专题05 用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常考题型归类（80题）-2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题05 用空间向量研究直线、平面的位置关系4种 2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 常考题型归类（80题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求直线的方向向量 题型二 求平面的法向量 题型三 用空间向量证明平行问题 （一）判断直线、平面的位置关系 （二）已知直线、平面的平行关系求参数 （三）证明直线、平面的平行问题 （1）利用向量方法证明线线平行 （2）利用向量方法证明线面平行 （3）利用向量方法证明面面平行 （4）与平行有关的探索性问题 题型四 利用空间向量证明垂直问题 （一）判断直线、平面的位置关系 （二）已知直线、平面的垂直关系求参数 （三）证明直线、平面的垂直问题 （1）利用向量方法证明线线垂直 （2）利用向量方法证明线面垂直 （3）利用向量方法证明面面垂直 （4）与垂直有关的探索性问题 知识点1：用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 知识点2：平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 知识点3：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 知识点4：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 解题策略 1、理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一．（空间中一条直线的方向向量有无数个）． 2.求直线的方向向量，首先是找到直线上两点，然后用坐标表示以这两点为起点和终点的向量，该向量就是直线的一个方向向量． 3．线段中点的向量表达式：对于＝t，当t＝时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M是线段AB的中点，则＝(＋)，这就是线段AB中点的向量表达式． 4.求平面法向量的方法 ①设出平面的法向量为n＝(x，y，z)； ②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)； ③依据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 注：利用待定系数法求平面的法向量，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标． 5.求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量 （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量 （3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0 6.向量法证明两条直线平行的方法 两直线的方向向量共线时，两直线平行或共线，否则两直线相交或异面． 7.利用向量法证明平行问题的两种途径 (1)利用三角形法则、平行四边形法则和空间向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明． 8.平行关系中的探究性问题 探究点的位置时，可先设出对应点的坐标，然后根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，建立与所求点的坐标有关的方程，通过解方程可得点的坐标． 9.利用向量法证明空间中的平行、垂直可以通过建立空间直角坐标系，把要证的空间中的平行与垂直问题转化为证明空间向量之间的平行和垂直问题．破解此类题的关键点如下： ①合理建系，抓住空间几何体的结构特征，充分利用图形中的垂直关系(或在图形中构造垂直关系)建立空间直角坐标系． ②确定坐标，利用题设条件写出相关点的坐标，进而获得相关向量的坐标． ③准确运算，验证两向量平行或垂直的条件成立． ④得出结论，由运算结果说明原问题得证． 10.利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤 (1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直． (2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直． 11.向量法证明线面垂直的两种思路 (1)根据线面垂直的判定定理证明：求出直线的方向向量，在平面内找两条相交直线，并分别求出表示它们的方向向量，计算两组向量的数量积为0，得到该直线与平面内的两条相交直线都垂直． (2)法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，用向量法判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 12.证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 13.解决立体几何中探索性问题的基本方法 (1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理． (2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为(x，y,0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0,0，z)；④直线(线段)AB上的点P，可设为＝λ，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算． 题型一 求直线的方向向量 1．（2024·高二课时练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量． 2．（2024·高二课时练习）已知直线的一个方向向量为，另一个方向向量为，则________， ________. 3．（2024·广西钦州·高二校考阶段练习）已知直线的一个法向量是，则的倾斜角的大小是（    ） A． B． C． D． 4．【多选】（2024·湖北十堰·高二校联考阶段练习）如图，在正方体中，E为棱上不与，C重合的任意一点，则能作为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏常州·高二校联考期中）已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 求平面的法向量 6．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 7.（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（    ）． A． B． C． D． 8．（2024·高二课时练习）已知，则平面的一个单位法向量是（    ） A． B． C． D． 9.（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考期末）已知正方体的棱长为 1， 以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·高二课时练习）在如图所示的坐标系中，为正方体，给出下列结论： ①直线的一个方向向量为； ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为； ④平面的一个法向量为.其中正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2024·高二课时练习）在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量. 12.（2023春·高二课时练习）已知四边形是直角梯形，，平面， ， ，求平面的一个法向量． 13．（2024·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 14．（2024·全国·高三专题练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：平面BHD的一个法向量___________； 15.（2023春·高二课时练习）如图的空间直角坐标系中，垂直于正方形所在平面，与平面的所成角为，为中点，则平面的单位法向量______．（用坐标表示） 16．【多选】（2024·福建宁德·高二校联考期中）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．在方向上的投影向量是 D．平面ABC的一个法向量是 17．（2024·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知，分别是平面，的法向量，则平面，交线的方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 18．（2024·湖北·高二校联考阶段练习）已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（    ） A． B． C． D． 19．（2024·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（    ） A． B． C． D． 题型三 用空间向量证明平行问题 （1） 判断直线、平面的位置关系 20．（2024·湖北黄石·高二校考阶段练习）若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则（　　） A．l∥α或l⊂α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 21．（2024·高二单元测试）若平面与的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．无法判断 22．（2024·山东菏泽·高二统考期末）已知平面与平面是不重合的两个平面，若平面α的法向量为，且，，则平面与平面的位置关系是________. 23．（2024·陕西宝鸡·高二统考期末）在长方体中，，以点为坐标原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设对角面所在法向量为，则__________． 24．【多选】（2024·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（    ） A．若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．若直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．若两个不同平面，的法向量分别为，，则 D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 （二）已知直线、平面的平行关系求参数 25.（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 26．（2024·广东广州·高二广州市第九十七中学校考阶段练习）直线的方向向量是，平面的法向量，若直线平面，则______． 27．（2024·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数_______． 28．（2024·天津蓟州·高二校考期中）直线的方向向量是，平面的法向量，若直线，则___________. 29.（2023·全国·高三专题练习）在长方体中，是的中点，，且平面，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 30.【多选】（2023春·高二课时练习）在正方体中，为中点，若直线平面，则点的位置可能是（    ） A．线段中点 B．线段中点 C．线段中点 D．线段中点 31．（2024·上海·高二校联考阶段练习）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为______ 32.（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知，分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．7 （三）证明直线、平面的平行问题 （1）利用向量方法证明线线平行 33.（2023·江苏·高二专题练习）在正方体中，点在线段上，点在线段上，线段与直线和都垂直，求证：. 34.（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体中，，，，点、在棱、上，且，，点、分别为、的中点．求证：直线直线． 35.（2023·江苏·高二专题练习）已知在正四棱柱中，,，点为的中点，点F为的中点． (1)求证：且； (2)求证：． （2）利用向量方法证明线面平行 36．（2022春·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，且AB＝AC＝2，AA1＝4，AB⊥AC，M，N，P，D分别为CC1，BC，AB，的中点． 求证：PN∥面ACC1A1； 37．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为棱AB，的中点，，，. 证明：平面； 38.（2023春·高二课时练习）如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面； 39.（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面. 40．（2024·天津和平·耀华中学校考二模）如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面ABCD，，，E是PD的中点．    证明：平面PAB； 41．（2024·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． 求证：平面； 42．（2024·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.    求证：平面； 43．（2024·四川成都·校考一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点.    求证：平面； （3）利用向量方法证明面面平行 44．（2024·高二课时练习）如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上，．求证：平面平面PQR． 45．（2024·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长1，侧棱长4，AA1中点为E，CC1中点为F． 求证：平面BDE∥平面B1D1F； 46.（2023春·高二课时练习）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 47.（2022·全国·高三专题练习）在正方体中，点，分别是正方形和正方形的中心．求证： (1)平面； (2)平面； (3)平面平面． （4）与平行有关的探索性问题 48.（2023秋·高二课时练习）如图，已知空间几何体的底面是一个直角梯形，其中,,,，且底面，与底面成角．    (1)若，求该几何体的体积； (2)若垂直于，证明：； (3)在（2）的条件下，上是否存在点，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 49.（2023·全国·高三专题练习）如图，在斜三棱柱 中，已知为正三角形，四边形是菱形，，分别是，的中点，平面⊥平面. (1)求证：平面； (2)若，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 50.（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，. (1)求证：； (2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由． 51.（2022·高二课时练习）如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 题型四 利用空间向量证明垂直问题 （一）判断直线、平面的位置关系 52．（2021秋·北京·高二校考期中）直线的方向向量分别为，则（    ） A． B．∥ C．与相交不平行 D．与重合 53．（2024·北京·高二校考阶段练习）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线l和平面位置关系是（    ） A． B． C． D．不确定 54．【多选】（2024·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期末）已知为直线l的方向向量,分别为平面,的法向量（,不重合）,那么下列说法中正确的有（    ）． A． B． C． D． 55．（2024·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面的法向量分别是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 56．【多选】（2024·高二课时练习）下列命题是真命题的有(    ) A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面 B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α D．平面α经过三点，是平面α的法向量，则u+t＝1 （二）已知直线、平面的垂直关系求参数 57.（2023·全国·高三专题练习）设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 58．（2024·北京海淀·高二中央民族大学附属中学校考开学考试）已知平面的法向量为，直线的方向向量为，则下列选项中使得的是（    ） A． B． C． D． 59．（江苏省扬州市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题）已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．4 60．（2024·高二课时练习）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．若，则______． 61．（2024·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）若直线l方向向量为，平面的法向量为，且，则m为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 62.（2023秋·北京石景山·高二统考期末）已知是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 63．（2024·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（    ） A． B． C． D． 64.（2023春·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱中，侧棱长为，点，分别在上，为的中点，若，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 65.（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（    ） A． B． C． D． 66.（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，分别为，的中点，四边形是边长为1的正方形，，．点在直线上，若平面平面，则线段的长为_________． （三）证明直线、平面的垂直问题 （1）利用向量方法证明线线垂直 67.【多选】（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，若正方体边长为，则的可能取值是（   ） A． B． C． D． 68.（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：．    69.（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直棱柱中，，，分别是，，的中点．求证：； 70.（2023·四川雅安·统考模拟预测）已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，为一个顶点，，，分别是所在棱的中点．则满足直线的图形个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）利用向量方法证明线面垂直 71．（2024·高二课时练习）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC. 72.（2023春·高二课时练习）如图所示，正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点．求证：平面. 73．（2024·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，底面是等腰三角形，且，又侧棱，面对角线，点分别是棱的中点，.    证明：平面； 74．（2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）如图，在四棱台中，平面平面ABCD，底面ABCD为正方形，，.    求证：平面. （3）利用向量方法证明面面垂直 75．（2024秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期末）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，． 求证：平面平面； 76．（2024·高二课时练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA. 77．（2024·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，点E在上，． 求证：平面平面； （4）与垂直有关的探索性问题 78．（2024·江苏连云港·高二统考期中）如图，在多面体中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面．    (1)判断，，，四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边的中线上确定一点，使得平面． 79.（2023春·广东汕尾·高二陆丰市龙山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中， 平面，正方形的边长为2，是的中点． (1)求证：平面． (2)若，线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 80.（2023春·高二课时练习）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． $$专题05 用空间向量研究直线、平面的位置关系4种 2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 常考题型归类（80题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求直线的方向向量 题型二 求平面的法向量 题型三 用空间向量证明平行问题 （一）判断直线、平面的位置关系 （二）已知直线、平面的平行关系求参数 （三）证明直线、平面的平行问题 （1）利用向量方法证明线线平行 （2）利用向量方法证明线面平行 （3）利用向量方法证明面面平行 （4）与平行有关的探索性问题 题型四 利用空间向量证明垂直问题 （一）判断直线、平面的位置关系 （二）已知直线、平面的垂直关系求参数 （三）证明直线、平面的垂直问题 （1）利用向量方法证明线线垂直 （2）利用向量方法证明线面垂直 （3）利用向量方法证明面面垂直 （4）与垂直有关的探索性问题 知识点1：用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 知识点2：平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 知识点3：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 知识点4：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 解题策略 1、理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一．（空间中一条直线的方向向量有无数个）． 2.求直线的方向向量，首先是找到直线上两点，然后用坐标表示以这两点为起点和终点的向量，该向量就是直线的一个方向向量． 3．线段中点的向量表达式：对于＝t，当t＝时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M是线段AB的中点，则＝(＋)，这就是线段AB中点的向量表达式． 4.求平面法向量的方法 ①设出平面的法向量为n＝(x，y，z)； ②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)； ③依据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 注：利用待定系数法求平面的法向量，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标． 5.求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量 （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量 （3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0 6.向量法证明两条直线平行的方法 两直线的方向向量共线时，两直线平行或共线，否则两直线相交或异面． 7.利用向量法证明平行问题的两种途径 (1)利用三角形法则、平行四边形法则和空间向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明． 8.平行关系中的探究性问题 探究点的位置时，可先设出对应点的坐标，然后根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，建立与所求点的坐标有关的方程，通过解方程可得点的坐标． 9.利用向量法证明空间中的平行、垂直可以通过建立空间直角坐标系，把要证的空间中的平行与垂直问题转化为证明空间向量之间的平行和垂直问题．破解此类题的关键点如下： ①合理建系，抓住空间几何体的结构特征，充分利用图形中的垂直关系(或在图形中构造垂直关系)建立空间直角坐标系． ②确定坐标，利用题设条件写出相关点的坐标，进而获得相关向量的坐标． ③准确运算，验证两向量平行或垂直的条件成立． ④得出结论，由运算结果说明原问题得证． 10.利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤 (1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直． (2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直． 11.向量法证明线面垂直的两种思路 (1)根据线面垂直的判定定理证明：求出直线的方向向量，在平面内找两条相交直线，并分别求出表示它们的方向向量，计算两组向量的数量积为0，得到该直线与平面内的两条相交直线都垂直． (2)法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，用向量法判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 12.证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 13.解决立体几何中探索性问题的基本方法 (1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理． (2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为(x，y,0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0,0，z)；④直线(线段)AB上的点P，可设为＝λ，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算． 题型一 求直线的方向向量 1．（2024·高二课时练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量． 【答案】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据方向向量的定义可得． 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，则，， 所以即为直线PC的一个方向向量. 2．（2024·高二课时练习）已知直线的一个方向向量为，另一个方向向量为，则________， ________. 【答案】 －20 12 【分析】由直线的方向向量平行的性质即可求解. 【详解】∵直线的方向向量平行， ∴， ∴， 故答案为：；. 3．（2024·广西钦州·高二校考阶段练习）已知直线的一个法向量是，则的倾斜角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的倾斜角为，，直线的方向向量为，根据直线方向向量与法向量的关系得到得到，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， ，直线的方向向量为. 则，即，则， 又，解得， 故选：A. 4．【多选】（2024·湖北十堰·高二校联考阶段练习）如图，在正方体中，E为棱上不与，C重合的任意一点，则能作为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合立体图形，得到平行关系，从而确定答案. 【详解】因为，所以，，都可作为直线的方向向量. 故选：ABD. 5．（2024·江苏常州·高二校联考期中）已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据求解即可. 【详解】由题知：， 因为，所以，解得， 所以. 故选：A 题型二 求平面的法向量 6．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入法向量的计算公式，即可求解. 【详解】，，令法向量为，则， ，可取. 故选：A. 7.（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，即. 对A：若，由，可得：与不共线， 故不是平面的法向量，A错误； 对B：若，由，可得：与不共线， 故不是平面的法向量，B错误； 对C：若，则，即与共线， 故是平面的法向量，C正确； 对D：若，由，可得：与不共线， 故不是平面的法向量，D错误； 故选：C. 8．（2024·高二课时练习）已知，则平面的一个单位法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】待定系数法设平面的一个法向量为，由法向量的性质建立方程组解出分析即可. 【详解】设平面的一个法向量为， 又， 由， 即， 又因为单位向量的模为1，所以B选项正确， 故选：B. 9.（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考期末）已知正方体的棱长为 1， 以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即 ， 取，则， ∴平面的一个法向量为∶, 选项中的向量与不共线，D中向量符合题意， 故选︰D． 10．（2024·高二课时练习）在如图所示的坐标系中，为正方体，给出下列结论： ①直线的一个方向向量为； ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为； ④平面的一个法向量为.其中正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义判断可得答案. 【详解】设正方体的棱长为，则，，，则与平行，故直线的一个方向向量为，故①正确； 因为，，所以，因为与平行，所以直线的一个方向向量为，故②正确； 因为，，所以，因为是平面的一个法向量，且与平行，所以平面的一个法向量为，故③正确； 因为，，所以， 因为，所以与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故④不正确. 故选：C 11．（2024·高二课时练习）在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量. 【答案】(1)    (答案不唯一) (2) (答案不唯一) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解法向量； （2）利用空间向量的坐标运算求平面的法向量. 【详解】（1） 由题意，可得, 连接AC，因为底面为正方形，所以, 又因为平面，平面，所以， 且，则AC⊥平面， ∴为平面的一个法向量. (答案不唯一). （2） 设平面的一个法向量为， 则 令，得 ∴即为平面的一个法向量.(答案不唯一). 12.（2023春·高二课时练习）已知四边形是直角梯形，，平面， ， ，求平面的一个法向量． 【答案】 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz， ， 设平面SCD的一个法向量为， 则有， 是平面SCD的一个法向量． 13．（2024·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，可得、、的坐标，由此可得向量、的坐标，由此可得关于、、的方程组，利用特殊值求出、、的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设，则，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，可得，则. 故选：B． 14．（2024·全国·高三专题练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：平面BHD的一个法向量___________； 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用向量法得出平面BHD的一个法向量. 【详解】由题意可知， 则 ,.设为平面BHD的一个法向量， 则，不妨设，则. 故平面BHD的一个法向量为. 故答案为：（答案不唯一） 15.（2023春·高二课时练习）如图的空间直角坐标系中，垂直于正方形所在平面，与平面的所成角为，为中点，则平面的单位法向量______．（用坐标表示） 【答案】 【详解】如图，连接BD，因平面，则是与平面所成的角，即， 在正方形中，，而，则有， 于是得，PB中点，， 设平面的一个法向量为，则，令，得， 与共线的单位向量为， 所以平面的单位法向量. 故答案为： 16．【多选】（2024·福建宁德·高二校联考期中）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．在方向上的投影向量是 D．平面ABC的一个法向量是 【答案】BCD 【分析】A：由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在使；B：与同向的单位向量是即可判断；C：由投影向量的定义可解；D：应用平面法向量的求法求平面ABC的一个法向量，即可判断. 【详解】A：若与共线，存在使，则无解，故不共线，错误； B：与同向的单位向量是，正确； C：由， 则在方向上的投影向量是 ，正确； D：若是面ABC的一个法向量，则，令，则，正确. 故选：BCD 17．（2024·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知，分别是平面，的法向量，则平面，交线的方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面的交线都与两个平面的法向量垂直求解. 【详解】因为四个选项中，只有，， 所以平面，交线的方向向量可以是 故选：B 18．（2024·湖北·高二校联考阶段练习）已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每个选项中P点的坐标，求出的坐标，计算，根据结果是否等于0，结合线面垂直的性质，即可判断点是否在平面内. 【详解】对于选项A，，所以， 根据线面垂直的性质可知,故在平面内； 对于选项B，，则， 在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内； 对于选项C，，则， 在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内； 对于选项D，，则， 在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内； 故选：A 19．（2024·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由法向量的定义结合数量积运算确定，再判断选项. 【详解】设是平面内的一点，则， 所以，即，选项满足． 故选：B 题型三 用空间向量证明平行问题 （1） 判断直线、平面的位置关系 20．（2024·湖北黄石·高二校考阶段练习）若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则（　　） A．l∥α或l⊂α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 【答案】A 【分析】直线的一个方向向量，平面α的一个法向量为，计算数量积，即可判断出结论． 【详解】直线的一个方向向量为，平面α的一个法向量为， ，， 或， 故选：A 21．（2024·高二单元测试）若平面与的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．无法判断 【答案】A 【分析】利用平面法向量的位置关系，即可判断两平面的位置关系. 【详解】因为，是平面与的法向量， 则，所以两法向量平行，则平面与平行. 故选：A 22．（2024·山东菏泽·高二统考期末）已知平面与平面是不重合的两个平面，若平面α的法向量为，且，，则平面与平面的位置关系是________. 【答案】平行 【分析】分别计算，，可得，，从而可知，，平面，所以可得平面与平面平行. 【详解】平面α的法向量为，且，， ，， 所以，，平面， 平面的一个法向量为， 又因为平面与平面是不重合的两个平面 所以平面与平面平行. 故答案为：平行. 23．（2024·陕西宝鸡·高二统考期末）在长方体中，，以点为坐标原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设对角面所在法向量为，则__________． 【答案】 【分析】利用法向量的求法进行求解即可 【详解】由题意得，，， ，， 因为平面的法向量为，则，即， 取，则，故 故答案为： 24．【多选】（2024·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（    ） A．若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．若直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．若两个不同平面，的法向量分别为，，则 D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】ACD 【分析】利用空间向量共线定理判断A即可；由的关系式即可判断B；由的关系即可判断选项C,利用平面内法向量的性质即可判断D. 【详解】因为两条不重合直线，的方向向量分别是，， 所以，所以共线，又直线，不重合， 所以，故A正确； 因为直线的方向向量，平面的法向量是 且，所以，故B不正确； 两个不同平面，的法向量分别为，， 则有，所以，故C正确； 平面经过三点，，， 所以 又向量是平面的法向量， 所以 则，故D正确， 故选：ACD. （二）已知直线、平面的平行关系求参数 25.（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 若直线与平面平行，则，即，即，解得. 故选：C． 26．（2024·广东广州·高二广州市第九十七中学校考阶段练习）直线的方向向量是，平面的法向量，若直线平面，则______． 【答案】2 【分析】线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，即它们的数量积为零，根据数量积的坐标表示列出方程求解即可. 【详解】解：若直线平面，则， ，解得， 故答案为：2. 27．（2024·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数_______． 【答案】10 【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0列出方程，求出的值. 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直， 即，解得：. 故答案为：10 28．（2024·天津蓟州·高二校考期中）直线的方向向量是，平面的法向量，若直线，则___________. 【答案】1 【分析】结合已知条件可得，然后利用垂直向量的数量积为0即可求解. 【详解】由题意可知，， 因为，， 从而，解得. 故答案为：1. 29.（2023·全国·高三专题练习）在长方体中，是的中点，，且平面，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为原点，分别以，，的方向为，，轴为正方向建立空间直角坐标系，如图所示： 设，，， 则，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，当时，，则， 因为平面，所以， 所以，解得， 故选：B 30.【多选】（2023春·高二课时练习）在正方体中，为中点，若直线平面，则点的位置可能是（    ） A．线段中点 B．线段中点 C．线段中点 D．线段中点 【答案】ABD 【详解】 如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设的中点分别为， 不妨设棱长为2，则， ，设平面的法向量，则， 令，则，又， 则， ， 又平面，则都平行于平面，即若直线平面， 则点F的位置可能是线段中点，线段中点或线段中点. 故选：ABD. 31．（2024·上海·高二校联考阶段练习）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为______ 【答案】6 【分析】因为法向量定义，把转化为，可得k的值. 【详解】因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 又因为，所以，可得，即得. 故答案为：6. 32.（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知，分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】B 【详解】因为，分别是平面的法向量，且， 所以，即，解得 故选：B （三）证明直线、平面的平行问题 （1）利用向量方法证明线线平行 33.（2023·江苏·高二专题练习）在正方体中，点在线段上，点在线段上，线段与直线和都垂直，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)， ∴=(1，0，1)，=(-1，1，0)，设=(a，b，c)， 则即取=(1，1，-1). 易知， ∴， ∴， 即PQ∥BD1. 34.（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体中，，，，点、在棱、上，且，，点、分别为、的中点．求证：直线直线． 【答案】证明见解析. 【详解】以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系． 则、、、、、、、， 由题意知、、、， ∴，． ∴，又，不共线， ∴. 35.（2023·江苏·高二专题练习）已知在正四棱柱中，,，点为的中点，点F为的中点． (1)求证：且； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）在正四棱柱中，可以建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，． （1）由，，， 得且， 所以且． （2） ，由于，显然，故． （2）利用向量方法证明线面平行 36．（2022春·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，且AB＝AC＝2，AA1＝4，AB⊥AC，M，N，P，D分别为CC1，BC，AB，的中点． 求证：PN∥面ACC1A1； 【解析】以点A为坐标原点，AB､AC､所在直线分别为x､y､z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，． 取向量为平面的一个法向量，， ∴， ∴． 又∵平面， ∴平面． 37．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为棱AB，的中点，，，. 证明：平面； 【解析】证明：在三棱柱中，平面，，，. 所以，则，则，则如下图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 设，则 , 所以，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即， 所以，得， 又平面，所以平面； 38.（2023春·高二课时练习）如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面； 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为BC⊥CD，AD⊥平面BCD，故以C为原点，CB为x轴，CD为y轴， 过点C作DA的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设 ,， ，， ,，Q， (,,0)， ∵平面BCD的法向量可取为， 则，又平面BCD， ∴PQ平面BCD． 39.（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面. 【答案】证明见解析 【详解】如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 若，则，， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面 平面的其中一个法向量为， 所以，即， 又因为平面， 所以平面. 40．（2024·天津和平·耀华中学校考二模）如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面ABCD，，，E是PD的中点．    证明：平面PAB； 【解析】连接OC，因为，所以四边形OABC为平行四边形， 所以，所以，以OC，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，． ，，， 设平面的一个法向量为， 则，则，令，， 平面PAB的一个法向量， ，则，又平面PAB，所以平面PAB． 41．（2024·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． 求证：平面； 【解析】因为底面，， 建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得 ， 又， 可得，因为平面， 所以平面 ， 42．（2024·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.    求证：平面； 【解析】证明：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，，， ， 易知平面的一个法向量为，故， 则， 又平面，故平面． 43．（2024·四川成都·校考一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点.    求证：平面； 【解析】（1）由题意， 在矩形中，，，, ，分别是，的中点， ∴，， 在四棱锥中，面平面， 面面，， ∴面， 面，∴， 取中点，连接，由几何知识得， ∵，∴， ∵面，面， ∴面， ∴ 以、、为、、轴建立空间直角坐标系如下图所示，        ∴， ∴，面的一个法向量为， ∵， ∴平面. （3）利用向量方法证明面面平行 44．（2024·高二课时练习）如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上，．求证：平面平面PQR． 【答案】证明见解析 【分析】构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，令写出、、、，进而求面、面的法向量、，根据所得法向量的关系即可证结论. 【详解】构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示， 设，又，， ∴，，，，，， ∴，，，， 设是面的一个法向量，则，令，， 设是面的一个法向量，则，令，， ∴面、面的法向量共线，故平面平面PQR，得证. 45．（2024·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长1，侧棱长4，AA1中点为E，CC1中点为F． 求证：平面BDE∥平面B1D1F； 【解析】（1）以A为原点，AB，AD，AA1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图 则B（1，0，0），D（0，1，0），E（0，0，2），B1（1，0，4），D1（0，1，4），F（1，1，2）， ∵， ∴DE∥FB1， 平面，平面， 平面， 同理平面， ∵平面，平面，平面， ∴平面平面． 46.（2023春·高二课时练习）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【答案】证明过程见详解 【详解】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)． 所以，，，， 设是平面EFG的法向量， 则，，即，得， 令，则，，所以， 设是平面PBC的法向量， 由，，即，得， 令，则，，所以， 所以，所以平面EFG∥平面PBC． 47.（2022·全国·高三专题练习）在正方体中，点，分别是正方形和正方形的中心．求证： (1)平面； (2)平面； (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， ， 所以， 由于，所以平面. （2）设平面的法向量为， 则，故可设. ， ，平面， 所以平面. （3）， 设平面的法向量为， 则，故可设. ， 显然，平面与平面不重合，所以平面平面. （4）与平行有关的探索性问题 48.（2023秋·高二课时练习）如图，已知空间几何体的底面是一个直角梯形，其中,,,，且底面，与底面成角．    (1)若，求该几何体的体积； (2)若垂直于，证明：； (3)在（2）的条件下，上是否存在点，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在． 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，则，， ， ， 此时； （2）， ， ； （3）由，E点的竖坐标为，点的竖坐标为， 设，由，得，存在．    49.（2023·全国·高三专题练习）如图，在斜三棱柱 中，已知为正三角形，四边形是菱形，，分别是，的中点，平面⊥平面. (1)求证：平面； (2)若，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【详解】（1）在斜三棱柱 中，连接，如图， 因四边形是菱形，则，又D，E分别是AC，的中点，有，因此，， 因△ABC为正三角形，则，又平面⊥平面，平面平面，平面， 于是得平面，又平面，从而得， 而，平面， 所以平面. （2）连接，菱形中，，则是正三角形，而D是AC的中点，即有， 由(1)知，两两垂直，以D为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， 令，则， ，， 令是平面的一个法向量，则，令得， 假设在线段上存在点M，使得平面，则，令， ，因平面，则，，解得， 所以在线段上存在点M，使得平面，此时. 50.（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，. (1)求证：； (2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)在上存在点使得平面，且为的中点． 【详解】（1）因为，，，所以， 如图所示，在直三棱柱中，以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，， 所以，，即. （2）若存在点使平面，则，， ，，，， 因为平面，所以存在实数、，使成立， 则，解得， 故在上存在点使平面，此时点为中点. 51.（2022·高二课时练习）如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，为的中点. 【详解】当为的中点时，平面平面． 证明如下：设符合题意．连接，，． 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，∴平面的一个法向量为． 若平面平面，则也是平面的一个法向量． ∵， ∴，∴， 又， ∴当为的中点时，平面平面． 题型四 利用空间向量证明垂直问题 （一）判断直线、平面的位置关系 52．（2021秋·北京·高二校考期中）直线的方向向量分别为，则（    ） A． B．∥ C．与相交不平行 D．与重合 【答案】A 【分析】由题意可得，即得，从而得，即得答案. 【详解】解：因为直线的方向向量分别为， ， 所以， 即. 故选：A. 53．（2024·北京·高二校考阶段练习）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线l和平面位置关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据题意判断直线l的方向向量和平面的法向量的关系，即可判断直线l和平面位置关系. 【详解】由题意直线l的方向向量为，平面的法向量为, 可知，故, 故选：A 54．【多选】（2024·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期末）已知为直线l的方向向量,分别为平面,的法向量（,不重合）,那么下列说法中正确的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据法线面垂直平行的性质及法向量、方向向量的概念即可选出选项. 【详解】解:若,因为,不重合,所以, 若,则共线,即,故选项A正确; 若,则平面与平面所成角为直角,故, 若,则有,故选项B正确; 若,则,故选项C错误; 若,则或,故选项D错误. 故选:AB 55．（2024·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面的法向量分别是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AC 【分析】根据条件，利用方向向量､法向量的定义与性质，结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可． 【详解】解：对于，两条不重合直线，的方向向量分别是， 则，所以，即，故正确； 对于，两个不同的平面，的法向量分别是， 则，所以，故正确； 对于，直线的方向向量，平面的法向量是， 则，所以，即或，故错误； 对于，直线的方向向量，平面的法向量是， 则，所以，即，故错误． 故选：． 56．【多选】（2024·高二课时练习）下列命题是真命题的有(    ) A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面 B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α D．平面α经过三点，是平面α的法向量，则u+t＝1 【答案】ABD 【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可． 【详解】解：对于A，A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底， 则共面，可得A，B，M，N共面，故A正确； 对于B，，故，可得l与m垂直，故B正确； 对于C，，故，可得在α内或l∥α，故C错误； 对于D，，易知，故﹣1+u+t＝0，故u+t＝1，故D正确． 故选：ABD． （二）已知直线、平面的垂直关系求参数 57.（2023·全国·高三专题练习）设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为，所以， 则，解得. 故选：B. 58．（2024·北京海淀·高二中央民族大学附属中学校考开学考试）已知平面的法向量为，直线的方向向量为，则下列选项中使得的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据法向量与方向向量的定义，即可求得本题答案. 【详解】若，则直线的方向向量垂直于平面， 所以与平面的法向量平行，显然只有选项C中满足. 故选：C 59．（江苏省扬州市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题）已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】根据题意得到，进而得到方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得，所以， 即，解得，所以. 故选：A. 60．（2024·高二课时练习）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．若，则______． 【答案】27 【分析】根据线面垂直的概念，结合法向量的性质可得，进而求得，即得. 【详解】∵， ∴， ∴， 故，解得， ∴． 故答案为：. 61．（2024·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）若直线l方向向量为，平面的法向量为，且，则m为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】由可知l的方向向量为与平面的法向量平行，再利用向量共线定理即可得出． 【详解】，的方向向量为与平面的法向量平行， ． ，解得． 故选：C． 62.（2023秋·北京石景山·高二统考期末）已知是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，则， 即，解得，且，即. 故选：C. 63．（2024·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数即可. 【详解】由题设，△为边长为的等边三角形，且， 等边△的高为， 在正棱锥中，以为原点，平行为x轴，垂直为y轴，为z轴，如上图示， 则，且， 所以，，， 若为面PBC的法向量，则，令，则， 又平面PBC，则且k为实数，，故. 故选：D 64.（2023春·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱中，侧棱长为，点，分别在上，为的中点，若，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于直三棱柱，且，所以以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则．由，可得． 设，则 ，，即，解得． 所以 故选：B 65.（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则 , 所以， 由,可得， 所以, 平面, 所以, 所以, 即， 解得， 当为线段上靠近的四等分点时，平面. 故选:. 66.（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，分别为，的中点，四边形是边长为1的正方形，，．点在直线上，若平面平面，则线段的长为_________． 【答案】/ 【详解】连接EO，因，则，而平面，且平面平面， 平面平面，于是得平面，又平面，平面， 即有，，而四边形BCDO是边长为1的正方形， 以O为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 因，，则， 则， 设，，， 设平面BMN的一个法向量，则，令，得， 设平面ABE的一个法向量，则，令，得， 因为平面平面ABE，则有，即，解得， 所以线段AN的长为． 故答案为： （三）证明直线、平面的垂直问题 （1）利用向量方法证明线线垂直 67.【多选】（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，若正方体边长为，则的可能取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则点、、，设点， ，， 因为，则，所以，， 所以，. 故选：BC. 68.（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：．    【答案】证明见详解 【详解】证明：以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：    因为正方体棱长为1，分别是的中点， 所以， 所以， 所以， 由， 所以， 即. 69.（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直棱柱中，，，分别是，，的中点．求证：； 【答案】证明见解析 【详解】因为三棱柱是直三棱柱， 所以面，又面，故， 因为，所以，则两两垂直， 故以为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则， 故，所以， 所以，故. 70.（2023·四川雅安·统考模拟预测）已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，为一个顶点，，，分别是所在棱的中点．则满足直线的图形个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】令棱长均相等的直三棱柱为，令的中点为O，的中点为，， 连接，显然，而平面，则平面，而， 以点O为原点，向量的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图， 对于①，点A，D，F分别与点P，O，重合，点E为棱中点，则， ，有，因此，图①满足； 对于②，点A与点P重合，点D，E，F分别棱的中点， 有，， ，与不垂直，图②不满足； 对于③，点A，D，E分别与点P，，O重合，点F为棱的中点， 有，， ，与不垂直，图③不满足； 对于④，点A，F分别与点N，重合，点D，E分别棱的中点， 有，， ，因此，图④满足， 所以满足直线的图形个数是2. 故选：B （2）利用向量方法证明线面垂直 71．（2024·高二课时练习）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建系，利用空间向量证明线性垂直； （2）利用空间向量证明线面垂直. 【详解】（1）由题意知AD⊥BC，如图，以O为坐标原点， 以过O点且平行于BC的直线为x轴，OD，OP所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz. 则， 可得， ∵ ∴，即AP⊥BC. （2）由（1）可得， ∵M是AP上一点，且AM＝3， ∴， 可得， 设平面BMC的法向量为，则， 令b＝1，则，即， 显然，故∥， ∴AM⊥平面BMC. 72.（2023春·高二课时练习）如图所示，正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点．求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】如图所示，取BC的中点O，连接AO，因为△ABC为正三角形， 所以AO⊥BC， 因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC， 平面ABC，则， ，平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1， 取B1C1的中点O1，以O为坐标原点， 以分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 则， 可得，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD， BA1∩BD＝B，平面， 所以AB1⊥平面A1BD. 73．（2024·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，底面是等腰三角形，且，又侧棱，面对角线，点分别是棱的中点，.    证明：平面； 【解析】（1）依题意得，，， 所以，， 所以，又，平面， 所以平面，从而可知三棱柱为直三棱柱， 以为坐标原点，分别为轴，平面内，过垂直于的方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， ，， 所欲， 所以，， 由， ， 得，又平面，且， 故平面. 74．（2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）如图，在四棱台中，平面平面ABCD，底面ABCD为正方形，，.    求证：平面. 【解析】（1）因平面平面ABCD，平面平面ABCD，，平面ABCD， 则平面.又平面，则； 又在等腰梯形，如下图，作， 由题可知，，又，则，结合，得. 因，则. 又平面，平面，， 则平面； （3）利用向量方法证明面面垂直 75．（2024秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期末）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，． 求证：平面平面； 【解析】证明：平面，为正方形，以所在的直线为轴，以所在的直线为 轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系． 由已知可得，，，， 为的中点， ， 所以 ， ， ， 所以 ，所以， 又点为中点，，所以， ，平面 ，平面，      又因为平面,故平面平面． 76．（2024·高二课时练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA. 【答案】证明见解析 【分析】建系，分别求平面DEA、平面ECA的法向量，利用空间向量证明面面垂直. 【详解】证明：建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1， 则， 所以， 设平面ECA的一个法向量是， 则， 取，则，即， 设平面DEA的一个法向量是， 则， 取，则，即， 因为，所以， 所以平面DEA⊥平面ECA. 77．（2024·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，点E在上，． 求证：平面平面； 【解析】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为， 所以两两垂直， 所以以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 因为,， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （4）与垂直有关的探索性问题 78．（2024·江苏连云港·高二统考期中）如图，在多面体中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面．    (1)判断，，，四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边的中线上确定一点，使得平面． 【答案】(1)，，，四点共面，理由见解析 (2)为中点 【分析】（1）取的中点，取的中点，连接，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，设，由，求得，得到向量，得出，即可得到，，，四点共面； （2）设，得到，根据平面，列出方程，求得，即可求解. 【详解】（1）答案：四点共面. 证明：取的中点，连接，，取的中点，连接， 则在等边三角形中，， 又因为平面平面，所以平面， 同理，得平面，平面， 所以，，两两垂直，且， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立的空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 设，由，即， 解得，，，所以，所以， 又由，，所以， 所以，，共面， 因为为公共点，所以，，，四点共面. （2）解：设，故， 若平面，则，即，解得， 所以为中点时，平面．    79.（2023春·广东汕尾·高二陆丰市龙山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中， 平面，正方形的边长为2，是的中点． (1)求证：平面． (2)若，线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析. 【详解】（1） 如图1，连结交于点. 因为是正方形，所以是的中点， 又是的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）存在，理由如下： 因为平面，平面，所以． 因为为正方形，所以． 又，平面，平面， 所以平面． 以点为坐标原点，过点作的平行线为轴，分别以为轴， 建立空间直角坐标系，如图2， 则，，，，，， 所以. 令， 则, 所以，所以. 因为，， 设是平面的一个法向量， 则，所以， 取，则是平面的一个法向量. 因为平面，所以， 所以有，解得，所以. 因为， 所以. 80.（2023春·高二课时练习）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在 ， 【详解】（1）证明：， ， 又平面平面， 所以平面， 平面， ， 又平面平面， 平面； （2）解：存在，理由如下： 平面， ∴ 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 假设在线段上存在一点，使得平面平面， 设， 则， ， ， 设平面的法向量， 由， 得， 令， 得． 设平面的法向量为， ， 故， 取， 得． 因为平面平面， 所以， 解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且． $$