21.1二次函数（2知识点+7题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪科版）

21.1 二次函数 课程标准 学习目标 ①通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义； ②理解二次函数的概念 ①理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式，会辨别一个函数是否为二次函数； ②会根据实际问题确定二次函数的表达式，及自变量的取值范围。 知识点01 二次函数的概念 二次函数的概念：一般地，表达式形如的函数，叫做x 的二次函数，其中x是自变量。 注意：(1)等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式；(2)等号的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但是不能没有二次项；(3) a，b，c是常数，且a≠0. 【即学即练1】（23安徽黄山·期末）下列函数解析式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、当时，不是二次函数，不符合题意； B、，是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选C. 【即学即练2】关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 【答案】B 【详解】解：， ∴该函数是二次函数，其二次项系数是，一次项系数是9，常数项是10， 则A、C、D说法错误，B说法正确， 故选：B． 知识点02 根据实际问题列二次函数表达式 ①根据题目信息，找到等量关系、已知量和未知量（自变量和因变量）； ②根据等量关系和已知量表示出未知量； ③将函数关系式变形为的形式。 【即学即练3】（2024·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：①扇形的面积，扇形的圆心角n一定， 面积S与半径r两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意， ②矩形的面积，矩形的面积S与一边长两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意， ③行驶路程，行驶路程s与行驶时间t两个变量之间的函数关系可以利用一次函数表示，不符合题意， 则①②符合题意， 故选：A． 【即学即练4】某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，求关于的函数关系式． 【答案】 【详解】根据现在的价格等于原价乘以（1+涨价的百分率）的平方，得：， 故答案为：． 列二次函数表达式并确定自变量x的取值范围 问题：相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为xcm，相框内的面积是，则相框内的长和宽分别为 、 ，y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】26-2x、22-2x、 【详解】解：根据题意，得 展开得： 整理得： 根据题意，得 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为， 故答案为： 总结：二次函数自变量的取值范围：一般都是全体实数，但是在一些实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义（长、宽、高、周长、数量、单价等数量值都要大于0）. 【题型一：判断一个函数为二次函数】 例1．（23安徽宣城·期末）下列y关于x的函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，是二次函数，故A不符合题意； B、，不是二次函数，故B符合题意； C、，是二次函数，故C不符合题意； D、，是二次函数，故D不符合题意； 故选：B． 【题型二：根据二次函数的概念确定参数的值或范围】 例2．（24江西宜春·期中）已知是关于的二次函数，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且， 解得． 故答案为：． 变式2-1．若是二次函数，则 ． 【答案】 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 变式2-2．（23山东泰安·期中）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的函数是二次函数，据此可得，解之可得答案． 【详解】解；∵是关于的二次函数， ∴， 解得， 故答案为；． 【方法技巧与总结】 此类问题，先根据自变量的最高次数为2列方程求解，再根据二次项系数不为0，确定参数的范围。 【题型三：列面积（体积）关于周长（长、宽、高）的二次函数表达式】 例3．长方形的周长为，其中一边，面积为，那么与的关系是 ． 【答案】 【详解】解：长方形的周长为，其中一边， 另一边长为， ， 故答案为：． 变式3-1．（23河北保定·期中）用长为的绳子围成一个长方形，设长方形的面积为y ，一边长为，用含有x的代数式表示y为 ，自变量x的取值范围是 ． 【答案】； 【详解】解：①由题意可知，这个长方形的周长为 又因为一边长为， 所以另一边长为 又∵长方形面积长宽， ， 所以． ②∵， ∴ ∴自变量x的取值范围是． 故答案为：①；②． 变式3-2．要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为，且在边上开一扇长为的门，在边上开一扇长为的门，若设鸡场的长为． (1)的长为_____________（用含的代数式表示） (2)若两个鸡场的总面积为，求S与的函数关系式 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：∵篱笆总长为，鸡场的长为， ∴， 故答案为：． （2）解：， 答：S与的函数关系式为． 【方法技巧与总结】①找准变量之间的关系，列等量关系；②变形为二次函数的一般形式。 【题型四：销售问题中的二次函数表达式】 例4．某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【答案】(1)()；(2)() 【详解】（1）设与的函数关系式为 ． 时，， 时，， ， 解得， ， 根据部门规定，得． （2） 【方法技巧与总结】根据利润（销售额）=单价销售量列出总利润（总售价）关于单价（数量）的二次函数解析式即可 【题型五：增长率类问题中的二次函数表达式】 例5．某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数，掌握二次变化的关系式是解决本题的关键．两年后的产值=本年度的产值×（1+增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：第一年度的产值为， ∴第二年度的产值为， ∴． 故答案为： 变式5-1．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与的函数表达式为 ． 【答案】 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 【方法技巧与总结】此类问题需要掌握二次变化的关系式： 两年（月）后的产值=本年度（本月）的产值×（1+增长率）2，再把相关数值代入 【题型六：与二次函数概念有关的新定义问题】 例6．如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，那么称这两个函数互为“旋转函数”．若函数与互为旋转函数，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵函数与互为旋转函数， ， 解得， ∴， 故答案为： 【方法技巧与总结】此类问题常与解方程（组）相联系，根据新定义得到关于参数之间满足的方程，将函数问题转化为方程问题。 【题型七：几何动点问题中面积与运动时间t之间的二次函数表达式】 例7．如图，中，，，，点从点出发，沿边以每秒个单位的速度向终点运动，过点作，交边（或边）于点，设点运动的时间为秒．设的面积为，求与之间的函数关系式．    【答案】 【详解】解：当时，，， ∴ 当时，在上，如图所示，    ∵中，，， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 【方法技巧与总结】①根据题意进行分类讨论；②分析几何关系，用含t的式子表示相关线段的长。 一、选择题 1．下列函数中， 属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、当时，原函数化为：，则不是二次函数，故不符合题意； B、，是一次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、，，分式形式，故不是二次函数，故不符合题意； 故选C． 2．已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意有：， 故选：D． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第三季度总值为； 故选：C 二、填空题 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ． 【答案】 0 【详解】∵二次函数为， ∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为， ∴，，． 故答案为：，0，． 5．二次函数的二次项系数是 ． 【答案】 【详解】解：， ， ∴二次项系数是， 故答案为：． 6．如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 【答案】敏敏 【详解】解：是二次函数， ， 解得，， 又， 即， ， 故敏敏正确． 7．已知函数是二次函数，则m等于 ． 【答案】2 【详解】解：函数是二次函数， 且， 解得：． 故答案为：2． 8．一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【详解】解：原边长为4厘米的正方形面积为：（平方厘米）， 边长增加x厘米后边长变为：， 则面积为：平方厘米， ∴． 故答案为：． 9．直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 10．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆面积与的函数关系为 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：依题意，圆面积与的函数关系为， 故答案为：． 三、解答题 11．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 故答案为：． 12．如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为，求与的函数关系式，并写出x的取值范围． 【答案】(1)； 【详解】解：依题意得，， ∴， ∵墙的最大可用长度为10米， ∴，即，解得：， ∴x的取值范围是：； 13．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ． 【答案】 【详解】解：某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为： ， 即． 故答案为：． 14．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，求m关于n的函数解析式． 【答案】 【详解】解：根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，所以， 故答案为： ． 15．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． 设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． 【答案】 【详解】降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克，利用利润=（售价-成本）×销售量得， 整理得 16．如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接．在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 【答案】 【详解】解：，， ， ，， ， ， 根据题意得：，，则， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 解：，，，，， ，， ． 即 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1 二次函数 课程标准 学习目标 ①通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义； ②理解二次函数的概念 ①理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式，会辨别一个函数是否为二次函数； ②会根据实际问题确定二次函数的表达式，及自变量的取值范围。 知识点01 二次函数的概念 二次函数的概念：一般地，表达式形如的函数，叫做x 的二次函数，其中x是自变量。 注意：(1)等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式；(2)等号的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但是不能没有二次项；(3) a，b，c是常数，且a≠0. 【即学即练1】（23安徽黄山·期末）下列函数解析式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 知识点02 根据实际问题列二次函数表达式 ①根据题目信息，找到等量关系、已知量和未知量（自变量和因变量）； ②根据等量关系和已知量表示出未知量； ③将函数关系式变形为的形式。 【即学即练3】（2024·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【即学即练4】某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，求关于的函数关系式． 列二次函数表达式并确定自变量x的取值范围 问题：相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为xcm，相框内的面积是，则相框内的长和宽分别为 、 ，y与x之间的函数关系式为 ． 总结：二次函数自变量的取值范围：一般都是全体实数，但是在一些实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义（长、宽、高、周长、数量、单价等数量值都要大于0）. 【题型一：判断一个函数为二次函数】 例1．（23安徽宣城·期末）下列y关于x的函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型二：根据二次函数的概念确定参数的值或范围】 例2．（24江西宜春·期中）已知是关于的二次函数，那么的值为 ． 变式2-1．若是二次函数，则 ． 变式2-2．（23山东泰安·期中）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【方法技巧与总结】 此类问题，先根据自变量的最高次数为2列方程求解，再根据二次项系数不为0，确定参数的范围。 【题型三：列面积（体积）关于周长（长、宽、高）的二次函数表达式】 例3．长方形的周长为，其中一边，面积为，那么与的关系是 ． 变式3-1．（23河北保定·期中）用长为的绳子围成一个长方形，设长方形的面积为y ，一边长为，用含有x的代数式表示y为 ，自变量x的取值范围是 ． 变式3-2．要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为，且在边上开一扇长为的门，在边上开一扇长为的门，若设鸡场的长为． (1)的长为_____________（用含的代数式表示） (2)若两个鸡场的总面积为，求S与的函数关系式 【方法技巧与总结】①找准变量之间的关系，列等量关系；②变形为二次函数的一般形式。 【题型四：销售问题中的二次函数表达式】 例4．某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【方法技巧与总结】根据利润（销售额）=单价销售量列出总利润（总售价）关于单价（数量）的二次函数解析式即可 【题型五：增长率类问题中的二次函数表达式】 例5．某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是 ． 变式5-1．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与的函数表达式为 ． 【方法技巧与总结】此类问题需要掌握： 两年（月）后的产值=本年度（本月）的产值×（1+增长率）2，再把相关数值代入 【题型六：与二次函数概念有关的新定义问题】 例6．如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，那么称这两个函数互为“旋转函数”．若函数与互为旋转函数，则的值为 ． 【方法技巧与总结】此类问题常与解方程（组）相联系，根据新定义得到关于参数之间满足的方程，将函数问题转化为方程问题。 【题型七：几何动点问题中面积与运动时间t之间的二次函数表达式】 例7．如图，中，，，，点从点出发，沿边以每秒个单位的速度向终点运动，过点作，交边（或边）于点，设点运动的时间为秒．设的面积为，求与之间的函数关系式．    【方法技巧与总结】①根据题意进行分类讨论；②分析几何关系，用含t的式子表示相关线段的长。 一、选择题 1．下列函数中， 属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ． 5．二次函数的二次项系数是 ． 6．如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 7．已知函数是二次函数，则m等于 ． 8．一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ． 9．直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是 ． 10．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆面积与的函数关系为 ．（结果保留） 三、解答题 11．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 12．如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为，求与的函数关系式，并写出x的取值范围． 13．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ． 14．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，求m关于n的函数解析式． 15．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． 设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． 16．如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接．在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$