第2章 圆与方程（章末题型归纳总结）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

第2章 圆与方程章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：求圆的方程 经典题型二：求轨迹方程 经典题型三：直线与圆位置关系 经典题型四：圆与圆的位置关系 经典题型五：弦长、切线、切线长、切点弦问题 经典题型六：圆中范围与最值问题 经典题型七：面积问题 经典题型八：阿波罗尼斯圆问题 经典题型九：圆的新定义问题 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：求圆的方程 例1．（2024·高二·上海·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 例2．（2024·高二·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 例3．（2024·高二·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，． (1)设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程； (2)求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程． 例4．（2024·高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知 (1)过点A作直线，交直线和直线于两点，A为线段的中点．求直线的方程； (2)若圆的圆心在直线上，圆经过点．求圆的方程． 例5．（2024·高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系Oxy中，二次函数（a，，）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，经过A，B，C三个点的圆记为．求的方程． 例6．（2024·高二·四川资阳·期中）（1）过点且与直线平行，求直线的方程； （2）已知圆过点，且圆心在直线上，求圆的方程. 经典题型二：求轨迹方程 例7．（2024·高二·四川南充·阶段练习）已知点，，，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点满足，求动点的轨迹方程； (3)过点的直线交动点的轨迹于，且，求直线的方程. 例8．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）如图，圆与圆的半径都是2，，过动点P分别作圆与圆的切线PM，PN，M，N分别为切点，使得. (1)试建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程； (2)若圆与圆的一条公切线与坐标轴平行，判断直线与曲线P的位置关系？若相交，求出弦长，若不相交，说明理由. 例9．（2024·高二·重庆沙坪坝·期中）已知圆，A是圆C上一动点，点，M为线段的中点． (1)求动点M的轨迹方程； (2)记M的轨迹为曲线E，过点的点线l与曲线E有且只有一个交点，求直线l的方程． 例10．（2024·高二·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知的斜边为AB，且.求: (1) 外接圆的一般方程; (2)直角边的中点的轨迹方程． 例11．（2024·高二·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 例12．（2024·高二·北京西城·阶段练习）已知圆：. (1)求圆心的坐标及半径的大小； (2)已知直线与圆相切，且在x，y轴上的截距相等且不为0，求直线的方程； (3)从圆C外一点向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求点P的轨迹方程. 例13．（2024·高二·广西南宁·期中）已知直线与圆交于两点，点在圆上运动． (1)当时，求； (2)已知点，求的中点的轨迹方程． 例14．（2024·高二·山东青岛·阶段练习）已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 经典题型三：直线与圆位置关系 例15．已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 例16．（2024·青海海西·模拟预测）一条光线从点出发，经轴反射后，若反射光线被圆遮挡，则反射光线的斜率可能为（    ） A． B． C． D． 例17．（2024·高三·浙江·阶段练习）半径为3的圆内有一点，点在圆上，当最大时，的长等于（    ） A． B．3 C． D． 例18．（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知，若坐标原点在动直线上的投影为点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例19．（2024·山西晋中·模拟预测）已知直线l：与圆：，下列说法正确的是（    ） A．所有圆均不经过点 B．若关于l对称，则 C．若l与相交于AB且，则 D．存在与x轴和y轴均相切的圆 例20．（2024·山东烟台·三模）若圆与轴没有交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例21．（2024·高二·四川成都·阶段练习）直线，被圆截得最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 例22．（2024·陕西安康·模拟预测）若两条直线，与圆的四个交点能构成矩形，则（    ） A． B．1 C．2 D． 例23．（2024·高二·山西吕梁·阶段练习）已知P是圆上一动点，则点P到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 经典题型四：圆与圆的位置关系 例24．（多选题）（2024·高二·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 例25．（多选题）（2024·高一·浙江宁波·期末）已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 例26．（多选题）（2024·福建泉州·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D．若（为坐标原点）四点共圆，则 例27．（多选题）（2024·高二·吉林·阶段练习）已知，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C与圆 的公共弦所在直线方程为 D．圆与圆C相交 例28．（多选题）（2024·高二·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知两圆和有公共点则r的值可能是（    ） A． B．1 C．6 D．8 例29．（多选题）（2024·山西阳泉·三模）已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例30．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆C：，直线l：（），则（   ） A．直线l恒过定点 B．存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点 C．当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 D．圆C与圆恰有两条公切线 经典题型五：弦长、切线、切线长、切点弦问题 例31．（2024·高三·辽宁鞍山·期末）已知圆，直线过点且与圆相切，若直线与两坐标轴交点分别为、，则 ． 例32．（2024·高二·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 . 例33．（2024·高二·北京·期中）已知点，点在圆上，则的取值范围是 ；若与圆相切，则 . 例34．（2024·高二·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为 ；过切点A，B的直线方程为 ． 例35．（2024·高二·广东广州·期中）过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为 . 例36．（2024·浙江绍兴·三模）如图，，点A，B为射线OP上两动点，且，若射线OQ上恰有一个点C，使得，则此时OA的长度为 ． 例37．（2024·高二·北京·期中）已知圆C：，直线m的倾斜角为且与圆C相切，则切线m的方程为 ． 例38．（2024·高二·上海虹口·期末）直线被圆所截得的弦长为 . 例39．（2024·高三·天津南开·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且，则实数 例40．（2024·全国·模拟预测）圆心在直线上且在轴上截得的弦长为2的圆的方程为 （写出一个满足条件的方程）. 经典题型六：圆中范围与最值问题 例41．（多选题）（2024·高二·福建厦门·期中）已知点在上，点，，则（    ） A．点到直线的距离最大值是 B．满足的点有2个 C．过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D．的最小值为 例42．（多选题）（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（    ） A．的“欧拉线”方程为 B．圆上点到直线的最大距离为 C．若点在圆上，则的最小值是 D．圆与圆有公共点，则的取值范围是 例43．（2024·高二·河南南阳·期末）已知点在圆上运动，则的最小值是 . 例44．（2024·浙江金华·三模）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最小值为 ． 例45．（2024·高三·上海闵行·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知P是圆C：上的动点，若，，，则的最小值为 ．    例46．（2024·高三·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，点在直线上，则的最小值为 ． 例47．（2024·高二·重庆九龙坡·期末）已知为圆上一动点，，点为轴上一动点，则的最小值为 ． 例48．（2024·高二·河南驻马店·阶段练习）若实数x、y满足条件，则的范围是 . 例49．（多选题）（2024·高二·吉林白城·期中）直线l是圆过点的切线，P是圆上的动点，则（    ）． A．直线l方程为或 B．直线l方程为 C．点P到直线l的距离的最小值为1 D．点P到直线l的距离的最小值为 经典题型七：面积问题 例50．（2024·高二·全国·课后作业）如果圆的方程为，那么当圆面积最大时，该圆的方程为 ，最大面积为 ． 例51．（2024·高二·河北保定·期末）已知圆C与圆D：关于直线l：对称． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与圆D相交于A，B两点，求四边形CADB的面积． 例52．（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线：与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，求直线的方程． 例53．（2024·高二·江苏连云港·期中）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值及圆C的标准方程； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 例54．（2024·高二·重庆渝中·阶段练习）已知圆的圆心为原点，斜率为1且过点的直线与圆相切 (1)求圆的方程； (2)过的直线交圆于、，若面积为，求直线方程. 例55．（2024·高二·广东东莞·期中）已知圆，直线l过原点． (1)若直线l与圆M相切，求直线l的方程； (2)若直线l与圆M交于P，Q两点，当的面积最大时，求直线l的方程． 例56．（2024·高二·广东广州·期中）已知圆是圆O内一点，是圆O外一点. (1)是圆O中过点M最长的弦，是圆O中过点M最短的弦，求四边形的面积； (2)过点P作直线l交圆于E、F两点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 例57．（2024·高二·全国·课后作业）直线l：y＝x与圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝16相交于A、B两点. (1)求平行于l且与圆C相切的直线方程； (2)求△ABC面积. 经典题型八：阿波罗尼斯圆问题 例58．（2024·高二·吉林长春·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，在平面直角坐标系xOy中，N（0，0），M（3，0），动点Q满足，设动点Q的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)直线与曲线C交于A、B两点，求． 例59．（2024·高二·福建福州·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中，且，点为的中点． (1)求点的轨迹方程和点的轨迹方程； (2)若点在（1）的轨迹上运动，求的取值范围． 例60．（2024·高二·江苏无锡·阶段练习）对平面上两点A、B，满足的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆．已知，，，若动点P满足，则的最小值是 ． 例61．（2024·高二·黑龙江佳木斯·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点,的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点,间的距离为，动点满足，则的最大值为 例62．（2024·高二·安徽合肥·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯约公元前262~公元前190年的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知圆和，点，为圆上动点，则的最小值为 . 例63．（2024·高二·湖南常德·期中）著名数学家阿波罗证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点轨迹是圆，后世将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，求三角形PAB面积的最大值 ． 例64．（2024·高二·上海浦东新·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，则点P的轨迹方程为 . 经典题型九：圆的新定义问题 例65．（2024·高二·四川泸州·期末）人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设， ，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为 例66．（2024·高二·江苏南通·期末）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的“曼哈顿距离”为，已知动点N在圆上，定点，则M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为 ． 例67．（2024·河南·模拟预测）一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线是直线族的包络线，则上的点到直线的最小距离为 . 例68．（2024·高三·上海浦东新·阶段练习）圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的.一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与x、y无关，则实数a的取值范围是 . 例69．（2024·高二·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点O是坐标原点，点P在圆上，点Q在直线上．在这个定义下，给出下列结论： ①若点P的横坐标为，则；      ②的最大值是 ③的最小值是2；                      ④的最小值是 其中，所有正确结论的序号是 ． 例70．（2024·高二·北京·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在圆上，点在直线上．在这个定义下，给出下列结论： ①若点的横坐标为，则；　②的最大值是； ③的最小值是2；　④的最小值是． 其中，所有正确结论的序号是 ． 例71．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）定义：点P为曲线外的一点，A，B为曲线上的两个动点，当取最大值时，为点P对曲线的张角．已知点P为直线l：上的动点，A，B为圆O：上的两个动点，设点P对圆O的张角为，则的最大值为 ． 例72．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，定义两点之间的折线距离为，设点是圆上一点，点是直线上一点，则的最小值为 . 模块三：数学思想方法 ① 分类讨论思想 例73．圆M：与两个坐标轴共有3个公共点，则实数m的值是（    ） A．1或2 B．1或4 C．0或4 D．0或1 例74．过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 例75．直线与曲线恰有两个交点，则实数m取值范围是（    ） A． B． C． D． 例76．一条直线经过点，被圆截得的弦长等于8，这条直线的方程为（    ） A．或 B．或 C． D．或 例77．由曲线围成的曲线面积是（    ） A． B． C． D． ②转化与化归思想 例78．已知圆C：，若存在圆C的弦AB，满足，且AB的中点M在直线上，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例79．由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（    ） A．1 B． C． D．3 例80．点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 例81．若直线始终平分圆的圆周，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 例82．圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ③ 数形结合思想 例83．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是圆O：上一动点，若直线l：上存在点Q，满足线段PQ的中点也始终在圆O上，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例84．直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 例85．已知点P是圆上的动点，线段AB是圆的一条动弦，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 例86．阿波罗尼斯证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这类圆称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，点、，动点P到点的距离之比为，当不共线时，面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 例87．已知点，点M是圆E：上的动点，点N是圆F：上的动点，则的最大值是 A． B． C． D． 例88．已知关于x的方程有两个不同的解，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 圆与方程章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：求圆的方程 经典题型二：求轨迹方程 经典题型三：直线与圆位置关系 经典题型四：圆与圆的位置关系 经典题型五：弦长、切线、切线长、切点弦问题 经典题型六：圆中范围与最值问题 经典题型七：面积问题 经典题型八：阿波罗尼斯圆问题 经典题型九：圆的新定义问题 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：求圆的方程 例1．（2024·高二·上海·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 【解析】设圆的方程为， 圆心在直线上，得， 可得圆的方程为， 圆经过点和 所以， 解得，， 因此，所求圆的方程为． 例2．（2024·高二·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【解析】（1）， 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 所以的面积； （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 例3．（2024·高二·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，． (1)设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程； (2)求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程． 【解析】（1）因为为中点，，，所以． 因为四边形为平行四边形，所以， 由，，得， 所以．由知直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即所求直线的方程为． （2）因为四边形为平行四边形，且，，， 设，由得解得， 又由得，且， 所以点为圆心，与直线相切的圆的标准方程为． 例4．（2024·高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知 (1)过点A作直线，交直线和直线于两点，A为线段的中点．求直线的方程； (2)若圆的圆心在直线上，圆经过点．求圆的方程． 【解析】（1）设直线与直线交点，直线与直线交点， 由题意可得：，解得， 即， 所以直线的方程为，即. （2）由题意可知：直线的斜率，线段的中点为， 可知线段的垂直平分线方程为，即， 联立方程，解得， 可得圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 例5．（2024·高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系Oxy中，二次函数（a，，）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，经过A，B，C三个点的圆记为．求的方程． 【解析】设所求圆的一般方程为， 由题意得（a，，）的图象与两坐标轴的三个交点 即为圆和坐标轴的交点， 令得，， 由题意可得，这与是同一个方程，故，． 令得，， 由题意可得，此方程有一个根为b，代入此方程得出， ∴的方程为． 例6．（2024·高二·四川资阳·期中）（1）过点且与直线平行，求直线的方程； （2）已知圆过点，且圆心在直线上，求圆的方程. 【解析】（1）设直线方程为， 因为直线过点， 则， ∴， ∴所求直线方程为. （2），则的垂直平分线的斜率为，中点为， 故的垂直平分线为， 由，解得，即圆心为， 圆的半径， 故圆方程为. 经典题型二：求轨迹方程 例7．（2024·高二·四川南充·阶段练习）已知点，，，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点满足，求动点的轨迹方程； (3)过点的直线交动点的轨迹于，且，求直线的方程. 【解析】（1）设点，由题意可得， 即，化简可得， 所以动点的轨迹方程为； （2）设，由（1）知①， 又，所以，即代入①得， 整理得动点的轨迹方程为； （3）设圆心到直线的距离为，则， 当斜率不存在时，直线与圆的交点坐标为， 满足，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 由题意，解得，所以直线方程为， 故所求直线方程为 或. 例8．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）如图，圆与圆的半径都是2，，过动点P分别作圆与圆的切线PM，PN，M，N分别为切点，使得. (1)试建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程； (2)若圆与圆的一条公切线与坐标轴平行，判断直线与曲线P的位置关系？若相交，求出弦长，若不相交，说明理由. 【解析】（1）取中点为坐标系原点O，建立平面直角坐标系， 则， 设，因为，可得， 所以，可得， 整理得，即轨迹方程为. （2）由圆，可得，可得圆心，半径， 因为圆与圆的一条公切线与坐标轴平行，可得得方程为或， 则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交， 又由圆的弦长公式，可得. 例9．（2024·高二·重庆沙坪坝·期中）已知圆，A是圆C上一动点，点，M为线段的中点． (1)求动点M的轨迹方程； (2)记M的轨迹为曲线E，过点的点线l与曲线E有且只有一个交点，求直线l的方程． 【解析】（1）令，由M为线段的中点，，则， 而A是圆C上一动点，故， 整理得，即， 所以动点M的轨迹方程为. （2）由（1）知：曲线E的圆心为，半径，且点N在曲线E外， 若直线l斜率不存在，即，显然与曲线E相切，满足； 若直线l斜率存在，设，则到直线l的距离， 所以，此时； 综上，直线l的方程为或. 例10．（2024·高二·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知的斜边为AB，且.求: (1) 外接圆的一般方程; (2)直角边的中点的轨迹方程． 【解析】（1）由题意知，设圆心为，则， ， 故圆的方程为： 即外接圆的一般方程为：. （2） 设，由此解得： 因为C为直角，所以 代入解得：即 配方得：， 又因为三点不共线， 所以 综上：. 例11．（2024·高二·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【解析】（1）由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. （2）设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为. 例12．（2024·高二·北京西城·阶段练习）已知圆：. (1)求圆心的坐标及半径的大小； (2)已知直线与圆相切，且在x，y轴上的截距相等且不为0，求直线的方程； (3)从圆C外一点向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求点P的轨迹方程. 【解析】（1）由圆，得：， 圆心坐标，半径； （2）切线在两坐标轴上的截距相等且不为零， 设直线方程， 圆， 圆心到切线的距离等于圆半径， 即： 或， 所求切线方程为：或； （3）切线与半径垂直，设 , 由可得 所以点的轨迹方程为． 例13．（2024·高二·广西南宁·期中）已知直线与圆交于两点，点在圆上运动． (1)当时，求； (2)已知点，求的中点的轨迹方程． 【解析】（1）由题意可知：圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 可得，解得. （2）设， 因为点，且为的中点，则， 又因为点在圆上，则，整理得， 所以点的轨迹方程为. 例14．（2024·高二·山东青岛·阶段练习）已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 【解析】（1）依题意，设点，又， 因为，即， 化简可得，即， 所以动点P的轨迹方程为； （2）设，又， 因为，所以， 即，得， 由（1）知，所以， 整理得动点Q的轨迹方程为. 经典题型三：直线与圆位置关系 例15．已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 例16．（2024·青海海西·模拟预测）一条光线从点出发，经轴反射后，若反射光线被圆遮挡，则反射光线的斜率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点关于轴的对称点为， 设反射光线的斜率为，直线方程为，整理为， 当反射光线与圆相交时，，解得， 可得反射光线的斜率的取值范围为， 故选：C． 例17．（2024·高三·浙江·阶段练习）半径为3的圆内有一点，点在圆上，当最大时，的长等于（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】如左图，作与E, ． 欲使最大，即最大，由于为定值，则只要最大即可． 当，重合时，即时，最大，如右图 中，，，， 则故当最大时，的长等于． 故选：C． 例18．（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知，若坐标原点在动直线上的投影为点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线，即， 令，解得，所以动直线恒过定点， 坐标原点在动直线上的投影为点， 故，所以在以为直径的圆上， 则圆的圆心为，半径， 又，所以， 即的取值范围是. 故选：B. 例19．（2024·山西晋中·模拟预测）已知直线l：与圆：，下列说法正确的是（    ） A．所有圆均不经过点 B．若关于l对称，则 C．若l与相交于AB且，则 D．存在与x轴和y轴均相切的圆 【答案】A 【解析】对于A，若圆经过点，则，化简整理得， 因为，所以方程无解， 所以所有圆均不经过点，所以A正确， 对于B，圆：的圆心为， 若关于l对称，则直线过圆心，所以，得，所以B错误， 对于C，因为l与相交于AB且，所以圆心到直线的距离为， 所以，解得或，所以C错误， 对于D，若存在与x轴和y轴均相切的圆，则，此方程组无解， 所以不存在与x轴和y轴均相切的圆，所以D错误， 故选：A 例20．（2024·山东烟台·三模）若圆与轴没有交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】即， ，解得或， 且其圆心坐标为，若该圆与轴没有交点， 则，解得 故选：C. 例21．（2024·高二·四川成都·阶段练习）直线，被圆截得最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线， 即，由，解得， 设，由于，所以在圆内， 圆的圆心为，半径，如图： 当时，最短，， 所以弦长的最小值为. 故选：C 例22．（2024·陕西安康·模拟预测）若两条直线，与圆的四个交点能构成矩形，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【解析】由题意，直线平行，且与圆的四个交点构成矩形， 则可知圆心到两直线的距离相等且， 由圆，配方得， 则，解得.则其圆心为， 圆心到的距离为， 圆心到：的距离为， 所以，整理得到， 由，所以． 故选：D． 例23．（2024·高二·山西吕梁·阶段练习）已知P是圆上一动点，则点P到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线，可化为， 由，解得，所以l过定点， 又因为点在圆上，且， 又由圆，可得圆心为，半径， 当时，点P到的距离最大，最大距离为，此时， 所以直线的斜率为1，此时无解，故直线l不存在，所以距离； 当直线与圆O相交时，点P到l的距离最小，最小距离为0， 故点P到的距离的取值范围为. 故选：D. 经典题型四：圆与圆的位置关系 例24．（多选题）（2024·高二·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 例25．（多选题）（2024·高一·浙江宁波·期末）已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 【答案】ABD 【解析】对于A，由圆，圆， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆外切时，，解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD 例26．（多选题）（2024·福建泉州·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D．若（为坐标原点）四点共圆，则 【答案】BCD 【解析】A.若圆关于直线对称，则直线过圆的圆心，即，得，故A错误； B. ，整理为，不管为何值，直线始终过点，当是线段的中点时，此时弦长最短， 圆，圆心是，半径， 圆心和点的距离是，所以最短弦长，故B正确； C. 当时，直线， 曲线，即， 所以曲线为过直线与圆交点的曲线方程，故C正确； D.若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心， 的中点为，所以的垂直平分线方程为，所以， 圆的方程为，整理为， 直线是圆与圆的交线，圆与圆的方程相减得 所以直线的方程是， 将直线所过的定点坐标代入上式得，得， 所以直线，即直线的斜率为，即，则，故D正确. 故选：BCD 例27．（多选题）（2024·高二·吉林·阶段练习）已知，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C与圆 的公共弦所在直线方程为 D．圆与圆C相交 【答案】ACD 【解析】对于A，圆的标准方程为，所以半径，故A正确； 对于B，将点代入圆的标准方程中得， 所以点在圆的外部，故B错误； 对于C，由两圆方程相减得， 则公共弦所在直线方程为，故C正确； 对于D，圆的圆心为，半径为，所以两圆与的圆心距为，小于两圆半径之和且大于两圆半径只差，即，故两圆相交，故D正确. 故选：ACD. 例28．（多选题）（2024·高二·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知两圆和有公共点则r的值可能是（    ） A． B．1 C．6 D．8 【答案】ACD 【解析】由，可得圆心为，半径分别为， 由，可得，得圆心坐标，半径， 则两圆圆心之间的距离为， 又两圆有公共点则，解得. 故选：ACD． 例29．（多选题）（2024·山西阳泉·三模）已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BD 【解析】若圆上仅存在一点使，则以为直径的圆与圆相内切或外切， 由，则以为直径的圆的圆心为，半径为， 则有或， 分别解得或，故或， 故B、D正确，A、C错误. 故选：BD. 例30．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆C：，直线l：（），则（   ） A．直线l恒过定点 B．存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点 C．当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 D．圆C与圆恰有两条公切线 【答案】ACD 【解析】对于A，直线的方程为，由，得， 直线过定点，A正确； 对于B，又，即定点在圆内，则直线与圆相交，有两个交点，B错误； 对于C，当时，直线：，圆心到直线的距离为， 而圆半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，C正确； 对于D，圆化为， 圆的圆心为，半径为4， 两圆圆心距为， 两圆相交，因此它们有两条公切线，D正确. 故选：ACD. 经典题型五：弦长、切线、切线长、切点弦问题 例31．（2024·高三·辽宁鞍山·期末）已知圆，直线过点且与圆相切，若直线与两坐标轴交点分别为、，则 ． 【答案】 【解析】由于，所以在圆上， 又，故, 故切线的斜率为，进而切线方程为，即，分别令， 故,故， 故答案为： 例32．（2024·高二·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】 【解析】由题意可知：圆的圆心为， 因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线， 而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线方程为：即. 故答案为：. 例33．（2024·高二·北京·期中）已知点，点在圆上，则的取值范围是 ；若与圆相切，则 . 【答案】 【解析】圆标准化为，圆心，半径，， 则，所以的取值范围是， 当与圆相切时，可知. 故答案为：； 例34．（2024·高二·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为 ；过切点A，B的直线方程为 ． 【答案】 【解析】圆，则圆心，半径， 在中，，， ，． 以为直径的圆的方程，即以为圆心， 以为半径的圆的方程为：， 又圆，两圆方程相减可得． 故答案为：； 例35．（2024·高二·广东广州·期中）过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】根据题意，过点作圆的两条切线，设两切点分别为、， 则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 为两圆的公共弦所在的直线，则有， 变形可得：； 即直线的方程为， 故答案为： 例36．（2024·浙江绍兴·三模）如图，，点A，B为射线OP上两动点，且，若射线OQ上恰有一个点C，使得，则此时OA的长度为 ． 【答案】 【解析】由题意可得：与以为直径的圆相切， 取中点，连接，则且， 又，则，则. 故答案为：. 例37．（2024·高二·北京·期中）已知圆C：，直线m的倾斜角为且与圆C相切，则切线m的方程为 ． 【答案】或 【解析】由直线m的倾斜角为，设直线m的方程为，即， 而圆C：的圆心，半径， 由直线m与圆C相切，得，解得或， 所以切线m的方程为或. 故答案为：或. 例38．（2024·高二·上海虹口·期末）直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】2 【解析】根据题意，圆的圆心，， 则圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为：2 例39．（2024·高三·天津南开·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且，则实数 【答案】7 【解析】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有，解可得：. 故答案为：. 例40．（2024·全国·模拟预测）圆心在直线上且在轴上截得的弦长为2的圆的方程为 （写出一个满足条件的方程）. 【答案】（答案不唯一） 【解析】由圆心在直线上，可设圆心的坐标为，则圆心到轴的距离为. 因为圆在轴上截得的弦长为2，所以圆的半径， 则圆的标准方程为. 取，得圆的方程为（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一） 经典题型六：圆中范围与最值问题 例41．（多选题）（2024·高二·福建厦门·期中）已知点在上，点，，则（    ） A．点到直线的距离最大值是 B．满足的点有2个 C．过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】 对于A，由于，，故直线的方程为. 当的坐标是时，点到直线的距离，故A错误； 对于B，满足的全部点即为以为直径的圆和的公共点，而的中点为，. 故以为直径的圆的方程为，即. 联立并等价变形为，由于点到直线的距离，所以直线和圆有两个不同的交点，从而满足条件的点有2个，故B正确； 对于C，设是圆外一点，熟知关于圆的两条切线的切点确定的直线的方程是，若在直线即直线上，则，即. 所以直线即直线恒过点，C正确； 对于D，设点，，则由点在圆上，知. 所以，故. 从而. 当时，在上，且. 所以的最小值是，D正确. 故选：BCD 例42．（多选题）（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（    ） A．的“欧拉线”方程为 B．圆上点到直线的最大距离为 C．若点在圆上，则的最小值是 D．圆与圆有公共点，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】由，可知是以为顶点的等腰三角形， 所以的欧拉线即为线段的垂直平分线， 设为，又点，点， 则其中点，斜率， 所以直线的斜率，方程为，即，A选项错误； 又直线与圆相切，所以点到直线的距离， 所以圆的方程为， 又点到直线的距离， 直线与圆相离， 所以圆上的点到直线距离的最大值为，B选项正确； 由圆，可设圆上任意一点的坐标为，， 则，且， 所以，C选项错误； 又圆与圆有公共点， 可知点满足， 即， 解得，D选项正确； 故选：BD. 例43．（2024·高二·河南南阳·期末）已知点在圆上运动，则的最小值是 . 【答案】/ 【解析】由得， 故圆的圆心为，半径为1，当时，， 当时，， 如图可知，故此时的最小值是直线斜率的最大值的倒数， 令，即，则圆心到该直线的距离满足， 两边平方整理得，解得，故此时的最小值是， 又，故的最小值为. 故答案为：. 例44．（2024·浙江金华·三模）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最小值为 ． 【答案】1 【解析】由题意知，半径为1的圆经过点，所以圆心的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 到直线的距离为， 所以圆心到直线距离的最小值为. 故答案为：1 例45．（2024·高三·上海闵行·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知P是圆C：上的动点，若，，，则的最小值为 ．    【答案】8 【解析】因为，． 所以的最小值为8． 故答案为：8 例46．（2024·高三·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】2 【解析】设，因为，所以， 整理得动点的轨迹方程为， 所以动点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆． 因为圆心到直线的距离， 所以． 故答案为：2 例47．（2024·高二·重庆九龙坡·期末）已知为圆上一动点，，点为轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】如图，由题意， 的最小值是， 所以的最小值即为求的最小值， 点关于x轴的对称点为， 则，当M，P，三点共线时，最小， 所以，即此时的值最小，即的最小值为. 故答案为： 例48．（2024·高二·河南驻马店·阶段练习）若实数x、y满足条件，则的范围是 . 【答案】 【解析】的几何意义即圆上的点到定点的斜率，由图知斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k， 则AB的方程为， ，解得， 故的范围是 故答案为：. 例49．（多选题）（2024·高二·吉林白城·期中）直线l是圆过点的切线，P是圆上的动点，则（    ）． A．直线l方程为或 B．直线l方程为 C．点P到直线l的距离的最小值为1 D．点P到直线l的距离的最小值为 【答案】BD 【解析】由题意可知：圆的圆心，半径，圆，即，其圆心为，半径， 对于选项A、B：因为，即点在圆上， 则直线的斜率，可得直线l的斜率， 所以直线l方程为，即，故A错误，B正确； 对于选项C、D：因为到直线l的距离， 所以点P到直线l的距离的最小值为，故C错误，D正确； 故选：BD. 经典题型七：面积问题 例50．（2024·高二·全国·课后作业）如果圆的方程为，那么当圆面积最大时，该圆的方程为 ，最大面积为 ． 【答案】 【解析】设圆的半径为， 将圆的方程化为标准方程可得，. 因为， 当最大时，圆的面积最大. 所以，当时，半径最大为1， 此时圆的方程为，面积为. 故答案为：；. 例51．（2024·高二·河北保定·期末）已知圆C与圆D：关于直线l：对称． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与圆D相交于A，B两点，求四边形CADB的面积． 【解析】（1）易知圆D的圆心为，设圆C的圆心， 因为圆心C与圆心D关于直线l：对称， 所以，解得， 所以圆C的方程为； （2）设点D到直线l的距离为d，则， 所以， 所以四边形CADB的面积． 例52．（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线：与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，求直线的方程． 【解析】（1）由已知可设圆心， 圆C与直线：相切，且， 所以， 解得或（舍）， 所以圆C的方程为． （2）设圆心C到直线的距离为d， 则，， 即，解得，（舍去） 又，所以，解得， 所以直线的方程为或． 例53．（2024·高二·江苏连云港·期中）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值及圆C的标准方程； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 【解析】（1）将圆C：化为标准方程， 得，故圆心，半径为. 因为直线l：与圆C相切， 所以， 解得， 所以圆C的标准方程为. （2）设圆心C到直线m的距离为d. 则，所以，解得. 故， 解得或. 所以直线m的方程为或 例54．（2024·高二·重庆渝中·阶段练习）已知圆的圆心为原点，斜率为1且过点的直线与圆相切 (1)求圆的方程； (2)过的直线交圆于、，若面积为，求直线方程. 【解析】（1）过点且斜率为1的直线为， 则圆心到直线的距离， 所以半径，则圆的方程为； （2）设到直线的距离为，则，解得， 若直线斜率不存在，方程为，满足题意； 若直线斜率存在，设为，直线的方程为， 因为，所以，解得， 直线的方程为，即； 综上，直线方程为或. 例55．（2024·高二·广东东莞·期中）已知圆，直线l过原点． (1)若直线l与圆M相切，求直线l的方程； (2)若直线l与圆M交于P，Q两点，当的面积最大时，求直线l的方程． 【解析】（1）①当直线l的斜率不存在时，直线l为，显然符合直线与圆相切， ②当斜率存在时，设直线为，圆M的圆心坐标， 圆心到直线的距离， 由题意得：直线l与圆M相切，则，解得：， 所以直线l的方程为：， 综上所述，直线l的方程为：或 （2）直线l的斜率不存在时，直线l为与圆相切，不符合题意，故直线l斜率必存在， 设直线l的方程为：， 圆心到直线的距离，弦长， 所以， 当时，面积S最大， 这时，整理得，解得，或， 所以直线l的方程：或． 例56．（2024·高二·广东广州·期中）已知圆是圆O内一点，是圆O外一点. (1)是圆O中过点M最长的弦，是圆O中过点M最短的弦，求四边形的面积； (2)过点P作直线l交圆于E、F两点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【解析】（1）在圆内，由于圆内弦最长的即是圆的直径即为直径， 而是过且与垂直的弦 此时，圆心到直线的距离， 从而可得，， ； （2），， 当时，面积的最大值为， 此时，到直线l的距离为，， ∴ 直线l的倾斜角为或， 则直线l的斜率为， ∴直线l的方程为. 例57．（2024·高二·全国·课后作业）直线l：y＝x与圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝16相交于A、B两点. (1)求平行于l且与圆C相切的直线方程； (2)求△ABC面积. 【解析】（1）设切线方程为y＝x+b，， ∴. ∴切线方程为或. （2）作CD⊥AB，如图，， ∴. ∴. 经典题型八：阿波罗尼斯圆问题 例58．（2024·高二·吉林长春·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，在平面直角坐标系xOy中，N（0，0），M（3，0），动点Q满足，设动点Q的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)直线与曲线C交于A、B两点，求． 【解析】（1）设，因为 N（0，0），M（3，0），动点Q满足， 所以，即，整理得， 所以曲线C的轨迹方程为； （2）因为直线与曲线C交于A、B两点， 又圆心到直线的距离， 所以. 例59．（2024·高二·福建福州·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中，且，点为的中点． (1)求点的轨迹方程和点的轨迹方程； (2)若点在（1）的轨迹上运动，求的取值范围． 【解析】（1）设，．则， 化简得：，所以点的轨迹方程为； 设，因为点为的中点，所以点的坐标为， 将代入中，得到， 所以点的轨迹方程为. （2）因为点在（1）的轨迹上运动，所以， 变形为，即点为圆心为，半径为的圆上的点， 则，表示的几何意义为圆上一点到的距离的平方加上，当、、三点共线时，取到最值， 又，所以， 所以，， 故的取值范围是． 例60．（2024·高二·江苏无锡·阶段练习）对平面上两点A、B，满足的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆．已知，，，若动点P满足，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由题意知：，即， 则（当且仅当三点按顺序共线时取等号）， 又因为，所以的最小值为. 故答案为：. 例61．（2024·高二·黑龙江佳木斯·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点,的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点,间的距离为，动点满足，则的最大值为 【答案】/ 【解析】由题可知, 不妨设： 所以有， 因为 得，整理得，得， 显然，得，解得： 有= 因为， 所以当时，有最大值为 故答案为： 例62．（2024·高二·安徽合肥·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯约公元前262~公元前190年的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知圆和，点，为圆上动点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】令，则. 由题意可得圆是关于点A，C的阿波罗尼斯圆，且 设点C坐标为，则 整理得 由题意得该圆的方程为， 所以，解得 所以点C的坐标为，所以， 因此当点M、C、B在同一条直线上时，的值最小，且为， 故最小为. 故答案为： 例63．（2024·高二·湖南常德·期中）著名数学家阿波罗证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点轨迹是圆，后世将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，求三角形PAB面积的最大值 ． 【答案】/ 【解析】设以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 不妨设，，，如图所示， 由，则，整理得， 所以动点P轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 当点P到轴距离最大，即最大距离为时，的面积最大， 所以面积的最大值为． 故答案为：． 例64．（2024·高二·上海浦东新·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设点，则化简得：. 故答案为： 经典题型九：圆的新定义问题 例65．（2024·高二·四川泸州·期末）人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设， ，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为 【答案】 【解析】由题意得，圆，圆心，半径， 设点，则， 故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，， 则，， 则，即的最大值为. 故答案为：. 例66．（2024·高二·江苏南通·期末）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的“曼哈顿距离”为，已知动点N在圆上，定点，则M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为 ． 【答案】 【解析】由题意，不妨设， 则M，N两点的“曼哈顿距离”为， 所以，当且仅当等号成立， 即当且仅当，即， 综上所述，M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为. 故答案为：. 例67．（2024·河南·模拟预测）一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线是直线族的包络线，则上的点到直线的最小距离为 . 【答案】/ 【解析】曲线上任一点对应的切线方程为， 将其整理为关于的方程为. 由题意知，一个解对应一条切线，即关于的方程仅有一解， 所以，整理，得， 即曲线的方程为， 故上的点到直线的最小距离为. 故答案为： 例68．（2024·高三·上海浦东新·阶段练习）圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的.一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与x、y无关，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由已知可得所在的圆的方程为， 设， 故可看作点到直线与直线距离之和的5倍， 因为的取值与x、y无关， 所以这个距离之和与点在圆上的位置无关， 圆心到直线的距离为，所以圆与直线相离， 如图所示，可知直线平移时， 点与直线的距离之和均为直线之间的距离， 此时可得圆在两直线之间， 当直线与圆相切时， ，解得（舍去），或， 所以. 故答案为：. 例69．（2024·高二·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点O是坐标原点，点P在圆上，点Q在直线上．在这个定义下，给出下列结论： ①若点P的横坐标为，则；      ②的最大值是 ③的最小值是2；                      ④的最小值是 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【解析】对于①，若点P的横坐标为，点P在圆上， 则点P的纵坐标为，则，①正确； 对于②，设点，则， ，因为， 故，当且仅当时等号成立， 即的最大值是，②正确； 对于③，设直线上的一点为，则； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，d取得最小值，即的最小值为，故③错误； 对于④，设，， 则， 当时，， ，（为辅助角，）， 当时取得等号； 当时， ，（为辅助角，）， 当时取得等号； 当时， ，（为辅助角，）， 当时取得等号； 综上可知的最小值是，④正确， 故答案为：①②④ 例70．（2024·高二·北京·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在圆上，点在直线上．在这个定义下，给出下列结论： ①若点的横坐标为，则；　②的最大值是； ③的最小值是2；　④的最小值是． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【解析】对于①，由题得出的纵坐标为，所以，故①正确； 对于②，设，，则，结合对称性，取 分析即可， 此时，显然当时，取最大值，故②正确； 对于③，设，则， 当的时候等号成立，所以的最小值是，故③错误； 对于④，设，，，则 ，其中， 所以当时，取最小值，此时，故④正确； 故答案为：①②④. 例71．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）定义：点P为曲线外的一点，A，B为曲线上的两个动点，当取最大值时，为点P对曲线的张角．已知点P为直线l：上的动点，A，B为圆O：上的两个动点，设点P对圆O的张角为，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由题可知点P在圆O外，当PA，PB均与圆O相切时， 最大，则也最大，此时． 要使最大，则最小，又的最小值为点O到直线l的距离， 所以，所以． 故答案为： 例72．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，定义两点之间的折线距离为，设点是圆上一点，点是直线上一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】结合图形，易知定点到直线上一点的折线距离的最小值等于该点到直线的水平距离或竖直距离中较小的一个， 直线的倾斜角为，斜率为，则， 因此，定点到直线上一点的折线距离的最小值等于该点到直线的竖直距离， 圆心到直线的距离为， 因此圆上的点到直线的最小距离为， 故圆上的点到直线的最小折线距离为. 故答案为：. 模块三：数学思想方法 ① 分类讨论思想 例73．圆M：与两个坐标轴共有3个公共点，则实数m的值是（    ） A．1或2 B．1或4 C．0或4 D．0或1 【答案】D  【解析】 由条件得，圆M与x轴相切同时与y轴相交，圆M与y轴相切同时与x轴相交，或者圆M与x轴y轴相交且过坐标原点， 圆M：，圆心 若圆M与x轴相切，则圆的半径为2， 当圆的半径为2时，，，此时圆M：与x轴相切，与y轴两个交点，符合题意； 若圆M与y轴相切，则圆的半径为1， 当圆的半径为1时，，，此时圆M：与y轴相切，与x轴无交点，不合题意， 若圆M与x轴y轴相交且过坐标原点，此时，圆M：，经检验符合题意． 综上，实数m的值为0或 故选 例74．过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C  【解析】 圆的圆心为，半径r为1， 当直线l的斜率不存在时，直线到圆心的距离为1，与圆相切成立； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 由直线和圆相切的条件：，可得， 解得，则直线l的方程为， 综上可得，直线l的方程为或， 故选 例75．直线与曲线恰有两个交点，则实数m取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 曲线表示圆在x轴的上半部分包含x轴上的点， 当直线与圆相切时，，解得， 当点在直线上时，， 要使直线与曲线恰有两个交点，则， 所以实数m取值范围为 故选： 例76．一条直线经过点，被圆截得的弦长等于8，这条直线的方程为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】D  【解析】 由圆的方程，得到圆心坐标为，半径， 直线被圆截得的弦长为8， 弦心距， 若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然满足题意； 若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为k， 所求直线的方程为， 圆心到所设直线的距离， 解得：， 此时所求方程为，即， 综上，此弦所在直线的方程为或 故选 例77．由曲线围成的曲线面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 ①当，时， 则可化成，即， ②当，时，可化成， ③当，时，可化成， ④当，时，可化成， 综上可知，所求面积为在第一象限的曲线与坐标轴围成的面积的4倍， 曲线在第一象限内的图像如下图实线部分所示： 结合①易知，M点坐标为，N点坐标为，且为等腰直角三角形， 所以在第一象限的曲线与坐标轴围成的面积为， 从而曲线围成的曲线面积为 故选： ②转化与化归思想 例78．已知圆C：，若存在圆C的弦AB，满足，且AB的中点M在直线上，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 已知AB是圆C：的弦，且，圆C的圆心坐标为，半径， 又M为线段AB的中点，， 在以为圆心，1为半径的圆上． 又M在直线上，直线与圆有公共点． ，解得 故选 例79．由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B  【解析】 当直线上的点与圆心距离最小时切线长取得最小值，圆心到直线的距离为，圆的半径为，故切线长的最小值为，故选 例80．点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A  【解析】 设圆上任意一点为，中点为， 则，解得， 代入得， 化简得 故选 例81．若直线始终平分圆的圆周，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A  【解析】 圆的圆心是：， 因为直线始终平分圆的圆周， 所以圆心在直线上， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号． 所以的最小值为： 故选：A 例82．圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C  【解析】 因为圆心到直线的距离为， 又因为圆的半径为3， 所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个， 故选 ③ 数形结合思想 例83．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是圆O：上一动点，若直线l：上存在点Q，满足线段PQ的中点也始终在圆O上，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 易知直线l：，即为，过定点， 因为圆O：的圆心，半径为， 则，所以点M在圆O外， 设PQ的中点为A， 若满足线段PQ的中点A点在圆上，则， 又，则，解得， 所以， 设圆心O到直线l的距离为d，则， 所以，解得或， 故 故选 例84．直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A  【解析】 曲线  ，即   ， 表示一个半圆单位圆位于 y 轴及 y 轴右侧的部分， 如图，设  、  、  ， 当直线  经过点 A 时，  ，求得  ， 此时只有一个公共点，符合题意； 当直线  经过点 B 、点 C 时，  ，求得  ， 此时有2个公共点，不符合题意； 当直线  和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径， 可得  ，求得  或  舍去， 即：  时，只有一个公共点，符合题意， 综上得，实数 b 的范围为  或  ， 故选： 例85．已知点P是圆上的动点，线段AB是圆的一条动弦，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为2， 如图，过点C作，垂足为D，连接CB， 为AB中点，即， 又， ， 点D的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， 点D的轨迹方程为²， 是AB中点， ， ， 所以的最大值为 故选 例86．阿波罗尼斯证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这类圆称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，点、，动点P到点的距离之比为，当不共线时，面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A  【解析】 建立如图直角坐标系， 设，，，则， 化简得如图， 当点P到轴距离最大时，的面积最大， 面积的最大值是， 故选 例87．已知点，点M是圆E：上的动点，点N是圆F：上的动点，则的最大值是 A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 如图： 圆的圆心，圆的圆心，这两个圆的半径都是 要使最大，需最大，且最小，由图可得，最大值为，的最小值为， 故最大值是， 故的最大值为， 故选 例88．已知关于x的方程有两个不同的解，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 由题意得，半圆与直线有两个交点， 又直线过定点 ， 如图所示， 又点， 当直线在AM位置时，斜率 当直线和半圆相切即在BM位置时，由半径，解得， 由图可得当时，半圆与直线有两个交点， 即方程有两个不同的实根， 综上所述：  故选 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$