第2章 一元二次方程 中档题拓展训练★★【9个考点50题专练】课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第2章 一元二次方程 中档题拓展训练★★ 【9个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版 数学九年级上册 1 一．一元二次方程的一般形式 二．一元二次方程的解 三．解一元二次方程 四．解一元二次方程 五．根的判别式 六．根与系数的关系 七．由实际问题抽象出一元二次方程 八．一元二次方程的应用 九．配方法的应用 2 一．一元二次方程的一般形式 3 1.将一元二次方程2x2=3x-1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为( ____ ) A.2，3 B.3，1 C.2x2，-3x D.2，-3 【解析】解：∵2x2=3x-1， ∴2x2-3x+1=0， ∴二次项系数和一次项系数分别为2，-3， 故选：D． D 4 二．一元二次方程的解 5 2.若a是方程x2+x-1=0的根，则3a2+3a+2024的值为( ____ ) A.2021 B.2024 C.2027 D.2030 【解析】解：∵a是方程x2+x-1=0的根， ∴a2+a-1=0， ∴a2+a=1， ∴3a2+3a+2024=3(a2+a)+2024=3×1+2024=2027， 故选：C． C 6 三．解一元二次方程 7 3.用配方法解一元二次方程x2-6x+1=0，此方程可化为( ____ ) A.(x-3)2=8 B.(x+3)2=8 C.(x+3)2=3 D.(x-3)2=3 【解析】解：x2-6x+1=0， x2-6x=-1， x2-6x+9=-1+9，即(x-3)2=8， 故选：A． A 8 四．解一元二次方程 9 4.解方程： (1)2x2-8=0； (2)x2-4x-32=0． 【解析】解：(1)2x2-8=0， 移项得：2x2=8， 变形得：x2=4， ∴x1=2，x2=-2； (2)x2-4x-32=0， (x+4)(x-8)=0， x+4=0或x-8=0， 10 ∴x1=-4，x2=8． 11 5.解方程： (1)x2-4x-8=0； (2)y(y-3)+2y-6=0． 【解析】解：(1)∵x2-4x-8=0， ∴x2-4x=8， 则x2-4x+4=8+4，即(x-2)2=12， ∴x-2=±2 ， ∴x1=2+2 ，x2=2-2 ； (2)∵y(y-3)+2y-6=0， ∴y(y-3)+2(y-3)=0， 12 ∴(y-3)(y+2)=0， ∴y-3=0或y+2=0， 解得y1=3，y2=-2． 13 6.解方程：(x-2)(x-5)=10． 【解析】解：(x-2)(x-5)=10， x2-7x+10=10， x2-7x=0， x(x-7)=0， ∴x=0或x-7=0， ∴x1=0，x2=7． 14 五．根的判别式 15 7.若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为( ____ ) A.1 B.-1 C.4 D.-4 【解析】解：根据题意得Δ=22-4m=0， 解得m=1， 即m的值为1， 故选：A． A 16 8.已知关于x的一元二次方程(k-2)x2-2kx+k+1=0有实数根，则实数k的取值范围是( ____ ) A.k＞-2 B.k≥-2 C.k≥-2且k≠2 D.k＞-2且k≠2 【解析】解：由题意得，Δ=(-2k)2-4(k-2)×(k+1)≥0且k-2≠0， 解得k≥-2且k≠2． 故选：C． C 17 9.对于实数a,b定义运算“⊗”为a⊗b=b2-ab,例如：3⊗2=22-3×2=-2，则关于x的方程(k-3)⊗x=k-2的根的情况，下列说法正确的为( ____ ) A.有两个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 【解析】解：∵a⊗b=b2-ab, ∴(k-3)⊗x=k-2可化为x2-(k-3)x-k+2=0， ∵Δ=[-(k-3)]2-4×(-k+2)=k2-2k+1=(k-1)2≥0， ∴原方程有两个实数根，故选：A． A 18 10.若关于x的一元二次方程x2-4x+3m-2=0无实数根，则m的取值范围是( ____ ) A.m≤2 B.m≥2 C.m＜2 D.m＞2 【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2-4x+3m-2=0无实数根， ∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4(3m-2)=16-12m+8＜0， 解得：m＞2． 故选：D． D 19 11.若关于x的方程mx2-2x+1=0有实数根，则下列m的值中，不符合要求的是( ____ ) A.2 B.1 C.0 D.-1 【解析】解：当m=2时，Δ=(-2)2-4×2=-4，Δ＜0，没有实数根，故A符合题意； 当m=2时，Δ=(-2)2-4×1=0，Δ=0，有实数根，故B不符合题意； 当m=0时，原方程为：-2x+1=0，它是一元一次方程，有一个实数根， A 20 故C不符合题意； 当m=-1时，Δ=(-2)2-4×(-1)=8，Δ＞0，有实数根，故D不符合题意， 故选：A． 21 12.若关于x的一元二次方程2x2-4x+k=0没有实数根，则k的取值范围为( ____ ) A.k＜2 B.k＞2 C.k＞4 D.k≥2 【解析】解：根据方程没有实数根，得到Δ=b2-4ac=16-8k＜0， 解得：k＞2． ∴实数k的取值范围是：k＞2． 故选：B． B 22 13.定义运算：a☆b=a2b-2ab-1，例如：4☆5=42×5-2×4×5-1．方程x☆3=0的根的情况( ____ ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 【解析】解：由新定义得3x2-6x-1=0， ∵Δ=(-6)2-4×3×(-1)=48＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． B 23 14.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2=0的根的情况为( ____ ) A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 【解析】解：由题意得，Δ=(2m)2-4m2=4m2-4m2=0， ∴关于x的一元二次方程x2+2mx+m2=0有两个相等的实数根， 故选：C． C 24 15.定义新运算：m*n=m2-mn-3，例如：2*3=22-2×3-3=-5．则关于x的一元二次方程x*a=1的根的情况是( ____ ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有实数根 D.没有实数根 【解析】解：由x*a=1得， x2-ax-3=1， 即x2-ax-4=0， 所以Δ=(-a)2-4×1×(-4)=a2+16≥16＞0， B 25 所以此方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 26 16.嘉淇在判断一元二次方程4x2-12x+m=0根的情况时，把m看成了它的相反数，得到方程有两个相等的实数根，则原方程4x2-12x+m=0根的情况是( ____ ) A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.有一个根是3 【解析】解：∵a=4，b=-12，c=-m, ∴Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×(-m)=144+16m=0， ∴m=-8， A 27 ∴原方程4x2-12x+8=0， Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×8=16＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 28 17.定义新运算：a*b=a2+4ab+1，例如：2*3=22+4×2×3+1=29．若方程x*1=m有两个相等的实数根，则m的值为 ____ ． 【解析】解：由题知， 因为x*1=m, 所以x2+4x+1=m, 即x2+4x+1-m=0． 又因为此方程有两个相等的实数根， 所以Δ=42-4×1×(1-m)=0， 解得m=-3． 故答案为：-3． -3 29 18.写一个一元二次方程，使它有两个相等的实数根：　　(写出一个即可)． 【解析】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根， ∴b2-4ac=0， ∴符合题意的一元二次方程可以为：x2+2x+1=0， 故答案为：x2+2x+1=0(答案不唯一)． 30 19.若关于x的方程(m-1)x2+2x-1=0有根，则m的取值范围是 _____ ． 【解析】解：当m-1=0，即m=1时， 原方程可化为2x-1=0， 解得x= ， 所以m=1符合题意． 当m-1≠0，即m≠1时， Δ=22-4(m-1)×(-1)≥0， 解得m≥0． 综上所述，m的取值范围是m≥0． m≥0 31 20.关于x的一元二次方程x2-4x+c=0没有实数根，则c的值可以是 _________________ (写出一个即可)． 【解析】解：因为关于x的一元二次方程x2-4x+c=0没有实数根， 所以Δ=(-4)2-4c＜0， 解得c＞4． 故答案为：5(答案不唯一)． 5(答案不唯一) 32 21.关于x的一元二次方程x2+2x=1-m有实数根，则m的取值范围是 _____ ． 【解析】解：∵方程x2+2x=1-m有实数根， ∴Δ≥0， ∴4-4×1×(m-1)≥0， ∴4-4m+4≥0， ∴m≤2， 故答案为：m≤2． m≤2 33 22.关于x的一元二次方程(k-2)x2-6x+9=0有两个实数根，则k的取值范围是 ____________ ． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程(k-2)x2-6x+9=0， ∴k-2≠0，即k≠2， ∵方程有两个实数根， ∴Δ=(-6)2-4(k-2)×9≥0， 解得k≤3， ∴k的取值范围是k≤3且k≠2， 故答案为：k≤3且k≠2． k≤3且k≠2 34 23.已知：关于x的一元二次方程(x-1)(x-2)-m2=0．求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【解析】证明：由(x-1)(x-2)-m2=0得， x2-3x+2-m2=0， ∴Δ=(-3)2-4×1×(2-m2)=4m2+1． ∵m2≥0， ∴4m2+1≥1＞0， 即Δ＞0， ∴无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 35 24.设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0，已知①b=2，c=1；②b=-2，c=-3；③b=1，c=2．请在上述三组条件中选择其中一组b,c的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 【解析】解：∵Δ=b2-4c≥0时，一元二次方程x2+bx+c=0有两个实数根， ∴当b=2，c=1时，这个方程有两个实数根 此时方程为x2+2x+1=0， 解得x1=x2=-1． 36 25.已知关于x的一元二次方程x2-6x+4-m=0． (1)若该一元二次方程有实数解，求m的取值范围；并试从-10，-8，-4三个数中，选取一个数作为m的值，求该方程的解； (2)当m=3时，原方程有一根为n,求 的值． 【解析】解：(1)∵方程x2-6x+4-m=0有实数解， ∴(-6)2-4×1×(4-m)≥0， 解得：m≥-5， ∴从-10，-8，-4三个数中，选取m=-4，该方程有实数解， 此时原方程为：x2-6x+8=0， 37 解得：x1=2，x2=4； (2)当m=3时，原方程为x2-6x+1=0， ∵这个方程的一根为n, ∴n2-6n+1=0， 显然n≠0， 将n2-6n+1=0的两边同时除以n,得：n+ =6， ∴(n+ )2=62， ∴ ，∴ =34． 38 六．根与系数的关系 39 26.已知关于x的方程2x2-3x+k=0的两根分别为x1和x2，若4x1+x2=0，则k的值为( ____ ) A. B.-2 C. D.2 【解析】解：因为关于x的方程2x2-3x+k=0的两根分别为x1和x2， 所以x1+x2= ，x1x2= ， B 40 又因为4x1+x2=0， 所以3x1+ =0， 解得x1=- ， 所以x2=2， 所以 =- ， 解得k=-2． 故选：B． 41 27.如果x1=m,x2=n是方程x2+2x-4=0的两根，则 的值为( ____ ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 【解析】解：∵x1=m,x2=n是方程x2+2x-4=0的两根， ∴m+n=-2，mn=-4， ∴ ． 故选：C． C 42 28.已知方程x2-2x-4=0的两根分别为x1，x2，则式子(x1+1)(x2+1)的值等于( ____ ) A.-1 B.0 C.3 D.7 【解析】解：∵方程x2-2x-4=0的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2=2，x1•x2=-4， ∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-4+2+1=-1． 故选：A． A 43 29.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根之积是n,则关于t的方程a(t+1)2+b(t+1)+c=0的两根之积是( ____ ) A.n+m-1 B.n+m+1 C.n-m+1 D.n-m-1 【解析】解：把方程a(t+1)2+b(t+1)+c=0看作关于t+1的一元二次方程， 设关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2，则方程a(t+1)2+b(t+1)+c=0的两根为t1=x1-1，t2=x2-1， ∵关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根之积是n, C 44 ∴x1+x2=m,x1x2=n, ∴t1t2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=n-m+1． 故选：C． 45 30.若方程x2+3x-1=0的两根为x1，x2，则 的值为 ____ ． 【解析】解：∵方程x2+3x-1=0的两根为x1，x2， ∴x1+x2=-3，x1x2=-1， ∴ ， 故答案为：3． 3 46 31.若a,β是方程x2-2x-5=0的两个根，则α-αβ+β的值为 ____ ． 【解析】解：∵a,β是方程x2-2x-5=0的两个根， ∴α+β=2，αβ=-5， ∴α-αβ+β =α+β-αβ =2+5 =7． 故答案为：7． 7 47 32.若a,b是方程x2+2x-4=0的两个根，则代数式a2+3a+b= ____ ． 【解析】解：∵a,b是方程x2+2x-4=0的两个根， ∴a2+2a=4，a+b=-2， ∴a2+3a+b =(a2+2a)+(a+b) =4-2 =2． 故答案为：2． 2 48 33.若关于x的一元二次方程2x2+3x-k=0的两根为x1，x2，当k取到最小整数时，此时代数式x1•x2的值为 　　． 【解析】解：∵方程有两个实数根， ∴根的判别式Δ=b2-4ac=9+8k≥0， 解得k≥- ， ∴k取到的最小整数为-1， ∴方程为2x2+3x+1=0， ∴x1•x2= ．故答案为： ． 49 34.关于x的一元二次方程x2+3x+c=0的一个根为-2，则另一个根为 ____ ． 【解析】解：设一元二次方程x2+3x+c=0的另一个根为a, ∵关于x的一元二次方程x2+3x+c=0的一个根为-2， ∴-2+a=-3， 解得a=-1， 故答案为：-1． -1 50 35.已知关于x的一元二次方程x2+2mx-20=0的一个根是-5，则它的另一个根是 ____ ． 【解析】解：由方程x2+2mx-20=0得， 此方程的两根之积为： ， 又因为方程的一个根是-5， 所以(-20)÷(-5)=4， 即方程的另一个根为4． 故答案为：4． 4 51 七．由实际问题抽象出一元二次方程 52 36.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排3天，每天安排12场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( ____ ) A. B. C.x(x+1)=3×12 D.x(x-1)=3×12 【解析】解：根据题意得： x(x-1)=3×12．故选：B． B 53 37.据初步统计，合肥园博园自2023年9月26日开园至12月26日，累计接待游客约632万人，第1个月接待游客约为105万人，如果每月比上周增长的百分数为相同的x,则可列方程为( ____ ) A.105+105(1+x)+105(1+2x)=632 B.105(1+x)2=632 C.105+105(1+x)+105(1+x)2=632 D.1+(1+x)+(1+x)2=632 【解析】解：根据题意，得2+2(1+x)+2(1+x)2=7.5． 故选：C． C 54 八．一元二次方程的应用 55 38.三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程(正根)的几何解法，以方程x2+2x-35=0即x(x+2)=35为例说明，记载的方法是：构造如下图，大正方形的面积是(x+x+2)2．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x=5．则在下面四个构图中(网格中每个小正方形边长为1个单位)，能正确说明方程：x2-x-6=0解法的构图是( ____ ) A.___ C 56 【解析】解：方程x2-x-6=0，即x(x-1)=6的拼图如图所示： ___ 中间小正方形的边长为x-(x-1)=1其面积为1， 大正方形的面积：(x+x-1)2=4x(x-1)+1=4×6+1=25，其边长为5， 因此，C选项所表示的图形符合题意， 故选：C． 57 39.如图，要建一个面积为150m2的长方形花园ABCD，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道墙，另三边用栅栏围成，BC边留有2m的门EF，如果栅栏的长为33m. (1)若墙足够长，则花园的长和宽各为多少？ (2)若给定墙长为a m,请直接写出围成的花园只有一种围法时，a的取值范围是 ___________ ． 【解析】解：(1)设垂直于墙的边长为x m,则平行于墙的边长为(33-2x+2)m, 依题意得：x(33-2x+2)=150， 15≤a＜20 58 整理得：2x2-35x+150=0， 解得：x1=7.5，x2=10， ∴35-2x=20或35-2x=15． 答：花园的长为20m或15m,宽为7.5m或10m. (2)当a＜15时，不能围成花园，题目无解； 当15≤a＜20时，围成的花园只有一种围法，题目只有一个解； 当a≥20时，围成的花园有二种围法，题目有两个解； 综上所述，当15≤a＜20时，围成的花园只有一种围法， 即a的取值范围是15≤a＜20， 故答案为：15≤a＜20． 59 40.新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形． (1)验证：矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形，其中矩形ABCD的长为12、宽为2，矩形EFGH的长为4、宽为3． (2)探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由． 【解析】(1)证明：∵矩形EFGH的周长为：2×(4+3)=14， 矩形ABCD的周长为：2×(12+2)=28， ∴矩形EFGH的周长= 矩形ABCD的周长； ∵矩形EFGH的面积为：4×3=12， 60 矩形ABCD的面积为：2×12=24， ∴矩形EFGH的面积= 矩形ABCD的面积； ∴矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形． (2)解：该矩形不存在“减半”矩形，理由如下： 若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为m,n(m＞n)， ∵原矩形的长和宽分别为2，1， ∴ ， ， 由①得： ， 61 将 代入②得： ， 即 ， ∵ ， ∴ 无实数根， ∴该矩形不存在“减半”矩形． 62 41.近几年随着网购的流行，实体经济受到严重影响，但商家为了确保利润，不会轻易降价销售．友谊商店在2021年至2023年期间销售一种礼盒．2021年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2023年，这种礼盒的进价比2021年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2021年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒． (1)2021年这种礼盒的进价是多少元/盒？ (2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？ 【解析】解：(1)设2021年这种礼盒的进价是x元/盒，则2023年这种礼盒的进价是(x-11)元/盒， 63 依题意，得： = ， 解得：x=35， 经检验，x=35是原方程的解，且符合题意． 答：2021年这种礼盒的进价是35元/盒． (2)2021年及2023年购进这种礼盒的数量为3500÷35=100(盒)． 设该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为y, 依题意，得：(60-35)×100(1+y)2=(60-35+11)×100， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去)． 答：该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为20%． 64 42.某海鲜排档购进一批大龙虾和海胆，它们的进货单价之和是360元．大龙虾零售单价比进货单价多40元，海胆零售单价比进货单价的1.5倍少60元，按零售单价购买大龙虾2只和海胆4个，共需要1200元． (1)求大龙虾和海胆的进货单价； (2)该海鲜排档平均每天卖出大龙虾20只和海胆12个．经调查发现，大龙虾零售单价每降低1元，平均每天就可多售出大龙虾2只，海鲜排档决定把大龙虾的零售单价下降a(a＞0)元，海胆的零售单价和销量都不变，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元？ 【解析】解：(1)设大龙虾进货单价为x元，海胆的进货单价为y元， 65 依题意有： ， 解得： ， 答：大龙虾进货单价为200元，海胆的进货单价为160元； (2)依题意有(20+2a)(40-a)+12×(1.5×160-60-160)=1490， 解得a=15． 故当a为15时，海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元． 66 43.超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．若该商品每天销售利润为1200元，问每件商品可降价多少元？ 【解析】解：设每件商品降价x元，则每件盈利(40-x)元，平均每天销售数量为(20+2x)件， 依题意得：(40-x)(20+2x)=1200， 整理得x2-30x+200=0， 解得x1=10，x2=20． 当x=10时，40-x=30(元)， 67 30＞25，符合题意； 当x=20时，40-x=20(元)， 20＜25，不符合题意，舍去． 答：每件商品可降价10元． 68 44.“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间满足如图所示的函数关系． (1)求每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围) (2)物价部门规定， 69 该防护品每件的利润不许高于进货价的50%．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元？ 【解析】解：(1)由图象可知每月销售量y(件)与售价x(元)之间为一次函数关系，设其函数关系式为y=kx+b(k≠0，x≥50)， 将(60，600)，(80，400)代入，得： ， 解得： ， ∴每月销售y(件)与售价x(元)的函数关系式为y=-10x+1200； (2)由题意得： 70 10000=(-10x+1200)(x-50)， 解得x=70或100， ∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的50%， ∴x≤50×(1+50%)，即x≤75， ∴x=70， ∴售价定为70元可获得利润是10000元． 71 45.探究不同长方形周长与面积的关系 一项目化情境与问题 某学习小组在一次参观画展时，一同学发现作品甲的边框是长方形，它的长、宽、周长C和面积S分别如图1所示． 根据以上，这个同学提出一个有趣问题，任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 ，即对于任意一个长方形A，是否一定存在长方形B，使得 72 成立？ 二项目支架与探究 为了进一步深入探究提出的问题，小组成员对任务进行了如下分解，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论． 73 探究1 研究特殊情况 小组成员研究过后得知一定存在长方形乙的使得 设长方形乙的长为x,宽为y,请你通过计算完成图2的填空： _____ 74 探究2 研究特殊情况 不妨考虑图2所示的长方形乙，探究是否存在长方形丙使得 成立？若存在，请求出长方形丙的长和宽．若不存在，请说明理由． 三项目成果 长方形A的长为m,宽为1(m＞1)，若一定存在长方形B，使得 成立，请直接写出m的最小值． 【解析】解：探究1：C甲=56，S甲=96， 75 ∴C乙=28，S乙=48， ∵设长方形乙的长为x,宽为y, ∴2(x+y)=28，xy=48， ∴x+y=14，即x=14-y, 代入xy=48得：(14-y)y=48， 解得y=6或y=8(不合题意，舍去)， ∴x=8； 探究2：要使 = = 成立， 则C丙= = =14，S丙= = =24， 76 设长方形丙两条邻边长分别为a和7-a, S丙=a•(7-a)=-a2+7a=24， Δ=b2-4ac=72-4×(-1)×(-24)=-47＜0， ∴方程无解， ∴不存在； 三、设长方形B的两边长分别为c,d 则： ， 消去d得：2c2-(m+1)c+m=0， 77 ∴Δ=b2-4ac=[-(m+1)]2-4×2×m≥0， 解得m≤3-2 或m≥3+2 ， ∵m＞1， ∴m的最小值为3+2 ． 78 九．配方法的应用 79 46.若M=x2-4xy+4y2+2x-4y+3，则M的最小值为 ____ ． 【解析】解：M=(x-2y)2+2(x-2y)+3=(x-2y+1)2+2≥2， 故答案为：2． 2 80 47.配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成a2+b2(a,b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为5=12+22，所以5是“完美数”．已知34是“完美数”，请将它写成a2+b2(a,b为整数)的形式 　　；若S=x2+9y2+2x-12y+k(x,y是整数，k是常数)，且为“完美数”，则k=　　． 【解析】解：∵34=25+9=52+32， 81 ∴34写成a2+b2(a,b为整数)的形式为52+32； ∵S=x2+9y2+2x-12y+k=(x+1)2+(3y-2)2+k-5，且为“完美数”， ∴k-5=0， ∴k=5； 故答案为：52+32；5． 82 48.在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母x的二次三项式2x2+bx+c(b、c是常数)配成2(x-m)2-3(m是常数)的形式，则b+c的最小值是 ____ ． 【解析】解：∵2(x-m)2-3=2x2-4mx+2m2-3， ∴b=-4m,c=2m2-3， ∴b+c=2m2-4m-3=2(m2-2m- )=2(m-1)2-5， 当m-1=0时，有最小值， 即b+c=-5， 故答案为：-5． -5 83 49.“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式2x2+4x-6的最小值． 原式=2x2+4x-6=2(x2+2x)-6=2(x2+2x+1-1)-6=2(x+1)2-8． ∵(x+1)2≥0，∴2(x+1)2≥0， ∴2(x+1)2-8≥-8． 可知当x=-1时2x2+4x-6有最小值是-8． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)当x= ____ 时，代数式x2-6x+14有最小值是 ____ ； 3 5 84 (2)当多项式m2-2mn+n2-4m+4n+25有最小值时，求m与n之间的关系式，并求出这个最小值； (3)在长方形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．当P，Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设△QPD的面积为S，时间为x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值． 【解析】解：(1)x2-6x+14=x2-6x+9+5=(x-3)2+5， ∵(x-3)2≥0， ∴(x-3)2+5≥5， 85 ∴当x=3时，代数式x2-6x+14有最小值是5， 故答案为：3，5； (2)m2-2mn+n2-4m+4n+25=(m-n)2-4(m-n)+4+21=(m-n-2)2+21， ∵(m-n-2)2≥0， ∴(m-n-2)2+21≥21， ∴当m-n=2时，多项式m2-2mn+n2-4m+4n+25有最小值是21； (3)____， 由题意得，AQ=x,BP=x,则BQ=3-x,CP=4-x, 86 S△QPD=S长方形ABCD-S△ADQ-S△QBP-S△CDP=3×4- ×x×4- ×(3-x)×x- ×3×(4-x)= x2-2x+6= (x2-4x)+6= (x2-4x+4)+4= (x-2)2+4，即S= (x-2)2+4， ∵(x-2)2≥0， ∴ (x-2)2≥0， ∴ (x-2)2+4≥4， ∴当x=2时，S有最小值是4． 87 50.将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求a2-4a+3的最小值． 解：x2-4a+3=a2-4a+22-22+3=(a-2)2-1， 因为不论a取何值，(a-2)2总是非负数，即(a-2)2≥0，所以(a-2)2-1＞-1， 所以当a=2时，a2-4a+3有最小值-1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)求式子-a2-4a-6的最大值； (2)若M=2a2-5a+1，N=3a2-a+7，比较M、N的大小(写出比较过程)； 88 (3)若等腰三角形的两边a,b满足a2+b2-6a-14b+58=0，求这个三角形的周长． 【解析】解：(1)-a2-4a-6=-(a2+4a+4)-2=-(a+2)2-2． ∵-(a+2)2≤0， ∴-(a+2)2-2≤-2， ∴当a=-2时，-a2-4a-6有最大值-2． (2)∵M=2a2-5a+1，N=3a2-a+7， ∴M-N=2a2-5a+1-(3a2-a+7)=-a2-4a-6． 由(1)可得-a2-4a-6≤-2＜0， ∴M-N＜0， 89 ∴M＜N． (3)∵a2+b2-6a-14b+58=0， ∴a2-6a+9+b2-14b+49=0， ∴(a-3)2+(b-7)2=0， ∴a=3，b=7． ∵a,b是等腰三角形的两边，且3+3＜7， ∴等腰三角形的三边分别为3、7、7， ∴这个等腰三角形的周长为3+7+7=17． 90 $$