一个角的2倍，则∠ACD＝　 　． 巩固训练 4．（2024•周村区一模）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（　　） A．75° B．60° C．105° D．120° 5．已知，在△ABC中，∠A＝∠B+∠C，则△ABC是 　 　三角形． 6．（2024春•鄞州区校级期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，则△ABC中最小内角的度数为 　 　． 7．（2023春•金华期末）如图，在三角形ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为F，D，且∠CDG＝∠BEF，若∠AGD＝70°，求∠ACB的度数． 题型三　三角形的“三线” 例题： 1．（2024•常州一模）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（　　） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 2．（2024春•即墨区期中）下列各图中，正确画出AC边上的高线的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•衢州期末）如图，AD和AE分别是△ABC的角平分线和高线，已知∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．40° 4．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2． 5．（2024春•淮阳区期末）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数． 巩固训练 6．（2024春•象山县校级月考）如图，把△ABC的各边延长2倍至A1，B1，C1，那么△A1B1C1的面积是△ABC的面积的（　　） A．4倍 B．7倍 C．19倍 D．20倍 7．（2023秋•淮北期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　 　°． 8．（2023秋•奉化区期末）在△ABC中，E为边AC的中点，点D在边BC上，BD：CD＝5：8，AD、BE交于点F，若△ABC的面积为26，则S△AEF﹣S△BDF＝　 　． 9．（2023秋•蛟河市期末）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°，则∠ADC的度数为　 　． 10．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝60°，AD是BC边上的高，∠ACB的平分线CF交AD于点E．求∠AEC的度数． 11．（2023春•曲阳县期末）如图，在△ABC中，AE是边BC上的高． （1）若AD是BC边上的中线，AE＝3cm，S△ABC＝12cm2，求DC的长； （2）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小． 题型四　定义与命题、证明 例题： 1．下列语句中，不是命题的是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．作角A的平分线 D．内错角相等 2．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝40°，∠2＝50° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1＝40°，∠2＝40° 3．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式 　 　． 巩固训练 4．（2024春•临海市校级期中）以下命题中，其中是假命题的是（　　） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．0的平方根是0 D．﹣1的立方根是﹣1 5．（2024•镇海区校级模拟）能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（　　） A．a＝1 B．a＝ C．a＝ D．a＝﹣2 6．（2023秋•滨江区期末）将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 　 　． 题型五　全等三角形的性质 例题： 1．（2023秋•孟村县期末）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　　） A．12 B．7 C．2 D．14 2．（2024•益阳三模）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180° 3．（2022春•邓州市期末）如图，△PAC≌△PBD，若∠A＝40°，∠BPD＝20°，则∠PCD的度数为 　 　． 4．（2021秋•芜湖期中）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，AB＝6，BC＝8，CE＝10． （1）求△ABC的周长； （2）求△ACE的面积． 5．（2022秋•鄞州区校级期末）如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D． （1）求证：CE⊥AB； （2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长． 巩固训练 6．（2023秋•科左中旗期末）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（　　） A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE 7．如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 　 　． 8．（2023秋•衢江区期末）如图，△ABC≌△ADE，点D恰好落在BC上，且DE⊥AC，∠B＝79°，则∠E的度数为 　 　． 9．（2022秋•涟水县期中）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一条直线上． （1）若∠BED＝140°，∠D＝75°，求∠ACB的度数； （2）若BE＝2，EC＝3，求BF的长． 10．（2023秋•新田县期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s． （1）如图（1），当t＝　 　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． 题型六　全等三角形的判定 例题： 1．（2024•凉州区二模）如图，B，D分别是位于线段AC两侧的点，连接AB，AD，CB，CD，则下列条件中，与∠BAC＝∠DAC相结合无法判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．AB＝AD B．CB＝CD C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D 2．（2023秋•兴国县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝14cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以2cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为　 　 　． 3．（2023秋•滨海新区期末）已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF． 求证：△ABF≌△DCE． 4．（2023秋•西湖区期末）如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，已知∠B＝∠DEF，BE＝CF．下面给出四个条件：①AC＝DF；②AB＝DE；③AC∥DF；④∠A＝∠D．请你从中任选一个条件，使得△ABC≌△DEF，并写出证明过程． 5．（2022秋•镇海区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝AB，AD⊥BC，过点C作CE∥AB，∠BCE＝70°，连接ED并延长ED交AB于点F． （1）求∠CAD的度数； （2）证明：△CDE≌△BDF； 巩固训练 6．（2024•邗江区二模）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 7．（2024•桂林一模）如图，把长短确定的两根木棍AB，AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　） A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等 8．（2022秋•泾阳县月考）已知△ABC和△CDE均为等边三角形，A、C、E在一条直线上．求证： （1）AD＝BE； （2）△DPC≌△EQC． 9．（2021秋•章贡区期末）如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒． （1）当t＝3时，BP＝　 　cm； （2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形； （3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等． 题型七　全等三角形的性质与判定 例题： 1．（2024春•鄞州区校级期末）如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（　　） A．1 B． C．2 D．3 2．（2024春•南海区期中）如图，AD是△ABC的BC边上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为　 　． 3．（2023秋•临潼区期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 4．（2024•潮州模拟）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF． （1）求证：CF∥AB； （2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数． 巩固训练 5．（2023秋•长兴县期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，若∠DAE＝∠DEA，∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．4 C． D．6 6．（2024•济南模拟）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是 　 　． 7．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝40°，点D是△ABC外角∠ACF平分线上的一点，连接AD、BD，若∠ADB＝∠ACB，则∠DAC＝　 　度． 8．（2023秋•兴国县期末）如图，△ABC与△BDE是全等的等边三角形，且A、B、D三点共线，AE、CD交于点O，∠AEB＝∠EAB．现有如下结论：①∠AED＝90°；②∠BCD+∠AEB＝60°，③OB⊥AD；④AE＝CD；⑤OB平分∠CBE，平分∠AOD；⑥AO+OB＝AD；一定成立的有（　　）个． A．5个 B．6个 C．3个 D．4个 9．（2024•番禺区二模）已知：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 10．（2024•凉州区二模）如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD． （1）求证：△ABC≌△CDE． （2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度数． 题型八　线段垂直平分线的性质定理 例题： 1．（2023秋•孟村县期末）如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A＝50°，则∠BPC＝（　　） A．100° B．95° C．90° D．50° 2．（2023春•桃城区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝15，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E． （1）求△ABD的周长； （2）若∠B＝35°，求∠BAD的度数． 巩固训练 3．（2024•武威二模）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝2，则BC的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（2024•鹤城区校级一模）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、点E，连接AD．若AE＝5cm，△ACD的周长为16cm，则△ABC的周长为 　 　cm． 5．（2023秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E． （1）已知△ADE的周长7cm，求BC的长； （2）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数． 题型九　角平分线的性质定理 例题： 1．（2023秋•德庆县期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点 2．（2023秋•义乌市期末）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若△ABC面积为30cm2，AB＝8cm，AC＝7cm，则DE的长为（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．5cm 3．（2023秋•长兴县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F． （1）求证：DE＝DF； （2）若∠BDE＝55°，求∠BAC的度数． 巩固训练 4．（2023秋•枣阳市期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 5．（2023秋•临海市期中）已知△ABC． （1）如图1，若三角形的内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，求证： ①∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）； ②∠BOC＝90°+∠A； （2）如图2，若三角形的外角∠DBC与∠ECB的平分线交于点O，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系，请说明理由； （3）如图3，，若三角形的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线交于点O，则∠BOC与∠A的数量关系为 　 　．（只写结论，不需证明） 题型十　尺规作图 例题： 1．（2024•淮滨县三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝4，则△AFH的周长为（　　） A．8 B．6 C．4 D． 2．（2024•岗巴县一模）如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别截取OC，OD，使OC＝OD．再分别以点C，D为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．其作图原理是：△OCP≌△ODP，这样就有∠AOP＝∠BOP，那么判定这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 3．（2023秋•宁波期末）如图，在△ABC中，∠BAC是钝角．（保留作图痕迹） （1）用无刻度的直尺和圆规作AB，AC的垂直平分线，分别交BC于点D、E； （2）连结AD，AE，若∠DAE＝20°，求∠BAC的度数． 巩固训练 4．（2023秋•下陆区期末）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•罗湖区校级模拟）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（2023秋•凤阳县期末）如图，在△ABC中，AB＞AC． （1）用直尺和圆规作BC的中垂线，交AB于点D（要求保留作图痕迹）； （2）连接CD，若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$