第1章 特殊的平行四边形 中档题拓展训练★★【9个考点50题专练】课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第1章 特殊的平行四边形 中档题拓展训练★★ 【9个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版 数学九年级上册 1 一．菱形的性质 二．菱形的判定 三．菱形的判定与性质 四．矩形的性质 五．矩形的判定 六．矩形的判定与性质 七．正方形的性质 八．正方形的判定 九．正方形的判定与性质 2 一．菱形的性质 3 1.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为(0，4)、(-2，0)，则点D的坐标为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：∵点A、B的坐标分别为(0，4)、(-2，0)， ∴OB=2，OA=4， A 4 ∴AB= = =2 ， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=2 ，AD∥BC， ∴点D坐标为(2 ，4)， 故选：A． 5 2.如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列结论：①DA=DE；②∠ABC=2∠E；③∠EAC=90°；④BD=CE．其中正确的个数是( ____ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠ABC=2∠ABD，AC⊥BD， ∵AE∥BD， C 6 ∴四边形ABCD是平行四边形，AE⊥AC， ∴AB=DE，∠EAC=90°，∠E=∠ABD， ∴DE=AB=AD，∠ABC=2∠E， 故①②③是正确的， ∵在Rt△AEC中，EC＞AE，AE=BD， ∴EC＞BD，故④错误， 故选：C． 7 3.点E在菱形ABCD的AB边上，点F在CD边上，分别连接DE，BF．下列条件不能判定四边形DEBF是平行四边形的是( ____ ) A.DE=BF B.AE=CF C.BE=DF D.DE∥BF 【解析】解：∵点E在菱形ABCD的AB边上，点F在CD边上， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴BE∥DF， ∴当BE=DF时，四边形DEBF是平行四边形， A 8 当DE∥DF时，四边形DEBF是平行四边形， 当AE=CF时，则BE=DF，则四边形DEBF是平行四边形， 故选：A． 9 4.如图，在菱形ABCD中， ，∠ADC=120°，以A为圆心AD为半径画弧，过点D作DE⊥AB于点E，则图中阴影部分的面积为 　　． 【解析】解：菱形ABCD中，∠ADC=120°， ∴CD∥AB，AD=AB， ∴∠A=60°， ， ∵DE⊥AB， ∴∠ADE=30°， ∴ ， ， 10 ∴S阴影=S扇形DAB-S△ADE = = ， 故答案为： ． 11 5.如图，四边形ABCD为菱形，顶点A、B在x轴上，AB=5，点C在第一象限，且菱形ABCD的面积为20，A坐标为(-2，0)，则顶点C的坐标为 ________ ． 【解析】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为E， ∵S菱形ABCD=20， ∴AB•CE=20，即5CE=20， ∴CE=4， 在Rt△BCE中，BC=AB=5，CE=4， ∴BE=3， ∴AE=AB+BE=5+3=8． (6，4) 12 又∵A(-2，0)， ∴OA=2， ∴OE=AE-OA=8-2=6， ∴C(6，4)， 故答案为：(6，4) 13 6.如图，菱形ABCD中，F是CD上一动点，过F作FG⊥AC交BC于点G，垂足为E，连结AF，AG． (1)求证：AF=AG． (2)当∠DAB=100°，AF=AD时，试求∠AFG的度数． 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ACD=∠ACB， ∵FG⊥AC， ∴∠CEF=∠CEG=90°， ∴∠CFE+∠ACD=90°，∠CGE+∠ACB=90°， ∴∠CFE=∠CGE， 14 ∴CF=CG， 在△ACF和△ACG中， ， ∴△ACF≌△ACG(SAS)， ∴AF=AG； (2)解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，∠DAC=∠BAC= ∠DAB= ×100°=50°， ∴∠ADF=180°-∠DAB=80°， 15 ∵AD=AF， ∴∠D=∠AFD=80°， ∴∠FAC=∠DAC-∠DAF=50°-20°=30°， ∵△ACF≌△ACG， ∴∠CAF=∠GAC=30°， ∴∠FAG=60°， ∵AF=AG， ∴△AFG是等边三角形， ∴∠AFG=60°． 16 二．菱形的判定 17 7.如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，添加下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是( ____ ) A.AB=BC B.AC⊥BD C.AC平分∠DAB D.AC=BD 【解析】解：当AB=BC或AC⊥BD时，均可判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A、B不符合题意； ∵AC平分∠DAB， D 18 ∴∠BAC=∠DAC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC=∠DCA， ∴∠DAC=∠DCA， ∴CD=AD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意； 当AC=BD时，可判定平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 19 8.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( ____ ) A.BC=CD B.AB=AC C.AC⊥BD D.∠ABD=∠CBD 【解析】解：∵四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， B 20 添加BC=CD，能判定四边形ABCD为菱形； 添加AB=AC，不能判定四边形ABCD为菱形； 添加AC⊥BD，能判定四边形ABCD为菱形； 添加∠ABD=∠CBD，能判定四边形ABCD为菱形； 故选：B． 21 三．菱形的判定与性质 22 9.已知，如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为8cm,B，D之间的距离为6cm,则线段AB的长为( ____ ) A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm 【解析】解：如图，连接AC，BD交于点O， A 23 ___ 由题意知，AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵两张纸条等宽， 过点A作AR⊥CD，AS⊥BC于点R，S， ∴AR=AS． ∵AR•BC=AS•CD， ∴BC=CD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 24 ∴AC⊥BD． 在Rt△AOB中，OA=3cm,OB=4cm, ∴AB= =5(cm)． 故选：A． 25 10.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，D之间的距离为5cm,点A，C之间的距离为6cm,则四边形ABCD的面积为 　　． 【解析】解：连接AC、BD，设交点为O，由题意，AD=5cm,AC=6cm, ___ ∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 设两张等宽的纸条的宽为h cm, 26 则S菱形ABCD=AB•h=AD•h, ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ，OD=OB， ∴ ，则BD=2OD=8cm, ∴ ， 故答案为：24cm2． 27 11.如图，已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，AE平分∠CAB，分别交BC，CD于点E，G，EF⊥AB于点F，连结GF． (1)求证：四边形CEFG是菱形； (2)若DG=4，BE=9，求△ABC的面积． 【解析】(1)证明：∵AE平分∠CAB，∠ACE=90°，EF⊥AB， ∴CE=EF，∠EAF=∠EAC， ∵CD是斜边AB上的高线， ∴∠CGE=∠AGD=90°-∠GAD， ∵∠CEG=90°-∠CAE， 28 ∴∠CGE=∠CEG， ∴CG=CE， ∴CG=EF， ∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴CD∥EF， ∵CG=EF， ∴四边形CEFG是平行四边形， ∵CE=EF， ∴四边形CEFG是菱形； (2)解：由(1)得CD∥EF， ∴△BEF∽△BCD， 29 ∴ ， 设CG=GF=EF=CE=x, 则 ， 解得：x=6， ∴BC=9+6=15， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，∴ ． 30 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB． (1)证明：四边形ADCE是菱形； (2)若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的面积． (计算结果保留根号) 【解析】(1)证明：∵AE∥CD，CE∥AB， ∴四边形ADCE是平行四边形， 又∵∠ACB=90°，D是AB的中点， ∴CD= AB=BD=AD， ∴平行四边形ADCE是菱形； 31 (2)解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示： DF即为菱形ADCE的高， ∵∠B=60°，CD=BD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6， ∵CE∥AB， ∴∠DCE=∠BDC=60°， 又∵CD=BC=6， 在Rt△CDF中，DF=CDsin60°=6× =3 ， ∴菱形ADCE的面积为6×3 =18 ． 32 13.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若 ，BD=2，求OE的长． 【解析】(1)证明：∵AB∥DC， ∴∠OAB=∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠OAB=∠DAC， 33 ∴∠DCA=∠DAC， ∴CD=AD=AB， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD=AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； (2)解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，BD⊥AC， ∵CE⊥AB， ∴OE=OA=OC， ∵BD=2， 34 ∴ ， 在Rt△AOB中， ，OB=1， ∴ ， ∴OE=OA=2． 35 14.课本再现 思考我们知道，菱形的对角线互相垂直，反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理证明 ________ (1)为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图①)， 36 并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在▱ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O． 求证：▱ABCD是菱形． 定理应用 (2)已知：如图②，AB⊥AC，AF∥BC，点E为BC的中点，且AF=BE． 求证：四边形AECF是菱形． 【解析】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC， ∵AC⊥BD， ∴AB=CB， 37 ∴▱ABCD是菱形． (2)如图②，∵AF∥BC，AF=BC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AB∥EF， ∵AB⊥AC， ∴AC⊥EF， ∴平行四边形AECF是菱形． 38 四．矩形的性质 39 15.两个矩形的位置如图所示，若∠1=m°，则∠2的度数为( ____ ) A.(m-90)° B.(90-m)° C.(m-45)° D.(180-m)° 【解析】解：由题意得：∠3=(180-m)°， ∵∠4+∠3=90°，∠2+∠4=90°， ∴∠2=∠3， ∴∠2=(180-m)°．故选：D． D 40 16.如图，点E为矩形ABCD的边BC上的一点，作DF⊥AE于点F，且满足DF=AB．下面结论：①△DEF≌△DEC；②S△ABE=S△ADF；③AF=AB；④BE=AF．其中正确的结论是( ____ ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠ABE=90°，AD∥BC，AB=CD， C 41 ∵DF=AB， ∴DF=CD， ∵DF⊥AE， ∴∠DFA=∠DFE=90°， 在Rt△DEF和Rt△DEC中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△DEC(HL)，①正确； ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠DAF， 在△ABE和△DFA中， 42 ， ∴△ABE≌△DFA(AAS)， ∴S△ABE=S△ADF；②正确； ∴BE=AF，④正确，③不正确； 故选：C． 43 17.矩形不一定具备的性质是( ____ ) A.对边相等 B.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 【解析】解：A、矩形的对边相等，故A选项不符合题意； B、∵矩形的四个角都是直角， ∴对角相等，故B选项不符合题意； C、矩形的对角线相等，故C选项不符合题意； D、矩形的对角线平分、相等，故D选项符合题意；故选：D． D 44 18.如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C′，若∠ADC′=40°，则∠BDC的度数为( ____ ) A.25° B.40° C.50° D.65° 【解析】解：由折叠的性质，得∠BDC=∠BDC′， 则∠ADB=∠BDC′-∠ADC′=∠BDC-40°， ∵∠ADB+∠BDC=90°， D 45 ∴∠BDC-40°+∠BDC=90°， 解得∠BDC=65°． 故选：D． 46 19.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，若矩形对角线长为4，则线段AD的长度为( ____ ) A. B.4 C. D.3 【解析】解：在矩形ABCD中，AC=BD，∠BAD=90°， ∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴OA=OD， C 47 ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形，则∠ABO=60°， 在Rt△ABD中，∠ABO=60°，则∠ADB=30°， ∵矩形对角线长为4， ∴ ， 在Rt△ABD中，由勾股定理可得 ， 故选：C． 48 20.如图，在矩形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，则 的值为 　　． 【解析】解：连接BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， ∵M，N分别为BC，CD的中点， ∴MN是△CDB是中位线， ∴ ，∴ ， 故答案为： ． 49 21.如图，∠EOF=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OE，OF上，当点B在边OF上运动时，点A随之在OE上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=10，BC=3，运动过程中，点D到点O的最大距离是 　　． 【解析】解：如图，取AB的中点M，连接OM、DM、OD， 50 ___ ∵OD≤OM+DM， ∴当O、D、M三点共线时，点D到点O的距离最大， ∵矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=10，AD=BC=3， ∴ ， ∴ ， 51 ∴点D到点O的最大距离是 ， 故答案为： ． 52 22.如图，在矩形ABCD中，BC=4，∠BDC的平分线交BC于点P，作点P关于BD的对称点P′，若点P′落在矩形ABCD的边上，则AB的长为 　　． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=∠A=90°，AD=BC=4， ∵PD平分∠BDC， ∴∠CDP=∠BDP， ∵作点P关于BD的对称点P′，若点P′落在矩形ABCD的边上， ∴∠ADB=∠BDP， ∴∠ADB=∠BDP=∠CDP= 90°=30°， 53 ∴BD=2AB， ∵BD2-AB2=AD2， ∴(2AB)2-AB2=42， ∴AB= ， 如图当P′落在AB上时，四边形ABCD是正方形，此时AB=BC=4． ___ 54 综上所述，AB的长为 或4． 故答案为： 或4． 55 23.定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”． (1)当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为 ____ 度； (2)如图，在沙漏四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，满足AB+CD=BD，且AB⊥BD，过点B、D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足为E、F，连接DE、BF，所得四边形BEDF也是沙漏四边形．若BE=1，求BC的长以及△BFC的面积． 【解析】(1)如图矩形ABCD是沙漏四边形， 60 56 _____ 设AC=2x=AC+CD=x+x, ∴∠DAC=30°， ∴∠ACD=60°， ∴∠DOC=60°， ∴两条对角线的夹角是60°； (2)证明：∵AB⊥BD， ∴∠ABO=90°， ∵四边形ABCD是沙漏四边形， 57 ∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD ∵AB+CD=BD=OB+OD， ∴AB=OB=OD=CD， ∵AB∥CD，∠ABO=90°， ∴∠ABO=∠CDO=90°， ∵BE⊥AO，DF⊥OC，AB=OB=OD=CD， ∴∠BEO=∠DFO=90°，∠EBO=∠FDO=45°， ， ， ∴∠EBO=∠EOB=∠FDO=∠FOD=45°， ∵四边形BEDF是沙漏四边形， 58 ∴OE=OF=BE， ∴BE=EO=OF=CF=1， ∴EC=3BE=3， 在Rt△BEC中，BC2=BE2+EC2=12+32=10， ∴ ， . 59 五．矩形的判定 60 24.下列说法正确的是( ____ ) A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相平分的四边形是菱形 【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：C． C 61 25.如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点F，使得CF=CD，连接AF，BF，AC，若AD=AF，求证：四边形ABFC是矩形． 【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC， ∵CF=CD， ∴CF=AB， ∴四边形ABFC是平行四边形， ∵AD=AF， ∴BC=AF，∴平行四边形ABFC是矩形． 62 26.如图，△ABC中，AB=AC=10，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点． (1)求DE的长； (2)求证：四边形DEFG为矩形． 【解析】(1)解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∵E点是AB的中点， ∴DE= AB= ×10=5， 即DE的长为5； 63 (2)证明：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴点D是BC的中点． ∵E点是AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线． ∴DE∥AC， ∵DG⊥AC，EF⊥AC， ∴EF∥DG． ∴四边形DEFG是平行四边形． 又∵∠EFG=90°， ∴平行四边形DEFG为矩形． 64 27.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG． (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． 【解析】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC， ∴∠ABE=∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， 65 ∴BE= OB，DF= OD， ∴BE=DF， 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS)； (2)解：当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下： ∵AC=2OA，AC=2AB， ∴AB=OA， 66 ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG=90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， ∵EG=AE，OA=OC， ∴OE是△ACG的中位线， ∴OE∥CG， ∴EF∥CG， ∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG=90°， ∴四边形EGCF是矩形． 67 六．矩形的判定与性质 68 28.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P是AB边上的一个动点(异于A，B两点)，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足分别为M，N，则MN最小值是 　　． 【解析】解：如图，连接PC． ____ 在△ABC中，∵∠C=90°，AC=4，BC=3， ∴ ， 69 ∵PM⊥AC，PN⊥BC， ∴∠PMC=∠PNC=∠C=90°， ∴四边形PMCN是矩形， ∴MN=PC， ∴当PC⊥AB时，PC的值最小， ∴ ∴ ， ∴MN最小值是 ，故答案为： ． 70 29.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P为斜边BC上的一个动点，过P分别作PE⊥AB于点E，作PF⊥AC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为 　　． 【解析】解：连接AP，如图1所示： ____ ∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC， 71 ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF=AP， ∵点P为斜边BC上的一个动点， ∴线段EF的最小值为线段AP的最小值，由点P到直线BC的距离中垂线段最短，过A作AP⊥BC，如图2所示： ____ 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，则由勾股定理可得 72 ， ∴由等面积法可得 ，即3×4=5AP，解得 ， 故答案为： ． 73 30.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点D作DE∥AC，且DE= AC，连接CE，BE．若AC=10，BD=12，则BE的长为 ____ ． 【解析】解：连接BE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC= AC，AD=CD， ∵DE∥AC且DE= AC， ∴DE=OA=OC， 13 74 ∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形OCED是矩形； ∴∠BDE=90°，DE=OC= ， ∴BE= = =13， 故答案为：13． 75 31.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，E为CD的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ=2，则线段AP+QE的最小值为 　　． 【解析】解：取AB中点F，连接EF，延长AB到G使BG=AB，连接PG，作PK∥QE交FE于K， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AB∥CD，AB=CD，BC=AD=10， ∴BC垂直平分AG， ∴PG=PA， ∵E是CD中点，F是AB中点， 76 ∴BF= AB，CE= CD， ∴BF=CE， ∵BF∥CE，∠FBC=90°， ∴四边形BCEF是矩形， ∴EF∥BC，EF=BC=10， ∵PK∥QE， ∴四边形OQEK是平行四边形， ∴PK=QE，KE=PQ=2， ∴KF=EF-KE=10-2=8， ∵BF= AB= ×6=3， 77 ∴FG=BF+BG=3+6=9， ∴KG= = ， ∵PK+PG≥GK= ， ∴PA+QE≥ ， ∴线段AP+QE的最小值为 ． 故答案为： ． 78 32.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠DBC=90°，点E在CB的延长线上，且EB=BC，连接AE、DE． (1)求证：四边形AEBD是矩形； (2)若CD=10，CB=6，则四边形OBCD的面积为 ____ ． 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵EB=BC， ∴AD=EB， ∴四边形AEBD是平行四边形， 36 79 ∵∠DBC=90°， ∴∠DBE=90° ∴四边形AEBD是矩形； (2)解：∵四边形AEBD是矩形， ∴AD∥BE，AD=BE， ∵EB=BC=6， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=10， ∵∠DBC=∠DBE=90°， ∴BD= =8， 80 ∴四边形OBCD的面积=S△OBD+S△DBC= ×矩形AEBD的面积+S△DBC= × =36， 故答案为：36． 81 33.阅读与思考 请阅读下列材料，完成相应的任务． ×年×月×日星期日 只用卷尺也能判断矩形 今天，我在一本数学课外丛书上看到这样一个有趣的问题，工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺(有刻度)测量两组对边的长度是否分别相等；其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？已知在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AC=BD． 求证：四边形ABCD是矩形． 82 证明：…． ________ 任务：(1)上述做法是依据了矩形的一个判定定理： ___________________________________ ； (2)补全材料中的证明过程； (3)利用卷尺(有刻度)能否用另外一种方法判定四边形是矩形？(写出简要的测量方法) 【解析】(1)解：工人师傅测量对边长度相等， 对角线相等的平行四边形是矩形 83 是为了确保它的形状是平行四边形；再测量它的对角线相等，就确保了它是矩形．这里主要依据了矩形的一个判定定理，即对角线相等的平行四边形是矩形； 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形； (2)证明：∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形． (3)解：工人师傅利用卷尺测量对边长度相等，是为了确保它的形状是平行四边形；然后再量一下对角线的长度，两条临边的平方和等于对角线的平方时，就确保了它是矩形(有一个角是直角的平行四边形为矩形) 84 ． 85 34.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． (1)求证：四边形OEFG是矩形； (2)若AD=10，EF=4，求OE和BO的长． 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴OB=OD， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， 86 ∵OG∥EF， ∴四边形OEFG为平行四边形， ∵EF⊥AB， ∴∠EFG=90°， ∴平行四边形OEFG为矩形； (2)解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=10， 由(1)得：OE为△ABD的中位线， ∴OE= AB= ×10=5， ∵点E为AD的中点， 87 ∴AE= AD= ×10=5， 由(1)可知，四边形OEFG是矩形， ∴∠EFG=∠AFE=∠OGB=90°，OG=EF=4，FG=OE=5， ∴AF= = =3， ∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2， ∴BO= = =2 ． 88 七．正方形的性质 89 35.如图，在矩形ABCD中，无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则矩形ABCD中空白部分的较短的边长为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：(1)∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2， ∴它们的边长分别为 =4(cm)， =2 (cm)， D 90 ∴矩形ABCD中空白部分的较短的边长为(4-2 )cm, 故选：D． 91 36.如图，正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD延长线上一点，BE=DF，连接AE，AF，EF，G为EF中点，连接AG，DG．若∠BAE=α，则∠DGF=( ____ ) A. B.30°-α C.45°-α D.α 【解析】解：如图，连接CG， D 92 __ ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠ADC=90°=∠ADF， 在△ABE和△ADF中， ， 93 ∴△ABE≌△ADF(SAS)， ∴AE=AF，∠BEA=∠DAF， ∵∠BAE+∠DAE=90°， ∴∠DAF+∠DAE=90°，即∠EAF=90°， ∴△EAF为等腰直角三角形， ∴∠AEF=∠AFE=45°， 又∵G为EF的中点， ∴AG=EG=FG=CG， 在△ADG和△CDG中， 94 ， ∴△ADG≌△CDG(SSS)， ∴∠ADG=∠CDG=45°， ∵∠BAE=α， ∴∠DAF=α，∠AFD=90°-α，∠DFG=∠AFD-∠AFE=90°-α-45°=45°-α， 又∵∠CDG=∠DFG+∠DGF， ∴∠DGF=45°-(45°-α)=α． 故选：D． 95 37.如图，四边形ABCD、四边形AECF分别是菱形与正方形．若∠BAE=22°，则∠D=( ____ ) A.46° B.56° C.57° D.67° 【解析】解：连接AC，则AC为正方形AECF与菱形ABCD的对角线， ∴∠EAC=∠FAC=45°，∠BAC=∠DAC， ∴∠BAE=∠DAF=22°， A 96 ∵AD=DC， ∴∠DAC=∠DCA=45°+22°=67°， ∴∠D=180°-67°×2=46°． 故选：A． 97 38.如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，BC，AD上，连接BD，DE，FG，若DE=GF，且∠BDE=α，则∠BFG=( ____ ) A.45°-α B.2α C.2α-45° D.45°+α 【解析】解：过A作AM∥GF交DE于N，交BC于M， D 98 ___， ∵正方形ABCD， ∴AD∥BC，∠DAB=∠ABM=90°，AD=AB，∠ABD=45°， ∴四边形AMFG是平行四边形， ∴GF=AM， 又DE=GF， ∴AM=DE， 99 ∴Rt△ADE≌Rt△BAM(HL)， ∴∠AED=∠AMB=45°+α， ∵AM∥GF， ∴∠BFG=∠AMB=45°+α， 故选：D． 100 39.如图，正方形ABCD的顶点B的坐标为(0，3)， ，则点D的坐标为( ____ ) A.(2，5) B.(5，2) C.(3，5) D.(5，3) 【解析】解：由正方形ABCD的顶点B的坐标为(0，3)， ， 得OC= =2， 作DE⊥x轴， B 101 得△DCE≌△CBO(AAS)， 得CE=OB=3，DE=CO=2， 得EO=2+3=5， 得点D的坐标为(5，2)． 故选：B． ___ 102 40.正方形ABCD的边长是6，点E是DC边延长线上一点，连接EB，EA，过点A作AF⊥AC，交EB的延长线于点F， ，则AF的长为 　　． 【解析】解：过点F作FG⊥AB于点G，如图所示： _____ ∵四边形ABCD为正方形，且边长为6， ∴AB=BC=CD=AD=6，∠D=∠BCD=90°，∠CAB=45°，AB∥CD， 103 设CE=a,则DE=CE+CD=a+6， 在Rt△BCE中，BC=6，CE=a, 由勾股定理得：BE2=BC2+CE2=62+a2， 在Rt△ADE中，DE=a+6，AD=6， 由勾股定理得：AE2=AD2+DE2=62+(a+6)2， ∵AE= BE， ∴AE2=2BE2， ∵62+(a+6)2=2(62+a2)， 整理得：a2-12a=0， 解得：a1=12，a2=0(不合题意，舍去) ∴CE=a=12， 104 ∵AF⊥AC，∠CAB=45°， ∴∠FAG=45°， ∴△AFG为等腰直角三角形， 设AG=b,则FG=b,BG=AB-AG=6-b, ∵AB∥CD， ∴∠FBG=∠BEC， 又∵∠FGB=∠BCE=90°， ∴△FBG∽△BEC， ∴FG：BC=BG：CE， 即b：6=(6-b)：12， 解得：b=2， 105 ∴AG=FG=2， 在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF= = ． 故答案为： ． 106 41.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AB上运动(不与点A、B重合)，∠DAM=45°，点F在射线AM上，且 ，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠DCF+∠BCE=45°；② ；③BE2+DG2=EG2；④△EAF面积的最大值为 ，其中正确结论的序号为 _____ ． 【解析】解：如图1：在BC上截取BH=BE，连接EH， ①②④ 107 __ ∵∠EBH=90°， ∵ ， ， ∴AF=EH， ∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°， ∴∠FAE=∠EHC=135°， ∵BA=BC，BE=BH， 108 ∴AE=HC， ∴△FAE≌△EHC(SAS)， ∴EF=EC，∠AEF=∠ECH， ∴∠ECH+∠CEB=90°， ∴∠AEF+∠CEB=90°， ∴∠FEC=90°， ∴∠ECF=∠EFC=45°， ∴∠BCE+∠DCF=90°-45°=45°， ，故①②正确； 如图2，延长AD到H，使得DH=BE， 109 ___ 在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDH=90°， ∴△CBE≌△CDH(SAS)， ∴∠ECB=∠DCH，CE=CH， ∴∠ECH=∠BCD=90°， ∴∠ECG=∠GCH=45°， ∵CG=CG， 110 ∴△GCE≌△GCH(SAS)， ∴EG=GH， ∵GH=DG+DH，DH=BE， ∴EG=BE+DG；故③错误， 设BE=BH=x,则AE=CH=2-x, ， ∴S△AEF=S△EHC=2x(2-x)=-1x2+x, ∵ ， ∴ 时，△AEF的面积的最大值为 ；故④正确， 故答案为：①②④． 111 42.如图①，将三个边长为1的正方形并排放在直线l上．两侧正方形不动，把中间的正方形抽出并重新摆放，形成一个轴对称图形，如图②，则中间正方形的中心O到直线l的距离为 　　． 【解析】解：如图，过点O作OG⊥l于点G，连接AB，CD，CD交OG于点K， _____ 由题意可知AH=BH=CD=KG=1，且OG⊥CD，OG⊥AB， 112 ∴AB= ，AB∥CD，OH= ， ∴△CHD∽△AHB， ∴ ，即KH= = ， ∴OK=OH-KH= ， ∴OG=OK+KG= ，即O到直线l的距离为 ． 故答案为： ． 113 43.如图，点E是正方形ABCD中BC边的中点，∠GED=45°，则AG：GD=　　． 【解析】解：过点G作GF⊥BC于F，作GH⊥DE于H，如下图所示： ___ 设AG=x,CE=a,DH=y, ∵E为BC的中点，则BE=CE=a,BC=2CE=2a, ∵四边形ABCD为正方形， 114 ∴AB=BC=CD=AD=2a,∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°， ∴四边形ABFG为矩形， ∴AB=GF=2a,AG=BF=x,则EF=BE-BF=a-x, 在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE= = ， ∴∠GED=45°，GH⊥DE， ∴△EGH为等腰直角三角形， ∴GH=EH， ∵∠C=∠ADC=90°，GH⊥DE， ∴∠GHD=∠C=90°，∠DGH+∠GDH=90°，∠GDH+∠EDC=90°， ∴∠DGH=∠EDC， ∴△GDH∽△DEC， 115 ∴DH：CE=GH：CD， 即y：a=GH：2a, ∴GH=2y, ∴EH=GH=2y, ∴DE=DH+EH=3y, ∴3y= ， ∴y= ， 在Rt△GEH中，由勾股定理得：EG2=GH2+EH2=8y2， ∴EG2= ， 116 在Rt△GRF中，由勾股定理得：EG2=GF2+EF2=(2a)2+(a-x)2， ∴ =(2a)2+(a-x)2， 整理得：(a-x)2= ， ∵a-x＞0，a＞0，x＞0， ∴a-x= ， ∴x= ， 即AG=x= ， 117 ∴GD=AD-AG= ， AG：GD= ： = ． 故答案为： ． 118 44.如图，在边长为6的正方形ABCD内部存在一动点P，且满足PD=AD，连接PB，PC，则 的最大值是 ____ ． 【解析】解：由点P始终满足PD=AD， 得点P的轨迹是以点D为圆心，AD的长为半径的圆(在正方形内部部分)， 延长BP交⊙D于点E，连接EC． ∵CD⊥BC，且CD=AD=PD， ∴CB与⊙D相切，可知∠PCB=∠BEC． 又∵∠PBC=∠EBC， ∴△CPB∽△ECB， 2 119 ∴ ． ∵BC的长为定值6， ∴EC要取得最大值，即EC为直径时，可取得最大值12， ∴ 的最大值为 ，即 的最大值是2， 故答案为：2． ___ 120 45.附加题：点P在AB延长边上，且∠APO=30°．连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与BC的延长线相交于点N，连CM，若AB=2，求CM的长(不必写出计算结果，简述求CM长的过程)． ______ 【解析】解：如图，根据题意画出图形，过点O作OF⊥AB于点F，过点M作ME⊥BN于点E， 121 ___ ∵四边形ABCD和四边形OPMN均为正方形， ∴AB=BC，OB=OC，∠BOC=90°，OP=ON=MN，∠PON=90°， ∴∠BOP+∠POC=∠CON+∠POC， ∴∠BOP=∠CON， 在△BOP和△CON中， 122 ， ∴△BOP≌△CON(SAS)， ∴BP=CN，∠BPO=∠CNO， ∴∠POF=∠MNE， 在△POF和△MNE中， ， ∴△POF≌△MNE(AAS)， 123 ∴OF=NE，FP=EM， ∵AB=2， ∴OF=AF=BF=1， 在Rt△POF中，∠OPF=30°， ∴OP=2，FP= ， ∴BP=FP-BF= =CN，EM=FP= ，NE=OF=1， ∴CE=EN-CN=1- = ， 在Rt△CME中，CM= = = ． 124 46.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E是线段OB上的点(不与O、B重合)，过点D作DF⊥CE，交BC于点H． (1)求证：OE=OG； (2)若CE平分∠BCO，AB=2，求BE的长． 【解析】(1)证明：由正方形ABCD，DF⊥CE， 得OD=OC，DO⊥CO， 得∠ODG+∠DGO=90°，∠ODG+∠CFO=90°， 得∠DGO=∠CFO， 得△DGO=≌△CFO(AAS)， 125 得OE=OG； (2)作EM⊥BC， 由CE平分∠BCO， 得EM=OE=x, 由∠EBM=45°， 得EB= EM= x, 由AB=2， 得OB= ，即x+ x= ， 得x=2- 得BE=2 -2． 126 八．正方形的判定 127 47.如图，已知▱ABCD的四个内角的平分线分别交于点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状是( ____ ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【解析】解：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD∥BC，AB∥DC， 则∠DAB+∠ABC=180°，∠DAB+∠ABC=90°，∠DAB+∠ABC=90°， 因为AE、BG、CG、DE分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠ B 128 ADC的角平分线， 所以 ， ， 所以 ， ， 在△ABH中， ， 即∠GHE=∠AHB=90°； 在△BCG中， 129 ， 即∠BGC=90°； 在△CDF中， ， 即∠GFE=∠CFD=90°； 所以四边形EFGH是矩形， 故选：B． 130 48.如图，在▱ABCD中，下列结论中错误的是( ____ ) A.当AB=BC时，它是菱形 B.当AC平分∠BAD时，它是菱形 C.当OA=OB时，它是矩形 D.当AC=BD时，它是正方形 【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，说法正确，不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， D 131 ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC， ∴∠BAC=∠ACB， ∴AB=BC， ∴它是菱形，不符合题意； C、平行四边形ABCD，当OA=OB时，它是矩形，说法正确，不符合题意； D、平行四边形ABCD，当AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形，符合题意； 故选：D． 132 49.如图，这是嘉嘉同学答的试卷，嘉嘉同学应得(　　) 班级八(1)班 姓名嘉嘉 得分______ 判断下列各题，对的打“√”，错的打“×”． 每题20分，共100分． (1)若 有意义，则x＞3．(√) (2)矩形的对角线互相垂直平分．(√) (3)平行四边形是轴对称图形．(√) (4)一个直角三角形的两边长分别是5和12，则第三边长为13．(√) (5)对角线相等的菱形是正方形．(√) A.20分 B.40分 133 C.60分 D.80分 【解析】解：(1)根据算术平方根的意义得：若 有意义，则x-3≥0， 解得：x≥3， 故(1)的解答不正确，得0分； (2)∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴(2)的解答不正确，得0分； (3)∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形， ∴(3)的解答不正确，得0分； 134 (4)∵一个直角三角形的两边长分别是5和12， ∴有以下两种情况： ①当5和12是直角边时，则第三边的长为： =13； ②当5是直角边，12是斜边时，则第三边的长为： = ， 综上所述：一个直角三角形的两边长分别是5和12，则第三边长为13或 ． ∴(4)的解答不正确；得0分； (5)∵对角线相等的菱形是正方形， 故(5)的解答正确，得20分，综上所述：嘉嘉的得分是20分． 故选：A． 135 九．正方形的判定与性质 136 50.如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为点E，F．求证：四边形PEBF是正方形． 【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，∠DBC=∠ABD=45°， ∵PE⊥AB，PF⊥BC， ∴∠PEB=∠PFB=∠EBF=90°， ∴四边形PEBF是矩形， ∵∠FBP=∠FPB=45°， ∴FB=FP，∴四边形PEBF是正方形． 137 $$