函数的零点与方程的解 专项训练——2025届高三数学一轮复习

函数的零点与方程的解 一、单项选择题 1．用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(　　) A．(0，1)　　　　　　 B．(1，2) C．(2，3) 　 D．(3，4) 2．函数f (x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3) 　 B．(1，2) C．(0，3) 　 D．(0，2) 3．已知函数h(x)是奇函数，且f (x)＝h(x)＋2，若x＝2是函数y＝f (x)的一个零点，则f (－2)＝(　　) A．－4　　 B．0 C．2　　 D．4 4．函数f (x)＝log2x－log4(x＋20)的零点为(　　) A．4 　 B．4或5 C．5 　 D．－4或5 5．已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(1，2] 　 B．(1，2) C．(0，1) 　 D．[1，＋∞) 6．函数f (x)是定义在R上最小正周期为2的周期函数，当0x<2时，f (x)＝x2－x，则函数y＝f (x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为(　　) A．6　　 B．7 C．8　　 D．9 7．已知＝0，x2＋log2x2＝－log2x3＝0，则(　　) A．x1<x2<x3 　 B．x2<x1<x3 C．x1<x3<x2 　 D．x2<x3<x1 8．关于函数f (x)＝ 其中a，b∈R，给出下列四个结论： 甲：5是该函数的零点． 乙：4是该函数的零点． 丙：该函数的所有零点之积为0. 丁：方程f (x)＝1有两个不等的实根． 若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是(　　) A．甲　　 B．乙 C．丙　　 D．丁 二、多项选择题 9．对于函数f (x)，若在其定义域内存在x0，使得f (x0)＝x0，则称x0为函数f (x)的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有(　　) A．f (x)＝2x2＋ 　 B．f (x)＝ex－3x C．f (x)＝ex-1－2ln x 　 D．f (x)＝ln x－ 10．已知函数f (x)＝ 函数g(x)＝[f (x)]2－(a－1)f (x)－a，则下列说法错误的是(　　) A．若a<－，则g(x)恰有2个零点 B．若1a<2，则g(x)恰有4个零点 C．若g(x)恰有3个零点，则a的取值范围是[0，1) D．若g(x)恰有2个零点，则a的取值范围是∪(2，＋∞) 三、填空题 11．函数f (x)的图象在区间(0，2)上连续不断，能说明“若f (x)在区间(0，2)上存在零点，则f (0)·f (2)<0”为假命题的一个函数f (x)的解析式可以为f (x)＝________． 12．定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋1)＝f (－x)，且当x∈时，f (x)＝4x，则函数g(x)＝f (x)＋在上的零点之和为________． 13．已知函数f (x)＝若方程f (x)＝ax－1有且仅有三个实数解，则实数a的取值范围为(　　) A．0<a<1 　 B．0<a<2 C．a>1 　 D．a>2 14．(多选)已知函数f (x)＝下列关于函数y＝f ＋1的零点个数的说法中正确的是(　　) A．当k>1时，有1个零点 B．当k＝－2时，有3个零点 C．当0＜k＜1时，有4个零点 D．当k＝－4时，有7个零点 15．已知函数f (x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则ea＋ln b＝________． 16．已知函数f (x)＝ 若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f (x1)＝f (x2)＝f (x3)＝f (x4)，则x1x2＝________，(x3－3)(x4－3)的取值范围是________ 参考答案 1．B　[令f (x)＝log4x－， 因为函数y＝log4x，y＝－在(0，＋∞)上都是单调递增的， 所以函数f (x)＝log4x－在(0，＋∞)上是单调递增的， f (1)＝－<0，f (2)＝log42－＝＝>0， 所以函数f (x)＝log4x－在区间(1，2)上有唯一零点， 所以用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2)．故选B.] 2．C　[由题意知，函数f (x)在(1，2)上单调递增，又函数f (x)的一个零点在区间(1，2)内， 所以即解得0<a<3.故选C.] 3．D　[因为x＝2是函数y＝f (x)的一个零点，则f (2)＝0，于是f (2)＝h(2)＋2＝0，即h(2)＝－2， 而函数h(x)是奇函数，则有h(－2)＝－h(2)＝2， 所以f (－2)＝h(－2)＋2＝4.故选D.] 4．C　[由题意可得解得x>0，故f (x)的定义域为(0，＋∞)，令f (x)＝log2x－log4(x＋20)＝0，得log4x2＝log4(x＋20)(x>0)，则x2＝x＋20，解得x＝5或x＝－4，又∵x>0, ∴x＝5.故选C.] 5．A　[因为函数g(x)＝f (x)－m有三个零点， 所以函数f (x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，作出函数f (x)的图象，如图所示， 由图可知，1<m≤2，即m的取值范围是(1，2].] 6．B　[令f (x)＝x2－x＝0， x＝0或x＝1，所以f (0)＝0，f (1)＝0， 因为函数的最小正周期为2， 所以f (2)＝0，f (3)＝0，f (－2)＝0， f (－1)＝0，f (－3)＝0. 所以函数y＝f (x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为7．] 7．A　[设函数f (x)＝x＋2x，易知f (x)在R上单调递增， f (－1)＝－，f (0)＝1，即f (－1)f (0)<0， 由函数零点存在定理可知，－1<x1<0； 设函数g(x)＝x＋log2x， 易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g＝－，g(1)＝1， 即gg(1)<0， 由函数零点存在定理可知，<x2<1； 设函数h(x)＝－log2x， 易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(1)＝，h(x3)＝0， 因为h(1)>h(x3)， 由函数单调性可知，x3>1， 即－1<x1<0<x2<1<x3．] 8．B　[当x∈[3.5，＋∞)时，f (x)＝b－x单调递减，故5和4只有一个是函数的零点． 即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确． 由所有零点之积为0，结合分段函数的性质，知必有一个零点为0， 则f (0)＝log22－a＝0，可得a＝1. ①若甲正确，则f (5)＝b－5＝0，则b＝5， 可得 f (x)＝ 由f (x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或5－x＝1，x≥3.5，解得x＝2或x＝4，方程f (x)＝1有两个不等的实根，故丁正确．则甲正确，乙错误； ②若乙正确，则f (4)＝0，即b－4＝0，则b＝4， 可得f (x)＝ 由f (x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或4－x＝1，x≥3.5， 解得x＝2，方程f (x)＝1只有一个实根，故丁错误，不满足题意． 综上，甲正确，乙错误．故选B.] 9．BC　[对于A，f (x)定义域为R，f (x)＝2x2＋＝x，则2x2－x＋＝0，由于Δ＝1－4×2×<0，故方程无实数根，故A错误； 对于B，f (x)定义域为R，f (x)＝ex－3x＝x，记g(x)＝ex－4x，则g(x)的图象是连续不断的曲线，g(0)＝1>0，g(1)＝e－4<0，根据零点存在定理可知，g(x)在(0，1)上存在零点，故B正确； 对于C，f (x)定义域为(0，＋∞)，f (x)＝ex-1－2ln x＝x，由于f (1)＝e0－0＝1，所以x＝1是f (x)的一个不动点，故C正确； 对于D，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f (x)＝ln x－＝x，令F(x)＝ln x－－x， 则F′(x)＝－1＝＝， 故当x>2时，f ′(x)<0，F(x)单调递减， 当0＜x＜2时，f ′(x)>0，F(x)单调递增， 故当x＝2时，F(x)取极大值也是最大值， 故F(x)≤F(2)＝ln 2－3<0，故f (x)＝ln x－＝x在(0，＋∞)上无实数根，故D错误．故选BC.] 10．ACD　[令g(x)＝[f (x)]2－(a－1)f (x)－a＝0， 则[f (x)－a][f (x)＋1]＝0，解得f (x)＝－1或f (x)＝a. 当x>0时，f ′(x)＝ln x＋1．由f ′(x)>0，得x>；由f ′(x)<0，得0<x<， 则f (x)在上单调递减，在上单调递增，f ＝－. f (x)＝－x2－2x＋1，x≤0，当x＝－1时，f (－1)＝2， 故f (x)的大致图象如图所示．由图可知，f (x)＝－1有且仅有1个实根． 当a＝－1时，g(x)恰有1个零点，故A错误； 当1≤a<2时，f (x)＝a有3个实根，则g(x)恰有4个零点，故B正确； 由g(x)恰有3个零点，得f (x)＝a恰有2个实根，则a＝2或0≤a<1或a＝－，则C错误； 由g(x)恰有2个零点，得f (x)＝a恰有1个实根，且a≠－1，则a<－1或－1<a<－或a>2，则D错误． 故选ACD.] 11．(x－1)2(答案不唯一)　[函数f (x)的图象在区间(0，2)上连续不断，且“若f (x)在区间(0，2)上存在零点，则f (0)·f (2)<0”为假命题，可知函数f (x)满足在(0，2)上存在零点，且f (0)·f (2)≥0，所以满足题意的函数解析式可以为f (x)＝(x－1)2．] 12．6　[因为函数f (x)满足f (x＋1)＝f (－x)，所以函数f (x)的图象的对称轴为直线x＝，又因为函数f (x)为奇函数，所以f (x)＝－f (－x)，又f (x＋1)＝f (－x)，所以f (x＋1)＝－f (x)，所以函数f (x)的周期为2， 又因为当x∈时，f (x)＝4x，作出函数f (x)和y＝－的简图如图所示， 由图可知，有6个交点，这6个交点是关于点(1，0)对称的，且关于点(1，0)对称的两个点的横坐标之和为2，所以零点之和为3×2＝6．] 13．B　[作出函数f (x)的图象如图． 依题意方程f (x)＝ax－1有且仅有三个实数解， 即y＝f (x)与y＝ax－1有且仅有三个交点， 因为y＝ax－1必过点(0，－1)，且f (0)＝－1， 若a≤0，方程f (x)＝ax－1不可能有三个实数解， 则必有a>0， 当直线y＝ax－1与y＝ln x在x>0时相切时， 设切点坐标为(x0，y0)，则f ′(x)＝，即f ′(x0)＝， 则切线方程为y－y0＝(x－x0)， 即y＝·x＋y0－1＝·x＋ln x0－1， 因为切线方程为y＝ax－1， 所以a＝且ln x0－1＝－1，则x0＝1，所以a＝1， 即当a>0时y＝ax－1与y＝f (x)在(0，＋∞)上有且仅有一个交点， 要使方程f (x)＝ax－1有且仅有三个实数解， 则当x≤0时f (x)＝x2＋2x－1与y＝ax－1有两个交点，设直线y＝ax－1与f (x)＝x2＋2x－1切于点(0，－1)，此时f ′(x)＝2x＋2，则f ′(0)＝2，即a＝2， 所以0<a<2.故选B.] 14．ABD　[令y＝0，得f ＝－1，设f (x)＝t，则方程f ＝－1等价为f ＝－1，函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上，过点(0，1)，对称轴为x＝. 对于A，当k>1时，作出函数f (x)的图象， ∵f ＝－1，此时方程f ＝－1有一个根t＝，由f (x)＝可知，此时x只有一解，即函数y＝f ＋1有1个零点，故A正确； 对于B，当k＝－2时，作出函数f (x)的图象， ∵f ＝－1，此时方程f ＝－1有一个根t＝，由f (x)＝可知，此时x有3个解，即函数y＝f (f (x))＋1有3个零点，故B正确； 对于C，当0＜k＜1时，图象类似于选项A对应的图象，只有1个零点，故C错误； 对于D，当k＝－4时，作出函数f (x)的图象， ∵f ＝－1，此时方程f ＝－1有3个根，其中t1＝，t2∈(－1，0)，t3∈(－4，－3)，由f (x)＝可知，此时x有3个解，由f (x)＝t2∈(－1，0)可知，此时x有3个解，由f (x)＝t3∈(－4，－3)可知，此时x有1个解，即函数y＝f ＋1有7个零点，故D正确．故选ABD.] 15．2　[由f (x)＝0，g(x)＝0得ex＝2－x，ln x＝2－x，函数y＝ex与y＝ln x互为反函数， 在同一坐标系中分别作出函数y＝ex，y＝ln x，y＝2－x的图象， 如图所示，则A(a，ea)，B(b，ln b)，由反函数性质知A，B关于点(1，1)对称，则a＋b＝2，ea＋ln b＝2．] 16．1　(0，27)　[作出函数f (x)＝ 的图象，如图所示， 因为f (x1)＝f (x2)＝f (x3)＝f (x4)，x1＜x2＜x3＜x4. 所以由图可知，－log3x1＝log3x2，＝9， 且3＜x3＜6，即x1x2＝1， 所以(x3－3)(x4－3)＝x3x4－3(x3＋x4)＋9＝x3(18－x3)－45＝＋18x3－45， 因为y＝＋18x3－45在(3，6)上单调递增， 所以0＜y＜27， 即(x3－3)(x4－3)的取值范围是(0，27)． 学科网（北京）股份有限公司 $$