第1章 三角形的初步知识（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

第1章 三角形的初步知识（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2024•湖南三模）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，1，2 C．1，2，2 D．1，5，7 【分析】根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可． 【解答】解：A.1+2＝3，不能构成三角形，不合题意； B.1+1＝2，不能构成三角形，不合题意； C..1+2＞2，能构成三角形，符合题意； D.1+5＜7，不能构成三角形，不合题意． 故选：C． 2．（3分）（2024春•临海市校级期中）以下命题中，其中是假命题的是（　　） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．0的平方根是0 D．﹣1的立方根是﹣1 【分析】根据平行线性质，对顶角性质、平方根和立方根判断即可． 【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题； B、对顶角相等，是真命题； C、0的平方根是0，是真命题； D、﹣1的立方根是﹣1，是真命题； 故选：A． 3．（3分）（2023秋•舟山期末）日常生活中三角形有着广泛的应用，例如右图的起重机的支架采用了三角形结构，在这个应用中蕴含的数学知识是（　　） A．三角形三个内角的和等于180度 B．三角形任何两边的和大于第三边 C．三角形具有稳定性 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【分析】根据三角形具有稳定性求解即可． 【解答】解：起重机的支架采用三角形结构是利用了三角形具有稳定性这一数学知识． 故选：C． 4．（3分）（2023秋•北流市期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法． 故选：C． 5．（3分）（2024•河口区校级模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（　　） A．4 B．5 C．1 D．2 【分析】由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用AAS得到三角形AEH与三角形EBC全等，由全等三角形的对应边相等得到AE＝EC，由EC﹣EH，即AE﹣EH即可求出HC的长． 【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠AEH＝∠BEC＝90°， ∵∠AHE＝∠CHD， ∴∠BAD＝∠BCE， ∵在△HEA和△BEC中， ， ∴△HEA≌△BEC（AAS）， ∴AE＝EC＝4， 则CH＝EC﹣EH＝AE﹣EH＝4﹣3＝1． 故选：C． 6．（3分）（2023秋•新昌县期末）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出5个论断：①AB＝DE，②AC＝DF，③BE＝CF，④∠ACB＝∠DFE，⑤∠A＝∠D．选其中3个作为条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④ 【分析】根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL依次对各选项分析即可判断． 【解答】解：③∵BE＝CF， ∴BC＝EF． A、①②③根据“SSS”可判断△ABC≌△DEF； B、②③④根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF； C、③④⑤根据“AAS”可判断△ABC≌△DEF； D、①②④为两边与一边的对角对应相等，故不能判断△ABC≌△DEF； 故选：D． 7．（3分）（2024•罗湖区校级模拟）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据作一个角的平分线，作一个角等于已知角，作线段的垂直平分线的方法一一判断即可． 【解答】解：由作图可知，作图正确的有①②， 故选：A． 8．（3分）（2023秋•台州期末）如图，△ABC≌△DEF，边BC和EF在同一条直线上．若BC＝4cm，BF＝6cm，则BE长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【分析】由全等三角形的性质可知EF＝BC，然后问题可求解． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴EF＝BC＝4cm， ∴BE＝BF﹣EF＝6﹣4＝2（cm）， 故选：B． 9．（3分）（2024春•罗湖区期中）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD＝5，则△AEC的周长为（　　） A．14 B．12 C．11 D．19 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得BE＝CE，再利用三角形的周长公式计算可求解． 【解答】解：∵DE垂直平分线段BC， ∴BE＝EC， ∵AB＝8，AC＝6， ∴△AEC的周长为：AE+CE+AC＝AB+AC＝8+6＝14， 故选：A． 10．（3分）（2023秋•临潼区期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【分析】由角平分线的定义、三角形的内角和定理得∠AOB与∠C的关系，判定①正确；在AB上取一点H，使BH＝BE，证△HBO≌△EBO，得∠BOH＝∠BOE＝60°，再证△HAO≌△FAO，得AF＝AH，判定②正确；过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，由三角形的面积证得③正确；即可得出结论． 【解答】解：①∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB， ∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，故①正确； ②∵∠C＝60°， ∴∠BAC+∠ABC＝120°， ∵AE，BF分别是∠BAC与∠ABC的平分线， ∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠AOF＝60°， ∴∠BOE＝60°， 如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，连接OH， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠HBO＝∠EBO， 在△HBO和△EBO中， ， ∴△HBO≌△EBO（SAS）， ∴∠BOH＝∠BOE＝60°， ∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠AOH＝∠AOF， 在△HAO和△FAO中， ， ∴△HAO≌△FAO（ASA）， ∴AF＝AH， ∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确； ③过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M， ∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴点O在∠C的平分线上， ∴ON＝OM＝OD＝a， ∵AB+AC+BC＝2b ∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×ON+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，故③正确． 故选：C． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式 　如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．　． 【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，即可解决问题． 【解答】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 12．（3分）（2024春•鄞州区校级期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，则△ABC中最小内角的度数为 　20° 或 30°　． 【分析】理解“三倍角三角形”的意义，分类讨论得结论． 【解答】解：当∠B＝60°是最小角的三倍时，此时三角形的三角分别为：100°、60°、20°，故最小角为20°； 当∠B＝60°，另外两个角的关系满足3倍关系， 设最小角为x°，则x+3x+60＝180，∴x＝30． 此时最小角为30°． 故答案为：20° 或 30°． 13．（3分）（2024•仓山区校级模拟）如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 　23　cm． 【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣7＝3（cm）， ∵△ACD的周长为20cm，AB比AC长3cm， ∴△ABD周长为：20+3＝23（cm）． 故答案为23． 14．（3分）（2023秋•柯桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点D．已知BD＝5，CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为 　3　． 【分析】由题意得当DP⊥AB时，PD有最小值，据此即可求解． 【解答】解：∵P为AB上一动点， ∴当DP⊥AB时，PD有最小值，如图所示： 由题意得：AD是∠CAB的角平分线， ∵∠C＝∠DPA＝90°， ∴DP＝CD＝3， 故答案为：3． 15．（3分）（2023秋•淮北期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　30　°． 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数． 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°， ∵∠PCM是△BCP的外角， ∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°， 故答案为：30°． 16．（3分）（2023秋•衢江区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在边AB上，E，F分别是射线CD上的两点，且∠AFC＝∠BEC，∠ACB+∠AFC＝180°，AF＝5，BE＝2．则EF的值是 　3　；若DF＝2CF，△AFD的面积为4，则△DEB的面积是 　　． 【分析】依题意，∠AFC＝180°﹣∠AFD，进而得到∠ACB＝∠AFD．再证明∠CAF＝∠BCE，再由三角形内角和定理可得∠EBC＝∠FCA，最后利用ASA证明△EBC≌△FCA得出CF＝BE，AF＝CE，即可求得EF＝3，进而根据DF＝2CF＝4得出，根据全等三角形的性质得出S△EBC＝S△FCA，即可求解． 【解答】解：∵∠BEC＝∠AFC＝180°﹣∠ACB且∠AFC＝180°﹣∠AFD ∴∠ACB＝∠AFD 由外角定理可得∠AFD＝∠ACD+∠CAF， 又∵∠ACB＝∠ACD+∠BCE， ∴∠CAF＝∠BCE， ∵∠BEC＝∠AFC ∴∠EBC＝∠FCA 在△EBC和△FCA中， ∴△EBC≌△FCA（ASA）． ∴CF＝BE，AF＝CE ∵AF＝5，BE＝2 ∴EF＝CE﹣CF＝AF﹣EB＝5﹣2＝3 ∵△EBC≌△FCA ∴S△EBC＝S△FCA， ∵△AFD的面积为4，DF＝2CF＝4 ∴S△EBC＝S△FCA＝2，DE＝DF﹣EF＝4﹣3＝1 ∵CE＝5， ∴ ∴△DEB的面积是 故答案为：3，． 三．解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（2024•番禺区二模）已知：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 【分析】根据SAS证明△ABF≌△DCE，由全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∴BF＝CE， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠A＝∠D． 18．（6分）（2023秋•婺城区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点． （1）求证：∠1＝∠2． （2）写出图中的一对全等三角形，并给出证明． 【分析】（1）根据同角的余角相等解答即可； （2）根据ASA证明三角形全等即可． 【解答】（1）证明：∵F是高AD和高BE的交点， ∴∠1+∠C＝∠2+∠C＝90°， ∴∠1＝∠2； （2）解：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°， ∴BD＝AD， 在△BFD与△CAD中， ， ∴△BFD≌△CAD（ASA）． 19．（8分）（2023秋•松阳县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：∠A＝∠C． 【分析】连接BD，利用SSS证得△ABD≌△CBD，得出答案即可． 【解答】证明：如图， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∴∠A＝∠C． 20．（8分）（2023秋•凤阳县期末）如图，在△ABC中，AB＞AC． （1）用直尺和圆规作BC的中垂线，交AB于点D（要求保留作图痕迹）； （2）连接CD，若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长． 【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出直线MN； （2）利用线段垂直平分线的性质得出△ADC的周长为＝AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示： 直线MN即为所求； （2）由（1）可知，直线MN是线段BC的垂直平分线， ∴DC＝DB， ∴△ACD的周长为＝AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB， ∵AB＝8，AC＝4， ∴△ACD的周长为8+4＝12． 21．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点F．已知∠AEF＝70°，∠AFE＝50°，求∠C和∠ABC的度数． 【分析】先根据三角形内角和为180度求出∠DAC＝60°，结合∠ADC＝90°，可求出∠C，再根据∠AEF＝∠C+∠EBC求出∠EBC，最后根据角平分线的定义可求∠ABC的度数． 【解答】解：∵∠AEF＝70°，∠AFE＝50°， ∴∠FAE＝180°﹣∠AFE﹣∠AEF＝60°，即∠DAC＝60°， ∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADC＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠DAC＝30°， ∵∠AEF＝∠C+∠EBC， ∴∠EBC＝∠AEF﹣∠C＝70°﹣30°＝40°， ∵BE是平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC＝80°． 22．（10分）（2023秋•舟山期末）如何仅用刻度尺平分一个角？ 【提出问题】仅用一把刻度尺，平分∠AOB． 【设计方案】如图，已知∠AOB，用刻度尺分别在OA，OB上取OC＝OD，OE＝OF，连结DE，CF相交于点G，过点O，G作射线OH，则射线OH平分∠AOB． 【解决问题】在△ODE和△OCF中， ∵①， ∴△ODE≌△OCF 　（SAS）　②， ∴∠DFG＝∠CEG， ∵OC＝OD，OE＝OF， ∴DF＝CE， ∵∠DFG＝∠CEG，∠DGF＝∠CGE，DF＝CE， ∴△DFG≌△CEG（AAS）， ∴FG＝EG， ∵OF＝OE，∠GFO＝∠GEO，FG＝EG， ∴△OFG≌△OEG（SAS）， ∴　∠FOG　＝　∠EOG　③， 即射线OH平分∠AOB． ★请同学们在①、②、③处补全缺失的证明过程． 【分析】首先利用SAS证得△ODE≌△OCF，保护层出∠DFG＝∠CEG，进而利用AAS推导出△DFG≌△CEG，得到FG＝EG，最后推导出△OFG≌△OEG（SAS），进而得证． 【解答】证明：在△ODE和△OCF中， ， ∴△ODE≌△OCF（ SAS ）， ∴∠DFG＝∠CEG， ∵OC＝OD，OE＝OF， ∴DF＝CE， ∵∠DFG＝∠CEG，∠DGF＝∠CGE，DF＝CE， ∴△DFG≌△CEG（AAS）， ∴FG＝EG， ∵OF＝OE，∠GFO＝∠GEO，FG＝EG， ∴△OFG≌△OEG（SAS）， ∴∠FOG＝∠EOG， 即射线OH平分∠AOB， 故答案为：∠DOE；∠COF；（SAS）；∠FOG；∠EOG． 23．（12分）（2024•雨花区校级二模）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上． （1）求证：△AEC≌△BED． （2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数． 【分析】（1）要证明△AEC≌△BED，根据题目中的条件，先证明∠AEC＝∠BED即可，由∠1＝∠2，即可得到∠AEC＝∠BED，然后写出全等的条件，即可证明结论成立； （2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质，可以求得∠BDE的度数． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠AED＝∠2+∠AED， ∴∠AEC＝∠BED， 在△AEC和△BED中 ∴△AEC≌△BED（ASA）； （2）解：∵△AEC≌△BED， ∴ED＝EC，∠ACE＝∠BDE， ∴∠ECD＝∠EDC， ∵∠1＝40°， ∴∠ECD＝∠EDC＝70°， ∴∠ECA＝70°， ∴∠BDE＝70°， 即∠BDE是70°． 24．（12分）（2024•郓城县模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件； （2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数； （3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立． 【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（SAS）； （2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE， ∴∠E＝45°， 由（1）知△BAC≌△DAE， ∴∠BCA＝∠E＝45°， ∵AF⊥BC， ∴∠CFA＝90°， ∴∠CAF＝45°， ∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°； （3）延长BF到G，使得FG＝FB， ∵AF⊥BG， ∴∠AFG＝∠AFB＝90°， 在△AFB和△AFG中， ， ∴△AFB≌△AFG（SAS）， ∴AB＝AG，∠ABF＝∠G， ∵△BAC≌△DAE， ∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED， ∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA， ∴∠G＝∠CDA， ∵∠GCA＝∠DCA＝45°， 在△CGA和△CDA中， ， ∴△CGA≌△CDA（AAS）， ∴CG＝CD， ∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF， ∴CD＝2BF+DE． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的初步知识（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2024•湖南三模）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，1，2 C．1，2，2 D．1，5，7 2．（3分）（2024春•临海市校级期中）以下命题中，其中是假命题的是（　　） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．0的平方根是0 D．﹣1的立方根是﹣1 3．（3分）（2023秋•舟山期末）日常生活中三角形有着广泛的应用，例如右图的起重机的支架采用了三角形结构，在这个应用中蕴含的数学知识是（　　） A．三角形三个内角的和等于180度 B．三角形任何两边的和大于第三边 C．三角形具有稳定性 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 4．（3分）（2023秋•北流市期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 5．（3分）（2024•河口区校级模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（　　） A．4 B．5 C．1 D．2 6．（3分）（2023秋•新昌县期末）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出5个论断：①AB＝DE，②AC＝DF，③BE＝CF，④∠ACB＝∠DFE，⑤∠A＝∠D．选其中3个作为条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④ 7．（3分）（2024•罗湖区校级模拟）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．（3分）（2023秋•台州期末）如图，△ABC≌△DEF，边BC和EF在同一条直线上．若BC＝4cm，BF＝6cm，则BE长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 9．（3分）（2024春•罗湖区期中）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD＝5，则△AEC的周长为（　　） A．14 B．12 C．11 D．19 10．（3分）（2023秋•临潼区期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式 　 　． 12．（3分）（2024春•鄞州区校级期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，则△ABC中最小内角的度数为 　 　． 13．（3分）（2024•仓山区校级模拟）如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 　 　cm． 14．（3分）（2023秋•柯桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点D．已知BD＝5，CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为 　 　． 15．（3分）（2023秋•淮北期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　 　°． 16．（3分）（2023秋•衢江区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在边AB上，E，F分别是射线CD上的两点，且∠AFC＝∠BEC，∠ACB+∠AFC＝180°，AF＝5，BE＝2．则EF的值是 　 　；若DF＝2CF，△AFD的面积为4，则△DEB的面积是 　 　． 三．解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（2024•番禺区二模）已知：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 18．（6分）（2023秋•婺城区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点． （1）求证：∠1＝∠2． （2）写出图中的一对全等三角形，并给出证明． 19．（8分）（2023秋•松阳县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：∠A＝∠C． 20．（8分）（2023秋•凤阳县期末）如图，在△ABC中，AB＞AC． （1）用直尺和圆规作BC的中垂线，交AB于点D（要求保留作图痕迹）； （2）连接CD，若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长． 21．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点F．已知∠AEF＝70°，∠AFE＝50°，求∠C和∠ABC的度数． 22．（10分）（2023秋•舟山期末）如何仅用刻度尺平分一个角？ 【提出问题】仅用一把刻度尺，平分∠AOB． 【设计方案】如图，已知∠AOB，用刻度尺分别在OA，OB上取OC＝OD，OE＝OF，连结DE，CF相交于点G，过点O，G作射线OH，则射线OH平分∠AOB． 【解决问题】在△ODE和△OCF中， ∵①， ∴△ODE≌△OCF 　 　②， ∴∠DFG＝∠CEG， ∵OC＝OD，OE＝OF， ∴DF＝CE， ∵∠DFG＝∠CEG，∠DGF＝∠CGE，DF＝CE， ∴△DFG≌△CEG（AAS）， ∴FG＝EG， ∵OF＝OE，∠GFO＝∠GEO，FG＝EG， ∴△OFG≌△OEG（SAS）， ∴　 　＝　 　③， 即射线OH平分∠AOB． ★请同学们在①、②、③处补全缺失的证明过程． 23．（12分）（2024•雨花区校级二模）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上． （1）求证：△AEC≌△BED． （2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数． 24．（12分）（2024•郓城县模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$