第4章 图形的相似 培优题突破练习★★★【7个考点50题专练】课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第4章 图形的相似 培优题突破练习★★★ 【7个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版 数学九年级上册 1 一．平行线分线段成比例 二．相似三角形的性质 三．相似三角形的判定 四．相似三角形的判定与性质 五．相似三角形的应用 六．位似变换 七．作图−位似变换 2 一．平行线分线段成比例 3 1.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，点D在边AC上．连接BD．按以下步骤作图：(1)以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点；(2)再分别以M，N两点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点P；(3)连接AP并延长，分别交BD，BC于E，F两点．若AD=3DC，连接DF，则DF：FC的值为( ____ ) A. B. B C. D.1 4 【解析】解：∵AB=6，AC=8，BC=10， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°， 由作法得AF平分∠BAF， ∴点F到AB、AC的距离相等， ∴S△ABF：S△ACF=AB：AC=BF：CF，即BF：CF=6：8=3：4， 5 ∴CF= BC= ， 过B点作BH∥DF交AC与H点，如图， ∵AD=3DC， ∴CD= AC=2， ∵DF∥BH， ∴ = = = ， ∴CH= CD= ×2= ，DF= BH， ∴AH=AC-CH=8- = ， 6 在Rt△ABH中，BH= = ， ∴DF= × = ， ∴ = = ． 故选：B． 7 二．相似三角形的性质 8 2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=5，AB=3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为　　． 【解析】解：如图，连接EC，作AH⊥BC于H． _____ ∵△ABC∽△ADE， ∴∠AED=∠ACD， 9 ∴A，D，C，E四点共圆， ∴∠DAE+∠DCE=180°， ∴∠DCE=∠DAE=90°， ∴EC⊥BC， ∴NE⊥EC时，EN的值最小，作AG⊥CE交CE的延长线于G． 在Rt△ABC中，∵BC=5，AB=3， ∴AC=4， ∵△ENC∽△ACB， ∴ = ， ∴ = ， 10 ∴EC= ， ∴AH=CG= = ，CH=AG= ， ∵NE∥AG，AN=NC， ∴GE=EC= ， ∵∠HAG=∠DAE， ∴∠DAH=∠EAG，∵∠AHD=∠G=90°， ∴△AHD∽△AGE， ∴ = ， 11 ∴ = ， ∴DH= ， ∴CD=DH+CH= ． (求出CE=1.2后，利用△ABD∽△ACE，AB=3，AC=4，CE=1.2，求出BD=0.9，从而CD=4.1) 故答案为 ． 12 三．相似三角形的判定 13 3.如图，在小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点都在格点上，与△ABC相似的是( ____ ) A.___ B.___ C.___ C D.___ 14 【解析】解：显然△ABC中，∠ABC=90°，即△ABC是直角三角形，又BC= = ，AB= =2 ，因此BC：AB=1：2． A、三角形是钝角三角形，故A不符合题意； B、直角三角形的两直角边的比是2：3，故C不符合题意； C、直角三角形的两直角边的比是1：2，故C符合题意． D、如图，DF2=12+22=5，EF2=22+32=13，DE2=42=16，DF2+EF2≠DE2，因此△DEF不是直角三角形，故D不符合题意． 故选：C． 15 4.如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC．以下是天翼和徍琛的做法．下列说法不正确的是(　　) 天翼的做法：添加条件∠ABD=∠C． 证明：∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC．(两组角对应相等的两个三角形相似) 徍琛的做法：添加条件 ． 证明：∵∠A=∠A， ， ∴△ADB∽△ABC．(两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似) 16 A.天翼的做法证明过程没有问题 B.徍琛的做法证明过程没有问题 C.天翼的做法添加的条件没有问题 D.徍琛的做法添加的条件有问题 【解析】解：依题意，∠A=∠A，添加一组对应角相等，可以使得△ADB∽△ABC，故天翼的做法以及过程没有问题， 徍琛的做法添加的条件有问题，应为 ，故B选项符合题意， 故选：B． 17 四．相似三角形的判定与性质 18 5.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，∠ABE=∠AED，且AB=6，AC=9，则CE的长为( ____ ) A. B.4 C.5 D. 【解析】解：∵DE∥BC， ∴∠AED=∠C， ∵∠ABE=∠AED， C 19 ∴∠ABE=∠C， ∵∠A=∠A， ∴△ABE∽△ACB， ∴ ， ∵AB=6，AC=9， ∴ ， 解得：AE=4， ∴CE=AC-AE=5． 故选：C． 20 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，G是△ABC的重心，点D在边BC上，DG⊥GC，如果BD=5，CD=3，那么 的值是( ____ ) A. B. C. D. D 21 【解析】解：连接AG，延长AG交BC于M，延长CG交AB于N，连接MN， ∵G是△ABC的重心， ∴M、N分别是BC、AB的中点，CG=2NG， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MN∥AC， ∴∠NMC+∠ACB=180°， ∵∠ACB=90°， ∴∠NMC=90°， ∵DG⊥CG， ∴∠CGD=∠NMC=90°， 22 ∵∠DCG=∠MCN， ∴△CDG∽△CNM， ∴CG：CM=CD：CN， ∵BD=5，CD=3， ∴BC=5+3=8， ∵M是BC中点， ∴CM= BC=4， ∴CG：4=3： CG， ∴CG=2 ，∴ = = ． 故选：D． 23 7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，若 ，AC=9，则GF的长为( ____ ) A.2 B.3 C. D.6 【解析】解：∵GE∥BD， B 24 ∴△AEG∽△ABD， ∴ =( )2， ∵ ， ∴ = ， ∴ = ， ∴ = ． ∵GF∥AC， 25 ∴△DGF∽△DAC， ∴ = = ， ∵AC=9， ∴GF= AC=3． 故选：B． 26 8.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，且AF=BE+DF，则下面结论：① ；②∠CEF=30°；③AE=2EF；④∠AEF=90°中，正确的结论有( ____ ) 个． A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】解：设正方形的边长为2，DF为x,则CF=2-x, C 27 ∵E是BC的中点， ∴BE=CE=1． ∵AF=BE+DF， ∴AF=1+x. ∴22+x2=(1+x)2， ∴ ， ∴ ，①正确； ． ∴∠CEF≠30°，②错误； 28 BE=1，AB=2， ， 同理可得 ， ∴AE=2EF，③正确； ∵ ， ∵AE2+EF2=AF2， ∴∠AEF=90°，④正确． ∴正确的有①③④． 故选：C． 29 9.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC边上的点，DE∥BC，AD=3BD，四边形BDEC的面积是28，则△ABC的面积为( ____ ) A.61 B.62 C.63 D.64 【解析】解：∵AD=3BD， ∴ ， D 30 ∴ ， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ， ∵四边形BDEC的面积是28， ∴△ABC的面积= ， 故选：D． 31 10.如图，在△ABC中，AD是角平分线，E是AC上的点，满足∠ADE=∠B，若AB=9，AD=6，则AE的长为( ____ ) A.4 B.4.5 C.5 D.5.5 【解析】解：∵AD是角平分线， ∴∠BAD=∠DAE， ∵∠ADE=∠B， ∴△BAD∽△DAE， A 32 ∴ ， ∵AB=9，AD=6， ∴ ， ∴AE=4． 故选：A． 33 11.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一点，过点E作EF∥BC，交AB于点F，OC=2，∠AOC=45°，点A的坐标为(4，0)，点F的横坐标为5，则EF的长为( ____ ) A. B.2 C.3 D. 【解析】解：作BG⊥x轴于点G，FH⊥x轴于点H， D 34 则FH∥BG， ∵四边形ABCD是平行四边形，A(4，0)， ∴AB∥OC，CB∥OA，AB=OC=2，CB=OA=4， ∵∠AGB=90°，∠GAB=∠AOC=45°， ∴∠GBA=∠GAB=45°， ∴AG=BG， ∴AB= = AG=2， ∴AG= ， ∵点F的横坐标为5， ∴H(5，0)， 35 ∴AH=5-4=1， ∴ = ， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ACB， ∴ = = = = ， ∴EF= CB= ×4=2 ， 故选：D． 36 12.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，连接DE，AB=2AE，AC=2AD，若BC=8，则DE的长为( ____ ) A.4 B.5 C.6 D.2 【解析】解：∵AB=2AE，AC=2AD， ∴ = = ， A 37 而∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴ = ， 而AC=2AD，BC=8， ∴ = ， ∴BC=4． 故选：A． 38 13.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，若AD：BD=3：2，DF=2，则CF的长是( ____ ) A.3 B. C. D.4 【解析】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， B 39 ∴ ， ∵DE∥BC， ∴△DEF∽△CBF， ∴ ， ∴CF= ， 故选：B． 40 14.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为( ____ ) A.3：4 B.3：1 C.9：1 D.9：16 【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB， ∴△DFE∽△BFA， D 41 ∵DE：EC=3：1， ∴DE：DC=3：4， ∴DE：AB=3：4， ∴S△DFE：S△BFA=9：16， 故答案为：D． 42 15.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，AC与BD相交于点O，则AO的长等于( ____ ) A. B. C. D. A 43 【解析】解：连接AB，CD，如图， 由网格图可知：AG=2，BG=1，DH=4，CH=2， ∴ =2，AG= = ，CD= =2 ， ∵∠AGB=∠CHD=90°， ∴△AGB∽△CHD， ∴∠BAG=∠DCH． ∵AE∥CF， ∴∠GAC=∠HCA， ∴∠BAO=∠DCO． 44 ∵∠AOB=∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∴ = ， ∴AO= OC， ∴AO= AC． ∵AC= = ， ∴AO= ． 故选：A． 45 16.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点G在CA的延长线上．GB=GE，若BE+CG=20， ，则AF的长为( ____ ) A.4 B. C. D.2 【解析】解：过点G作GH⊥BE，垂足为点H， B 46 __ 设BE=2x, ∵BE+CG=20， ∴CG=20-2x,AG=3x, ∴AC=CG-AG=20-5x, 47 ∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴BC=AC=20-5x,CD=DE=CE=BC-BE=20-7x,∠ABC=∠DEC=∠C=60°， ∵GB=GE，GH⊥BE， ∴BH=HE=x, ∴CH=CE+HE=20-6x, ∵∠GHC=90°，∠C=60°， ∴∠HGC=30°， ∴CH= CG， ∴20-6x= (20-2x)， ∴x=2， 48 ∴AG=3x=6，CG=20-2x=16，CD=DE=20-7x=6， ∴GD=CG-CD=10， ∵∠ABC=∠DEC， ∴AB∥DE， ∴△GDF∽△GDE， ∴ ， 即 ， ∴AF= ． 故选：B． 49 17.如图．在△ABC中，点D，E为边BC的三等分点，点F，G在边AB上，且AC∥GE∥FD，点H为AD与EG的交点．若AC=10，则GH的长为( ____ ) A.3 B.2 C. D. 【解析】解：∵点D，E为边BC的三等分点， ∴BD=DE=CE， D 50 ∵GE∥AC， ∴△BGE∽△BAC， ∴ = = = ， ∴GE= ×10= ， ∵HE∥AC， ∴△DEH∽△DCA， ∴ = = ， ∴HE= AC=5， 51 ∴GH=GE-HE= -5= ． 故选：D． 52 18.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点M、N是边AD、AB上任意两点，将菱形ABCD沿MN翻折，点A恰巧落在对角线BD上的点E处，下列结论：①△MED～△ENB；②若∠DME=15°，则∠ENB=105°；③若菱形边长为4，M是AD的中点，连结MC，则线段 ；④若DE：BE=2：5，则AM：AN=3：4，其中正确结论的个数是( ____ ) A.1 B.2 C.3 D 53 D.4 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD， ∵∠A=60° ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB=∠ABD=60°， 由折叠性质可知，∠A=∠MEN=60°， ∴∠MED+∠BEN=120°， ∵∠MED+∠DME=120°， ∴∠DME=∠BEN， 54 ∴△MED～△ENB，故①正确； ∵∠DME=15°， ∴∠BEN=∠DME=15°， ∴∠ENB=180°-60°-15°=105°，故②正确； 如图，作MH⊥CD交CD的延长线于点H ____ 在Rt△DMH中，∠H=90°， 由①得：∠ADB=∠BDC=60°， 55 ∴∠MDH=60°，∠DMH=30°， ∵M是AD的中点， ∴DM=2， ∴ ， ∴ ，故③正确； 设DE=2a,BE=5a,则AB=AD=BD=7a,设BN=x,则AN=EN=7a-x, ∵△MED～△ENB， ∴ ， ∴ = 56 ∴ ， ， ∵AM+DM=7a, ∴ ，解得： ， ∴ ， ∴AM：AN=3：4，故④正确； 故选：D． 57 19.如图，在▱ABCD中，BE∥DF，ED=EB，连结AC交DF于点G．若BF=2CF=6，则FG的长是( ____ ) A. B.2 C. D.1 【解析】解：∵▱ABCD， ∴AD∥BC，AD=BC， C 58 又∵BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， 又∵ED=EB， ∴四边形BEDF是菱形， ∴DF=BF=6，AD=BC=BF+CF=9， ∵AD∥BC， ∴∠ADG=∠CFG，∠DAG=∠FCG， ∴△ADG∽△CFG， ∴ ，即 ， 解得， ，故选：C． 59 20.如图，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E、F分别是AB、CD边上的动点，EF⊥AC，则AF+CE的最小值为 ____ ． 【解析】解：如图所示： ___ 设DF=x,则FC=4-x；过点C作CG∥EF，且CG=EF，连接FG， 5 60 当点A、F、G三点共线时，AF+FG的最值小； ∵CG∥EF，且CG=EF， ∴四边形CEFG是平行四边形； ∴EC∥FG，EC=FG， 又∵点A、F、G三点共线， ∴AF∥EC， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥DC，∠D=90°， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴OA=OC，OE=OF， 又∵EF⊥AC， 61 AF=CF=4-x, 在Rt△ADF中，由勾股定理得： AD2+DF2=AF2， 又∵AD=2，DF=x,则FC=4-x, ∴22+x2=(4-x)2， 解得：x= ， ∴AF= ， 在Rt△ADC中，由勾股定理得： AD2+DC2=AC2， ∵AD=2，DC=AB=4， 62 ∴AC=2 ， ∴AO= ， 又∵OF∥CG， ∴△AOF∽△ACG， ∴ = ， ∴AG=5， 又∵AG=AF+FG，FG=EC， ∴AF+EC=5， 故答案为5． 63 21.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，BD=2 ，BC=3，则 的最小值为 　　． 【解析】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，DH⊥BC于点H，作FB⊥AB于B，FC⊥BC于C，BF与CF交于点F， 取BF的中点G，连接AG，CG， ___ 64 在RtDBH中， ∵∠DBC=45°，BD=2 ， ∴DH=BH=2， ∵AD∥BC， ∴AE=DH=2， ∵∠ABF=∠AEB=∠BCF=90° ∴∠ABE+∠FCB=∠ABE+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠FBC， ∴△BAE∽△FBC， ∴ = = ， 65 设AB=4x,则BF=6x, ∴BG=FG= BF=3x, ∴AG= =5x, ∴ ≥ = = ． 故答案为： ． 66 22.如图，AC=BC=BF=FG，∠ACB=∠BFG=90°，C，B，G三点共线，AG，CF相交于点K，CF交AB于点M，AG交BF于点N，则下列结论正确的是 _____ (填序号)． ①△CBF∽△ABG；②CK= AG；③∠CAG=∠ABK=67.5°；④BC2=GC•BK． 【解析】解：∵AC=BC=BF=FG，∠ACB=∠BFG=90°， ∴∠ABC=∠FBG=45°，AB= BC，BG= BF，△ABC≌△GBF(SAS)， ①②③ 67 ∴∠ABG=135°=∠CBF， = = ，AB=BG， ∴△CBF∽△ABG； ∴①正确； ∵△CBF∽△ABG， ∴∠BCF=∠BAG， ∵AB=BG， ∴∠BAG=∠BGA， ∴∠BCF=∠BGA， ∴CK=GK， ∵∠ACB=90°， 68 ∴∠CAK=90°-∠BGA=90°-∠BCF=∠ACK， ∴CK=AK， ∴CK=AK=GK， ∴CK= AG，②正确； ∵∠ABC=45°，AB=BC， ∴∠BAG=∠BGA=22.5°， ∴∠CAG=∠CAB+∠BAG=67.5°， ∵AB=BG，AK=GK， ∴BK⊥AG，∠BKA=90°， ∴∠ABK=90°-∠BAG=67.5°， 69 ∴③正确； ∵∠ABC=∠FGB=∠FBG=45°，∠ABK=67.5°， ∴∠KBF=180°-∠ABC-∠ABK-∠FBG=22.5°， ∵BC=BF，∠FBG=45°， ∴∠FCB=∠BFC=22.5°， ∵∠BAG=22.5°， ∴∠KBF=∠CGK=∠BFK=∠KCG=22.5°， ∴△BFK∽△GCK， ∴ = ， ∴BK•GC=BF•GK， 70 ∵BC=BF， ∴BK•GC=BC•GK， △KFG中，∠KFG＞90°， ∴GK＞GF，故GK＞BC， ∴BK•GC=BC•GK＞BC•BC，即BK•GC＞BC2， ∴④不正确， 故答案为：①②③． 71 23.已知：如图，AB=AC，AE+CE=CD，∠AEC=2∠BCD，则 =　　． 【解析】解：延长CE到H，使得EH=EA． _______ ∵EA=EH， ∴∠H=∠EAH， ∵∠AED=∠H+∠EAH=2∠H， 72 ∵∠AED=2∠DCB， ∴∠DCB=∠H， ∴BC∥AH， 设AE=x,CD=y, ∵AE+EC=EH+EC=CH=CD=y, ∴EC=y-x, ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=∠CAH， ∵∠CAH=∠CAE+∠EAH，∠ABC=∠D+∠DCB， ∴∠EAC=∠D， ∵∠AEC=∠DEA， 73 ∴△EAC∽△EDA， ∴EA2=EC•ED， ∴x2=(y-x)(2y-x)， ∴y= x, ∴ = = ． 74 24.在矩形ABCD中，点E为AD的中点，点F为CD的中点，连接BF、CE交于点G，若AB=4，∠DCE=2∠CBF，则线段BG的长为　　． 【解析】解：如图，延长CE交BA的延长线于M．在BC上取一点N，使得BN=FN，连接FN．设FN=BN=x,CN=y. ∵NF=NB， ∴∠NBF=∠NFB， ∴∠FNC=∠NBF+∠NFB=2∠NBF， ∵∠DCE=2∠NBF， 75 ∴∠FNC=∠DCE， ∵∠FCN=∠D=90°， ∴△FNC∽△ECD， ∴ = ， ∵点E为AD的中点，点F为CD的中点， ∴CF=2，DE= AD= AB= (x+y)， ∴ = ， ∴y(x+y)=16 ①， 76 在Rt△CFN中，则有x2=y2+4 ②， 由①②解得 ， ∴BC=x+y=6， 在Rt△BCF中，BF= = =2 ， ∵∠EAM=∠D=90°，AE=ED，∠AEM=∠CED， ∴△AEM≌△DEC(ASA)， ∴AM=CD， ∵CD=2CF，AB=CD=AM， 77 ∴BM=4CF， ∵CF∥BM， ∴ = = ， ∴BG= BF= ， 方法二：延长BF交AD的延长线于T，设AE=ED=a,则BC=DT=2a, ______ 78 设∠CBF=α，则∠ECD=2α，∠BCG=90°-2α， ∴∠CGF=∠GBC+∠GCB=90°-α， ∵∠CFB=90°-α， ∴CF=CG=DF=2， ∵BC∥ET， ∴EG：GC=ET：BC=3：2， ∴EG=3， ∴CE=5，DE= =3， ∴AT=4a=12， ∴BT= =4 ， 79 ∵ = = ， ∴BG= BT= ， 故答案为 ． 80 25.在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，G为CD上一点，连结AG交BD于点E，若AB=AE，∠ABE=∠EFC，则BF的长度为 　　． 【解析】解：在矩形ABCD中， ∵AB=6，AD=8， ∴BD= =10， ∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB， ∵∠ABE=∠EFC， ∴∠AEB=∠EFC， 81 ∴∠AED=∠EFB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE=∠EBF， ∴△ADE∽△EBF， ∴ = ， ∴ = ， ∵AB∥DC， ∴∠ABE=∠EDG， ∵∠ABE=∠AEB， 82 ∴∠EDG=∠AEB， ∵∠DEG=∠AEB， ∴∠EDG=∠DEG， ∴GD=GE， 在Rt△ADG中，AD=8，AG=AE+GE=6+GD， 根据勾股定理得：AG2=AD2+DG2， ∴(6+GD)2=82+GD2， 解得GD= ， ∵AB∥DG， ∴△ABE∽△GDE， 83 ∴ = ， ∴ = ， ∴BE= ， ∵ = ， ∴ = ， 84 ∴BF= ． 故答案为： ． 85 26.如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当M与C重合时，有 DF=AF；④MF平分正方形ABCD的面积；③4FH•MH=AB2，在以上5个结论中，正确的有 ______ ． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=90°， ∵E为AB的中点， ①②③⑤ 86 ∴EA=EB， 由翻折可知：FA=FH，EA=EH，∠A=∠FHE=90°， ∴∠EHM=∠B=90°， ∵EM=EM，EH=EB， ∴Rt△EMH≌Rt△EMB(HL)， ∴∠MEH=∠MEB， ∵∠FEH=∠FEA， ∴∠FEM=∠FEH+∠MEH= (∠AEH+∠BEH)=90°， ∴△EFM是直角三角形， 故①②正确， 87 ∵∠FEM=90°=∠FHE， ∴∠FEH+∠MEH=90°=∠FEH+∠EFH， ∴∠EFH=∠HEM， 又∵∠FHE=∠EHM=90°， ∴△FHE∽△EHM， ∴ = ， 又∵EH=EB= AB， ∴AB2=4HF•HM，故⑤正确， 如图1中，当M与C重合时， 88 ___ 设AE=EB=2a.则AB=BC=AD=CD=4a, ∵∠FEM=90°， ∴∠AEF+∠CEB=90°=∠AEF+∠AFE， ∴∠AFE=∠ECB， 又∵∠A=∠B=90°， ∴△AEF∽△BCE， 89 ∴ = = ， ∴AF=a, ∴DF=3a, ∴DF=3AF， ∴ DF=AF，故③正确， 如图2中， 90 ___ 当点F与点D重合时，显然直线MF不平分正方形的面积，故④错误， 综上所述，正确的有：①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 91 27.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，BD=3，将△ADE沿直线DE翻折得到△FDE，当点F落在边BC上，且BF=4CF时，DE•AF的值为 　　． 【解析】解：如图，过点A，D分别作AL⊥BC，DH⊥BC于点L，H， ___ ∵△ABC为等边三角形，△ADE沿直线DE翻折得到△FDE， ∴∠DFE=∠DAE=60°，AD=DF， ∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB=120°， 92 ∴∠DFB=∠CEF， ∵∠B=∠C=60°， ∴△BDF∽△CFE， ∴ = ， ∴CE= ， 设CF=x,(x＞0)， ∵BF=4CF， ∴BF=4x, ∵BD=3， 93 ∴CE= = ， ∵BC=BF+CF=4x+x=5x, ___ ∴AD=AB-BD=BC-BD=DF=5x-3，AE=EF=AC-CE=5x- ， ∵△BDF∽△CFE， ∴ = ， 94 ∴ = ， 解得x=2， ∴CF=2， ∴BC=5x=10， 在Rt△ABL中，∠B=60°， ∴AL=AB•sin60°=10× =5 ， ∴S△ABC= 10×5 =25 ， 在Rt△BDH中，∠B=60°，BD=3， 95 ∴DH= BD= ， ∴S△BDF= BF•DH= 8× =6 ， ∵△BDF∽△CFE， ∴ =( )2=( )2= ， ∴S△CEF= ， ∵A，F为轴对称图形对应点的连线，DE为对称轴， ∴AD=DF，△ADF为等腰三角形， ∴DE⊥AF， 96 ∴四边形ADFE的面积= DE•AF， ∵四边形ADFE的面积=S△ABC-S△BDF-S△CEF=25 -6 - = ， ∴DE•AF=2× = ． 故答案为： ． 97 28.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D、E分别在边AC、BC上，点F、G在AB边上．当四边形DEFG是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长l的取值范围是　　． 【解析】解：如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x. ____ 98 在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴AB= =5， 则CD= x,AD= x, ∵AD+CD=AC， ∴ x+ x=3， ∴x= ． 如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m. 99 ___ ∵DG∥AB， ∴△CDG∽△CAB， ∴ = ， ∴ = ， 100 解得m= ． 如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n. ____ ∵DG∥AB， ∴△CDG∽△CAB， ∴ = ， 101 ∴ = ， ∴n= ， 综上所述，菱形的边长l的取值范围为l= 或 ＜l≤ ， 故答案为l= 或 ＜l≤ ． 102 29.如图，Rt△ABC中，AB=AC=20，BC=20 ，现把另一个Rt△EDF顶点放在BC边上一点(与B、C不重合)，再将△EDF绕点E旋转，旋转过程中，EF与线段AC始终有交点Q，ED与线段AB始终有交点P，若已知 ，则 =　　． 【解析】解：过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AB于N，则∠MEN=90° ∵∠PEQ=90° ∴∠PEN=∠QEM 103 ∵∠PNE=∠QME=90° ∴△PNE∽△QME ∴ = ∵EM∥AB ∴ = = ∴EM=8 ∵EN∥AC ∴ = = ∴EN=12∴ = = 104 30.如图，在△ABC中，∠ACB=45°，点D在AB上，点E在AC的延长线上，ED⊥AB，ED交BC于点F，AB=DF，3DF=5EF，CF=1，则AC=　　． 【解析】解：如图，作GB⊥AB，GF⊥DE，GB与GF交于点G，连接GC、GE． 105 ___ ∵ED⊥AB于D，则四边形BDFG是矩形， ∴BG=DF，GF=BD， ∵AB=DF， ∴AB=BG， ∴∠AGB=45°， 106 ∵∠ACB=45°， ∴∠ACB=∠AGB， ∴A、B、G、C四点共圆， ∴∠ACG=∠ABG=90°，∠GCB=∠ACB=45°， ∴∠GFE=∠GCE=90°， ∴G、F、C、E四点共圆， ∴∠FGC=∠FEC，∠FEG=∠FCG=45°， ∴FG=FE， 作HF⊥CF交CG于H，则∠CFH=∠GFE=90°，FC=FH， ∴∠GFH=∠EFC， 在△GFH和△EFC中： 107 ∴△GFH≌△EFC(AAS)， ∴GH=CE． ∵3DF=5EF， ∴3DF=5FG=5BD， ∴∠tan∠DFB= = ， ∴tan∠CGE= =tan∠CFE=∠tan∠DFB= ， 设CE=GH=3x,则CG=5x,所以CH=2x, 108 ∵CF=1， ∴CH= ， ∴2x= ， ∴x= ， ∴CG=5x= ， ∵tan∠CAG= =tan∠FBG=∠tan∠DFB= ， ∴CA= CG= ． 109 31.如图，在△ABC中，∠C=60°，点D、E分别为边BC、AC上的点，连接DE，过点E作EF∥BC交AB于F，若BC=CE，CD=6，AE=8，∠EDB=2∠A，则BC= ____ ． 【解析】解：连接BE，在EC上截取EH=CD=6，作DM⊥EC于M． __ ∵CB=CE，∠C=60°， ∴△BCE是等边三角形， 16 110 ∴BE=EC，∠BEH=∠C=60°， ∵EH=CD， ∴△BEH≌△ECD， ∴∠EHB=∠EDC，BH=ED ∴∠BHC=∠BDE， ∵∠BHC=∠A+∠ABH，∠EDB=2∠A， ∴∠A=∠ABH， ∴AH=BH=8+6=14， ∴DE=BH=14， 在Rt△DCM中，∵CD=6，∠CDM=30°， ∴CM=3，DM=3 ， 111 在Rt△DEM中，EM= =13， ∴EC=3+13=16， ∴BC=EC=16， 故答案为16． 112 32.如图，在▱ABCD中，将四边形折叠，使点A落在BC边上的点E处，折痕为BF． (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)连接AC，若CD=2CE，S△PCE=2，求△PAF的面积． 【解析】解：(1)由折叠可知，AB=BE，AF=EF，∠1=∠2 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，即AF∥BE， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴AB=AF， 113 ∴AB=BE=AF=EF， ∴四边形ABCF是菱形； (2)在平行四边形ABCD中，CD=AB， ∵CD=2CE，AF=AB， ∴AF=2CE， ∵AF∥CE， ∴△PCE∽△PAF， ∴ =( )2= ， ∴S△PAF=4×2=8． 114 33.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE=45°． (1)求证：△ABD∽△DCE； (2)若AB=2，BD=1，求CE的长． 【解析】解：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠C=45°， 又因为∠DEC=∠ADE+∠CAD=45°+∠CAD(三角形的外角等于不相邻的两个内角之和)， 同理∠ADB=∠C+∠CAD=45°+∠CAD， ∴∠DEC=∠ADB， 115 又∠ABD=∠DCE=45°， ∴△ABD∽△DCE； (2)∵AB=2， ∴BC=2 ， ∵△ABD∽△DCE， ∴ = ， 即 = ， = ，CE= - ． 116 34.已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、DB交于点E，点F在BC的延长线上，联结EF、DF，且∠DEF=∠ADC． (1)求证： ； (2)如果BD2=2AD•DF，求证：平行四边形ABCD是矩形． 【解析】解：(1)证明：∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC，AB∥DC ∴∠BAD+∠ADC=180°， 117 又∵∠BEF+∠DEF=180°， ∴∠BAD+∠ADC=∠BEF+∠DEF， ∵∠DEF=∠ADC， ∴∠BAD=∠BEF， ∵AD∥BC， ∴∠EBF=∠ADB， ∴△ADB∽△EBF， ∴ ； (2)∵△ADB∽△EBF， ∴ ， 118 在平行四边形ABCD中，BE=ED= BD， ∴AD•BF=BD•BE= BD2， ∴BD2=2AD•BF， 又∵BD2=2AD•DF， ∴BF=DF， ∴△DBF是等腰三角形， ∵BE=DE， ∴FE⊥BD， 即∠DEF=90°， ∴∠ADC=∠DEF=90°， 119 ∴平行四边形ABCD是矩形． 120 35.如图，已知A、B两点的坐标分别为(40，0)和(0，30)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒． (1)求t=15时，△PEF的面积； (2)直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t,使得△PEF的面积等于160(平方单位)？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 121 (3)当t为何值时，△EOP与△BOA相似． 【解析】解：(1)∵EF∥OA， ∴∠BEF=∠BOA 又∵∠B=∠B， ∴△BEF∽△BOA， ∴ ， 当t=15时，OE=BE=15，OA=40，OB=30， ∴ ， 122 ∴S△PEF= EF•OE= (平方单位)； (2)∵△BEF∽△BOA， ∴ ， ∴ ， 整理，得t2-30t+240=0， ∵Δ=302-4×1×240=-60＜0， ∴方程没有实数根． ∴不存在使得△PEF的面积等于160(平方单位)的t值； (3)当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA， 123 ∴ ，即 ， 解得t=12； 当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB， ∴ ，即 ， 解得 ． ∴当t=12或 时，△EOP与△BOA相似． 124 36.如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，求证：(1)△ABD∽△ECA；(2)BC2=DB•CE． 【解析】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∠DAE=120°， ∴∠DAB+∠CAE=60°， ∵∠ABC是△ABD的外角， ∴∠DAB+∠D=∠ABC=60°， ∴∠CAE=∠D， ∵∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠ABD=∠ACE=120°， ∴△ABD∽△ECA； 125 (2)∵△ABD∽△ECA， ∴ = ，即AB•AC=BD•CE， ∵AB=AC=BC， ∴BC2=BD•CE． 126 37.如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连接CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F． (1)证明：△AEF∽△DCE． (2)若AB=4，AE=6，AD=14，求线段AF的长． 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A=D=90°． ∵CE⊥EF， ∴∠AEF+∠DEC=90°． 又∵∠F+∠AEF=90°， 127 ∴∠F=∠DEC． ∴△AEF∽△DCE． (2)解：∵四边形ABCD为矩形， ∴DC=AB=4． ∵AE=6，AD=14， ∴DE=AD-AE=8． ∵△AEF∽△DCE， ∴ = ，即 = = ， ∴AF=12． 128 38.如图，过△ABC内一点M作各边的平行线与各边分别交于D，E，F，G，L，N各点．求证： + + =2． 【解析】证明：根据题意，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC ∴ = ； ∵△BFG∽△BAC ∴ = ；(3分) 129 ∵AFML是平行四边形， ∴LM=AF；同理，MN=BD； 则 = ，∴ + + = = =2． 130 39.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E在BC的延长线，连接AE分别交BD、CD于点G、F，且 = ． (1)求证：AB∥CD； (2)若BC2=GD•BD，BG=GE，求证：四边形ABCD是菱形． 【解析】证明：(1)∵AD∥BE， ∴ = ， 131 ∵ = ∴ = ， ∴AB∥CD． (2)∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD， ∵BC2=GD•BD， ∴AD2=GD•BD， 即 = ， 132 又∵∠ADG=∠BDA， ∴△ADG∽△BDA， ∴∠DAG=∠ABD， ∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC， ∵AD∥BC， ∴∠DAG=∠E， ∵BG=GE， ∴∠DBC=∠E， ∴∠BDC=∠DBC， ∴BC=CD， 133 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形． 134 40.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE=2EB，AD=2，BC=5，EF∥DC，交BC于点F，连接AF． (1)求CF的长； (2)若∠BFE=∠FAB，求AB的长． 【解析】解：(1)作AG∥CD交BC于点G， ∵AD∥BC， ∴四边形AGCD是平行四边形， ∴GC=AD， ∵AD=2， ∴GC=2， 135 ∵BC=5， ∴BG=BC-GC=5-2=3， ∵EF∥DC，AG∥CD， ∴EF∥AG， ∴ ， ∴ ， ∵AE=2EB， ∴ ， 136 ∴ ， ∵BG=3， ∴FG=2， ∴CF=FG+GC=2+2=4； (2)∵∠BFE=∠FAB，∠B=∠B， ∴△BFE∽△BAF， ∴ ， ∴AB•BE=BF2， ∴AB• AB=BF2， 137 ∵BF=BC-FG=5-4=1， ∴AB= ． 138 41.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm,AD=30cm. (1)求证：△AEH∽△ABC； (2)求这个正方形的边长与周长． 【解析】解：(1)∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥BC， ∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C， ∴△AEH∽△ABC； (2)如图，设AD与EH交于点M， 139 ∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°， ∴四边形EFDM是矩形， ∴EF=DM， 设正方形EFGH的边长为x,则DM=x,AM=30-x, ∵△AEH∽△ABC， ∴ = ，即 = ， 解得x= ， ∴正方形EFGH的边长为 cm,周长为 cm. 140 42.在△ABC中，∠ACB=45°．点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． (1)如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论． (2)如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．(1)中结论是否成立，为什么？ 141 (3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC= ，BC=3，CD=x,求线段CP的长．(用含x的式子表示) 【解析】解：(1)CF与BD位置关系是垂直； 证明如下： ∵AB=AC，∠ACB=45°， ∴∠ABC=45°． 由正方形ADEF得AD=AF， ∵∠DAF=∠BAC=90°， ∴∠DAB=∠FAC， ∴△DAB≌△FAC(SAS)， 142 ∴∠ACF=∠ABD． ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°． ∴CF⊥BC． ∴CF⊥BD． (2)AB＞AC时，CF⊥BD的结论成立． 理由是： 过点A作GA⊥AC交BC于点G， ∵∠ACB=45°， ∴∠AGD=45°， ∴AC=AG， 同理可证：△GAD≌△CAF 143 ∴∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°， 即CF⊥BD． (3)过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， ①点D在线段BC上运动时， ∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4． ∴DQ=4-x,△AQD∽△DCP， ∴ ， ∴ ， 144 ∴ ． ②点D在线段BC延长线上运动时， ∵∠BCA=45°， ∴AQ=CQ=4， ∴DQ=4+x. 过A作AQ⊥BC， ∵CF⊥BD， ∴∠P+∠PDC=90°， ∵∠PDC+∠ADQ=90°， ∴∠ADQ=∠P， 145 ∵∠Q=∠PCD=90°， ∴△AQD∽△DCP， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 146 43.证明：只存在唯一一个三角形，它的三边长为三个连续的正整数，并且它的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍． 【解析】证明：如图，在△ABC中，设∠A=2∠B，且三边长分别为a,b,c. 延长CA到点D，使AD=AB=c,则CD=b+c,由∠A=2∠B，知∠ABC=∠D． 从而，△ABC∽△BDC，故 ，即 于是，a2=b(b+c)① 当a＞c＞b时，设a=n+1，c=n,b=n-1，代入①式， 147 解得，n=5． 此时，a=6，b=5，c=4； 当c＞a＞b时，设c=n+1，a=n,b=n-1，解得，n=2． 此时，a=2，b=1，c=3，不能构成三角形； 同理，当a＞b＞c时，可得，n2-3n-1=0，n不是整数，舍去． 综上所述，满足条件的三角形只有一个，其三边长为4，5，6． 148 五．相似三角形的应用 149 44.大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm,像距为15cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm,则蜡烛火焰的高度是( ____ )cm. A. B.6 C C. D.8 150 【解析】解：如图：过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F， ______ 由题意得： OE=15cm,CD=8cm,AB∥CD， 151 ∴OF⊥AB， ∴OF=10cm, ∵AB∥CD， ∴∠A=∠C，∠B=∠D， ∴△ABO∽△CDO， ∴ = ， ∴ = ， 解得：AB= ，∴蜡烛火焰的高度是 cm, 故选：C． 152 45.如图，在△ABC中，AB=AC=4，AF⊥BC于点F，BH⊥AC于点H．交AF于点G，点D在直线AF上运动，BD=DE，∠BDE=135°，∠ABH=45°，当AE取最小值时，BE的长为　　． 【解析】解：如图，连接CG，CE． 153 ___ ∵BH⊥AC， ∴∠BHA=90°， ∵∠ABH=45°， ∴∠BAC=45°， 154 ∵AB=AC，AF⊥BC， ∴∠BAF=∠CAF=22.5°，BF=CF， ∴GB=GC， ∴∠BGF=∠CGF=67.5°， ∴∠GBF=∠GCF=22.5°， ∵DB=DE，∠BDE=135°， ∴∠DBE=∠DEB=22.5°， ∴∠DBE=∠GBC=∠DEB=∠GCF， ∴△DBE∽△GBC， ∴ = ， 155 ∴ = ， ∵∠DBG=∠EBC， ∴△DBG∽△EBC， ∴∠BGD=∠BCE=112.5°， ∵∠ACB=67.5°， ∴∠ACE=45°， ∴点E的运动轨迹是直线EC， ∴当AE⊥EC时，AE的值最小，最小值= AC=2 ， 此时∠BAE=90°，BE= = =2 ， 故答案为2 ． 156 46.疫情期间，小红在家里在图1所示的平板支架上网课，图2是她观看网课的侧面示意图，已知平板宽度AB=20cm,支架底板宽度CD=AB，支撑角∠ABC=60°，支撑板CE=BE=6cm,小红坐在距离支架底板20cm处观看(即DF=20cm)，Q点是AB中点．当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于 　　cm；当落在屏幕中点的视线与屏幕构成的夹角(指锐角或直角)不小于75°时，能使观看平板视频的效果最佳，为保证最佳的观看效果，小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差等于 　　cm. 157 ______ 【解析】解：如图，延长PQ交FC延长线于点M， 158 _____ 由题意可知：PM⊥AB，∠ABC=60°， ∴∠QMB=30°， ∵Q点是AB中点． ∴QB= AB=10cm, ∴BM=2QB=20cm,QM= QB=10 cm, 159 ∵CE=BE=6cm,∠ABC=60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴BC=6cm, ∴BD=CD-BC=20-6=14cm, ∴FM=BM+BD+DF=20+14+20=54(cm)， ∴PF= FM=18 (cm)， ∴当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于18 cm, ∴PM=2PF=36 cm, 160 ∴PQ=PM-QM=36 -10 =26 (cm)， 当∠P′QB=75°时，P′F得最小高度，如图，延长P′Q交FC延长线于点N， ∴∠N+∠QBN=∠P′QB， ∴∠N=75°-60°=15°， ∵∠QMB=30°， ∴∠MQN=15°， ∴∠MQN=∠N=15°， ∴MQ=MN=10 cm, ∴FN=FM+MN=(54+10 )cm, 161 如图，过点Q作QH⊥BM于点H， _____ 设OH=x cm,则QM=MN=2x cm,MH= x cm, ∴NH=MN+MH=(2x+ x)cm, ∴tan15°= = ， 162 ∴tan15°= =2- ， ∴P′F=(2- )(54+10 )=(78-34 )cm, ∴PP′=PF-P′F=18 -(78-34 )=(52 -78)cm. 故答案为：18 ；(52 -78)cm. 163 47.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件如图，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． (1)求证：△AEF∽△ABC； (2)求这个正方形零件的边长． 【解析】(1)证明：∵四边形EFHG是正方形， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC． (2)解：设这个正方形零件的边长是xmm, 164 ∵EF∥BC， ∴ = ， ∴ = ， 解得x=48 答：这个正方形零件的边长是48mm. 165 六．位似变换 166 48.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中 ，则△ABC与△DEF的面积比是( ____ ) A.2：3 B.4：6 C.4：9 D.16：25 【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心， ∴AC∥DF， ∴△OAB∽△ODE， C 167 ∴ ， ∴ = = ， 故选：C． 168 七．作图−位似变换 169 49.在如图小正方形的边长均为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上． (1)以点O为位似中心画△ABC的位似图形△A1B1C1，位似比为1：2． (2)在(1)中所画得图形中，△ABC的中线CD与△A1B1C1的中线C1D1的位置关系为 _____ ． 【解析】解：(1)如图，△A1B1C1或△A′1B′1C′1即为所求； 平行 170 ___ (2)△ABC的中线CD与△A1B1C1的中线C1D1的位置关系为平行． 故答案为：平行． 171 50.已知，△ABC在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度)． (1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 _________ ； (2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ________ ； (3)若M(a,b)为线段AC上任一点，写出点M的对应点M2的坐标 _________________ ． (2，-2) (1，0) (2a-3，2b-4) 172 【解析】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求，点C1的坐标是：(2，-2)； 故答案为：(2，-2)； (2)如图所示：△A2BC2，即为所求，点C2的坐标是：(1，0)； 故答案为：(1，0)； (3)若M(a,b)为线段AC上任一点， 则点M的对应点M2的坐标为：(2a-3，2b-4)． 故答案为：(2a-3，2b-4)． 173 $$