第6章 反比例函数 基础题过关检测★【10个考点50题专练】课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第6章 反比例函数 基础题过关检测★ 【10个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版 数学九年级上册 1 一．反比例函数的定义 二．反比例函数的图象 三．反比例函数图象的对称性 四．反比例函数的性质 五．反比例函数系数k的几何意义 六．反比例函数图象上点的坐标特征 七．待定系数法求反比例函数解析式 八．反比例函数与一次函数的交点问题 九．反比例函数的应用 一十．反比例函数综合题 2 一．反比例函数的定义 3 1.下列函数中，y是x的反比例函数的是( ____ ) A.y=2x B.y= C.y=x+3 D.y=x2 【解析】解：A、y=2x是正比例函数，不是反比例函数，故此选项不合题意； B、y= 是反比例函数，故此选项符合题意； C、y=x+3是一次函数，故此选项不合题意； B 4 D、y=x2是二次函数，故此选项不合题意； 故选：B． 5 2.下列函数中，y是x的反比例函数的是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：y= ，y= ，y= 不符合y= 的形式，不是反比例函数，不符合题意； B 6 y= 符合y= 的形式，是反比例函数，符合题意． 故选：B． 7 3.已知函数y=(m-2)x|m|-3是反比例函数，则m= ____ ． 【解析】解：依题意得：|m|-3=-1且m-2≠0， 解得m=-2． 故答案为：-2． -2 8 4.已知函数 是反比例函数，则m= ____ ． 【解析】解：∵函数 是反比例函数， ∴ ， 解得m=-4． 故答案为：-4． -4 9 5.已知：P= ÷(m+ )． (1)化简P； (2)若函数y=3xm+n为反比例函数，求P的值． 【解析】解：(1)P= ÷(m+ ) = ÷ = ÷ 10 = • = ； (2)∵函数y=3xm+n为反比例函数， ∴m+n=-1， ∴P= =-1． 11 二．反比例函数的图象 12 6.一次函数y=ax-a与反比例函数y= (a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( ____ ) A.___ A B.___ ___ __ 13 【解析】解：当a＞0时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限，故A符合题意； 当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，没有符合题意的． 故选：A． 14 7.如图是函数y=k1x,y= 和y= 在同一个平面直角坐标系中的部分图象，根据图象的位置判断k1、k2和k3间的大小关系为 　　． 【解析】解：由函数图象可知正比例函数y=k1x经过第二、四象限， ∴k1＜0， 又∵反比例函数y= 和y= 图象在第一象限，且y= 更远离坐标轴， ∴0＜k2＜k3， ∴k1＜k2＜k3．故答案为：k1＜k2＜k3． 15 三．反比例函数图象的对称性 16 8.反比例函数y= 关于y轴对称的函数的解析式为 　　． 【解析】解：反比例函数y= 关于y轴对称的函数的解析式为y= ． 故答案为：y= ． 17 四．反比例函数的性质 18 9.反比例函数 的图象在第一、第三象限，则m可能取的一个值为( ____ ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】解：∵反比例函数 的图象在第一、第三象限， ∴m-1＞0， ∴m＞1，符合条件的值只有2， 故选：D． D 19 10.反比例函数y= 图象的每条曲线上y都随x增大而增大，则k的取值范围是( ____ ) A.k＞1 B.k＞0 C.k＜1 D.k＜0 【解析】解：∵反比例函数y= 的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ∴1-k＜0，∴k＞1． 故选：A． A 20 11.已知反比例函数y= 在x＞0时，y随x的增大而增大．则k的取值范围是( ____ ) A.k＜2 B.k≤2 C.k＞2 D.k≥2 【解析】解：∵反比例函数y= 中，当x＞0时，y随x的增大而增大， ∴k-2＜0，解得k＜2． 故选：A． A 21 12.关于反比例函数 ，下列说法中错误的是( ____ ) A.x＞0时，y随x的增大而减小 B.当1＜x＜3时，1＜y＜3 C.它的图象位于第二、四象限 D.当x≤-1时，y有最小值为-3 【解析】解：A、∵k=3＞0，反比例函数 位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；故本选项正确，不符合题意； B、∵k=3＞0，反比例函数 位于第一、三象限， C 22 且在每一个象限内y随x的增大而减小；当1＜x＜3时，1＜y＜3，故本选项正确，不符合题意； C、∵k=3＞0，反比例函数 位于第一、三象限，故本选项错误，符合题意； D、∵k=3＞0，反比例函数 位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当x≤-1时，y≥-3，则y有最小值为-3，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． 23 13.已知反比例函数y= 的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 _____ ． 【解析】解：∵反比例函数y= 的图象在第二、四象限， ∴2m-6＜0， ∴m＜3． 故答案为：m＜3． m＜3 24 五．反比例函数系数k的几何意义 25 14.如图所示，点P是反比例函数 图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，如果构成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是( ____ ) A. B. C. D. C 26 【解析】解：由题意得：矩形面积等于|k|， ∴|k|=4 又∵反比例函数图象在二、四象限． ∴k＜0 ∴k=-4 ∴反比例函数的解析式是y=- ． 故选：C． 27 15.如图，点A在双曲线 上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k的值为( ____ ) A.2 B.4 C.-2 D.-4 【解析】解：∴S△AOB=2， ∴|k|=4， ∵函数在二、四象限， ∴k=-4．故选：D． D 28 16.如图，点P是反比例函数 的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴于点M，若△POM的面积等于3，则k的值为( ____ ) A.5 B.-5 C.-6 D.6 【解析】解：∵点P在反比例函数 的图象上，PM⊥x轴于M， ∴根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△POM= C 29 |k|， ∴|k|=2S△POM， ∵△POM的面积为3， ∴|k|=6， 依题意得：k＜0， ∴k=-6． 故选：C． 30 17.如图，函数y= (x＞0)的图象过矩形OBCD一边的中点，且图象过矩形OAPE的顶点P，若阴影部分面积为6，则k的值为 ____ ． 【解析】解：设函数图象过BC的中点，中点坐标为(m, )，则C(m, )， ∴S阴影=S矩形OBCD-S矩形OAPE=2k-k=6， ∴k=6． 故答案为：6． 6 31 18.如图，反比例函数 ，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为 ____ ． 【解析】解 ∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形， ∴图中两个阴影面积的和是 圆的面积， ∵圆的半径r=2， ∴S阴影= =π． 故答案为：π． π 32 19.如图，矩形ABCD的边AB与x轴平行，顶点A的坐标为(2，1)，点B与点D都在反比例函数y= (x＞0)的图象上，则矩形ABCD的面积为 ____ ． 【解析】解：∵点A(2，1)，四边形ABCD为矩形， ∴点B的纵坐标为1，点D的横坐标为2， ∵点B与点D都在反比例函数y= (x＞0)的图象上， ∴对于y= ，当y=1时，x=6，当x=2时，y=3， ∴点B的坐标为(1，6)，点D的坐标为(2，3)， 8 33 ∴AB=6-2=4，AD=3-1=2， ∴S矩形ABCD=AB•AD=4×2=8． 故答案为：8． 34 六．反比例函数图象上点的坐标特征 35 20.已知点(-2，3)在反比例函数 的图象，则下列各点也在该图象上的是( ____ ) A.(2，3) B.(1，-6) C. D.(0，0) 【解析】解：∵点(-2，3)在反比例函数 的图象， ∴k=-2×3=-6， B 36 ∵2×3=6，故选项A不符合题意； 1×(-6)=-6，故选项B符合题意； 6×(- )=-3，故选项C不符合题意； 0×0=0，故选项D不符合题意； 故选：B． 37 21.已知点M(-2，3)在反比例函数y= 的图象上，下列各点中，一定在该函数图象上的是( ____ ) A.(3，-2) B.(-2，-3) C.(2，3) D.(3，2) 【解析】解：∵M(-2，3)在反比例函数y= 的图象上， ∴k=-2×3=-6， ∵3×(-2)=-6，-2×(-3)=6，2×3=6，3×2=6， A 38 ∴点(3，-2)在反比例函数y=- 的图象上． 故选：A． 39 22.若点A(x1，-2)，B(x2，1)，C(x3，2)都在反比例函数 的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( ____ ) A.x3＜x2＜x1 B.x2＜x1＜x3 C.x1＜x3＜x2 D.x2＜x3＜x1 【解析】解：将A(x1，-2)代入 ，得： ，即：x1=1， D 40 将B(x2，1)代入 ，得： ，即：x2=-2， 将C(x3，2)代入 ，得： ，即：x3=-1， ∴x2＜x3＜x1． 故选：D． 41 23.如图，反比例函数 的图象经过平行四边形ABCD的顶点C，D，若点A、点B、点C的坐标分别为(3，0)，(0，4)，(a,b)，且a+b=7.5，则k的值是( ____ ) A.9 B.10 C.12 D.15 【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，4)，点C的坐标为(a,b)， ∴点D的坐标为(3+a-0，0+b-4)，即(3+a,b-4)． A 42 ∵点C，D在反比例函数y= 的图象上， ∴ab=k,(3+a)(b-4)=k, ∴3b-4a=12． 又∵a+b=7.5， ∴a=1.5，b=6， ∴k=ab=9． 故选：A． 43 24.已知点A(-2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)都在反比例函数y= (k＜0)的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是( ____ ) A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y2＜y3＜y1 D.y3＜y1＜y2 【解析】解：∵k＜0，∴反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大； 又∵B(1，y2)、C(2，y3)是双曲线上的两点，且2＞1＞0，∴y2＜y3＜0； C 44 又∵点A(-2，y1)在第二象限，故0＜y1， ∴y2＜y3＜y1． 故选：C． 45 25.已知反比例函数 的图象经过点A(-2，6)，则下列各点中也在该函数图象上的是( ____ ) A.(2，6) B.(1，-12) C.(-3，-4) D.(4，3) 【解析】解：∵反比例函数 的图象经过点(-2，6)， ∴k=-2×6=-12， A、2×6=12≠-12，故此点不在此函数图象上； B 46 B、1×(-12)=-12，故此点在此函数图象上； C、-3×(-4)=12，故此点不在此函数图象上； D、4×3=12，故此点不在此函数图象上． 故选：B． 47 26.如图，点P是反比例函数y= 图象上的一点，过点P作PD⊥x轴于点D，若△POD的面积为m,则函数y=mx-1的图象为( ____ ) A.___ B.___ C.___ A D.___ 48 【解析】解：设P点坐标为(x,y)， ∵P点在第一象限且在函数y= 的图象上， ∴S△POD= ×2=1，即m=1． ∴一次函数y=mx-1的解析式为：y=x-1， ∴一次函数的图象是经过点(0，-1)，(1，0)的直线． 故选：A． 49 27.下列反比例函数的图象经过点(-1，2)的是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：A. ，故反比例函数 的图象不经过点 (-1，2)； D 50 B. ，故反比例函数 的图象不经过点 (-1，2)； C. ，故反比例函数 的图象不经过点 (-1，2)； D． ，故反比例函数 的图象经过点 (-1，2)， 故选：D． 51 28.点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)是反比例函数 图象上的三点，且x1＞x2＞0＞x3，则y1、y2、y3的大小关系是( ____ ) A.y3＜y1＜y2 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y2＜y1 D.y1＜y2＜y3 【解析】解：∵反比例函数 的图象在第二、四象限， 又∵点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)是反比例函数 B 52 图象上的三点，且x1＞x2＞0＞x3， ∴点A，B在第四象限函数的图象上，点C在第三象限函数的图象上，如下图所示：∴y2＜y1＜y3， 故选：B． ___ 53 29.已知点A(2，y1)，B(3，y2)都在反比例函数y= (k＞0)的图象上，则y1 ____ y2(填“＜”或“＞”)． 【解析】解：∵点A(2，y1)，B(3，y2)都在反比例函数y= (k＞0)的图象上， ∴y1= ，y2= ， 而k＞0， ∴y1＞y2． 故答案为＞． ＞ 54 30.如图，反比例函数y= 的图象与△ABC的两边AB、BC分别交于点E(3，m)、F(n,2)，已知AB∥x轴，点A在y轴上，点C在x轴上，F为BC的中点，则m+n= ____ ． 【解析】解：过点F作FG⊥x轴于G，过点B作BH⊥x轴于H， ___ ∵点F的坐标为(n,2)， ∴FG=2， 10 55 ∵FG⊥x轴，BH⊥x轴， ∴FG∥BH， 又∵点F为BC的中点， ∴FG为△CBH的中位线， ∴BH=2FG=4， ∵AB∥x轴， ∴点E的纵坐标为4， 即：点E的坐标为(3，4)， ∴m=4， 将点E(3，4)代入 ，得：k=12， 56 ∴反比例函数的解析式为： ， 将点F(n,2)代入 ，得：n=6， ∴m+n=10． 57 31.在反比例函数 的图象每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是 _____ ． 【解析】解：∵在反比例函数 的图象每一条曲线上，y都随x的增大而减小， ∴m-2＞0， ∴m＞2． 故答案为m＞2． m＞2 58 32.画出反比例函数y=- 的大致图象，结合图象回答： (1)当x=2时，y的值； (2)当1＜x≤4时，y的取值范围； (3)当-1≤y＜4且y≠0时，x的取值范围． 【解析】解：作出反比例函数y=- 的图象，如图所示， (1)把x=2代入得：y=- =-2； (2)当x=1时，y=-4；当x=4时，y=-1， 59 根据图象得：当1＜x≤4时，y的取值范围为-4＜y≤-1； (3)当y=-1时，x=4；当y=4时，x=-1， 根据题意得：当-1≤y＜4且y≠0时，x的取值范围为x＜-1或x≥4． 60 33.参照学习函数的过程与方法，探究函数y= (x≠0)的图象与性质，因为y= ，即y=- +1，所以我们对比函数y=- 来探究． 列表： x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 … 61 y=- … 1 2 4 -4 -2 -1 … y= … 2 3 5 -3 -1 0 … 描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以y= 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示； (1)请把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当x＜0时，y随x的增大而 _____ ；(填“增大”或“减小”) 增大 62 ②y= 的图象可看作是由y=- 的图象向 ____ 平移 ____ 个单位而得到的； ③y= 图象的两个分支关于点 ________ 中心对称；(填点的坐标) (3)试说明函数y= 与直线y=1的交点情况． 【解析】解：(1)函数图象如图所示： 上 1 (0，1) 63 ___ (2)①当x＜0时，y随x的增大而增大； ②y= 的图象是由y=- 的图象向上平移1个单位而得到； ③图象关于点(0，1)中心对称． 64 故答案为：增大，上，1，(0，1)； (3)根据题意得： =1， x-2=x, 无解， ∴没交点． 65 七．待定系数法求反比例函数解析式 66 34.在平面直角坐标系中，若点A(x1，2)和点B(x2，4)在反比例函数 的图象上，则下列关系式正确的是( ____ ) A.x1＞x2 B.x1=x2 C.x1＜x2 D.无法确定 【解析】解：∵反比例函数 ， ∴反比例函数图象 经过第一、三象限，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小， A 67 ∵点A(x1，2)和B(x2，4)中，4＞2， ∴x1＞x2， 故选：A． 68 35.如图，点B是反比例函数 上一点，矩形OABC的周长是16，正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为56，则反比例函数的解析式是 　　． 【解析】解：设点B的坐标为(a,b)， ∵点B是反比例函数 上一点， ∴a＞0，b＞0， ∴OA=a,OC=b, ∵矩形OABC的周长是16， 69 ∴2(a+b)=16， 即：a+b=8， 又∵正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为56， ∴a2+b2=56， 由a+b=8，得：(a+b)2=64， 即：a2+b2+2ab=64， 将a2+b2=56代入上式，得：ab=4， ∴k=ab=4， ∴反比例函数的解析式为： (x＞0)． 70 36.已知反比例函数y= 的图象经过点(3，2)，则k的值是 ____ ． 【解析】解：依题意，得x=3时，y=2， 所以，k=xy=6， 故答案为：6． 6 71 八．反比例函数与一次函数的交点问题 72 37.如图，已知正比例函数y=k1x的图象与反比例函数 的图象都经过点P(2，3)，点D是正比例函数图象上的一点，过点D作y轴的垂线，垂足为Q，DQ交反比例函数的图象于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图于点E．当点D的纵坐标为9时，则△AEP的面积是 　　． 【解析】解：∵正比例函数y=k1x的图象与反比例函数 的图象都经过点P(2，3)， ∴3=2k1，k2=2×3， 73 解得：k1=1.5，k2=6， ∴正比例函数的表达式为y=1.5x,反比例函数的表达式为y= ， ∵点D为正比例函数为y=1.5x图象上一点，且纵坐标为9， ∴9=1.5x, 解得：x=6， 即点D(6，9)， ∵DQ⊥y轴交反比例函数图象于点A， ∴点A的纵坐标为9， ∴9= ， 74 解得x= ， 即点A( ，9)， ∵AB⊥x轴交正比例函数y=1.5x的图象于点E， ∴点E的横坐标为 ， ∴y=1.5× ， 解得y=1， ∴点E( ，1)， ∴AE=9-1=8， 75 过点P作PH⊥AB于H，如图所示： ___ ∵点P(2，3)，则PH=2- = ， ∴S△AEP= AE•PH= ×8× = ． 故答案为： ． 76 38.如图，正比例函数y=k1x与反比例函数 的图象相交于A、B两点，若点B的坐标为(-2，-1)，则点A的坐标是 ________ ． 【解析】解：∵点B的坐标为(-2，-1)， ∴点A的坐标为(2，1)． 故答案为：(2，1)． (2，1) 77 39.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点A(2，a)，与x轴交于C点，与y轴交于B点． _____ (1)求出a,k的值； (2)若M(m,0)为x轴正半轴上的一动点，当△AMB的面积为 78 时，求m的值． 【解析】解：(1)由题意可知点A(2，a)在一次函数 的图象上， ∴ ， ∴A(2，3)． ∵一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点A， ∴ ， 79 ∴k=6； (2)对于 ，令y=0，则 ， 解得：x=-4， ∴C(-4，0)． 令x=0，则y=2， ∴B(0，2)． ∵M(m,0)为x轴正半轴的一动点， ∴CM=m-(-4)=m+4， ∴S△ACM= CM•yA= (m+4)×3= (m+4)， 80 S△BCM= CM•yB= (m+4)×2=(m+4)， ∵S△AMB=S△ACM-S△BCM， ， ∴ ， 解得：m=3． 81 40.已知反比例函数 是常数，k≠0)与一次函数y2=-x+k图象有一个交点的横坐标是-4． (1)求k的值； (2)求另一个交点坐标； (3)直接写出y1＞y2时x的取值范围． 【解析】解：(1)联立方程组可得： =-x+k,将x=-4代入得， -k=4+k,即k=-2． (2)y1=- ，y2=-x-2， 82 联立： 解得： ， ， ∴另一个交点坐标为(2，-4)． (3)y1＞y2，就是反比例函数图象在一次函数图象上边时，自变量的取值范围． 即：x＞2或-4＜x＜0． 83 41.如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于点A(-1，2)，B(4，- )． (1)求函数y= 和y=k2x+b的表达式； (2)若在x轴上有一动点C，当S△ABC=2S△AOB时，求点C的坐标． 【解析】解：(1)将点A(-1，2)，B(4，- )分别代入反比例函数y= 和一次函数y=k2x+b的解析式， 84 ∴k1=-1×2=-2， ， ∴k1=2， ． ∴反比例函数的解析式为：y= ，一次函数的解析式为：y=- x+ ． (2)如图，设AB与y轴交于点D，过点C作CE∥y轴交AB于点E， 设C(m,0)， 85 ∴E(m,- m+ )． ∴CE=|- m+ |． ___ 令x=0，则y= ， ∴D(0， )， 86 ∴OD= ， ∴S△AOB= OD•(xB-xA)= × ×[4-(-1)]= ． ∴S△ABC=2S△AOB= ． ∴ CE•(xB-xA)= ，即 •|- m+ |•5= ． 解得m=-3或m=9， ∴点C的坐标为(-3，0)或(9，0)． 87 42.在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知函数y=2x的图象和反比例函数的图象在第一象限交于A点，其中点A的横坐标是1． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线y=2x平移后与y轴相交于点B，且AB=OB，求平移后直线的解析式． 【解析】解：(1)当x=1时，y=2x=2，则A(1，2)， 设反比例函数解析式为y= ， 把A(1，2)代入得k=1×2=2， 88 ∴反比例函数解析式为y= ； (2)设平移后的直线解析式为y=2x+b, 则B(0，b)， ∵OB=BA， ∴b2=12+(b-2)2，解得b= ， ∴平移后的直线解析式为y=2x+ ． 89 43.如图，一次函数y1=mx与反比例函数 (k为常数，k≠0)的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为(2，4)． (1)求m和k的值； (2)当y1＜y2时，直接写出x的取值范围 ________________ ． 【解析】解：(1)把A(2，4)代入y1=mx中得：4=2m,解得m=2， 把A(2，4)代入 中得：k=2×4=8； (2)由对称性可知，点B的坐标为(-2，-4)， ∴由函数图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围x＜-2或0＜x＜2，故答案为：x＜-2或0＜x＜2． x＜-2或0＜x＜2 90 44.如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数 的图象交于A(-4，1)，B(m,4)，两点．(k1，k2，b均为常数) (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式 的解集． 【解析】解：(1)将点A(-4，1)代入 得 ， ∴k2=-4， ∴反比例函数的解析式为 ； 91 将点B(m,4)代入 得 ， ∴m=-1， 将点A(-4，1)、B(-1，4)分别代入y=k1x+b得 ， 解得 ， ∴一次函数的解析式为y=x+5； (2)根据图象可知，当-4＜x＜-1时，直线在反比例函数图象的上方，满足 ，∴不等式 的解集为-4＜x＜-1或x＞0． 92 45.如图，一次函数y= x+b与反比例函数y= (k＜0)图象交于点A(-4，m)，B(-1，2)，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D． (1)填空：m=　　，b=　　，k=　　； (2)观察图象，直接写出在第二象限内x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； (3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若S△PCA=S△PDB，求点P的坐标． 【解析】解：(1)∵一次函数y= x+b与反比例函数y= (k＜0) 93 图象交于点A(-4，m)，B(-1，2)， ∴k=-4m=-1×2，2= ×(-1)+b, ∴m= ，k=-2，b= ， 故答案为： ， ，-2； (2)当-4＜x＜-1时，一次函数的值大于反比例函数的值； (3)由(1)可知，一次函数y= x+ ．设P点坐标为(t, t+ )， ∵△PCA和△PDB的面积相等， ∴ × ×(t+4)= ×1×(2- t- )， 94 解得t=- ， ∴P点坐标为(- ， )． 95 九．反比例函数的应用 96 46.在物理学中，电磁波(又称电磁辐射)是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着5G技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长λ(单位：m)会随着电磁波的频率f(单位：MHz)的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值： 频率f(MHz) 5 10 15 20 97 波长λ(m) 60 30 20 15 该段电磁波的波长λ与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长λ关于频率f的函数表达式． 【解析】解：由表格可知，5×60=10×30=15×20=20×15=300 频率f与波长λ乘积为定值300，则电磁波的波长λ与频率f满足反比例函数关系． 设波长λ关于频率f的函数解析式为 98 把点(10，30)代入上式中得： ， 解得：k=300， ∴ ； 99 47.某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x(h)之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比例)． (1)根据图象求出血液中药物浓度下降阶段y关于x的函数表达式； (2)问：血液中药物浓度不低于5微克/毫升的持续时间为多少小时？ 【解析】解：(1)当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx, 将(4，10)代入得：6=4k, 100 解得：k= ， 故直线解析式为：y= x, 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y= ， 将(4，10)代入得：10= ， 解得：a=40， 故反比例函数解析式为：y= ； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y= x(0≤x≤4)， 101 下降阶段的函数关系式为y= (4≤x≤10)． (2)当y=5，则5= x, 解得：x=2， 当y=5，则5= ， 解得：x=8， ∵8-2=6(小时)， ∴血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间6小时． 102 48.2023年新能源汽车继续保持快速增长，产销突破了900万辆，市场占有率超过30%，汽车出口再创新高，全年出口接近500万辆．为继续扩大销量，某城市新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款y万元，x个月结清．y与x满足某函数关系，其部分对应值如表，请回答下列问题． x/月 … 2 4 7 10 … y/万元 … 7 3.5 2 1.4 … (1)确定y与x的函数表达式，并求出首付款； 103 (2)若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元； (3)如果张先生打算每月付款0.25万元，那么他能否在规定不计算利息的期限内结算？ 【解析】解：(1)由表格猜想y与x成反比例函数关系， 设y与x的函数表达式为y= (k≠0)， 当x=2时，y=7，代入表达式得 ， ∴k=14． ∴y与x的函数表达式为y= (1≤x≤60的整数)， 104 经检验表中其他各组对应值均满足此表达式． ∵当x=1 时，y=14， ∴20-14=6(万元)． ∴首付款为6万元； (2)当x=40时，y= =0.35(万元)， 答：平均每月应付0.35万元； (3)当y=0.25时， ， 解得 x=56， ∵56＜60， 答：他能在规定不计算利息的期限内结算． 105 49.已知某蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求出这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，求出用电器可变电阻应控制在什么范围． 【解析】解：(1)电流I是电阻R的反比例函数，设I= ， ∵图象经过(8，6)， ∴1.8=6= ， 106 解得：k=8×6=48， ∴这个反比例函数的解析式为I= ； (2)∵I≤3，I= ， ∴ ≤10， ∴R≥4.8， 即用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内． 107 一十．反比例函数综合题 108 50.在平面直角坐标系中，过点A(a,m)作x轴的垂线，垂足为B． (1)如图1，当a=-2，m=-4时，P(t,0)是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C． ①若t=1，直接写出点C的坐标是 ________ ； ②点C在过点A的双曲线 上，求t的值； (2)如图2，将过点A的双曲线 的分支沿y轴折叠得到另一双曲线，将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在折叠后的双曲线上的点D(d,n)处，试探究m和n的数量关系． (1，3) 109 ______ 【解析】解：(1)①如图1，设反比例函数解析式为y= (k≠0)， 根据题意得：当a=-2，m=-4， ∴A(-2，-4)， 110 ∴k=(-2)×(-4)=8， ∴反比例函数解析式为y= (k≠0)， ∵过点A(-2，-4)作x轴的垂线， ∴B(-2，0)， 根据题意得：P(1，0)，PB=PC=3， ∴C(1，3)， 故答案为：(1，3)； ②根据题意得：C(t,t+2)， ∵点C在y= 上， ∴t(t+2)=8， 111 ∴t=-4或2； (2)如图2， ①当点A与点D关于x轴对称时，A(a,m)，D(d,n) ∴m+n=0， ②当点A绕点O旋转90°时，得到点D′，点D′在y=- 上，过点D′作D′H⊥y轴于点H， 则△ABO≌△D'HO， ∴OB=OH，AB=D'H， ∵A(a,m)， ∴D'(m,-a)， 112 即 D'(m,n)， ∵点D'在y=- 上， ∴mn=-8， 综上所述：m 和n的数量关系是m+n=0或mn=-8． 113 $$