2.3 圆与圆的位置关系（七大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

2.3 圆与圆的位置关系 课程标准 学习目标 （1）能将平面几何关于圆与圆位置关系的定性描述，转化为通过圆的方程判断圆与圆位置关系的定量刻画，给出通过圆的方程判断圆与圆位置关系的基本步骤，并能用于解决给定圆的方程判断位置关系的问题. （2）能通过具体实例归纳出坐标法解决圆与圆位置关系问题的基本步骤，并能用于解决简单的数学问题和实际问题. 1、了解圆与圆的位置关系. 2、掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 3、能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 知识点01圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 知识点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 【即学即练1】（2024·高二·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 题型一：判断圆与圆的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【典例1-2】（2024·高二·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【方法技巧与总结】 利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R+r、d与R―r的大小关系来判定即可． 【变式1-1】（2024·高二·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【变式1-2】（2024·高二·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 题型二：求两圆的交点 【典例2-1】（2024·全国·高二专题练习）求圆与圆的交点的坐标． 【典例2-2】（2024·高二课时练习）证明下列两圆相切，并求出切点坐标：，． 【方法技巧与总结】 直接联立两圆方程求交点． 【变式2-1】（2024·全国·高二专题练习）圆与的交点坐标为 . 【变式2-2】（2024·高二课时练习）若一个圆经过点及圆与圆的交点，求此圆的方程． 题型三：由圆的位置关系确定参数 【典例3-1】（2024·高二·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 由圆的位置关系确定参数，是解析几何中的常见问题。它涉及两圆或圆与其他图形（如直线）之间的相对位置，如相切、相交、相离等。通过建立方程并利用这些位置关系产生的条件（如距离公式、切线性质等），可以求解出圆的半径、圆心坐标等参数。 【变式3-1】（2024·高二·河南洛阳·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高二·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·高二·广东·期末）若圆与圆恰有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：求两圆的公共弦方程、公共弦长 【典例4-1】（2024·高二·广东·期中）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【典例4-2】（2024·高二·福建福州·期末）圆与圆的公共弦长为 . 【方法技巧与总结】 求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可．这是因为若两圆相交，其交点坐标必须满足相减后的方程；另一方面，相减后的方程为二元一次方程，即直线的一般方程，故此方程即为两圆公共弦所在的直线方程，而在求两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思想方法的灵活运用． 【变式4-1】（2024·高二·山东枣庄·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 . 【变式4-2】（2024·高二·广东深圳·期末）圆与圆的公共弦的长为 ． 【变式4-3】（2024·高二·广东汕头·期中）圆：与圆：相交于A，B两点，则等于 ． 题型五：圆的公切线条数 【典例5-1】（2024·高二·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例5-2】（2024·高二·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧与总结】 圆的公切线条数由两圆的位置关系决定：若两圆外离，有4条公切线；若两圆外切，有3条（两外公切，一内公切）；若两圆相交，有2条公切线；若两圆内含，则无公切线。公切线的数量直观反映了圆与圆之间的相对位置。 【变式5-1】（2024·高二·江苏盐城·期末）两圆与的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式5-2】（2024·高二·四川成都·期末）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式5-3】（2024·高二·江苏盐城·期末）若，，则与公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六：圆的公切线方程 【典例6-1】（2024·高二·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 【典例6-2】（2024·高二·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【方法技巧与总结】 圆的公切线方程是描述两个圆相切关系的直线方程。求解时，通常先根据两圆的位置关系确定公切线的可能条数，然后利用切线的性质（如切线到圆心的距离等于半径）和两圆的方程联立求解，最终得到公切线的方程。 【变式6-1】（2024·高二·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【变式6-2】（2024·高二·北京昌平·期末）已知圆，则圆的半径为 ；与圆和圆都相切的直线的方程为 .（只需写出一条直线的方程） 题型七：圆系问题 【典例7-1】（2024·浙江杭州·高二校考期末）已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为 . 【典例7-2】（2024·江西九江·高一统考期中）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为 【方法技巧与总结】 求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）． （1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为： 简记为： 当时，简记为：（不含） （2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为： 简记为：，不含 当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴） 注意：与圆C共根轴l的圆系 【变式7-1】（2024·高二课时练习）过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是 ． 【变式7-2】（2024·江苏·高二专题练习）曲线与的四个交点所在圆的方程是 ． 【变式7-3】（2024·安徽铜陵·高二铜陵一中校考期中）经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为 . 【变式7-4】（2024·高二校考课时练习）过两圆与的交点和点的圆的方程是 . 1．（2024·高二·湖北·期末）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．相切 C．相交 D．内含 2．（2024·高二·浙江·开学考试）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 3．（2024·高二·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·河北保定·期末）圆：与圆：的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024·高二·内蒙古赤峰·期末）已知圆和圆，则圆和圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·高三·天津滨海新·阶段练习）圆与圆的公共弦长为，则过点且与圆相切的直线方程为 ． 7．（2024·高二·广东佛山·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程： . 8．（2024·高三·湖南衡阳·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 9．（2024·高二·广东广州·期中）已知圆，直线的方程，圆关于直线对称的圆为，则所表示的一系列圆的公切线方程为 . 10．（2024·高二·上海·阶段练习）已知圆与圆有3条公切线，则的最大值为 . 11．（2024·湖南长沙·一模）已知，，，若在圆（）上存在点满足，则实数的取值范围是 . 12．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围为 . 13．（2024·高二·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：相切． (1)求圆C半径； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 14．（2024·高二·四川成都·开学考试）已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 15．（2024·高二·四川绵阳·开学考试）已知圆，点是圆上一点，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为 (1)求过点的圆的切线方程； (2)以为圆心的圆交圆于两点，问直线是否恒过一定点？若过定点求出定点坐标． 16．（2024·高二·浙江杭州·期中）如图，已知圆和点，由圆O外一点向圆O引切线为切点，且． (1)求的最小值； (2)以P为圆心作圆，若圆P与圆O有公共点，求半径最小的圆P的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 圆与圆的位置关系 课程标准 学习目标 （1）能将平面几何关于圆与圆位置关系的定性描述，转化为通过圆的方程判断圆与圆位置关系的定量刻画，给出通过圆的方程判断圆与圆位置关系的基本步骤，并能用于解决给定圆的方程判断位置关系的问题. （2）能通过具体实例归纳出坐标法解决圆与圆位置关系问题的基本步骤，并能用于解决简单的数学问题和实际问题. 1、了解圆与圆的位置关系. 2、掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 3、能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 知识点01圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 知识点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 【即学即练1】（2024·高二·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【解析】由于点和都在圆上，而在圆内部， 在圆外部，故两圆一定相交. 故选：A. 题型一：判断圆与圆的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为. 两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交. 故选：A. 【典例1-2】（2024·高二·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D 【解析】由题可得圆C： ，则其圆心，半径为； 圆，则其圆心为，半径为. 则两圆圆心距为， 故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离. 故选：D 【方法技巧与总结】 利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R+r、d与R―r的大小关系来判定即可． 【变式1-1】（2024·高二·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【解析】由题意圆：即圆：的圆心，半径分别为， 圆：即圆：的圆心，半径分别为， 所以两圆的圆心距满足， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：B. 【变式1-2】（2024·高二·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 【答案】C 【解析】圆：， 即，圆心，半径， 圆：， 即，圆心，半径， 所以当时， 所以圆与圆的位置关系是外离. 故选：C. 题型二：求两圆的交点 【典例2-1】（2024·全国·高二专题练习）求圆与圆的交点的坐标． 【解析】由题设，，相减可得， 所以，解得或， 当时，；当时，； 所以交点坐标为、. 【典例2-2】（2024·高二课时练习）证明下列两圆相切，并求出切点坐标：，． 【解析】，所以圆心为，半径为； ，所以圆心为，半径为； 所以两圆心间的距离为，且，因此，故两圆相外切； ，解得，故切点为. 【方法技巧与总结】 直接联立两圆方程求交点． 【变式2-1】（2024·全国·高二专题练习）圆与的交点坐标为 . 【答案】和 【解析】联立，两式相减得，将其代入中得或，进而得或， 所以交点坐标为 故答案为：和 【变式2-2】（2024·高二课时练习）若一个圆经过点及圆与圆的交点，求此圆的方程． 【解析】联立与，解得：或，即两圆交点坐标为与，设圆的方程为：，将点坐标代入得：，解得：，所以此圆的方程为：. 题型三：由圆的位置关系确定参数 【典例3-1】（2024·高二·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 【典例3-2】（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线过定点，直线过定点，又直线， 因此点的轨迹是以线段为直径的圆（除点外），圆心，半径， 圆的方程为且，又，显然点与的距离大于1， 则点在圆：上，依题意，圆与圆有公共点， 于是，即， 解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【方法技巧与总结】 由圆的位置关系确定参数，是解析几何中的常见问题。它涉及两圆或圆与其他图形（如直线）之间的相对位置，如相切、相交、相离等。通过建立方程并利用这些位置关系产生的条件（如距离公式、切线性质等），可以求解出圆的半径、圆心坐标等参数。 【变式3-1】（2024·高二·河南洛阳·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交， 所以，即， 解得：且， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 【变式3-2】（2024·高二·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 若圆与圆有公共点， 则，又，所以. 故选：D 【变式3-3】（2024·高二·广东·期末）若圆与圆恰有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 因为恰有两个公共点,所以两圆相交，所以， 解得或，即的取值范围是. 故选：A 题型四：求两圆的公共弦方程、公共弦长 【典例4-1】（2024·高二·广东·期中）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【解析】圆：和圆：， 两圆作差相减，得直线方程为， 经检验，直线方程满足题意. 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高二·福建福州·期末）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【解析】因为圆与圆， 两圆方程相减得， 因为圆的圆心为，半径为， 则到此直线距离为， 所以两圆相交，直线为两圆的公共弦所在直线， 则所求公共弦长为． 故答案为：． 【方法技巧与总结】 求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可．这是因为若两圆相交，其交点坐标必须满足相减后的方程；另一方面，相减后的方程为二元一次方程，即直线的一般方程，故此方程即为两圆公共弦所在的直线方程，而在求两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思想方法的灵活运用． 【变式4-1】（2024·高二·山东枣庄·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【解析】将两圆方程作差可得，即. 因此，圆和圆的公共弦所在直线的方程为. 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高二·广东深圳·期末）圆与圆的公共弦的长为 ． 【答案】 【解析】由，得， 即两圆公共弦所在直线的方程为， 圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为： 【变式4-3】（2024·高二·广东汕头·期中）圆：与圆：相交于A，B两点，则等于 ． 【答案】 【解析】由圆：与圆：， 相减的公共弦所在直线方程：， 又圆：，即， 圆心为，半径， 则圆心的直线的距离为， 所以. 故答案为： 题型五：圆的公切线条数 【典例5-1】（2024·高二·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】两圆圆心分别为，半径分别为2和3，而圆心距为5，故两圆外切，所以两圆的公切线共有3条， 故选：C 【典例5-2】（2024·高二·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】根据题意： 圆，， 其圆心为，半径； 圆，， 其圆心为，半径； 两圆的圆心距，所以两圆外离， 所以公切线条数有4条. 故选：D. 【方法技巧与总结】 圆的公切线条数由两圆的位置关系决定：若两圆外离，有4条公切线；若两圆外切，有3条（两外公切，一内公切）；若两圆相交，有2条公切线；若两圆内含，则无公切线。公切线的数量直观反映了圆与圆之间的相对位置。 【变式5-1】（2024·高二·江苏盐城·期末）两圆与的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为4， ∴圆心距． 由，可得两圆相交， ∴两圆公切线有2条． 故选：B. 【变式5-2】（2024·高二·四川成都·期末）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】根据题意可知与点的距离为的直线始终与以点为圆心，为半径的圆相切， 而此直线又与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线， 又两圆圆心距离等于两圆半径和， 所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数为3， 故选：C 【变式5-3】（2024·高二·江苏盐城·期末）若，，则与公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】， 即，圆心， ， 即，圆心， 则， 所以， 所以两圆相交，有2条公切线. 故选：B. 题型六：圆的公切线方程 【典例6-1】（2024·高二·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【解析】由，设圆心为，半径为， 由，设圆心为，半径为1， 设直线l不存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以有，此时直线l的方程为， 当直线l存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以或， 所以此时切线方程为，或，即 ，或， 故答案为： ； 【典例6-2】（2024·高二·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 【方法技巧与总结】 圆的公切线方程是描述两个圆相切关系的直线方程。求解时，通常先根据两圆的位置关系确定公切线的可能条数，然后利用切线的性质（如切线到圆心的距离等于半径）和两圆的方程联立求解，最终得到公切线的方程。 【变式6-1】（2024·高二·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【答案】或（写一条即可） 【解析】圆的圆心为，半径， 化为标准方程得，圆心为，半径， 如图，易知两圆的公切线有两条，其中一条为， 直线的斜率为，直线方程为， 联立解得， 易知另一条公切线的斜率存在，设方程为，即， 则，解得， 则公切线的方程为，即. 故答案为：或（写一条即可） 【变式6-2】（2024·高二·北京昌平·期末）已知圆，则圆的半径为 ；与圆和圆都相切的直线的方程为 .（只需写出一条直线的方程） 【答案】 （答案不唯一，或亦可） 【解析】由，即， 故圆的半径为，圆心坐标为， 设直线与圆和圆都相切， 若直线斜率不存在，设直线为， 需有，解得，故符合要求； 若直线斜率存在，设直线为，即， 需有，两式相除得， 故或， 化简得或， 由可得， 故有或， 化简得或， 即或， 则或， 故该直线为或， 即或， 综上所述，与圆和圆都相切的直线的方程有： 、、. 故答案为：；（答案不唯一，或亦可） 题型七：圆系问题 【典例7-1】（2024·浙江杭州·高二校考期末）已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为 . 【答案】 【解析】可设圆的方程为, 即, 此时圆心坐标为, 当圆心在直线上时，圆的半径最小，从而面积最小， , 解得, 则所求圆的方程为， 故答案为. 【典例7-2】（2024·江西九江·高一统考期中）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为 【答案】 【解析】由题可先设出圆系方程；，则圆心坐标为； ，又圆心在直线上，可得；解得. 所以圆的方程为：. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）． （1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为： 简记为： 当时，简记为：（不含） （2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为： 简记为：，不含 当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴） 注意：与圆C共根轴l的圆系 【变式7-1】（2024·高二课时练习）过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是 ． 【答案】 【解析】设圆的方程为， 则， 即，所以圆心坐标为， 把圆心坐标代入，可得， 所以所求圆的方程为． 故答案为：. 【变式7-2】（2024·江苏·高二专题练习）曲线与的四个交点所在圆的方程是 ． 【答案】 【解析】根据题意得到：，化简得到答案.，，故， 化简整理得到：，即. 故答案为：. 【变式7-3】（2024·安徽铜陵·高二铜陵一中校考期中）经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为 . 【答案】 【解析】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为： ∵所求圆过点 ∴ 解得 所以圆的方程为，化简得. 故答案为：. 【变式7-4】（2024·高二校考课时练习）过两圆与的交点和点的圆的方程是 . 【答案】 【解析】设所求圆的方程为： 将代入得： 所求圆的方程为： 本题正确结果： 1．（2024·高二·湖北·期末）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．相切 C．相交 D．内含 【答案】D 【解析】的圆心为，半径为， 变形为，圆心为，半径为， 故圆心距， 故圆与圆的位置关系为内含. 故选：D 2．（2024·高二·浙江·开学考试）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 【答案】D 【解析】易知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由题意得圆与圆只有一个交点， 可得两圆内切或外切，易得圆心距，半径差与和分别为或， 当两圆内切时，解得或， 当两圆外切时，无解，结合选项 故选：D 3．（2024·高二·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 4．（2024·高二·河北保定·期末）圆：与圆：的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由题意知圆：的圆心为，半径为1， 圆：的圆心为，半径为2， 则，所以圆与圆外离， 则它们有4条公切线， 故选：D 5．（2024·高二·内蒙古赤峰·期末）已知圆和圆，则圆和圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由已知得圆的半径，圆心的坐标为， 圆的半径，圆心的坐标为， 则， 所以圆和圆外切，这两圆共有3条公切线． 故选：C 6．（2024·高三·天津滨海新·阶段练习）圆与圆的公共弦长为，则过点且与圆相切的直线方程为 ． 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径， 将圆与圆的方程作差可得， 即公共弦所在直线方程为， 则到直线的距离为， 由题意可得：，解得， 且，可得， 若，则圆即为， 可知圆的圆心为，半径， 则，可知， 即圆与圆相交，符合题意， 又因为，即点在圆上， 可得，则切线的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 7．（2024·高二·广东佛山·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程： . 【答案】（或，填一条即可） 【解析】由已知得到两圆的圆心分别为,半径分别为. 因为，所以5，圆与圆相交， 则圆与圆的公切线有两条， 如图所示： 根据图象可以直接观察出一条公切线方程为， 直线的方程为， 根据图形的对称性知另一条公切线与直线关于直线对称. 易知直线与直线的交点为， 设另一条公切线的方程为， 即，原点到其距离为， 所以，则另一条公切线的方程为. 故答案为：（或，填一条即可） 8．（2024·高三·湖南衡阳·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】由题设知，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，即两圆外离，故共有4条公切线； 又易知关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线. 设过原点的公切线为，则，即，解得或， 所以公切线为或； 设与平行的公切线为，且M，N与公切线距离都为1， 则，即， 所以公切线为. 故答案为：或或 9．（2024·高二·广东广州·期中）已知圆，直线的方程，圆关于直线对称的圆为，则所表示的一系列圆的公切线方程为 . 【答案】或 【解析】圆的圆心为，设关于直线对称点为， 则解得， 圆的方程为，圆心为，半径， 若公切线的斜率不存在，圆心到直线的距离，符合题意； 若公切线的斜率存在，设直线与圆系中的所有圆都相切，则， 即， 直线与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的值都成立， 所以有，解得， 所以所表示的一系列圆的公切线方程为. 综上可得所表示的一系列圆的公切线方程为或. 故答案为：或 10．（2024·高二·上海·阶段练习）已知圆与圆有3条公切线，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】由圆，可得圆心，半径为， 圆，可得圆心，半径为， 因为有3条公切线，则两圆外切，则， 即 根据基本不等式可得，解得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 11．（2024·湖南长沙·一模）已知，，，若在圆（）上存在点满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】 设，将坐标代入式子，可得， 即，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 依题意，两圆有公共点，则，解得. 故答案为：. 12．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】设，由两边平方得， 即，， ，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 圆的圆心为，半径为， 依题意，圆与圆有公共点， 两圆的圆心距为，则， 解得. 故答案为： 13．（2024·高二·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：相切． (1)求圆C半径； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 【解析】（1）圆心到直线的距离， 所以圆C半径. （2）①由（1）知，圆C的方程为：，圆心，， 由MA、MB是的两条切线，得，，设， 则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. ②由①知，点，，，则四点共圆且以MC为直径， 此圆的方程为，整理得， 而圆C的方程为，，两圆方程相减得， 因此直线的方程为，对任意实数，当时，， 所以直线过定点. 14．（2024·高二·四川成都·开学考试）已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 【解析】（1）由题意设圆心为， ，得， 故圆心为，， 圆M的标准方程为：， 圆M的一般方程为：. （2） 由于圆M和圆O的半径均为2， 公切线与OM平行，则，设公切线方程为， 则，得或， 故公切线方程为或. 15．（2024·高二·四川绵阳·开学考试）已知圆，点是圆上一点，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为 (1)求过点的圆的切线方程； (2)以为圆心的圆交圆于两点，问直线是否恒过一定点？若过定点求出定点坐标． 【解析】（1）由圆的方程可得圆心的坐标为，则 ，即，即过点的圆的切线方程为，即. （2）设，则过两点且以为圆心的圆的方程为，又圆， 两式作差可得：， 此方程变形可得 ，令 ，可得， 即直线恒过定点. 16．（2024·高二·浙江杭州·期中）如图，已知圆和点，由圆O外一点向圆O引切线为切点，且． (1)求的最小值； (2)以P为圆心作圆，若圆P与圆O有公共点，求半径最小的圆P的方程． 【解析】（1）因为圆的圆心为，半径为， 因为为圆的切线，所以， 在中，，又， 所以，即，整理得， 因为，即，故， 所以，则， 所以的最小值为. （2）由（1）知，当以为圆心的圆在垂直，且与圆外切时半径最小， 此时方程为，联立，解得，所以， 半径为， 所以圆的方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$