第6章 反比例函数 培优题突破练习★★★【6个考点50题专练】课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第6章 反比例函数 培优题突破练习★★★ 【6个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版 数学九年级上册 1 一．反比例函数的性质 二．反比例函数系数k的几何意义 三．反比例函数图象上点的坐标特征 四．反比例函数与一次函数的交点问题 五．反比例函数的应用 六．反比例函数综合题 2 一．反比例函数的性质 3 1.关于反比例函数 ，下列结论正确的是( ____ ) A.函数图象分别位于第一、三象限 B.函数图象经过点(1，3) C.当x＜0时，y随x的增大而减小 D.当-3＜x＜-1时，1＜y＜3 【解析】解：A、反比例函数 ，函数图象分别位于第二、四象限，故此选项错误； B、反比例函数 ，图象经过点(1，-3)和(-1，3)，不经过(1，3 D 4 )，故此选项错误； C、反比例函数 ，当x＞0时，y随着x的增大而增大，故此选项错误； D、反比例函数 ，当-3＜x＜-1时，1＜y＜3，故此选项正确． 故选：D． 5 二．反比例函数系数k的几何意义 6 2.如图，B、C两点分别在函数 和 (x＜0)的图象上，线段BC⊥y轴，点A在x轴上，则△ABC的面积为( ____ ) A.3 B.4 C.6 D.9 【解析】解：连接OA、OB， ∵BC⊥y轴， A 7 ∴△ABC的面积等于△OBC的面积， ∵△OBC的面积： =3， ∴△ABC的面积为：3． 故选：A． 8 3.如图，点A在函数 的图象上，点B在函数 的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为( ____ ) A.1 B.2 C. D. 【解析】解：如图，延长BA交y轴于点D， C 9 ∵点A在函数 的图象上， ∴S△ADO= = ， ∵点B在函数 的图象上， ∴S矩形OCBD=5， ∴S梯形ABCO=S矩形OCBD-S△ADO=5- = ． 故选：C． 10 4.如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中小正方形的顶点A、B、C在坐标轴上，点D为小正方形与y轴的交点，顶点E在反比例函数 的图象上，若S△ADF=1，则k的值为( ____ ) A. B. C. D.24 B 11 【解析】解：过点E作EM⊥x轴于M，过点G作GH⊥x轴于H，设BG交y轴于K，如图所示： ___ 根据正方形的性质得：CT=AF=TF，∠T=∠AFD=90°，AF∥BE， 在△CDT和△ADF中， 12 ， ∴△CDT≌△ADF(AAS)， ∴DT=DF， ∴AF=2DF， ∵S△ADF=1， ∴ DF•AF=1， 即 DF•2DF=1， ∴DF=1， 13 ∴AF=2， 由勾股定理得：AD= = ， ∴BE=3AF=6， ∵AF∥BE，EM∥AD， ∴∠BEM=∠DAF， 又∵∠EMB=∠AFD=90°， ∴△EBM∽△ADF， ∴BM：DF=EM：AF=BE：AD， 即BM：1=EM：2=6： ， ∴BM= ，EM= ， 14 ∵∠GBE=90°，EM⊥x轴， ∴∠GBH+∠EBM=90°，∠EBM+∠BEM=90°， ∴∠GBH=∠BEM， 又∵∠BHG=∠EMB=90°， ∴△BGH∽△EBM， ∴BH：EM=BG：BE， 即 ， ∴BH= ， 在△ADE和△AKG中， 15 ， ∴△ADE≌△AKG(AAS)， ∴DF=GK=1， ∴点K为BG的中点， ∴OK为△BGH的中位线， ∴OB= BH= = ， ∴OM=OB+BM= = ， 16 ∴点E的坐标为 ， ∵点E在反比例函数 的图象上， ∴k= = ． 故选：B． 17 5.反比例函数 的图象如图所示，AB∥y轴，若△ABC的面积为3，则k的值为( ____ ) A.-3 B. C.-6 D.-9 【解析】解：如图所示，连接AO， C 18 ___ ∵AB∥y轴， ∴S△ABC=S△AOB=3， ∴ ∴|k|=6 ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＜0，∴k=-6， 故选：C． 19 6.如图，点A、B在反比例函数y= (x＞0)的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则k= ____ ． 【解析】解：作AM⊥OC，BN⊥OC， 设OM=a, ∵点A在反比例函数y= ， ∴AM= ， ∵B是AC的中点， 8 20 ∴AB=BC， ∵AM⊥OC，BN⊥OC， ∴BN∥AM， ∴ ， ， ∴NM=NC，BN= = ， ∵点B在反比例函数y= ， ∴ON=2a, 又∵OM=a, ∴OM=MN=NC=a, 21 ∴OC=3a, ∴S△AOC= •OC•AM= ×3a× = k=12， 解得k=8； 故答案为：8 22 7.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点AC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数y= (x＞0)的图象上，点P是矩形OABC内的一点，连接PO、PA、PB、PC，则图中阴影部分的面积是 ____ ． 【解析】解：作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F． 3 23 ___ ∵S阴= •OC•PE+ •AB•PF= •OC•EF= S矩形ABCO=3． 故答案为3． 24 8.如图，四边形OABC为矩形，点A在第三象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数 的图象上，BE⊥y轴于点E．若DC的延长线交y轴于点F，当矩形OABC的面积为6时， 的值为 　　． 【解析】解：如图，连接BF，OD． 25 ___ 由矩形的性质和对称性的性质可知，△OBD≌△BOC， ∴DF∥OB， ∴ = = = = = ．故答案为： ． 26 9.如图，点M在函数 (x＞0)的图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数 (x＞0)的图象于点B、C，连接OB、OC，则△OBC的面积为 　　． 【解析】解：延长MB交y轴于点D，延长MC交x轴于点E， ___ 27 设M(m, )，可得C(m, )，B( ， )， ∴D(0， )，E(m,0)， ∴S△OBC=S矩形ODME-S△OCE-S△ODB-S△MBC =5- -- - =5-1-1- = ． 故答案为： ． 28 10.如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，顶点A，C在双曲线 上，顶点B，D在双曲线 上，且BD经过点O．若k1+k2=2，则菱形ABCD面积的最小值是 　　． 【解析】解：如图， 过点C作CM⊥y轴于M，过点B作BN⊥y轴于N，连接OC， ∴∠OMC=∠BNO=90°， ∴∠COM+∠OCM=90°， 29 ∵四边形ABCD是菱形， ∴OC⊥BD， ∴∠BOC=90°， ∴∠COM+∠BON=90°， ∴∠OCM=∠OBN， ∴△COM∽△OBN， ∴ ， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=CB，AB∥CD， ∴∠BCD=180°-∠ABC=60°， 30 ∴△BCD是等边三角形， ∵OC⊥BD， ∴OC= OB， ∴ ， ∴OM= BN，CM= ON， 设点B的坐标为(m, )， ∴BN=m,ON=- ， ∴OM= m,CM= ×(- )=- ， 31 ∴C(- ， m)， ∵点C在反比例函数y= 图象上， ∴- × m=k1， ∴k1=-3k2 ∵k1+k2=2， ∴k1=3，k2=-1， ∴C( ， m)，B(m,- )， 32 ∴OC= ，OB= ， ∴S菱形ABCD=2× BD•OC=2OB•OC =2 × =2 (m2+ ) =2 (m- )2+4 ， ∴当m= 时，S菱形ABCD最小=4 ，故答案为：4 ． 33 11.如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的两条外角平分线交于点P，且点P在反比例函数y= 的图象上．PA、PB的延长线分别交x轴、y轴于点C、D，连接CD，则△OCD的面积是 ____ ． 【解析】解：作PM，PH，PN分别垂直于y轴，AB，x轴． 16 34 ___ ∵AP，BP为三角形外角平分线， ∴PM=PH=PN， ∴四边形MONP为正方形， 设点P坐标为(m,m)， ∴m= ， 解得m=4或m=-4(舍)． 35 ∵PM=PH，PA=PA， ∴Rt△PMA≌Rt△PHA， 同理可得Rt△PNB≌Rt△PHB， 设OA=a,OB=b,则AH=MA=OM-OA=4-a, BN=BH=ON-OB=4-b, ∴AB=AH+BH=8-a-b. ∴OA2+OB2=AB2，即a2+b2=(8-a-b)2， 整理得4a+4b-16= ab. ∵PM∥OC， ∴ ， 36 ∴CO= ， 同理可得OD= ， ∴△OCD的面积为 OC•DO= • = ， ∵4a+4b-16= ab, ∴S△OCD=16． 故答案为：16． 37 12.如图，两个边长分别为a,b(a＞b)的正方形连在一起，三点C，B，F在同一直线上，反比例函数y= 在第一象限的图象经过小正方形右下顶点E．若OB2-BE2=8，则(1)S正方形OABC-S正方形DEFB= ____ ；(2)k的值是 ____ ． 【解析】解：(1)连接OB，BE， ____ 4 4 38 ∵四边形OABC和DEFB都是正方形， ∴∠OAB=∠BDE=90°，OA=AB，BD=DE， ∴OB2=OA2+AB2=2OA2，BE2=BD2+DE2=2BD2， ∵OB2-BE2=8， ∴2OA2-2BD2=8， ∴OA2-BD2=4， ∴S正方形OABC-S正方形DEFB=4； 故答案为：4 (2)设点E的坐标是(x,y)，则AO+DE=x,AB-BD=y, ∵OA2-BD2=4， ∴AB2-BD2=4， 39 ∴(AB+BD)(AB-BD)=4， ∴(AO+DE)(AB-BD)=4， ∴xy=4， ∵点E在反比例函数 在第一象限的图象上， ∴k=xy=4． 故答案为：4 40 三．反比例函数图象上点的坐标特征 41 13.已知点A(x1，-2)，B(x2，-1)，C(x3，1)在反比例函数 的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( ____ ) A.x3＜x2＜x1 B.x1＜x2＜x3 C.x3＜x1＜x2 D.x2＜x1＜x3 【解析】解：把点A(x1，-2)，B(x2，-1)，C(x3，1)代入反比例函数 得， 则x1=1，x2=2，x3=-2， C 42 因此x3＜x1＜x2， 故选：C． 43 14.已知反比例函数 同一象限内的图象上有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且满足(x1-x2)(y1-y2)＞0 则直线y=kx-k不经过第( ____ ) 象限． A.一 B.二 C.三 D.四 【解析】解：∵反比例函数 同一象限内的图象上有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且满足(x1-x2)(y1-y2)＞0， C 44 ∴同一象限内y随x的增大而增大， ∴k＜0， ∴-k＞0， ∴一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限， ∴不经过第三象限， 故选：C． 45 15.若点A(-4，y1)，B(1，y2)，C(4，y3)都在反比例函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( ____ ) A.y1＜y2＜y3 B.y1＜y3＜y2 C.y3＜y2＜y1 D.y2＜y3＜y1 【解析】解：∵点A(-4，y1)，B(1，y2)，C(4，y3)都在反比例函数 的图象上， D 46 ∴y1=- =1，y2=- =-4，y3=- =-1， ∴y1＞y3＞y2． 故选：D． 47 16.若点A(x1，-1)，B(x2，2)，C(x3，3)在反比例 (k为常数)的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是( ____ ) A.x1＞x2＞x3 B.x2＞x1＞x3 C.x3＞x2＞x1 D.x1＞x3＞x2 【解析】解：∵ (k是常数)中 ， ∴函数图象在二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， D 48 ∵点A(x1，-1)，B(x2，2)，C(x3，3)在反比例函数 是常数)的图象上，-1＜0＜2＜3， ∴A在第四象限，B、C在第二象限， ∴x1＞x3＞x2， 故选：D． 49 17.某函数自变量x与函数值y的对应关系如表，则该函数的表达式可能是( ____ ) x … -2 -1 0 1 2 … y … -2 0 2 4 6 … A.y=2x+2 B.y=x2+2 C. D.y=3x 【解析】解：A、将表格中的对应值代入验证都满足关系式， A 50 故符合题意； B、将(-2，-2)代入解析式不满足解析式，故不符合题意； C、自变量x不能取0，故不满足解析式，不符合题意； D、将点(-2，-2)代入解析式不满足解析式，不符合题意． 故选：A． 51 18.如图，矩形ABCD的AB边在x轴正半轴上，CD边在第一象限，AB=3，BC=4．当点D在反比例函数 的图象上时，BC的中点E也恰好在 的图象上．则k的值是( ____ ) A.6 B.8 C.10 D.12 【解析】解：设D点坐标为(m,4)，则C(m+3，4)，B(m+3，0)， D 52 ∵E是BC的中点， ∴E(m+3，2)， ∴4m=2(m+3)，解得m=3， ∴D(3，4)， ∴k=12． 故选：D． 53 19.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在反比例函数 的图象上．下列结论正确的是( ____ ) A.若x1+x2=0，则y1=y2 B.若x1+x2=0，则y1+y2=0 C.若x1＜x2，则y1＜y2 D.若x1＜x2，则y1＞y2 【解析】解：反比例函数 的图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x增大而增大； A、反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，若x1+x2=0，则y1+y2=0 B 54 ，故原说法错误，不符合题意； B、反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，若x1+x2=0，则y1+y2=0，正确，符合题意； C、两点不在同一象限时，若x1＜x2，y1＜y2不成立，原说法错误，不符合题意； D、两点在同一象限时若x1＜x2，y1＞y2，不成立，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 55 20.已知点P(m,n)是反比例函数 图象上一点，则m2+4m+4n2-8n+5的最小值为( ____ ) A.5 B.-3 C.69 D.-31 【解析】解：∵点P(m,n)是反比例函数 图象上一点， ∴mn=-8， ∴m2+4m+4n2-8n+5 A 56 =(m-2n)2+4mn+4(m-2n)+5 =(m-2n)2-32+4(m-2n)+5 =(m-2n+8)(m-2n-4)+5， = • +5 = +5， ∴当m=-4，n=2时，m2+4m+4n2-8n+5有最小值为5， 故选：A． 57 21.若反比例函数 的图象经过点(-1，-2)，则该反比例函数的图象分别位于( ____ ) A.第一、第二象限 B.第一、第三象限 C.第二、第三象限 D.第二、第四象限 【解析】解：∵反比例函数 的图象经过点(-1，-2)， ∴k=-1×(-2)=2， ∵k=2＞0， B 58 ∴该反比例函数图象在第 一、三象限， 故选：B． 59 22.王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x,y的三组对应值如表，你觉得这三点可以同时位于( ____ ) 的图象上． x … 1 2 4 … y … m 2-m -3m2+5m-1 … A.一次函数和反比例函数 B.二次函数和反比例函数 C.一次函数和二次函数 D.一次函数和二次函数和反比例函数 【解析】解：若点(1，m)和(2，2-m)在一次函数的图象上， D 60 设一次函数为y=kx+b,则 ，解得 ， ∴y=(2-2m)x+3m-2， 把x=4代入得y=6-5m, 令6-5m=-3m2+5m-1，整理得3m2-10m+7=0， ∵Δ=(-10)2-4×3×7＞0， ∴存在m的值使6-5m=-3m2+5m-1， 故这三可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上， 若点(1，m)和(2，2-m)在反比例函数的图象上， 设反比例函数为y= ，则k=m=2(2-m)， 61 解得k=m= ， ∴-3m2+5m-1= ， 把x=4代入y= 得，y= ， 故当m= 时， 故这三点可以同时位于二次函数的图象上和反比例函数的图象上． 故选：D． 62 23.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点B正好在反比例函数 的图象上，点A的坐标为(3，4)，则k的值为( ____ ) A.12 B.16 C.24 D.32 【解析】解：如图，过点A、点B部分作x轴的垂线，垂足分别为M、N， ∵点A(3，4)， D 63 ∴OM=3，AM=4， ∴OA= =5， ∵四边形OABC是菱形， ∴OA=AB=BC=CO=5， ∴AB∥OC， ∴AM=BN=4， ∴Rt△AOM≌Rt△BCN(HL)， ∴OM=CN=3， ∴ON=5+3=8， ∴点B(8，4)， 64 ∵点B(8，4)在反比例函数y= 的图象上， ∴k=8×4=32， 故选：D． 65 24.反比例函数y= 的图象一定经过点( ____ ) A.(2，-2) B.(1，-2) C.(2，1) D.(-2，1) 【解析】解：反比例函数y= 中k=2， A、∵2×(-2)=-4≠2，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意； B、∵1×(-2)=-2≠2，此点不在函数图象上，故本选项不符合题意； C、∵2×1=2，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意； C 66 D、∵-2×1=-2≠2，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：C． 67 25.如图，已知直线y=-2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线AB翻折后，设点O的对应点为点C，双曲线y= (x＞0)经过点C，则k的值为　　． 【解析】解：连接OC，过点C作CM⊥x轴，垂足为M， ∵直线y=-2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A(2，0)，B(0，4)， ∴OA=2，OB=4， ∴AB= =2 ， ∵△ABC与△ABO关于AB对称， 68 ∴OC⊥AB， ∵S四边形OACB= OC•AB=2S△AOB， 即 OC•2 =8， ∴OC= ， 又∵∠COM=∠ABO，∠AOB=∠CMO=90°， ∴△AOB∽△CMO， ∴ = ， 69 即 = ， ∴S△CMO= = |k|， ∴k= (取正值)， 故答案为： ． 70 26.如图，已知Rt△AOB，∠ABO=90°，点A(15，0)，反比例函数y= (x＞0)经过点B，交AB于点C．若BC：OB=3：2．则k的值是 ____ ． 【解析】解：过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥BD于E，CF⊥x轴于点F，如图， ____ ∵∠ABO=90°， 18 71 ∴∠OBD+∠EBC=90°． ∵BD⊥OD， ∴∠OBD+∠BOD=90°． ∴∠BOD=∠EBC． ∵∠ODB=∠BEC=90°， ∴△BOD∽△CBE． ∴ ． ∴设BE=3a,EC=3b,则OD=2a,BD=2b. ∵BD⊥DF，CE⊥BD，CF⊥AD， ∴四边形EDFC为矩形． 72 ∴FD=CE=3b,FC=ED=BD-BE=2b-3a. ∴B(2a,2b)，C(3b+2a,2b-3a)． 将B，C坐标分别代入解析式y= 中得： k=2a×2b=4ab,k=(3b+2a)(2b-3a)． ∴4ab=(3b+2a)(2b-3a)． 整理得到：b=- a(不合题意，舍去)或b=2a. ∴BD=4a,EC=6a,FC=a. ∵EC∥AD， ∴∠BCE=∠A． ∵∠BEC=∠CFA=90°， 73 ∴△BEC∽△CFA． ∴ ． ∴FA=2CF=2a. ∵点A(15，0)， ∴OA=15． ∴OD+FD+FA=15． ∴10a=15． 解得：a= ． ∴OD=3，BD=6． ∴B(3，6)． 74 ∴k=3×6=18． 故答案为：18． 75 27.如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y= 和y= 的图象上，∠BCD=60°，则 的值为 　　． 【解析】解：连接AC，BD，如图， 76 __ ∵菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y= 和y= 的图象上， 又菱形与双曲线均为中心对称图形， 77 ∴AC，BD经过点O． ∴AC⊥BD，AC平分∠BCD， ∵∠BCD=60°， ∴∠OCB= ∠BCD=30°． ∴tan∠OCB= =tan30°= ． 过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F， 由反比例函数比例系数k的几何意义可得： k1， ． ∵AC⊥BD， 78 ∴∠BOE+∠EOC=90°． ∵CF⊥x轴， ∴∠FCO+∠EOC=90°． ∴∠BOE=∠FCO． ∵∠BEO=∠OFC=90°， ∴△OBE∽△COF， ∴ = ． ∴ = ． 79 ∴ =- ． 故答案为：- ． 80 四．反比例函数与一次函数的交点问题 81 28.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数 的图象交于点A(m,6)，B(4，-3)，一次函数的图象与x轴交于点C．则下列结论不正确的是( ____ ) A.反比例函数的表达式为 B.一次函数的表达式为 C.当 时，自变量x的取值范围为-2＜x＜0 D.线段AC与线段BC的长度比为3：1 D 82 【解析】解：将B(4，-3)代 ， 解得：k2=-12， ∴反比例函数的表达式为 ，故A正确，不合题意； 将A(m,6)代入 ， 解得：m=-2， ∴A(-2，6)， 将A(-2，6)，B(4，-3)代入y=k1x+b得 ， 83 解得 ， ∴一次函数的表达式为 ，故B正确，不合题意； 根据函数图象可得：当当 时，-2＜x＜0，故C正确，不合题意； 连接AO、BO， 令 =0，解得x=2， ∴C(2，0)， 84 ∴OC=2， ∴S△AOC= =6，S△BOC= =3， ∵△AOC与△BOC不同底，同高， ∴ = = ，故D不正确，符合题意． 故选：D． 85 29.如图，反比例函数图象l1的表达式为 ，图象l2与图象l1关于直线x=1对称，直线y=k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则 的值为 　　． 【解析】解：∵图象l2与图象l1关于直线x=1对称，即f(x)与f(2-x)关于直线x=1对称， ∴反比例函数l2为：y= ， ∵直线y=k2x与l2交于A，B两点， 86 ∴ ， 整理得：x2-2x+ =0， ∴xA+xB=2，xAxB= (根与系数的关系)， ∵A为OB中点， ∴2xA=xB， ∴xA+2xA=2， 87 ∴xA= ，xB= ， ∴ =xAxB= × = ． 故答案为： ． 88 30.如图，A、B两点是反比例函数y1= 与一次函数y=2x的交点，点C在反比例函数y2= 上，连接OC，过点A作AD⊥x轴交OC于点D，连接BD．若AD=BD，OC=3OD，则k=　　． 【解析】解：联立方程 ， 解得 ， ， 89 ∴点A坐标为(- ，-2 )，点B坐标为( ，2 )， ∵A，B关于原点对称， ∴O为AB中点， 又∵AD=BD， ∴点D在线段AB的垂直平分线上， ∴CO⊥AB， 又∵AH⊥x轴， ∴∠AOH+∠OAH=∠AOH+∠COH=90°， ∴∠OAH=∠COH， 作CE⊥x轴于点E， 90 ∵OC=3OD，点D横坐标为- ， ∴点C横坐标为-3 ， ∵tan∠OAH=tan∠COH= = = ， ∴CE= OE= ， ∴点C坐标为(-3 ， )， ∴k=-3 × = ， 故答案为： ． 91 31.如图，一次函数y=-3x+9与反比例函数y= (k＞0)的图象上交于点A，B，与x轴交于点C，点A′是点A关于x轴的对称点，连接A′B，A′C，若△A′BC的面积为6，则k的值为 ____ ． 【解析】解：连接AA′， 6 92 __ 联立y=-3x+9与反比例函数y= 并整理得：3x2-9x+k=0， 则xA+xB=3，即xA=3-xB， 对于y=-3x+9，令y=0，即-3x+9=0，解得x=3，故点C(3，0)， ∵点A′是点A关于x轴的对称点， 93 ∴yA′=-yA，则AA′=2yA， △A′BC的面积=S△A′AC-S△A′AB= ×AA′×(xC-xB)=yA×(3-xB)=yA•xA=6， 而k=yA•xA=6， 故答案为6． 94 32.已知过原点的一条直线l与反比例函数 的图象交于A，B两点(A在B的右侧)．C是反比例函数图象上位于A点上方的一动点，连接AC并延长交y轴于点D，连接CB交y轴于点E．若AC=mCD，BC=nCE，则m-n= ____ ． 【解析】解：根据题意作出图形，如图所示， 过点A作AF⊥y轴于点F，过点C作CM⊥y轴于M，过点B作BN⊥y轴于N， ∴CM∥AF∥BN，AC=mCD， ∴CM：AF：BN=1：(1+m)：(1+m)， -2 95 ∴CE：BE=1：(1+m)， ∵BC=nCE． ∴CE：BE=1：(n-1)， ∴1+m=n-1， ∴m-n=-2． 故答案为：-2． 96 五．反比例函数的应用 97 33.如图，在平面直角坐标系巾，点O为坐标原点，▱OABC的顶点A在函数y=- 的图象上，点B在x轴上，点C在函数 的图象上．若点A、B的横坐标分别为1、3，则k的值为( ____ ) A.2 B.3 C.4 D.6 【解析】解：当x=1时， A 98 ， ∴A(1，-1)， 又∵若点B的横坐标为3， ∴B(3，0)， ∴点A到点B的平移方式是：向右移动2个单位长度，向上移动1个单位长度， 又∵四边形OABC是平行四边形， ∴点O到点C的平移方式也是：向右移动2个单位长度，向上移动1个单位长度， ∴C(2，1)， ∴将点C的坐标代入 99 得： ， ∴k=2， 故选：A． 100 34.在经济学上，通常可以用反比例函数来描述商品需求量与价格之间的关系．假设市场上某商品的需求量D与价格P之间的关系可以用 (k是常数)来表示，当该商品价格为50元时，需求量为100件．若该商品价格控制在100≤P≤200的范围内，那么需求量D的范围为( ____ ) A.25≤D≤50 B.0≤D≤50 C.D≥25 D.50≤D≤100 【解析】解：∵当该商品价格为50元时，需求量为100件． ∴k=50×100=5000． A 101 ∴反比例函数解析式为D= ， 当商品价格控制在100≤P≤200的范围内时则有100 ， 解得：25≤D≤50， 故选：A． 102 六．反比例函数综合题 103 35.如图，点A是双曲线y= 在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为　　． 【解析】解：连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图， 设A点坐标为(a, )， ∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y= 104 的交点， ∴点A与点B关于原点对称， ∴OA=OB ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴OC=OA，OC⊥OA， ∴∠DOC+∠AOE=90°， ∵∠DOC+∠DCO=90°， ∴∠DCO=∠AOE， ∵在△COD和△OAE中 105 ∴△COD≌△OAE(AAS)， ∴OD=AE= ，CD=OE=a, ∴C点坐标为(- ，a)， ∵- •a=-4， ∴点C在反比例函数y=- 图象上．故答案为y=- (x＜0)． 106 36.探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、 倍、k倍？ (1)若该矩形是边长为2的正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都是它的2倍？ ________ (填“存在”或“不存在”)． (2)继续探究，若该矩形长为3，宽为2，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为该矩形的2倍？ 小明同学有以下思路： 设新矩形长和宽为x、y,则依题意x+y=10，xy=12，联立 不存在 107 得x2-10x+12=0，再探究根的情况： 小慧同学认为：也可用反比例函数与一次函数图象证明，如图：l1：y=-x+10，l2： ．则是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？请你结合小明和小慧的思路做出判断并说明理由． (3)根据此方法，请你探究是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为这个长为3，宽为2的矩形的 倍？若存在，用图象表达； (4)是否存在一个新矩形，使其周长和面积为长为3，宽为2的矩形的k倍？请写出当结论成立时k的取值范围． 【解析】解：(1)由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4， 108 若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8， 对应的边长为：4和2 ，不符合题意， ∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍． 故答案为：不存在． (2)从图象看来，函数y=-x+10和函数y= 图象在第一象限有两个交点， ∴存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍． (3)设新矩形长和宽为x、y,则依题意x+y=2.5，xy=3， 联立 ，得：2x2-5x+6=0， 109 ∴Δ=(-5)2-4×2×6=-23＜0， ∴此方程无解， ∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的 倍． (4)设新矩形长和宽为x、y,则依题意x+y=5k,xy=6k, 联立 ，得：x2-5kx+6k=0， ∴Δ=(-5k)2-4×1×6k=25k2-24k, 设方程的两根为x1，x2， 当Δ≥0即25k2-24k≥0时，x1+x2=5k＞0，x1x2=6k＞0， 解得：k≥ 或k≤0(舍)，∴当k≥ 时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的k倍． 110 37.如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax+1与y轴交于点A，与双曲线 的交点为B(p,3)，且△AOB的面积为 ． (1)求a,k的值； (2)直线y=mx-8m+1与双曲线 的交点为C，D(C在D的左边)． ①连接AC，AD，若△ACD的面积为24，求点C的坐标； ②直线y=7与直线y=mx-8m+1交于点E，过点D作DF⊥DE，交直线y=7于点F，G为线段DF上一点，且 ，连接AG，求 111 的最小值． _____ 【解析】解：(1)在函数y=ax+1中，当x=0时，y=1， ∴A(0，1)， ∵△AOB的面积为 ， 112 ∴ ， 解得：p= ， ∴B( ，3)， 将B( ，3)坐标代入y=ax+1中，得： ， 解得：a= ， 将B( ，3)坐标代入y= 中，得：k= =8． ∴a= ，k=8． 113 (2)①设直线y=mx-8m+1交y轴于点L， 由题意得： ， 解得： ， ， ∴C(- ，-8m)，D(8，1)， 在y=mx-8m+1中，令x=0，得y=-8m+1， ∴L(0，-8m+1)， ∵S△ACD=24， 114 ∴S△ADL-S△ACL=24， ∴ AL•xD- AL•xC=24， 即 ×(-8m+1-1)×8- ×(-8m+1-1)×(- )=24， 解得：m=- ， ∴C( ，7)； ②设直线y=7与直线AB交H点，则H(8，7)，连接HD，HG，则HD⊥AD，HD=6， ∴∠ADH=∠EDF=90°， 115 ∴∠ADE=∠HDG， ∵DG= DE，AD=8，HD=6， ∴ = = ， ∴△ADE∽△HDG， ∴AE= HG，∠EAD=∠GHD， ∵∠QAD=∠PHD=90°， ∴△QAE∽△HPG， ∴ = = ， 116 ∴HP= AQ= ， ∴点G的运动轨迹是直线PG， 作点H关于直线PG的对称点L，则HG=GL， ∴当A、G、L三点共线时，AG+HG的值最小，最小值为AL， ∴ AG+AE= AG+ HG= (AG+HG)， ∴ AG+AE的最小值为 (AG+HG)的最小值，即 AL， ∵HL=2HP=9，QH=AD=8， ∴QL=QH+HL=17， ∴AL= =5 ， 117 ∴ AL= ， ∴ AG+AE的最小值为 ． 118 38.给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，那么称矩形B是矩形A的“对半矩形” (1)阅读：当已知矩形A的边长分别为6和1时， 小明是这样研究的，设所求的对半矩形B的一边是x,则另一边为( -x)，由题意得方程：x( -x)=3，化简得：2x2-7x+6=0， ∵b2-4ac=49-48＞0， ∴x1=2，x2= ． ∴矩形A存在对半矩形B． 小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是x和y,由题意得方程组： 119 ，消去y化简后也得到：2x2-7x+6=0，然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形B的两边长． (2)如果已知矩形A的边长分别为3和2．请你仿照小明或小红的方法研究矩形A是否存在对半矩形B． (3)方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形A的对半矩形B的两边长，请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形A的面积为 　　；周长为 　　． ②对半矩形B的两边长为 　　． (4)在第(3)题的图形中，若点M(2，3)在双曲线上，MB⊥x轴，MC⊥ 120 y轴，垂足分别为B、C．连接OM，将△MOC沿着OM折叠，点C落在点P处，求点P的坐标，并判断点P是否落在双曲线上． _____ 【解析】解：(1)2x2-7x+6=0， ∵b2-4ac=49-48=1＞0， 121 ∴x= ， ∴x1=2，x2= ． ∴对半矩形B的两边长分别为2， ； (2)设所求矩形的一边是x,则另一边为( -x)， 由题意得方程：x( -x)=3， 化简得：2x2-5x+6=0， ∵b2-4ac=25-48＜0， ∴原方程无解， 122 ∴满足要求的矩形B不存在； (3)①设直线的关系式为y=kx+b,把(0，6)，(6，0)代入得： ， 解得： ， ∴一次函数解析式为y=-x+6， 设反比例函数解析式为y= ，把(2，3)代入得：3= ， 解得：k'=6， ∴反比例函数解析式为y= ， 123 根据一次函数解析式可得：x+y=6，根据反比例函数解析式可得：xy=6， ∴矩形B的两边之和为6，面积为6， ∴矩形B的周长为12， ∴矩形A的周长为12×2=24，面积为6×2=12； 故答案为：12；24． ②把y=-x+6代入xy=6得：x(-x+6)=6， 解得：x1=3+ ，x2=3- ， 当x1=3+ 时，y1=3- ， 当x2=3- 时，y2=3+ ， 124 ∴对半矩形B的两边长为3+ ，3- ． 故答案为：3+ ，3- ； (4)∵点M(2，3)在双曲线上， ∴反比例函数的解析式为y= ， 直线OM的解析式为y= x,OM= = ， 连接CP交OM于Q， 125 ___ 由折叠得CP⊥OM，CQ=PQ， ∵MC⊥y轴， ∴∠OCM=∠OQC=90°， ∵∠COM=∠QOC， ∴△OCM∽△OQC， 126 ∴ ，即 ， ∴OQ= ， 设Q(n, n)， ∴ = ，解得n= ， ∴Q( ， )， ∵C(0，3)，CQ=PQ， 127 ∴P( ， )， 当x= 时，y= ≠ ， ∴点P不是落在双曲线上． 128 39.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+2与x,y轴分别相交于点A，B，与反比例函数 的图象相交于点C，已知OA=2，点C的横坐标为2． (1)求k,m的值； (2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标． 【解析】解：(1)∵OA=2， ∴点A的坐标为(-2，0)， 129 ∵直线y=kx+2过点A(-2，0)， ∴-2k+2=0， 解得：k=1， ∴直线l的解析式为y=x+2， ∵点C在直线l上，点C的横坐标为2， ∴点C的纵坐标为2+2=4， ∴点C的坐标为(2，4)， ∵反比例函数 的图象过点C， ∴m=2×4=8； (2)设点D的坐标为(n,n+2)，则点E的坐标为(n, )(n＞0)， 130 ∴DE=|n+2- |， ∵OB∥DE， ∴当OB=DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形， ∵直线y=x+2与y轴交于点B， ∴OB=2， ∴|n+2- |=2， ①当点D在点E上方时， n+2- =2， 解得：n1=2 ，n2=-2 (舍去)， 131 此时，点D1的坐标为(2 ，2 +2)， ②当点E在点D上方时， n+2- =-2， 解得n3=2 ，n4=-2 -2(舍去)， 此时，点D2的坐标为(2 -2，2 )， 综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为(2 ，2 +2)或(2 -2，2 )． 132 40.如图1，已知四边形AOCB为矩形，且点B坐标为(6，12)，反比例函数 的图象与矩形交于点D和点E，且BE=2CE，连接DE． (1)求反比例函数的表达式； (2)点P是第一象限内在反比例函数图象上的一个动点，作点P关于原点对称的点P′，以PP′为斜边作等腰直角三角形MPP′，点M在第四象限． ①如图2，当点P与点E重合时，求点M的坐标； ②在同一平面内，若等腰直角三角形的一边所在的直线与一条直线垂直，则称此等腰直角三角形为这条直线的关联三角形．在点P的运动过程中等腰直角三角形MPP′是否能成为直线DE的关联三角形？若能， 133 请求出此时点P坐标；若不能，请说明理由． _______ 【解析】解：(1)∵点B坐标为(6，12)， ∴CB=12， ∵BE=2CE， 134 ∴CE=4， ∴E(6，4)， ∴反比例函数的解析式为y= ； (2)①如图2，过点E作EG⊥x轴，过点M作HG∥x轴，交EG于点G，过点P'作P'H⊥HG交于H点， ∵∠EPP'=90°， ∴∠P'MH+∠EMG=90°， ∵∠P'MH+∠MP'H=90°， ∴∠EMG=MP'H， ∵EM=P'M， 135 ∴△EGM≌△MHP'(AAS)， ∴HM=EG，P'H=MG， 设M(x,y)， ∵E(6，4)， ∴P'(-6，-4)， ∴-4-y=6-x,x+6=4-y, 解得x=4，y=-6， ∴M(4，-6)； ②能成为直线DE的关联三角形，理由如下： ∵D(2，12)，E(6，4)， 136 ∴直线DE的解析式为y=-2x+16， 如图3，当PP'⊥DE时，直线PP'的直线解析式为y= x, 当 x= 时，解得x=4 或x=-4 (舍)， ∴P(4 ，2 )； 如图4，当P'M⊥DE时，过点M作LK⊥x轴，过点P作PL⊥LK交于L点，过点P'作P'K⊥LK交于K点， 由①可知△PLM≌△MKP'(AAS)， ∴P'K=LM，PL=MK， 设P(t, )，则P'(-t,- )， 137 设M(x,y)， ∴x+t= -y,y+ =x-t, 解得x= ，y=-t, ∴M( ，-t)， 设直线MP的解析式为y=kx+b, ∴ ， 138 解得 ， ∵MP∥DE， ∴ =-2， 解得t=2 或t=-2 (舍)， ∴P(2 ，6 )； 综上所述：P点坐标为(4 ，2 )或(2 ，6 )． 139 41.数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的 ？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的 ？ 140 思路一：设给定的正方形的边长为a,则其周长为4a,面积为a2．若新正方形的周长是原正方形周长的 ，则新正方形的边长为 a,此时新正方形的面积是①　　． 思路二：正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，如果新正方形的面积是原正方形面积的 ，则新矩形与原矩形相似比为1： ，此时新矩形周长应是原矩形周长的②　　． 结论：③　　(“存在”或“不存在”)一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的 ． 141 拓展：除正方形外，上面的结论对哪种图形也成立？请写出一种图形．④　　 【阶段二】同学们对矩形(不包括正方形)的情况进行探究． 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的 ？ 分析：设新矩形长和宽分别为x,y,根据题意，得 ． 思路一：消去未知数y,得到关于x的方程，根据方程的解的情况解决问题． 142 思路二：借助一次函数l1：y=-x+3与反比例函数l2：y= 的图象(画出简单的函数图象即可)研究． 结论：⑤　　(“存在”或“不存在”)一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的 ． 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n,是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的 ？若存在，请指出需要满足的条件；若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务： (1)将【阶段一】中的①～④分别补充完整． 143 (2)分别按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二解决问题，并将⑤补充完整． (3)完成对【阶段二】中活动二的研究． 【解析】解：(1)①正方形的边长为 a,则面积为 a2； ②根据周长比等于相似比，得到新新正方形与原正方形周长的 ； ③由①②知，不存在一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的 ； ④由①～③可以推想正三角形也适合上述结论，理由： 144 按照思路一：正三角形的边长为a,则周长为3a,面积为 a2， 当新正三角形边长为 a时，则周长为 3a,而面积为： ( a)2， 即新正方形周长是原来的 ，但是面积不是原来的 ； 故答案为： a2； ；不存在；正三角形(答案不唯一)； (2)思路一：由x+y=3和xy=4得：x2-3x+4=0， 此方程无解，即两个函数没有交点， 即不存在一个新矩形， 145 使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的 ； 思路二：画出两个函数的大致图象，由思路一知道两个函数没有交点， ___ 故得出和思路一相同的结论； 故⑤的答案为：不存在； (3)由(2)知，x+y= (m+n)，xy= mn, 146 化简为：2x2-(m+n)x+mn=0， ∵Δ=(m+n)2-8mn, 当△≥0时， 即(m+n)2≥8mn时，两个函数有交点， 即存在满足条件的新矩形，否则不存在． 147 42.如图，有一块边角料ABCDEF，其中AB，BC，CD，EF是线段，曲线DE可以看成反比例函数 图象的一部分．王师傅想利用这块边角料截取一个矩形MNGH，其中M，N在AF上(点M在点N左侧)，点H在线段BC上，点G在曲线段DE上．测量发现：∠BAF=∠AFE=90°，AB=EF=1，CD=3，AF=8，CD∥AF，且CD和AF之间的距离为4．若以AF所在直线为x轴，以AF中点O为原点构建直角坐标系，令点G的纵坐标为m. 148 (1)若截取的矩形有一边是CD，则截取的矩形面积是 ____ ； (2)求直线BC和曲线DE的表达式； (3)求所截矩形材料MNGH面积的最大值． 【解析】解：(1)∵截取的矩形有一边是CD，CD和AF之间的距离为4， ∴截取的矩形面积=3×4=12， 故答案为：12； (2)∵AF=8， ∴AO=OF=4， ∵EF=1， ∴E(4，1)， 12 149 ∴1= ， ∴k=4， ∴曲线DE的表达式为y= ， 把y=4代入y= 中，得，x=1， ∴D(1，4)， ∴C(-2，4)， 设设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)， 将B(-4，1)，C(-2，4)代入， 150 得 ， 解得 ∴直线BC的解析式为y= x+7； (3)设G( ，m)1≤m≤4， ∵四边形MNGH是矩形， ∴HG∥x轴， ∴H( ，m)， 151 ∴S矩形MNGH=m( )=- m2+ m+4， ∵- ＜0， ∴开口向下，且对称轴为直线m= ， ∵1≤m≤4， ∴当m= 时，S矩形MNGH最大，最大值为 ， ∴所截取的矩形材料MNGH面积的最大值为 ． 152 43.如图为反比例函数 在第一象限中的图象，已知一次函数 与反比例函数 的图象交于点A，且A点横坐标为4，直线AB与反比例函数 的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点． (1)求反比例函数 解析式； (2)如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，若点B横坐标为 ，求证：△BFD≌△CEA． 153 【解析】(1)解：∵A点横坐标为4， ∴把x=4代入 得y=1， ∴A(4，1)， 把A(4，1)代入 得，k=4×1=4； ∴反比例函数的解析式为y= ； (2)证明：∵AE⊥x轴，BF⊥y轴， ∴∠BFD=∠AEC=90°， ∵∠COD=90°， ∴∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠ACE=90°， 154 ∴∠DBF=∠ACE， ∵点B横坐标为 ， ∴BF= ， 把x= 代入y= 得y= ， ∴B( ， )， 设直线AB的解析式为y=kx+b, ， 155 解得 ， ∴直线AB的解析式为y=- x+ ， 当x=0时，y= ，当y=0时，x= ， ∴D(0， )，C( ，0)， ∴DF=OD-OF= - =1， ∵AE=1， 156 ∴DF=AE， ∴△BFD≌△CEA(AAS)． 157 44.已知点A在反比例函数y= (x＞0)的图象上，以OA为边长作正方形OABC，使正方形顶点B，C在x轴上方，OA与y轴的夹角为α． (1)如图1，当点B在y轴上时，求点A坐标； (2)①如图2，当0°＜α＜45°时，AB与y轴相交于点D，若tanα= ，求点B的坐标； ②如图3，当45°＜α＜90°时，BC与y轴相交于点D，若tanα=3，求点B的坐标． 158 _______ 【解析】解：(1)如图1过点A作AE⊥y轴于点E， 159 ∵四边形OABC为正方形， ∴AB=OA，△AOE为等腰直角三角形，AE=OE， 设A(a, )， ∴S△AOE= ×a× =2， ∴S△AOB=2S△AOE=4= ×2AE2， 解得AE=2， ∴点A坐标为(2，2)； (2)①如图2，过点A作AE⊥y轴于点E，过B作BF⊥y轴于点F， ∴∠AED=∠BFD=90°， 160 ∵tan∠AOD= ， ∴ ，即OA=2AD， ∵∠BDF=∠ADE，∠BFD=∠AED，BD=AD， ∴△ADE≌△BDF(AAS)， ∴AE=BF，DE=DF， 设AE=x,则OE=2x,Rt△AEO中， ×AE×OE= x•2x=2， ∴ ， ∵∠AOD=∠DBF， ∴ 161 ， ∴ ， ∴点B坐标为 ； ②如图3，过点A作 AH⊥x轴于点H， ∵∠OAH+∠AOH=90°，∠AOH+∠DOA=90°， ∴∠OAH=∠AOD=α， 在Rt△AOH中，设AH=x,则OH=3x, ∴ ， ∴ ，则 ， 162 在Rt△AOH中， ， ∴△OAH∽△ODC， ∴ ， ∴ ， ∴ 同理易证△OCD∽△BGD， ∴ ， 163 ∴ ， ∴点B的坐标为 ． 164 45.如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数 的图象交于点A(-1，a)，与x轴交于点B． (1)求k的值； (2)把一次函数y=kx+2向下平移m(m＞0)个单位长度后，与y轴交于点C，与x轴交于点D． ①若m=4，求S△ACD的面积； ②若四边形ABCD为平行四边形，求m的值． 【解析】解：(1)∵一次函数y=kx+2的图象与反比例函数 的图象交于点A(-1，a)， 165 ∴ ， 解得k=- ； (2)①∵一次函数y=kx+2向下平移m(m＞0)个单位长度， ∴直线CD的解析式为y=- x+2-m, 把点A(-1，a)代入y=- x+2得a=- ×(-1)+2= ， ∴A(-1， )， ∵若m=4， 166 ∴直线CD的解析式为y=- x-2， ∴C(0，-2)，D(- ，0)， 设直线AC的解析式为y=nx+b, ∴ ， ∴ ， ∴直线AC的解析式为y=- x-2， 167 当y=0时，x=- ， ∴直线AC与x轴的交点为(- ，0)， ∴S△ACD的面积= [- -(- )]×[ -(-2)]= ； ②∵直线CD的解析式为y=- x+2-m, ∴D(- ，0)，C(0，2-m)， 由(1)知，k=- ， ∴直线AB的解析式为y=- x+2， 168 当y=0时，x= ， ∴B( ，0)， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD， ∴ = ， 解得m= (负值舍去)． 169 46.如图，动点P在反比例函数 的图象上，且点P的横坐标为m(m＜0)，过点P分别作x轴和y轴的垂线，交函数 的图象于点A、B，连接AB、AO、BO． (1)当k1=4，k2=-3时． ①直接写出点P、A、B的坐标(用m的代数式表示)； ②当PA=PB时，求m的值． (2)AB与x轴和y轴相交于点E、F， 170 AE与BF有怎么样的数量关系，并说明理由． 【解析】解：(1)设点P(m, )，则点A、B的坐标分别为：(m, )、( ， )， ①则点P、A、B的坐标分别为：(m, )、(m,- )、( ， )； ②∵PA=PB， 则- - = -m, 解得：m=2(舍去)或-2， 171 即m=-2； (2)AE=FB，理由： 设点P(m, )，则点A、B的坐标分别为：(m, )、( ， )， 设AP交x轴于点M，PB交y轴于点N， 172 __ 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y=- (x-m)+ ， 当x=0时，y=- (x-m)+ = ， 173 则点F(0， )， 则FN=yF-yN= - = =yA=AM， ∵ME∥BN，则∠AEM=∠FBN， ∵∠AME=∠FNB=90°， ∴△AME≌△FNB(AAS)， ∴AE=FB． 174 47.如图，直线y1=2x+2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线 交于C、D两点，并且DA=AB． (1)求反比例函数的解析式； (2)若P，Q分别是第一、三象限内反比例函数图象上的两点，连接DP，PQ，QC，当四边形DPQC为平行四边形时，求点Q的坐标； (3)在(2)的条件下，将CQ所在的直线向上平移m(m＞0)个单位长度，平移后的直线与双曲线交于H，R两点，与直线AB交于点G，设H，R，G的横坐标分别为xH，xR，xG，若xH，xR，xG满足等式 ，求m的值． 175 _______ 【解析】解：(1)在y1=2x+2中，令x=0，得y=2， ∴A(0，2)， 令y=0，得2x+2=0， 解得：x=-1， ∴B(-1，0)， 176 ∴OA=2，OB=1， 过点D作DE∥x轴，交y轴于E， ___ 则∠AED=∠AOB=90°，∠DAE=∠BAO， ∵DA=AB， ∴△ADE≌△ABO(AAS)， ∴DE=OB=1，AE=OA=2， 177 ∴OE=OA+AE=2+2=4， ∴D(1，4)， 把D(1，4)代入y= ，得4= ， ∴k=4， ∴反比例函数的解析式为y= ； (2)联立方程组，得 ， 解得： ， ， 178 ∴C(-2，-2)，D(1，4)， 设Q(t, )， ___ ∵四边形DPQC为平行四边形， ∴PQ∥CD，PQ=CD， ∴由平移得：P(t+3， +6)， 179 把P(t+3， +6)代入y= ，得(t+3)( +6)=4， 解得：t=-1或t=-2(舍去)， ∴Q(-1，-4)； (3)设直线CQ的解析式为y=k1x+b,将C(-2，-2)，Q(-1，-4)代入得： ， 解得： ， ∴直线CQ的解析式为y=-2x-6， 将CQ所在的直线向上平移m(m＞0)个单位长度，得到直线y=-2x+m-6， 180 与直线AB的解析式联立，得2x+2=-2x+m-6， 解得：x= m-2， ∴xG= m-2， 与反比例函数y= 联立，得-2x+m-6= ， 整理得：2x2-(m-6)x+4=0， ∴xH+xR= ，xH•xR=2， ∵ + = ， 181 ∴ = ， ∴xG(xH+xR)=5xH•xR， 即( m-2)• =5×2， 解得：m1=-2，m2=16， ∵m＞0， ∴m=16． 182 48.正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图(1)，双曲线y= 过点E，完成填空：点C的坐标是 　　，点E的坐标是 　　，双曲线的解析式是 　　； (2)如图(2)，双曲线y= 与BC，CD分别交于点M，N．求证MN∥BD； (3)如图(3)，将正方形ABCD向右平移m(m＞0)个单位长度，使过点E的双曲线y= 与AB交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值． 183 _______ 【解析】解：(1)∵正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E， ∴C(4，4)，E(2，2)， 将E点坐标代入双曲线y= ， 得2= ， 184 解得k1=4， ∴双曲线的解析式为y= ， 故答案为：(4，4)，(2，2)， ； (2)∵双曲线y= 与BC，CD分别交于点M，N， ∴设M(m,4)，N(4，n)， ∴4m=4n, ∴m=n, ∴MC=NC， 由正方形可知，∠BCD=90°， 185 ∴∠CMN=45°，∠CBD=45°， ∴∠CMN=∠CBD， ∴MN∥BD； (3)∵正方形边长为4， 由(1)知E(2，2)， ∴AE=2 ， ①当AP=AE=2 时， ∵P(m,2 )，E(m+2，2)，点P、E在反比例函数图象上， ∴2 m=2(m+2)， ∴m=2 +2； 186 ②当EP=AE时，点P与点B重合， ∵P(m,4)，E(m+2，2)，点P、E在反比例函数图象上， ∴4m=2(m+2)， ∴m=2； ③当EP=AP时，点P、E不可能都在反比例函数图象上，故此情况不存在； 综上所述，满足条件的m的值为2或2 +2． 187 49.如图1，已知反比例函数 的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点C，且与直角边AB相交于点D，另一直角边OA在x轴上． (1)已知Rt△OAB的面积为8，请求出k的值； (2)如图2，直线y=mx+b经过C，D两点，在(1)的条件下，当∠AOB=45°时，请求出直线CD的表达式； (3)根据图象，请直接写出关于x的不等式 的解集． 188 ______ 【解析】解：(1)设点C(m,n)， 由中点坐标公式得，点B(2m,2n)， 则Rt△OAB的面积= 2m×2n=8， 则mn=4， 则k=mn=4； (2)当∠AOB=45°时， 189 则直线OB的表达式为：y=x, 故(1)中m=n, 即mn=m2=4， 解得：m=-2(舍去)或2， 即点C(2，2)，则点B(4，4)， 由(1)知，反比例函数的表达式为：y= ， 当x=4时，y=1，即点D(4，1)， 由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y=- x+3； (3)观察函数图象知，不等式 的解集为：x＞4或0＜x＜2． 190 50.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A、D的坐标分别为(0，-6)、(3，-7)，点B、C在第四象限内． (1)点B的坐标为 _________ ； (2)将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移，所得四边形记为正方形A′B′C′D′．若t秒后，点B、D的对应点B′、D′正好落在某反比例函数在第一象限内的图象上，请求出此时t值以及这个反比例函数的表达式； (3)在(2)的情况下， (1，-3) 191 是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：(1)如图，过点B作BE⊥y轴，垂足为点E，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，则∠AEB=DFA=90°， 192 ___ ∵点A的坐标为(0，6)，D的坐标为(3，-7)， ∴DF=3，AF=1， ∵四边形ABCD是正方形， 193 ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∴∠DAF+∠BAE=∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠BAE=∠ADF， ∴△ABE≌△DAF(SAS)， ∴DF=AE=3，AF=BE=1， ∴OE=OA-AE=3， 所以点B的坐标为(1，-3)， 故答案为：(1，-3)； (2)由题意，得正方形ABCD沿y轴向上平移了2t个单位长度． ∵点B的坐标为(1，-3)，D的坐标为(3，-7)， ∴B′和D′的坐标分别为B′(1，-3+2t)，D′(3，-7+2t)， 194 设点B′，D′落在反比例函数 的图象上， 则k=1×(-3+2t)=3×(-7+2t)，解得 ， 所以解得k=6， 即这个反比例函数的表达式为 ； (3)存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P，Q，B′，D′四点为定点的四边形是平行四边形． 设P(n,0)，由(2)知B′和D′点的坐标分别为B′(1，6)，D′(3，2)， 当B′D′为平行四边形的边时，则PQ∥B′D′，B′D′=QP， ∴点Q的坐标为(n+2，4)或(n-2，-4)， 195 把Q(n+2，4)代入 中，得4(n+2)=6， 解得 ∴点Q的坐标为 ， 把Q(n-2，-4)代入 中，得4(n-2)=-6， 解得 ∴点Q的坐标为 ； 当B′D′为平行四边形的对角线时，则B′D′的中点坐标为(2，4)， 196 ∴PQ的中点坐标为(2，4)， ∴Q点的坐标为(-4-n,8)，把Q点坐标代入 中，得8(-n-4)=6， 解得 ， ∴点Q的坐标为 ， 综上所述，满足要求的点Q的坐标为 或 或 ． 197 $$