第4章 图形的相似 中档题拓展训练★★【7个考点50题专练】课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第4章 图形的相似 中档题拓展训练★★ 【7个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版 数学九年级上册 1 一．比例的性质 二．相似三角形的判定 三．相似三角形的判定与性质 四．相似三角形的应用 五．作图−相似变换 六．位似变换 七．作图−位似变换 2 一．比例的性质 3 1.已知下列材料在0℃时的电阻率如下： 材料 金 银 铜 铁 电阻率(Ω•m) 71.6 106 100 17.2 已知电阻率越高，导电能力越差，则在温度相同的情况下，导电性第三优良的为( ____ ) A.金 B.银 C.铜 D.铁 C 4 【解析】解：∵106＞100＞71.6＞17.2， ∴在温度相同的情况下，导电性第三优良的为铜， 故选：C． 5 2.若3x=4y(y≠0)，则 的值是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：∵3x=4y, ∴x= y,∴ = = ， 故选：B． B 6 3.若 ，则 的值为 ____ ． 【解析】解：∵ ，即n= m, ∴ = =2， 故答案为：2． 2 7 二．相似三角形的判定 8 4.如图，在正方形ABCD中，M为CD上一点，连接AM与BD交于点N，点F在BC上，点E在AD上，连接EF交BD于点G，且AM⊥EF，垂足为H．若H为AM的中点，则下列结论：①AM=EF；② = ；③GH=FG+HE；④△AHE∽△GHN．其中结论正确的个数有( ____ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 9 【解析】解：如图，过点F作FK⊥AD于点K， ___ ∴∠FKA=∠FKE=90°， ∵在正方形ABCD中，∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°， ∴四边形ABFK是矩形， 10 ∴FK=BA， ∵在正方形ABCD中，AB=AD， ∴FK=AD， ∵AM⊥EF， ∴∠AHE=90°， ∴∠AEH+∠EAH=90°， ∵∠AMD+∠MAD=180°−∠ADM=90°， ∴∠FEK=∠AMD， ∵∠FKE=∠ADM=90°， ∴△FKE≌△ADM(AAS)， ∴FE=AM；故①正确； 11 如图，若点M是CD的中点，则 =1， ___ 设正方形ABCD的边长为2a,即AD=CD=2a, ∴DM= CD=a, 12 在Rt△ADM中，AM= = a, ∵点H是AM的中点， ∴AH= AM= a, ∵△ADM≌△FKE， ∴KE=DM=a, ∵∠AHE=∠ADM=90°，∠EAH=∠MAD， ∴△AHE∽△ADM， ∴ = ，即 = ， 13 ∴DE=AD−AE=2a− a= a, AK=AE−DM= a−a= a, ∴在矩形ABFK中，BF=AK= a, ∵在正方形ABCD中，BC∥AD， ∴△BFG∽△DEG， ∴ = = = ， 14 ∴ ≠ ，故②错误； 过点M作MP∥AD，交FE于点P，交BD于点Q， ___ 15 ∴∠MPH=∠AEH，∠PMH=∠EAH， ∵点H是AM的中点， ∴MH=AH， ∴△MPH≌△AEH(AAS)， ∴PH=EH，MP=AE， ∵在正方形ABCD中，BD平分∠ADC， ∴∠BDC= ∠ADC= ×90°=45°， ∵PM∥AD， ∴∠QMD=180°−∠ADC=180°−90°=90°， ∴∠MQD=90°−∠MDQ=90°−45°=45°， 16 ∴∠MQD=∠MDQ， ∴MQ=MD， 由①知，△FKE≌△ADM(AAS)， ∴KE=DM， ∴MQ=KE， ∴PM−QM=AE−KE，即PQ=AK， 由①得，四边形ABFK是矩形， ∴BF=AK， ∴BF=PQ， ∵BC∥AD，MP∥AD， ∴BC∥PM， 17 ∴∠GBF=∠GQP，∠BFG=∠QPG， ∴△BFG≌△QPG(ASA)， ∴FG=PG， ∴FG+EH=PG+PH=HG，故③正确； 对于④，假设△AHE∽△GHN成立，则∠AEH=∠GNH， ∵∠AHE=90°， ∴∠AEH+∠EAH=90°， ∵∠BAH+∠EAH=∠BAD=90°， ∴∠BAN=∠BNA， ∴BN=BA， ∵AB是定值，BN随着点M的变化而变化， 18 ∴BN=BA不成立， ∴△BFG∽△DEG不成立．故④错误． 综上所述，结论正确的有2个． 故选：B． 19 5.如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC．以下是天翼和徍琛的做法．下列说法不正确的是(　　) 天翼的做法：添加条件∠ABD=∠C． 证明：∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC．(两组角对应相等的两个三角形相似) 徍琛的做法：添加条件 ． 证明：∵∠A=∠A， ， ∴△ADB∽△ABC．(两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似) 20 A.天翼的做法证明过程没有问题 B.徍琛的做法证明过程没有问题 C.天翼的做法添加的条件没有问题 D.徍琛的做法添加的条件有问题 【解析】解：依题意，∠A=∠A，添加一组对应角相等，可以使得△ADB∽△ABC，故天翼的做法以及过程没有问题， 徍琛的做法添加的条件有问题，应为 ，故B选项符合题意， 故选：B． 21 三．相似三角形的判定与性质 22 6.如图所示，在▱ABCD中，点E在边AD上，且AE=3DE，连接BE交AC于点O，则△AOB的面积与△BOC的面积之比为( ____ ) A.9：16 B.9：4 C.3：4 D.3：2 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵AE=3DE， C 23 ∴ ， ∵AD∥BC， ∴△AOE∽△COB， ∴ ， 如图：过B作BF⊥AC于点F， ∴ ． 24 故选：C． _____ 25 7.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的点，且 ，CD与BE交于点O，则S△COE：S△BOC的值为( ____ ) A. B. C. D. D 26 【解析】解：∵ ， ∴ ，∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ， ∵DE∥BC， ∴△DOE∽△BOC， ∴ ， ∴S△COE：S△BOC= ．故选：D． 27 8.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过O作AC的垂线交AD于点E，EC与BD相交于点F，且∠ECD=∠DBC，那么下列结论错误的是( ____ ) A.EA=EC B.∠DOC=∠DCO C.BD=4DF D. 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∵OA=OC， ，AD∥BC． D 28 又∵OE⊥AC， ∴OE垂直平分AC． ∴EA=EC，A正确，故不符合要求． ∴∠DAO=∠ECA． ∵AD∥BC， ∴∠ADO=∠DBC=∠ECD． ∴∠DOC=∠DAO+∠ADO． 又∵∠DCO=∠ECA+∠ECD， ∴∠DOC=∠DCO，B正确，故不符合要求． ， 29 ∵∠FCD=∠CBD，∠FDC=∠CDB， ∴△FDC∽△CDB， ，即 ． ∴BD=4DF，C正确，故不符合要求． ∵AD∥BC， ∴∠BCF=∠CED． 又∵∠CBF=∠ECD， ∴△CBF∽△ECD． ∴ ，D错误，故符合要求．故选：D． 30 9.如图，点D，E，F分别在△ABC的边上， ，DE∥BC，EF∥AB，M是DF的中点，连结CM并延长交AB于点N，则 的值是( ____ ) A. B. C. D. D 31 【解析】解：如图，记EF与CN的交点为G， ___ ∵EF∥AB， ∴△GFM∽NDM， ∴ ， ∵点M是DF的中点，即DM=FM， ∴GM=MN， 32 ∵DE∥BC， ， ∴ ， ∵EF∥AB， ∴ ， ∴CG=3GN=3(GM+MN)=6MN， ∴ ； 故选：D． 33 10.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，若BD=CD=5，AD=4，则BC的长为( ____ ) A. B. C. D.6 【解析】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， A 34 ∵BD=CD=5， ∴∠C=∠CBD， ∴∠ABD=∠CBD=∠C， ∵∠C+∠CBD=2∠CBD=∠ADB， ∴∠ABC=2∠CBD=∠ADB， ∴△ADB∽△ABC， ∴ ， ∵AD=4， ∴AC=AD+DC=9， ∴ ， 35 解得：AB=6， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 36 11.如图．在△ABC中，点D，E为边BC的三等分点，点F，G在边AB上，且AC∥GE∥FD，点H为AD与EG的交点．若AC=10，则GH的长为( ____ ) A.3 B.2 C. D. 【解析】解：∵点D，E为边BC的三等分点， ∴BD=DE=CE， D 37 ∵GE∥AC， ∴△BGE∽△BAC， ∴ = = = ， ∴GE= ×10= ， ∵HE∥AC， ∴△DEH∽△DCA， ∴ = = ， ∴HE= AC=5， 38 ∴GH=GE-HE= -5= ． 故选：D． 39 12.边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于H，则下列结论：①EF=EC；②CF2=CG•CA；③BE•DH=16；④若BF=1，则 ，正确的是( ____ ) A.①②④ B.②③④ C.①②③ D.①②③④ 【解析】解：如图，连接AE， D 40 ___ ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠ADB=∠CDB=∠BAC=∠DAC=45°， 又∵DE=DE， ∴△ADE≌△CDE(SAS)， ∴AE=EC，∠DAE=∠DCE， ∴∠EAF=∠BCE， ∵∠ABC+∠FEC+∠EFB+∠BCE=360°， 41 ∴∠BCE+∠EFB=180°， 又∵∠AFE+∠BFE=180°， ∴∠AFE=∠BCE=∠EAF， ∴AE=EF， ∴EF=EC，故①正确； ∵EF=EC，∠FEC=90°， ∴∠EFC=∠ECF=45°， ∴∠FAC=∠EFC=45°， 又∵∠ACF=∠FCG， ∴△FCG∽△ACF， 42 ∴ ， ∴CF2=CG•CA，故②正确； ∵∠ECH=∠CDB，∠EHC=∠DHC， ∴△ECH∽△CDH， ∴ ， ∴ ， ∵∠ECH=∠DBC，∠BEC=∠CEH， ∴△ECH∽△EBC， 43 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴BC•CD=DH•BE=16，故③正确； ∵BF=1，AB=4， ∴AF=3， ， ∵∠ECF=∠ACD=45°， ∴∠ACF=∠DCE， 又∵∠FAC=∠CDE=45°， 44 ∴△AFC∽△DEC， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故④正确， 故选：D． 45 13.如图，⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为⊙O上一动点，Q为弦AP上一点，且AQ=2PQ．若点A的坐标为(-3，0)，则CQ的最小值为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：过Q点作QD∥OP交OA于D点，连接CD、CQ，如图， C 46 ∵⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为(-3，0)， ∴OA=OC=OP=3， ∵DQ∥OP， ∴△AQD∽△APO， ∴ = = ， ∵AQ=2PQ， ∴AQ：AP=2：3， ∴ = = ， ∴DQ=2，AD=2， ∴OD=1， 47 在Rt△OCD中，CD= = = ， ∵CQ≥CD-DQ(当且仅当Q点在CD上时取等号)， ∴CQ的最小值为 -2． 故选：C． 48 14.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点M、N是边AD、AB上任意两点，将菱形ABCD沿MN翻折，点A恰巧落在对角线BD上的点E处，下列结论：①△MED～△ENB；②若∠DME=15°，则∠ENB=105°；③若菱形边长为4，M是AD的中点，连结MC，则线段 ；④若DE：BE=2：5，则AM：AN=3：4，其中正确结论的个数是( ____ ) A.1 B.2 C.3 D 49 D.4 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD， ∵∠A=60° ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB=∠ABD=60°， 由折叠性质可知，∠A=∠MEN=60°， ∴∠MED+∠BEN=120°， ∵∠MED+∠DME=120°， ∴∠DME=∠BEN， 50 ∴△MED～△ENB，故①正确； ∵∠DME=15°， ∴∠BEN=∠DME=15°， ∴∠ENB=180°-60°-15°=105°，故②正确； 如图，作MH⊥CD交CD的延长线于点H ____ 在Rt△DMH中，∠H=90°， 由①得：∠ADB=∠BDC=60°， 51 ∴∠MDH=60°，∠DMH=30°， ∵M是AD的中点， ∴DM=2， ∴ ， ∴ ，故③正确； 设DE=2a,BE=5a,则AB=AD=BD=7a,设BN=x,则AN=EN=7a-x, ∵△MED～△ENB， ∴ ， ∴ = 52 ∴ ， ， ∵AM+DM=7a, ∴ ，解得： ， ∴ ， ∴AM：AN=3：4，故④正确； 故选：D． 53 15.如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD=2，BD=3，则 的值是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：∵AD=2，BD=3， A 54 ∴AB=AD+BD=5， ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ， 故选：A． 55 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，则S正方形ACDE：S正方形BCIH的值等于( ____ ) A. B.4 C. D. C 56 【解析】解：设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，如图： ___ 设正方形JKLM边长为m, ∴正方形JKLM面积为m2， ∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5， ∴正方形ABGF的面积为5m2，AF=AB= m, 57 由已知可得：∠AFL=90°-∠MFG=∠MGF，∠ALF=90°=∠FMG，AF=GF， ∴△AFL≌△FGM(AAS)， ∴AL=FM， 设AL=FM=x,则FL=FM+ML=x+m, 在Rt△AFL中，AL2+FL2=AF2， x2+(x+m)2= ， 解得x=m或x=-2m (舍去)， ∴AL=FM=m,FL=2m, ∵tan∠AFL= = = = ， 58 ∴ = ， ∴AP= ， ∴FP= = = m,BP=AB-AP= m- = ， ∴AP=BP，即P为AB中点， ∵∠ACB=90°， 59 ∴CP=AP=BP= ， ∵∠CPN=∠APF，∠CNP=90°=∠FAP， ∴△CPN∽△FPA， ∴ = = ，即 = = ， ∴CN=m,PN= m, ∴AN=AP+PN= ， 60 ∴tan∠BAC= = = ， ∴S正方形ACDE：S正方形BCIH=AC2：BC2= = = ， 故选：C． 61 17.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，连接BE，作∠BEF=120°，交CD边于点F，若 ，则 的值为( ____ ) A. B. C. D. D 62 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠D=∠ABC=60°， ∴△ABC，△ACD是等边三角形， ∴∠BCE=∠ACD=60°，BC=AC， ∴∠CBE+∠BEC=180°-60°=120°， ∵∠BEF=120°， ∴∠CEF+∠BEC=120°， ∴∠CEF=∠CBE， ∵∠ECF=∠BCE， ∴△CEF∽△CBE， ∴CF：CE=CE：BC， 63 ∵ ， ∴令AE=x,则EC=2x, ∴AC=x+2x=3x, ∴BC=AC=3x, ∴CF：2x=2x：3x, ∴CF= x, ∴DF=3x- x= x, ∴ = ．故选：D． 64 18.如图，在△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB，点D为边BC(不含端点)上的任意一点，在射线CM上截取CE=BD，连接AD，DE，AE．设AC与DE交于点F，则线段CF的最大值为 　　． 【解析】解：∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=30°． ∵∠ACM=∠ACB， ∴∠B=∠ACM=30°． 在△ABD和△ACE中， 65 ， ∴△ABD≌△ACE(SAS)． ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE． ∴∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=∠BAC=120°．即∠DAE=120°． ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED=30°； ∵∠ADE=∠ACB=30°且∠DAF=∠CAD， ∴△ADF∽△ACD． 66 ∴ = ． ∴AD2=AF•AC． ∴AD2=5AF． ∴AF= ． ∴当AD最短时，AF最短、CF最长． ∵当AD⊥BC时，AF最短、CF最长，此时AD= AB= ． ∴AF最短= = ． 67 ∴CF最长=AC-AF最短=5- = ． 故答案为： ． 68 19.如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②DE=EF；③S△AOE：S△BCM=3：4；④S△DEF：S△BOM=8：3，其中正确的结论是 _____ ．(填正确的序号) 【解析】解：①∵四边形ABCD是矩形，O是AC中点， ∴OB=OC=OA， ∵∠COB=60°， ∴△BOC是等边三角形， ①②④ 69 ∴OB=BC， ∴B在OC的垂直平分线上， ∵FO=FC ∴F在OC的垂直平分线上， ∵两点确定一条直线， ∴FB垂直平分OC，故①是正确的； ②由①可得，OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=30°， ∴∠ACB=90°-∠OAB=60°， ∴∠ACD=90°-∠ACB=30°， ∵FO=FC， 70 ∴∠FOC=∠ACD=30°， ∴∠FOB=∠FOC+∠COB=90°， ∴∠OFB=90°-∠OBF=60°，OB⊥EF， ∵BF垂直平分OC， ∴∠CFM=∠OFB=60°， ∴∠DFE=180°-2∠OFB=60°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BEF=∠DFE=60°， ∴∠BEF=∠OFB=60°， ∴△BEF是等边三角形， 71 ∵OB⊥EF， ∴OB垂直平分EF， ∵O是AC的中点， ∴连接OD， ∴B，O，D三点是共线的，O一定是BD的中点， ∴BD垂直平分EF， ∴DE=DF， ∵∠DFE=60°， ∴△DEF为等边三角形， ∴DE=EF，故②是正确的； ③∵FB垂直平分OC， 72 ∴∠CBM=∠OBM=30°，∠CMB=90°， 又∠OBE=90°-∠CBO=30°， ∴∠CBM=∠OBE， 过O作OH⊥BE于H，如图， ____ ∴∠OHB=∠CMB=90°， ∴△OHB≌△CMB(AAS)， ∴OH=CM， 73 ∵ ， ， ∴ ， ∵AB∥CD， ∴∠OCF=∠OAE，∠OFC=∠OEA， ∴△OFC∽△OEA， ∴ ， ∴AE=FC， 设FM=a, 74 在直角△FCM中， ， ∴FC=2FM=2a, 同理，BF=2FC=4a, ∴BM=BF-FM=3a,AE=FC=2a, ∴S△AOE：S△BOM=AE：BM=2：3， ∴是③错误的； ④∵△DEF与△BEF是等边三角形， ∴DE=DF=EF=BE=BF， ∴四边形DEBF是菱形， 由③可得，菱形的边长DF=BF=4a, 在Rt△BCF中， 75 ， ∴ ， 在△BOM中， ， ∴ ， ∴S△DEF：S△BOM=8：3，故④正确， 综上所述正确答案为①②④． 故答案为：①②④． 76 20.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，BC=3ED，连接BE，DF⊥AB于点F，交BE于点G，∠ABE=2∠ADF，BG=GD，若CD=5，则线段BF的长为 ____ ． 【解析】详解：过点D作DH⊥BE交BE于点H，如图， ____ ∵BG=GD，∠GFB=∠GHD=90°，∠FGB=∠HGD， 2 77 ∴△FGB≌△HGD(AAS)， ∴∠GBF=∠GDH， 设∠ADF=α， ∵∠ABE=2∠ADF， ∴∠ABE=2α， ∴∠ABE=∠GBF=∠GDH=2α， ∴∠HDE=α， 在Rt△HDE中：∠HED=90°-α， ∴∠AEB=90°-α， 在Rt△ADF 中：∠A=90°-α， ∴∠AEB=∠A， 78 ∴AB=BE=CD=5， ∵∠HDE=∠ADF=α，∠DHE=∠AFD=90°， ∴△ADF∽△EDH， ∵BC=3DE， ∴AD=3DE， 设BF=x,则DH=x,AF=5-x, ∵ ， ∴DF=3DH=3x, ， 令DG=y,则FG=3x-y, 在Rt△FBG中：BG2=FG2+BF2，即y2=(3x-y)2+x2， 79 解得 ， ∴ ， ， ∵BH=BG+HG=BG+FG=3x, ∴ ， ∵BE=5， ∴ ， 解得：x=2， ∴线段BF的长为2，故答案为：2． 80 21.数学综合与实践活动小组用四个全等的直角三角形(Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA)拼成如图所示的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF，EG，BH分别相交于点P，O，Q．若 ，则 的值是 　　． 【解析】解：设EC=x(x＞0)，BE=14a(a＞0)，则QE=15a, ∵∠AHQ=∠CEQ=90°，∠AQH=∠CQE， ∴△AHQ∽△CEQ， ∴ = ， 81 ∵Rt△AHB≌Rt△BEC， ∴AH=BE=14a,BH=EC=x, ∴QH=BH-BE-EQ=x-29a, ∴ = ， 整理得：x2-29ax-210a2=0， 解得：x1=35a,x2=-6a (不合题意，舍去)， 即EC=BH=35a, ∴QH=EH-EQ=35a-29a=6a,EH=BH-BE=35a-14a=21a, ∴BC= =7 a,AQ= =2 a, ∴AC= BC=7 a, 82 ∴OA= AC= a, ∴OQ=OA-AQ= a, ∵四边形HEFG是正方形， ∴∠QEO=∠PGO，OE=OG， 又∵∠QOE=∠POG， ∴△QEO≌△PGO(SAS)， ∵OP=OQ= a, 又∵EG= EH=21 ， 83 ∴OE= EG= ， ∴ = = ， 故答案为： ． 84 22.如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F．若 ，则 =　　． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵ ， ∴AE：DC=2：5，△AEF∽△CDF， ∴ =( )2= ， 85 故答案为： ． 86 23.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD=2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．有下列4个结论：①ED⊥CA；②EF=EG；③FH= FD；④S△EFD= S△CED，其中说法正确的是 ______ ． 【解析】解：连接FG，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD，AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD， ∵BD=2AD， ①②③④ 87 ∴OD=AD， ∵点E为OA中点， ∴ED⊥CA，故①正确； ∵E、F、G分别是OA、OB、CD的中点， ∴EF∥AB，EF= AB， ∵∠CED=90°，CG=DG= CD， ∴EG= CD， ∴EF=EG，故②正确； ∵EF∥CD，EF=DG， 88 ∴四边形DEFG是平行四边形， ∴FH=DH， 即FH= FD，故③正确； ∵OF= OB= OD，OE= OA= OC， ∴S△OEF= S△ODE，S△ODE= S△CED， ∴S△EFD=S△OEF+S△ODE= S△CED，故④正确； 故答案为：①②③④． 89 24.如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长为 　　． 【解析】解：由网格可知：BC=1，AD=2，AC= =5，BC∥AD， ∴△OBC∽△ODA， ∴ = ， ∴ = ，∴AO= ， 故答案为： ． 90 25.如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a,b.中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图2，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得AB=1.5m,BD=6.2m.若“矩”的边EF=a=30cm,边AF=b=60cm,则树高CD为 _____ m. 4.6 91 ______ 【解析】解：由题意知，四边形ABDH是矩形，EF∥CH， DH=AB=1.5cm,AH=BD=620cm,△AFE∽△AHC， ∴ = ， 92 ∴ = ， ∴CH=310cm=3.1m, ∴CD=CH+DH=3.1+1.5=4.6(m)， 故答案为：4.6． 93 26.如图，DE∥BC，BD=2AD，DE=4，那么BC= ____ ． __ 【解析】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ， ∵BD=2AD， 12 94 ∴ ， ∵DE=4， ∴ ， ∴BC=12， 故答案为：12． 95 27.如图，A、B、C、D均为正方形网格的格点，线段AB和CD相交于点P，则 的值是 　　． 【解析】解：连接AE、BC，设每个小正方形的边长都为1，如图， ___ 由勾股定理得AC=BE= = ，AE=BC= =3 ， 96 ∴四边形ACBE是平行四边形， ∴BE∥AC， ∵B、E、D三点在同一条直线上， ∴BD∥AC， ∴△PBD∽△PAC， ∵BE=DE， ∴BD=2BE=2AC， ∴ =2， ∴ = = ．故答案为： ． 97 28.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，△ADE的面积为1，则△BCD的面积为 ____ ． 【解析】解：∵AD：DB=1：2， ∴AD= AB= AB， ∵DE∥BC，△ADE的面积为1， ∴△ADE∽△ABC， ∴ = = ， ∴ = ， = = = ， 6 98 ∴S△ADC=3S△ADE=3×1=3，S△ABC=9S△ADE=9×1=9， ∴S△BCD=S△ABC-S△ADC=9-3=6， 故答案为：6． 99 29.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC，BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD．连接AC与DE相交于F．则图中四边形OBEF的面积为 ____ ． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD， ∴BE∥OC，CE∥OB， ∴四边形OBED是平行四边形， ∴CE=OB=OD= BD， ∵CE∥OD， 18 100 ∴△CFE∽△OFD， ∴ = =1， ∴CF=OF= OC， ∵∠BCD=90°，CD=AB=8，BC=6， ∴S△BCD= CD•BC= =24， ∴S△COD= S△BCD= ×24=12， ∴S△DOF= S△COD= ×12=6， ∵OF∥BE， 101 ∴△DOF∽△DBE， ∴ = = = ， ∴S△DBE=4S△DOF=4×6=24， ∴S四边形OBEF=S△DBE-S△DOF=24-6=18， 故答案为：18． 102 30.如图，点D是△ABC内部一点，DA平分∠BAC，AD=CD，∠ACD=∠CBD．若AB=m,AC=n,用含m,n的式子表示BC的长是 　　． 【解析】解：过D作NM∥AC，交AB于M，交BC于N， ∴AM：CN=AB：BC，∠ADM=∠CAD，∠CDN=∠DCA， ∵DA平分∠BAC， ∴∠MAD=∠CAD， ∵AD=CD， ∴∠ACD=∠CAD， ∴∠ADM=∠ACD， 103 ∵∠MAD=∠CAD， ∴△MAD∽△DAC， ∴AD：AC=MA：AD， ∴AD2=AM•AC， ∵∠ACD=∠CBD， ∴∠CDN=∠CBD， ∵∠DCN=∠BCD， ∴△CDN∽△CBD， ∴CD：BC=CN：CD， ∴CD2=BC•CN， ∴AM•AC=BC•CN， 104 ∴AM：CN=BC：AC， ∴BC：AC=AB：BC， ∴BC2=AC•AB=mn, ∴BC= ． 故答案为： ． 105 31.已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AD上，CE与BA的延长线交于点F， ． (1)求证：四边形ABCD为平行四边形； (2)联结FD，分别延长FD、BC交于点G，如果FC2=FD•FG，求证：AD•CG=BF•CD． 【解析】(1)证明：∵AB∥CD，点F在BA的延长线上， ∴FA∥CD， ∴△AEF∽△DEC， ∴ = ， 106 ∵ = ， ∴ = ， ∴AB=CD， ∴四边形ABCD为平行四边形． (2)证明：如图，联结FD，分别延长FD、BC交于点G， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD， ∵FC2=FD•FG， 107 ∴ = ， ∵∠CFG=∠DFC， ∴△CFG∽△DFC， ∴∠G=∠FCD， ∵∠BFC=∠FCD， ∴∠G=∠BCF， ∵∠GCD=∠B， ∴△GCD∽△FBC， ∴ = ， 108 ∴ = ， ∴AD•CG=BF•CD． 109 32.已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，连接DE，已知∠1+∠B=90°． (1)求证：△ADE∽△ABC； (2)若 的面积为15，求△ADE的面积． 【解析】(1)证明：∵CD⊥AB， ∴∠1+∠ADE=90°． ∵∠1+∠B=90°， ∴∠ADE=∠B． ∵∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC； 110 (2)解：由(1)知：△ADE∽△ABC， ∴ ， ∵△CDE的面积为15， ∴ S△CDE= 15=10． 111 33.如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC=AD=8，AB=CD=20，∠DCB=90°，E为CD边上的一点，DE=14，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿边AB向点B运动，连接BE，PE，设点P运动的时间为t s. (1)求BE的长； (2)若△BPE为等腰三角形，且BE为其中一条腰，求t的值． 【解析】解：(1)∵AB=CD=20，DE=14， ∴CE=CD-DE=20-14=6． ∵∠DCB=90°， 112 ∴△BCE是直角三角形． ∵BC=8，CE=6， ∴ ． (2)①当BE=BP=10时， 由图可知AP=AB-BP=20-10=10． ∴t=10÷2=5(s)． ②当BE=PE时，如图所示，过点E作EF⊥BP，交BP于点F． ∵AB∥CD，∠DCB=90°，EF⊥BP， ∴EF=CB=8． 在Rt△BEF中， 113 ． ∵BE=PE， 根据等腰三角形三线合一可知： EF是△BPE的中线． ∴BP=2BF=2×6=12． ∴AP=AB-BP=20-12=8． ∴t=8÷2=4(s)． 综上所述，t的值为4或5． 114 34.已知：如图，CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，BG⊥AP．求证：CE2=ED•EP． 【解析】证明：∵CE是Rt△ABC的斜边AB上的高， ∴△ACE∽△CBE， ∴ = ，即CE2=AE•BE． ∵CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，BG⊥AP， ∴∠P+∠PAE=90°，∠DBE+∠PAE=90°， ∴∠P=∠DBE， 又∵∠AEP=∠DEB=90°， 115 ∴△AEP∽△DEB； ∴ = ，即AE•BE=ED•EP， 又∵CE2=AE•BE， ∴CE2=ED•EP． 116 35.如图，在等边三角形ABC中，点P是边BC上一动点(P点不与端点重合)，作∠DPE=60°，PE交边AC于点E，PD交边AB于点D． (1)求证：△BPD∽△CEP； (2)若AB=10，BD=3，CP：BP=1：4，求CE的长． 【解析】(1)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠BDC=180°-∠B-∠BPD=120°-∠BPD， ∵∠DPE=60°， ∴∠CPE=180°-∠DPE-∠BPD=120°-∠BPD， 117 ∴∠BPD=∠CEP， ∴△BPD∽△CEP． (2)解：∵AB=10，BD=3，CP：BP=1：4， ∴BC=AB=10， ∴BP= BC= BC= ×10=8，CP= BC= BC= ×10=2， ∵△BPD∽△CEP， ∴ = ， ∴CE= = = ， 118 36.如图1，△ABC的高AD，BE相交于点O． _______ (1)不添加其他线段，在图1中，与△AOE相似的三角形的个数是 ____ ； (2)如图2，连接DE，求证：∠ABE=∠ADE． 【解析】(1)解：由题意得AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠AEO=∠ADC=90°， ∵∠EAO=∠DAC， 3 119 ∴△AOE∽△ACD； ∵∠AOE=∠BOD，∠AEO=∠BDO=90°， ∴△AOE∽△BOD， ∴∠EAO=∠EBC， 又∵∠AEO=∠BEC=90°， ∴△AOE∽△BCE， 即与△AOE相似的三角形是△ACD，△BOD，△BCE，有3个， 故答案为：3； (2)证明：如图， 120 ____ ∵∠AEB=90°，∠ADB=90°， ∴点A、B、D、E在以AB为直径的圆上， ∴∠ABE=∠ADE． 121 37.已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是对角线AC上一点，EA=ED，且∠DAB=∠DEC=∠DCB． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)延长DE分别交线段AB、CB的延长线于点F、G，如果GB=BC，求证：AD2=2EF•GD． 【解析】(1)证明：∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC=180°，∠CAD=∠ACB， ∵∠DAB=∠DCB， ∴∠DCB+∠ABC=180°， ∴AB∥CD， 122 ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵EA=ED， ∴∠EDA=∠CAD， ∴∠DEC=∠EDA+∠CAD=2∠CAD， ∵∠DAB=∠DEC， ∴∠DAB=2∠CAD， ∴∠CAB=∠CAD=∠ACB， ∴AB=CB， ∴四边形ABCD是菱形． (2)证明：如图，延长DE分别交线段AB、CB的延长线于点F、G， 123 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=BC=CD， ∵AD=BC，GB=BC， ∴AD=GB， ∵AD∥GB， ∴△ADF∽△BGF， ∴ = =1， ∴AF=BF= AB= CD， ∵AF∥CD， ∴△AEF∽△CED， 124 ∴ = = ， ∴ED=2EF， ∴∠ECD=∠CAD，∠G=∠EDA，且∠CAD=∠EDA， ∴∠ECD=∠G， ∵∠EDC=∠CDG， ∴△EDC∽△CDG， ∴ = ， ∴ = ， ∴AD2=2EF•GD． 125 38.如图，已知：D是△ABC的边BC上一点，点E在△ABC外部，且∠BAE=∠CAD，∠ACD=∠ADC=∠ADE，DE交AB于点F． (1)求证：AB=AE； (2)如果AD=AF，求证：EF2=BF•AB． 【解析】证明：(1)∵∠ACD=∠ADC， ∴AC=AD， ∵∠BAE=∠CAD， ∴∠BAC=∠EAD， ∵∠ACD=∠ADE， 126 ∴△ABC≌△AED(ASA)， ∴AB=AE； (2)∵AD=AF， ∴∠ADF=∠AFD， ∴∠DAF=180°-2∠ADF， ∵∠ACD=∠ADC， ∴∠CAD=180°-2∠ADC， ∵∠ADC=∠ADE， ∴∠CAD=∠DAF， ∵∠BAE=∠CAD， ∴∠DAF=∠BAE， 127 ∵△ABC≌△AED， ∴AB=AE， ∴△ABD≌△AEF(SAS)， ∴BD=EF， ∵∠BDF=180°-2∠ADF， ∴∠BDF=∠BAD， ∵∠B=∠B， ∴△BDF∽△BAD， ∴ = ， ∴BD2=BF•AB，∴EF2=FB•AB． 128 四．相似三角形的应用 129 39.如图，小明同学自制了一个小孔成像装置，其中直筒的长度为10cm.他准备了一支长为15cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离直筒( ____ ) cm远的地方． A.10 B.15 C.20 D.30 【解析】解：如图：过点O作OE⊥AB，垂足为E，延长EO交CD于点F D 130 ， _____ 由题意得：EF⊥CD，AB∥CD， ∴∠OAB=∠ODC，∠OBA=∠OCD， ∴△OAB∽△ODC， ∴ = ， ∴ = ， 131 解得：OE=30， ∴蜡烛应放在距离直筒30cm远的地方， 故选：D． 132 40.《九章算术》中记载了这样一个问题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意为：如图，今有Rt△ABC，其勾(AB)长为5步，股(BC)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形BLMN的边长是多少？若设正方形的边长为x步，则可列方程为 　　． 【解析】解：∵四边形BLMN是正方形， ∴ML=LB=x步，LM∥BN， ∴∠ALM=∠B，∠AML=∠C， ∴△ALM∽△ABC， ∴ = ， 133 ∴ = ， 故答案为： = ． 134 41.综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30cm,顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m,到树EG的距离AF=12m,BH=20cm.求树EG的高度． 【解析】解：由题意可知，∠BAE=∠MAF=∠BAD=90°，FG=1.8m, 则∠EAF+∠BAF=∠BAF+∠BAH=90°， ∴∠EAF=∠BAH， ∵AB=30cm,BH=20cm, 135 则tan∠EAF= = ， ∴tan∠EAF= =tan∠BAH= ， ∵AF=12m, 则 ， ∴EF=8， ∴EG=EF+FG=8+1.8≈9.9m. 答：树EG的高度约为9.9m. 136 42.清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口(点D)直行8里有一塔(点A)，自西门(点E)直行2里至点B，切城角(点C)恰好看见塔，问这座方城每面城墙的长是多少？ 【解析】解：设这座方城每面城墙的长是x里， ∵点E，点D分别是城墙的中点， ∴CE= x里，CD= x里， 137 由题意得：∠BEC=∠CDA=90°，BE∥CD， ∴∠B=∠DCA， ∴△CEB∽△ADC， ∴ = ， ∴ = ， 解得：x=8或x=-8(舍去)， ∴这座方城每面城墙的长是8里． 138 43.如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度AD．他们的身高分别是1.6m,1.8m(EB=1.6m,FC=1.8m)，小明在距离树0.3m的B处(AB=0.3m)，看树的顶端D的视线为ED，原地再看爸爸的头部，视线为EF，爸爸经过移动调整位置，当EF⊥ED时爸爸停止移动，这时测得AC=9.5m.已知点A，B，C在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度AD． 【解析】解：如图，过E作EG⊥CF于G，延长GE交AD于H， 139 则GH⊥AD，四边形CBEG、四边形AHEB是矩形， ∴AH=BE=CG=1.6m,BC=EG=9.5-0.3=9.2(m)，AB=HE=0.3m, ∵∠FGE=∠EHD=∠FED=90°， ∴∠EFG+∠FEG=∠FEG+∠DEH=90°， ∴∠GFE=∠DEH， ∴△EFG∽△DEH， ∴ = ， 即 = ， 解得：DH=13.8(m)， ∴AD=DH+AH=13.8+1.6=15.4(米)，答：树的高度AD为15.4米． 140 五．作图−相似变换 141 44.如图，已知△ABC，∠ACB=90°．请用尺规作图法，在AB边上求作一点P，使得AC•BC=AB•CP．(保留作图痕迹，不写作法) 【解析】解：点P如图所示： ____ 理由如下： 142 ∵CP⊥AB， ∴∠APC=∠ACB=90°， ∴∠A+∠ACP=90°， ∵∠BCP+∠ACP=90°， ∴∠A=∠BCP， ∴∠ACP=∠ABC， ∴△APC∽△ACB， ∴ ， ∴CP•AB=AC•BC． 143 45.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．请用尺规作图法在AC边上求作一点D，使得△BDC∽△ABC．(保留作图痕迹，不写作法) 【解析】解：如图，点D即为所求． __ 144 六．位似变换 145 46.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：OD=2：5，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为( ____ ) A.16 B.20 C.24 D.28 【解析】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△AOB∽△DOE， B 146 ∴ = = ， ∴△ABC的周长：△DEF的周长=2：5， ∵△ABC的周长为8， ∴△DEF的周长为20， 故选：B． 147 47.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中 ，则△ABC与△DEF的面积比是( ____ ) A.2：3 B.4：6 C.4：9 D.16：25 【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心， ∴AC∥DF， ∴△OAB∽△ODE， C 148 ∴ ， ∴ = = ， 故选：C． 149 48.如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE=2：3，若△ABC的面积为8，则△DEF的面积为( ____ ) A.12 B.16 C.18 D.19 【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE=2：3， ∴AB：DE=OB：OE=2：3， C 150 ∵△ABC∽△DEF， ∴ =( )2=( )2= ， ∴S△DEF= S△ABC= ×8=18． 故选：C． 151 七．作图−位似变换 152 49.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(-4，1)，B(-1，1)，C(-1，3)． (1)将△ABC先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； (2)以点B为位似中心，在所给的平面直角坐标系内，将△ABC放大为原来的2倍得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； (3)请直接写出(2)中点C2的坐标． 【解析】解：(1)如图，△A1B1C1为所作； 153 (2)如图，△A2B2C2为所作； ___ (3)C2(-1，-3)． 154 50.如图，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(2，2)，C(1，3)． (1)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； (2)以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到△DEF，画出△DEF； (3)若在△ABC内有一点P(a,b)，则点P放大后的对应点的坐标是 ___________ ． 【解析】解：(1)如图1，△A1B1C1即为所作； (2a,2b) 155 ___ (2)如图2，△DEF即为所作； 156 ___ (3)在△ABC内有一点P(a,b)，则点P放大后的对应点的坐标是(2a,2b)， 故答案为：(2a,2b)． 157 $$