21.2二次函数的图象与性质（7知识点+10题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪科版）

21.2二次函数的图象与性质 课程标准 ①会用描点法画出画出二次函数的图象，会利用些特殊点画出二次函数的草图； ②通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系。 ③会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标； ④会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x - h)2 +k(a≠0)的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题； 学习目标 课时1：①会用描点法画出画出二次函数y=ax2(a≠0)的图象，总结图象的特点，通过图象了解二次函数y=ax2的性质；②能说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值。 课时2：①会熟练画出二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象，能根据图象识记y=ax2+k(a≠0)的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值以及增减性；②理解抛物线y=ax2+k(a≠0)是由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到的，能准确说出平移方式。 课时3：①熟练画出二次函数y=a(x - h)2 (a≠0)的图象，根据图象确定开口方向、顶点坐标、对称轴、最值（并能确定相应自变量的值）、与坐标轴的交点坐标以及增减性；②理解y=ax2(a≠0)与y=a(x - h)2 (a≠0)的关系，能准确说出由y=ax2(a≠0)得到y=a(x - h)2 (a≠0)的平移方式。 课时4：①熟练画出二次函数y=a(x - h)2 +k(a≠0)的图象，能根据图象确定y=a(x - h)2 +k(a≠0)的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值（并能确定相应自变量的值）、与坐标轴的交点坐标以及增减性；②理解y=ax2(a≠0)与y=a(x - h)2 +k(a≠0)的关系，能准确说出由y=ax2(a≠0)得到y=a(x - h)2 +k(a≠0)的平移方式。 课时5：①会用配方法或公式法将一般式y= ax2+bx+c化成项点式y=a(x - h)2 +k，从而确定开口方向、对称轴及顶点坐标；②会利用特殊点画出y= ax2+bx+c的草图；③理解二次函数y= ax2+bx+c的性质，理解其对称轴是直线，顶点坐标为。 ※课时6：①了解方程组与二次函数之间的关系；②会用待定系数法求二次函数的一般式y= ax2+bx+c；③会联立方程组求二次函数抛物线y= ax2+bx+c与直线y=kx+b的交点坐标。 （说明：知识点按照课时顺序进行编排） 知识点01 画二次函数的图象 ①列表-描点-连线五点法作二次函数的图象：是一条抛物线。 ②抛物线的主要特征：有开口方向、有对称轴、有顶点。 【即学即练1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①；②；③；④,从图象对比，说出解析式中二次项系数对抛物线的形状有什么影响？ 知识点02 二次函数y=ax2的图象与性质 y=ax2 对称轴 顶点坐标 图象 增减性 开口方向 开口大小 a>0 y轴 （0，0） x>0，y随x的增大而增大; x<0，y随x的增大而减小 开口向上 图象 在x轴上方 /a/的越大，抛物线开口越小，图象越靠近y轴。 a<0 x>0，y随x的增大而减小; x<0，y随x的增大而增大 开口向下 图象 在x轴下方 【即学即练2】在二次函数中，当时，，则的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【即学即练3】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）二次函数的图象是一条抛物线，若抛物线开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】已知二次函数的图象上有两点，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【即学即练5】在同一坐标系中，作，，的图象，它们的共同特点是（    ） A．抛物线的开口方向向上 B．都是关于轴对称的抛物线，且随的增大而增大 C．都是关于铀对称的抛物线，且随的增大而减小 D．都是关于轴对称的抛物线，有公共的顶点 【即学即练6】如图，①，②，③，④，比较a．b．c．d的大小，用“”连接．    【即学即练7】抛物线经过点． (1)求这个二次函数的关系式； (2)为何值时，的值随着的增大而增大？ 知识点03 二次函数y=ax2+k的图象与性质 y=ax2+k a>0 a<0 图象 对称轴：y轴 顶点坐标：（0，k） 增减性 x>0，y随x的增大而增大; x<0，y随x的增大而减小 x>0，y随x的增大而减小; x<0，y随x的增大而增大 开口方向 开口向上 （图象在直线y=k的上方） 开口向下 （图象在直线y=k的下方） 开口大小 /a/的越大，抛物线开口越小，图象越靠近y轴 最值 x=0时，取得最小值k x=0时，取得最大值k y=ax2+k 与y=ax2 图象之间的关系 k>0， y=ax2向上平移/ k /个单位得到y=ax2+k k<0，y=ax2向下平移/ k /个单位得到y=ax2+k 【即学即练8】已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．关于y轴对称 C．顶点是 D．y有最大值 【即学即练9】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知点，在二次函数上，且， 则下列结论一定正确的是（      ） A． B． C． D．无法确定 【即学即练10】已知抛物线，则当时，的取值范围为 ． 知识点04 二次函数y=a(x - h)2的图象与性质 y=a(x - h)2 a>0 a<0 图象 对称轴：x=h 顶点坐标：（h，0） 增减性 x>h，y随x的增大而增大; x<h，y随x的增大而减小 x>h，y随x的增大而减小; x<h，y随x的增大而增大 开口方向 开口向上 （图象在x轴的上方） 开口向下 （图象在x轴的下方） 开口大小 /a/的越大，抛物线开口越小，图象越靠近直线x=h 最值 x=h时，取得最小值0 x=h时，取得最大值0 y=a(x - h)2与y=ax2 图象之间的关系 h>0，y=ax2向右平移/ h /个单位得到y= a(x - h)2 h<0，y=ax2向左平移/ h /个单位得到y= a(x - h)2 【即学即练11】（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【即学即练12】（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，大小关系为 ． 知识点05 二次函数y=a(x - h)2 +k图象与性质 y=a(x - h)2 +k a>0 a<0 图象 k>0,h>0 k>0,h<0 k<0,h>0 k<0,h<0 k>0,h<0 k>0,h>0 k<0,h>0 k<0,h<0 对称轴：x=h 顶点坐标：（h，k） 增减性 x>h，y随x的增大而增大; x<h，y随x的增大而减小 x>h，y随x的增大而减小; x<h，y随x的增大而增大 开口方向 开口向上 （图象在直线y=k的上方） 开口向下 （图象在直线y=k的下方） 开口大小 /a/的越大，抛物线开口越小，图象越靠近直线x=h 最值 x=h时，取得最小值k x=h时，取得最大值k y=a(x - h)2+k与y=ax2图象之间的关系 (二次函数的平移) 抛物线的形状不变，顶点位置由（0，0）平移到（h，k） 【即学即练13】（2024·湖南衡阳·一模）已知抛物线，下列结论中错误的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式为 【即学即练14】将某二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到新的二次函数的图象，则原二次函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 【即学即练15】下列图象中，可能是的图象的是（    ） A．  B．   C．   D．   【即学即练16】（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点． （1）若对于，有，则 ； （2）若对于，都有，求的取值范围． 【技巧与方法】a>0,离对称轴越近的店其函数值越小；a<0，离对称轴越近的点，其函数值越大。 知识点06 二次函数三种形式表达式之间的关系 二次函数的解析式有三种形式： ①一般式：， ②顶点式： 利用配方法把二次函数一般式y= ax2+bx+c化为顶点式y=a(x - h)2 +k ： 其中h =，k= ※③两根式：当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。 【即学即练17】（1）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ． （2）将二次函数配方后变成 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ；当时，函数的取值范围是 ． （3）二次函数的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ． （4）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ；当a 0时，二次函数有最小值，最小值为 ． 【即学即练18】（22-23九年级上·安徽安庆·期末）抛物线上的点到x轴的最短距离为（     ） A． B．1 C． D．2 【即学即练19】（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如果一条抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线 ． 知识点07 二次函数一般式y= ax2+bx+c的系数与图象的关系 y= ax2+bx+c a>0，开口向上 a<0，开口向下 对称轴是x=，顶点坐标是（，），与y轴的交点（0，c） 最值 x=时，有最小值： x=时，有最大值： 增减性 当x<时，y随x的增大而减小； 当x>时，y随x的增大而增大； 简记左减右增； 当x<时，y随x的增大而增大； 当x>时，y随x的增大而减小； 简记左增右减； 【即学即练20】已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若，当时，的最大值为5，则的值为 ． 【注意】对称轴不确定时，需要分类讨论函数的最大值 【即学即练21】（2024·安徽合肥·三模）二次函数的对称轴为直线，点，都在函数图象上． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 【即学即练22】（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【总结】熟练掌握抛物线的性质和各系数表示的意义可解此类问题：根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置,抛物线对称性及赋值x，可得a、b、c的数量关系， ·分类讨论——根据二次函数的性质分类讨论确定未知参数的范围 根据最值和增减性讨论自变量未知参数的范围：先确定对称轴和增减性，再联系图象进行分类讨论最值，继而确定自变量中参数的范围。 案例：当时，函数的最大值为，求t的值． 根据， 得出当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． ∴该抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． ∵当时，函数的最大值为， 求函数取得最值时自变量的取值： 把代入，得，解得，． 再根据二次函数的增减性，进行分类讨论： ①当时，时，取得最大值，解得； ②当时，时，取得最大值． ∴t的值为或2． ·数形结合与代数消元——利用二次函数的对称轴及对称性确定函数的值 根据二次函数的对称性，到对称轴距离相等的点的y值（函数值）相等。现给出点A(x1，y1)、点B（x2，y2），根据坐标系中，任意两点之间中点坐标的表示，可知当y1= y2时， 案例：对于二次函数的图象经过两点，已知点都在该函数图象上，y1= y2。 ①求对称轴：根据两点的纵坐标都是0，可知该函数的对称轴，即可求出a的值为，解析式： ②利用及对称轴表示进行消元： 先代数表示函数值得到，， 进而得到，， 最后 应用：在平面直角坐标系中，二次函数上的点、满足． ①若，比较和的大小，并说明理由； ②求的取值范围． 解答： 【题型一：一次函数、 二次函数图象综合判断】 例1．（23-24八年级下·福建福州·期末）直线经过第一、二、四象限，那么的图像大致为(   ) A．B．C． D． 变式1-1（2024·河南周口·三模）直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A．B．C．D． 变式1-2．（2024·广东深圳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 变式1-3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若将抛物线向右平移个单位，得到抛物线，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】①根据一次函数图象确定参数k、b得正负情况；②再结合抛物线的图象与其各项系数的关系从而判断出函数开口方向，对称轴的位置； 【题型二：二次函数图象的平移变换】 例2．（2024·安徽阜阳·三模）若将抛物线向左平移1个单位长度或向右平移3个单位长度后都经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2-1.（23-24九年级上·安徽滁州·期中）将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线的表达式为 ． 变式2-2．将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】将抛物线的平移问题转化为抛物线上的点的坐标平移进行解题，坐标平移满足“左减右加”的原则。 【题型三：二次函数图象的对称变换】 例3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是（　　） A． B． C． D． 变式3-1.抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．拋物线形状相同 D．顶点都在轴上 【技巧与方法】将图象的对称变换转化为特殊点的对称变化：利用顶点坐标的变化确定抛物线的变换．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相同，求出对称后的抛物线的顶点坐标 【题型四：己知抛物线上对称的两点表示对称轴】 例4．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． 此二次函数的对称轴为直线 ； 变式4-1．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． 已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是 ； 【方法技巧与总结】利用对称轴解决问题：①找对称点，表示出对称轴；②根据对称轴和二次项系数，作抛物线的草图，结合图象解决问题。 【题型五：综合判断含参数的二次函数的性质】 例5．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知函数，下列结论错误的是（    ）． A．当时，随的增大而增大 B．当时，函数图象的顶点坐标是 C．当时，若，则随的增大而减小 D．无论取何值，函数图象部经过同一个点 变式5-1（2024·安徽合肥·三模）直线与抛物线位于同一坐标系内，下列关于它们的说法不正确的是（　　） A．当时，随的增大而增大 B．当时，的图像一定不过第三象限 C．当时，与交点的横坐标的范围是 D．与的图像一定有两个交点 变式5-2（2024·安徽合肥·二模）抛物线的顶点为A，过A点作y轴的平行线交直线于点B，下列结论错误的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线过定点 C．若抛物线与直线在第一象限有交点，则 D．线段的最小值为1 【总结】灵活运用二次函数的性质逐项进行判断，排除法作选择题。 【题型六：根据二次函数的图象判断各项系数及其代数式的符号】 例6．（2024·安徽池州·三模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．如图是二次函数图像的一部分，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．当时， D．若，，在该函数图像上，则 变式6-2．二次函数的图象如图所示，与x轴左侧交点为，对称轴是直线．下列结论： ①； ②； ③； ④（m为实数）． 其中结论正确的为（　　） A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 变式6-3.（2024·吉林长春·一模）函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论： ①； ②； ③； ④当时，． 上述结论中、所有正确结论的序号是 ． 【方法技巧与总结】 二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴左； 当与异号时（即），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与轴交点，抛物线与y轴交于；x=1时，判断a+b+c的符号；x=-1时，判断a-b+c的符号. 【题型七：待定系数法确定二次函数的表达式】 例7．如图，二次函数的图象与x轴的交点为A、D（在的右侧），与y轴的交点为C，且，，对称轴是直线，求二次函数的解析式． 变式7-1．如图，抛物线经过，两点，求该抛物线的函数解析式． 变式7-2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知抛物线过点，求抛物线的解析式． 例8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 变式8-1．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 0 5 … 求这个二次函数的解析式. 【技巧与方法】待定系数法求二次函数的解析式：①若已知抛物线上任意两点坐标和对称轴，就先设二次函数的解析式为，然后将两点坐标分别代入解析式，再结合对称轴是直线，求出a，b，c；②若已知抛物线与x轴的交点坐标和任意一点坐标，就设两点式：y=a(x-x1)(x-x2)；③若已知若已知抛物线的顶点坐标和任意一点坐标就设顶点式。 【题型八：根据二次函数对称性求最短路径】 例9．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标．      变式9-1．如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 变式9-2.（2021·安徽安庆·二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点． （1）求此抛物线的解析式； （3）若一个动点P自OA的中点M动身，先抵达x轴上的某点（设为点E），再抵达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．（P可在平面坐标系内任意运动），求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出最短总路径的长． 【方法技巧与总结】求三点之间的最短距离问题，关键是轴对称性质：作已知一点关于对称轴的对称点，再转化线段，根据两点之间线段最短，三点共线时即为所求最短距离． 【题型九：根据二次函数的性质求参数范围】 例10．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 变式10-1.（2024·陕西西安·一模）若抛物线（m是常数）的顶点到x轴的距离为2，则m的值为（　　） A． B． C．﹣或 D．或 变式10-2．（2024·安徽宿州·二模）抛物线（a，b，c是常数且）经过点和点．当时，下列结论可能成立的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 例11.（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． （1）此二次函数的对称轴为直线 ； （2）已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是 ； 变式11-1．（2024·安徽马鞍山·一模）设，若对于任意实数x，都满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 【思想方法】数形结合、转化、消元 【题型十：在二次函数与图形综合问题中利用两点间的距离表示线段的长】 例12.平移抛物线，平移后的图象记为图象，其顶点在抛物线上，直线分别与抛物线和函数图象交于点和点，求线段长的最大值． 变式12-1．如图，已知二次函数与一次函数相交于两点，是线段上一动点，是拋物线上的动点，且平行于轴，求在移动过程中，线段的最大值． 变式12-2.（2024·安徽淮北·三模）抛物线，与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为． 若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 ． 【技巧与方法】①先根据条件表示出线段端点的横坐标、设出动点的坐标；②利用函数表达式表示端点的纵坐标；③利用两点间的距离公式表示出线段的长（一般情况下是建立一个新的二次函数） 例13．（2024·安徽芜湖·三模）如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，连接，已知抛物线的对称轴为直线，． (1)求，的值． (2)若点在线段上，过点作，交抛物线于点，求线段的最大值． (3)若点在轴上，点在抛物线上，当，，，为平行四边形的四个顶点时，求点的坐标． 变式13-1.已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值    【技巧与方法】①设而不求代数法；②联立直线（一次函数表达式）和抛物线（二次函数表达式）构造方程组，确定直线和抛物线的交点坐标。 一、选择题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）抛物线的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（    ）    A．4 B．2 C． D． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）下列对于二次函数，说法不正确的是（　　） A．最小值为3 B．图象与y轴没有公共点 C．当时，y随x的增大而减小 D．其图象的对称轴是y轴 4．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，函数的最大值是 C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点 5．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 6．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期末）关于二次函数 下列说法正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．当时，有最大值 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线的顶点坐标是 7．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）抛物线的对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）若点，，都在抛物线上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）把一抛物线向上平移3个单位，再向左平移个单位得到的解析式为，则原抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．抛物线的顶点坐标是 ． 12．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线的表达式为 ． 三、解答题 13.一个二次函数（）的图象经过点关于坐标轴的对称点B，求其关系式． 14．抛物线经过点，且点在此抛物线上，求的值． 15．抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线，求该抛物线的表达式． 16．已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，求抛物线的函数解析式； 17．已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求该二次函数的表达式． 18．如图，函数的图象经过点A，B，C． (1)求b，c的值； (2)画出这个函数的图象； 19．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数． (1)将二次函数化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出的大致图象，并根据图象直接写出时，的取值范围． 20．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）二次函数，其中为实数． (1)判断点是否在该拋物线上． (2)求该二次函数顶点的纵坐标（用含的代数式表示）． (3)若将该二次函数图像向下平移3个单位长度，所得抛物线顶点纵坐标的最小值为________．（直接写出答案） 21．如图，二次函数的图象与轴相交于点A、B，与轴相交于点．过点作轴，交该图象于点．若、．    (1)求该抛物线的对称轴； (2)求的面积． 22．在平面直角坐标系中，点是抛物线上任意一点，点在该抛物线上．若存在，恰好使．比较的大小，并说明理由． 23．如图，已知二次函数与一次函数相交于两点，是线段上一动点，是拋物线上的动点，且平行于轴，求在移动过程中，线段的最大值． 24．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，且二次函数的对称轴为直线，一次函数的图象与抛物线交于、两点． (1)请求出点的坐标； (2)请利用图象直接写出时x的取值范围． (3)请利用图象直接写出当两函数的函数值的积小于0时的自变量取值范围． 25．（23-24九年级上·北京门头沟·期末）在平面直角坐标系中，点，为抛物线上任意两点，其中．    (1)若抛物线的对称轴为，当为何值时，； (2)设抛物线的对称轴为，若对于，都有，求t的取值范围． 一、选择题 1．（2024·安徽亳州·三模）二次函数与一次函数（，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·二模）已知二次函数的图象经过点，，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（   ） A． B．若抛物线与x轴交于，两点，则 C． D．对任意实数t，总有 5．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③m为任意实数时，；④；⑤若，且，则．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 6．（2024·安徽蚌埠·三模）已知二次函数． （1）当，时，该函数图象的顶点坐标为 ； （2）当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，则 ． 7.（23-24九年级上·安徽六安·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作正方形．则抛物线的顶点坐标是 ，正方形周长的最小值是 ． 8．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）二次函数（a，b，c是常数，）图象的对称轴是直线，其中图象的一部分如图所示．对于下列说法：①；②当时，；③；④．其中正确的是 （把正确说法的序号都填上）． 三、解答题 9．（2024·河南郑州·三模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在点的右边，． (1)求抛物线的表达式； (2)为抛物线上任意一点，将点向上平移个单位长度得到点，若点关于原点的对称点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，求的取值范围． 10．（2024·安徽六安·一模）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P． (1)求点P的坐标； (2)当时，二次函数的最大值是15，求a的值； (3)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 1．如图，二次函数，第一个正方形，第二个正方形，第三个正方形，，点，，，，，点，，，，在二次函数上，，，，，在轴正半轴上，则第个正方形的边长为 ． 2．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，抛物线与轴负半轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若是直线上方抛物线上一点，过点作交直线于点．设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的坐标； ②请用含的代数式表示出线段的长，并求出线段的最大值． 3．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求直线的解析式及抛物线的解析式； (2)如图，点为第一象限抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，求当点的横坐标为多少时，最大； (3)如图，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点，若点是线段的中点，求抛物线的解析式． 4．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知． (1)求a，b的值； (2)已知横坐标为t的点P为对称轴左侧的抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M， ①若与的面积之和为8，求t的值； ②过点P作x轴的垂线，垂足为N，直线交线段于点D，是否存在这样的点P，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 5．（2024·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C． (1)求a，b满足的关系式及c的值； (2)当时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值 (3)当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，当m取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2二次函数的图象与性质 课程标准 ①会用描点法画出画出二次函数的图象，会利用些特殊点画出二次函数的草图； ②通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系。 ③会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标； ④会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x - h)2 +k(a≠0)的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题； 学习目标 课时1：①会用描点法画出画出二次函数y=ax2(a≠0)的图象，总结图象的特点，通过图象了解二次函数y=ax2的性质；②能说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值。 课时2：①会熟练画出二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象，能根据图象识记y=ax2+k(a≠0)的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值以及增减性；②理解抛物线y=ax2+k(a≠0)是由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到的，能准确说出平移方式。 课时3：①熟练画出二次函数y=a(x - h)2 (a≠0)的图象，根据图象确定开口方向、顶点坐标、对称轴、最值（并能确定相应自变量的值）、与坐标轴的交点坐标以及增减性；②理解y=ax2(a≠0)与y=a(x - h)2 (a≠0)的关系，能准确说出由y=ax2(a≠0)得到y=a(x - h)2 (a≠0)的平移方式。 课时4：①熟练画出二次函数y=a(x - h)2 +k(a≠0)的图象，能根据图象确定y=a(x - h)2 +k(a≠0)的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值（并能确定相应自变量的值）、与坐标轴的交点坐标以及增减性；②理解y=ax2(a≠0)与y=a(x - h)2 +k(a≠0)的关系，能准确说出由y=ax2(a≠0)得到y=a(x - h)2 +k(a≠0)的平移方式。 课时5：①会用配方法或公式法将一般式y= ax2+bx+c化成项点式y=a(x - h)2 +k，从而确定开口方向、对称轴及顶点坐标；②会利用特殊点画出y= ax2+bx+c的草图；③理解二次函数y= ax2+bx+c的性质，理解其对称轴是直线，顶点坐标为。 ※课时6：①了解方程组与二次函数之间的关系；②会用待定系数法求二次函数的一般式y= ax2+bx+c；③会联立方程组求二次函数抛物线y= ax2+bx+c与直线y=kx+b的交点坐标。 （说明：知识点按照课时顺序进行编排） 知识点01 画二次函数的图象 ①列表-描点-连线五点法作二次函数的图象：是一条抛物线。 ②抛物线的主要特征：有开口方向、有对称轴、有顶点。 【即学即练1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①；②；③；④,从图象对比，说出解析式中二次项系数对抛物线的形状有什么影响？ 【答案】作图见解析，的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；越大，开口越小 【详解】解：列表如下： 0 1 2 4 1 0 1 4 8 2 0 2 8 0 0 描点：见表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出， 连线：用平滑的线连接，如图所示： 由图象可知：的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；越大，开口越小． 知识点02 二次函数y=ax2的图象与性质 y=ax2 对称轴 顶点坐标 图象 增减性 开口方向 开口大小 a>0 y轴 （0，0） x>0，y随x的增大而增大; x<0，y随x的增大而减小 开口向上 图象 在x轴上方 /a/的越大，抛物线开口越小，图象越靠近y轴。 a<0 x>0，y随x的增大而减小; x<0，y随x的增大而增大 开口向下 图象 在x轴下方 【即学即练2】在二次函数中，当时，，则的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， ∵，且， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴． 故选：A． 【即学即练3】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）二次函数的图象是一条抛物线，若抛物线开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴，即， 故选：B． 【即学即练4】已知二次函数的图象上有两点，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， ∵，且， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴． 故选：A． 【即学即练5】在同一坐标系中，作，，的图象，它们的共同特点是（    ） A．抛物线的开口方向向上 B．都是关于轴对称的抛物线，且随的增大而增大 C．都是关于铀对称的抛物线，且随的增大而减小 D．都是关于轴对称的抛物线，有公共的顶点 【答案】D 【详解】解：函数，的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是， 函数的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是， 故选：D. 【即学即练6】如图，①，②，③，④，比较a．b．c．d的大小，用“”连接．    【答案】 【详解】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，    所以，． 故答案为：． 【即学即练7】抛物线经过点． (1)求这个二次函数的关系式； (2)为何值时，的值随着的增大而增大？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）把点代入中得： 这个二次函数的关系式为； （2） 抛物线开口向下，对称轴为轴 时，的值随着的增大而增大． 知识点03 二次函数y=ax2+k的图象与性质 y=ax2+k a>0 a<0 图象 对称轴：y轴 顶点坐标：（0，k） 增减性 x>0，y随x的增大而增大; x<0，y随x的增大而减小 x>0，y随x的增大而减小; x<0，y随x的增大而增大 开口方向 开口向上 （图象在直线y=k的上方） 开口向下 （图象在直线y=k的下方） 开口大小 /a/的越大，抛物线开口越小，图象越靠近y轴 最值 x=0时，取得最小值k x=0时，取得最大值k y=ax2+k 与y=ax2 图象之间的关系 k>0， y=ax2向上平移/ k /个单位得到y=ax2+k k<0，y=ax2向下平移/ k /个单位得到y=ax2+k 【即学即练8】已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．关于y轴对称 C．顶点是 D．y有最大值 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，当时，函数有最小值为； 综上：只有选项B是正确的； 故选B． 【即学即练9】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知点，在二次函数上，且， 则下列结论一定正确的是（      ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：由得 对称轴为轴， ， 当时，随着的增大而增大， ， ； 故选：C． 【即学即练10】已知抛物线，则当时，的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：， 时，随的增大而减小， ， 时，的最大值； 当时，最小． 的取值范围是． 故答案为：． 知识点04 二次函数y=a(x - h)2的图象与性质 y=a(x - h)2 a>0 a<0 图象 对称轴：x=h 顶点坐标：（h，0） 增减性 x>h，y随x的增大而增大; x<h，y随x的增大而减小 x>h，y随x的增大而减小; x<h，y随x的增大而增大 开口方向 开口向上 （图象在x轴的上方） 开口向下 （图象在x轴的下方） 开口大小 /a/的越大，抛物线开口越小，图象越靠近直线x=h 最值 x=h时，取得最小值0 x=h时，取得最大值0 y=a(x - h)2与y=ax2 图象之间的关系 h>0，y=ax2向右平移/ h /个单位得到y= a(x - h)2 h<0，y=ax2向左平移/ h /个单位得到y= a(x - h)2 【即学即练11】（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意； C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意； D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 【即学即练12】（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，大小关系为 ． 【答案】/ 【详解】∵二次函数为： ∴ ∴二次函数的开口向上，对称轴为：， ∴当时，二次函数的函数值随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为： 知识点05 二次函数y=a(x - h)2 +k图象与性质 y=a(x - h)2 +k a>0 a<0 图象 k>0,h>0 k>0,h<0 k<0,h>0 k<0,h<0 k>0,h<0 k>0,h>0 k<0,h>0 k<0,h<0 对称轴：x=h 顶点坐标：（h，k） 增减性 x>h，y随x的增大而增大; x<h，y随x的增大而减小 x>h，y随x的增大而减小; x<h，y随x的增大而增大 开口方向 开口向上 （图象在直线y=k的上方） 开口向下 （图象在直线y=k的下方） 开口大小 /a/的越大，抛物线开口越小，图象越靠近直线x=h 最值 x=h时，取得最小值k x=h时，取得最大值k y=a(x - h)2+k与y=ax2图象之间的关系 (二次函数的平移) 抛物线的形状不变，顶点位置由（0，0）平移到（h，k） 【即学即练13】（2024·湖南衡阳·一模）已知抛物线，下列结论中错误的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式为 【答案】D 【详解】抛物线中，，抛物线开口向上，A选项说法正确，不符合题意； 由解析式得，抛物线的对称轴为直线，B选项说法正确，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，C选项说法正确，不符合题意； 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式为，即，D选项说法错误，符合题意； 故选D． 【即学即练14】将某二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到新的二次函数的图象，则原二次函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 抛物线的顶点坐标为 图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位后的顶点坐标为，由于平移不改变图形的形状与大小，则平移前的抛物线表达式为； 故选B． 【即学即练15】下列图象中，可能是的图象的是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】C 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点为， 观察图象，则C选项符合题意， 故选：C． 【即学即练16】（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点． （1）若对于，有，则 ； （2）若对于，都有，求的取值范围． 【答案】 3 【详解】解：（1）∵对于，有， ∴， 解得：； 故答案为：3 （2）∵， ∴， ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小， 点距离对称轴的距离小于点距离对称轴的距离，且点的中点在对称轴的右侧， ∴． 故答案为： 【技巧与方法】a>0,离对称轴越近的店其函数值越小；a<0，离对称轴越近的点，其函数值越大。 知识点06 二次函数三种形式表达式之间的关系 二次函数的解析式有三种形式： ①一般式：， ②顶点式： 利用配方法把二次函数一般式y= ax2+bx+c化为顶点式y=a(x - h)2 +k ： 其中h =，k= ※③两根式：当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。 【即学即练17】（1）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ． （2）将二次函数配方后变成 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ；当时，函数的取值范围是 ． （3）二次函数的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ． （4）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ；当a 0时，二次函数有最小值，最小值为 ． 【答案】（1）、；（2）、、、、；（3） 、、 ；（4）、 、 、 、 【详解】解：（1），对称轴是直线； 故答案为：，； （2），顶点坐标是． ∵，∴当时，函数的最大值为，当时，；当时，；∴当时，函数的最大值为，最小值为；当时，；当时，；∴当时，函数的取值范围是； 故答案为：，，，，； （3），则对称轴是直线，顶点坐标是．∵，∴当时，函数的最小值为，当时，；当时，；∴当时，函数的最大值为，最小值为． 故答案为：，，，； （4），对称轴是直线，顶点坐标是；当时，二次函数有最小值，最小值为． 故答案为：，，，，． 【即学即练18】（22-23九年级上·安徽安庆·期末）抛物线上的点到x轴的最短距离为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线有最低点， ∴抛物线上的点到x轴的最短距离为2． 故选：D． 【即学即练19】（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如果一条抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【详解】解：∵一条抛物线经过点和， ∴该抛物线的对称轴是直线； 故答案为： 知识点07 二次函数一般式y= ax2+bx+c的系数与图象的关系 y= ax2+bx+c a>0，开口向上 a<0，开口向下 对称轴是x=，顶点坐标是（，），与y轴的交点（0，c） 最值 x=时，有最小值： x=时，有最大值： 增减性 当x<时，y随x的增大而减小； 当x>时，y随x的增大而增大； 简记左减右增； 当x<时，y随x的增大而增大； 当x>时，y随x的增大而减小； 简记左增右减； 【即学即练20】已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若，当时，的最大值为5，则的值为 ． 【答案】 4 1或 【详解】解：（1）当时，该二次函数为， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为． 故答案为：； （2）∵， ∴该二次函数的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ∵x轴上到的距离比到的距离大， ∴当时，y有最大值， ∴， 解得：； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴， 解得：． 综上可知a的值为或． 故答案为：1或． 【注意】对称轴不确定时，需要分类讨论函数的最大值 【即学即练21】（2024·安徽合肥·三模）二次函数的对称轴为直线，点，都在函数图象上． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 【答案】 1 或 【详解】解：（1）二次函数的对称轴为直线， ， ， 故答案为：1； （2）点，都在二次函数的图象上， ， ， 即 ， 或． 故答案为： 或． 【即学即练22】（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∴，①错误． ∵时，， ∴，②错误． ∵抛物线对称轴为直线，时， ∴时，，③正确． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，④错误． ∵时y取最大值， ∴，即，⑤正确． 故选：A． 【总结】熟练掌握抛物线的性质和各系数表示的意义可解此类问题：根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置,抛物线对称性及赋值x，可得a、b、c的数量关系， ·分类讨论——根据二次函数的性质分类讨论确定未知参数的范围 根据最值和增减性讨论自变量未知参数的范围：先确定对称轴和增减性，再联系图象进行分类讨论最值，继而确定自变量中参数的范围。 案例：当时，函数的最大值为，求t的值． 根据， 得出当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． ∴该抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． ∵当时，函数的最大值为， 求函数取得最值时自变量的取值： 把代入，得，解得，． 再根据二次函数的增减性，进行分类讨论： ①当时，时，取得最大值，解得； ②当时，时，取得最大值． ∴t的值为或2． ·数形结合与代数消元——利用二次函数的对称轴及对称性确定函数的值 根据二次函数的对称性，到对称轴距离相等的点的y值（函数值）相等。现给出点A(x1，y1)、点B（x2，y2），根据坐标系中，任意两点之间中点坐标的表示，可知当y1= y2时， 案例：对于二次函数的图象经过两点，已知点都在该函数图象上，y1= y2。 ①求对称轴：根据两点的纵坐标都是0，可知该函数的对称轴，即可求出a的值为，解析式： ②利用及对称轴表示进行消元： 先代数表示函数值得到，， 进而得到，， 最后 应用：在平面直角坐标系中，二次函数上的点、满足． ①若，比较和的大小，并说明理由； ②求的取值范围． 【答案】①，见解析；② 【详解】①，， ． 函数图象的对称轴为直线， 点关于直线的对称点坐标为． ， ， 在对称轴右侧，随的增大而减小，且． ． ② ， 当时，有最大值， ． 【题型一：一次函数、 二次函数图象综合判断】 例1．（23-24八年级下·福建福州·期末）直线经过第一、二、四象限，那么的图像大致为(   ) A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， 二次函数的开口向下，对称轴在轴右侧，且经过原点， 故选：B． 变式1-1（2024·河南周口·三模）直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】解：、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，，而抛物线对称轴位于轴右侧，则，故选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，对称轴位于轴左侧，则，故选项符合题意； 故选：． 变式1-2．（2024·广东深圳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意． 故选：B． 变式1-3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若将抛物线向右平移个单位，得到抛物线，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵将抛物线向右平移个单位，得到抛物线， ∴对称轴在y轴的右侧，且交于y轴的正半轴， ∴， ∴的图象过第一、二、四象限． 故选：C 【方法技巧与总结】①根据一次函数图象确定参数k、b得正负情况；②再结合抛物线的图象与其各项系数的关系从而判断出函数开口方向，对称轴的位置； 【题型二：二次函数图象的平移变换】 例2．（2024·安徽阜阳·三模）若将抛物线向左平移1个单位长度或向右平移3个单位长度后都经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵将抛物线向左平移1个单位或向右平移3个单位后都经过点， ∴抛物线经过点和， ， ， 故选：D． 变式2-1.（23-24九年级上·安徽滁州·期中）将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线的表达式为 ． 【答案】 【详解】解：依题意， 因为抛物线先向右平移4个单位， 所以 因为向下平移5个单位， 所以， 故答案为： 变式2-2．将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线对应的函数表达式为， 故选：D． 【方法技巧与总结】将抛物线的平移问题转化为抛物线上的点的坐标平移进行解题，坐标平移满足“左减右加”的原则。 【题型三：二次函数图象的对称变换】 例3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为， 与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是． 故选：C． 变式3-1.抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．拋物线形状相同 D．顶点都在轴上 【答案】D 【详解】解：A．抛物线的顶点，抛物线的顶点是，故选项错误，不符合题意； B．抛物线的对称轴是，抛物线的对称轴是y轴，故选项错误，不符合题意； C．∵抛物线与的a的值不同，拋物线形状不同，故选项错误，不符合题意； D．抛物线的顶点，抛物线的顶点是，顶点都在轴上，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【技巧与方法】将图象的对称变换转化为特殊点的对称变化：利用顶点坐标的变化确定抛物线的变换．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相同，求出对称后的抛物线的顶点坐标 【题型四：己知抛物线上对称的两点表示对称轴】 例4．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． 此二次函数的对称轴为直线 ； 【答案】/0.5 【详解】二次函数， 函数经过和，是对称点， 对称轴为直线， 故答案为： 变式4-1．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． 已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是 ； 【答案】 【详解】二次函数， 二次项系数为， 函数图象开口向上， 又和在此函数的图象上，对称轴为直线， 画出图象如下图，点关于对称轴的对称点横坐标， ， 点应在线段下方部分的抛物线上（包括点、）， ， 故答案为： 【方法技巧与总结】利用对称轴解决问题：①找对称点，表示出对称轴；②根据对称轴和二次项系数，作抛物线的草图，结合图象解决问题。 【题型五：综合判断含参数的二次函数的性质】 例5．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知函数，下列结论错误的是（    ）． A．当时，随的增大而增大 B．当时，函数图象的顶点坐标是 C．当时，若，则随的增大而减小 D．无论取何值，函数图象部经过同一个点 【答案】C 【详解】解：A、当时，，随的增大而增大，故A正确，不符合题意； B、当时，，函数图象的顶点坐标是，故B正确，不符合题意； C、当时，，∴若，则随的增大而增大，故C错误，符合题意； D、 ， 当时，的值与m无关，此时，即该函数经过点，故D正确，不符合题意； 故选：C． 变式5-1（2024·安徽合肥·三模）直线与抛物线位于同一坐标系内，下列关于它们的说法不正确的是（　　） A．当时，随的增大而增大 B．当时，的图像一定不过第三象限 C．当时，与交点的横坐标的范围是 D．与的图像一定有两个交点 【答案】C 【详解】解：，故当时，随的增大而增大，A选项正确，不符合题意； 当时，过二，四象限，由于直线必定过，故直线过一，二，四象限，不过第三象限，B选项正确，不符合题意； 当时，，故在抛物线内部，故与的图像一定有两个交点，且与交点分在的两侧，故D选项正确，不符合题意； 由此可知，C选项不正确，符合题意； 故选：C． 变式5-2（2024·安徽合肥·二模）抛物线的顶点为A，过A点作y轴的平行线交直线于点B，下列结论错误的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线过定点 C．若抛物线与直线在第一象限有交点，则 D．线段的最小值为1 【答案】C 【详解】A、抛物线的对称轴为：直线，故A选项不符合题意； B、当时，，故B选项不符合题意； C、如图，当过时， ∴， ∴， ∴抛物线与直线在第一象限有交点，则；故C符合题意； D、由题意得：，则， ， 时，有最小值1，故D选项不符合题意， 故选：C． 【总结】灵活运用二次函数的性质逐项进行判断，排除法作选择题。 【题型六：根据二次函数的图象判断各项系数及其代数式的符号】 例6．（2024·安徽池州·三模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、抛物线与x轴的一个交点为， ，即， 故A错误； B、抛物线开口方向向上， ， 由抛物线与y轴的交点可知， ， 故B错误； C、抛物线与x轴有两个交点， ，即， 故C错误； D、由图象可知，抛物线与x轴的另一个交点为， 当时，， 即， 故D正确． 变式6-1．如图是二次函数图像的一部分，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．当时， D．若，，在该函数图像上，则 【答案】B 【详解】解：如图：根据抛物线对称性补全图象得： ∵抛物线开口方向向下，交轴于正半轴， ∴，， 又∵对称轴为直线，即， ∴， ∴，故B错误，不符合题意； 由函数图象可得，当时，，即，故A正确，符合题意； ∴由函数图象可得当当时，有可能，C错误，不合题意； 由函数图象对称性可得，当与时，函数值相同， ∵， ∴由函数的增减性可得：，D错误，不合题意； 故选A． 变式6-2．二次函数的图象如图所示，与x轴左侧交点为，对称轴是直线．下列结论： ①； ②； ③； ④（m为实数）． 其中结论正确的为（　　） A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在负半轴， ，、异号，， ， ，①结论正确； 抛物线对称轴是直线， ， ， 由图象可知，当时，， ，②结论错误； 由图象可知，当时，， ， 又， ，③结论错误； 当时，为最小值， ， ，④结论正确， 故选：A． 变式6-3.（2024·吉林长春·一模）函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论： ①； ②； ③； ④当时，． 上述结论中、所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【详解】①由图象可知：抛物线与轴无交点，即 故此选项正确； ②由图象可知：抛物线过点，即当时, 故此选项错误； ③由图象可知：二次函数抛物线的图象过点和， 当时, 当 时, ， ， 故③正确； ④由图象可知，当 时，抛物线在直线的下方, 即当时, ， 故此选项正确； 故答案为: ①③④. 【方法技巧与总结】 二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴左； 当与异号时（即），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与轴交点，抛物线与y轴交于；x=1时，判断a+b+c的符号；x=-1时，判断a-b+c的符号. 【题型七：待定系数法确定二次函数的表达式】 例7．如图，二次函数的图象与x轴的交点为A、D（在的右侧），与y轴的交点为C，且，，对称轴是直线，求二次函数的解析式． 【答案】 【详解】解：由题意，设二次函数的解析式为， 又抛物线过，，对称轴是直线， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为 变式7-1．如图，抛物线经过，两点，求该抛物线的函数解析式． 【答案】 【详解】解：将，代入可得: ，解得：， 所以抛物线的函数解析式为． 变式7-2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知抛物线过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【详解】解：抛物线过点， ， 即， 得：， ， 把代入①得：， 抛物线的解析式为：． 例8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 【答案】，， 【详解】解：由题意设抛物线为；           把代入，得： 解得：           ∴ ∴，， 变式8-1．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 0 5 … 求这个二次函数的解析式. 【答案】 【详解】由题意，设二次函数的表达式为， ∵二次函数经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为，即． 【技巧与方法】待定系数法求二次函数的解析式：①若已知抛物线上任意两点坐标和对称轴，就先设二次函数的解析式为，然后将两点坐标分别代入解析式，再结合对称轴是直线，求出a，b，c；②若已知抛物线与x轴的交点坐标和任意一点坐标，就设两点式：y=a(x-x1)(x-x2)；③若已知若已知抛物线的顶点坐标和任意一点坐标就设顶点式。 【题型八：根据二次函数对称性求最短路径】 例9．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标．      【答案】 【详解】由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求，      令，则，解得： ∴，， 当时，， ∴ 设直线的解析式为，带入得 ，解得：， ∴， 当时，， ∴点P的坐标为 变式9-1．如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】． 【详解】假设存在点，使得的值最小 ∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 又∵，， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴ 又∵， ∴, 即，的最小值为． 变式9-2.（2021·安徽安庆·二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点． （1）求此抛物线的解析式； （3）若一个动点P自OA的中点M动身，先抵达x轴上的某点（设为点E），再抵达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．（P可在平面坐标系内任意运动），求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出最短总路径的长． 【答案】（1）；（2）点P运动的最短路径为，此时， 【详解】（1）将A(0，3)，B(1，0)、C(5，0)代入y＝ax2+bx+c， ， 解得：， ∴； （2）∵M为OA的中点， ∴， 作与M关于x轴对称， ∴， 设A与关于对称轴对称，且在抛物线上， ∴， 连接， ∵两点间线段最短，且由对称性可知，， ∴当，E，F，四点在一条直线上时，路径最短， ∴即为最短路径， 设解析式为，代入，得， ，解得：， ∴解析式为， 当时，，此时， 当时，，此时， ， ∴点P运动的最短路径为，此时，． 【方法技巧与总结】求三点之间的最短距离问题，关键是轴对称性质：作已知一点关于对称轴的对称点，再转化线段，根据两点之间线段最短，三点共线时即为所求最短距离． 【题型九：根据二次函数的性质求参数范围】 例10．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：如图所示：把代入得，， 把代入得， 抛物线的开口越小，的绝对值越大， 抛物与四边形的边没有交点，则的取值范围为：或 故选C． 变式10-1.（2024·陕西西安·一模）若抛物线（m是常数）的顶点到x轴的距离为2，则m的值为（　　） A． B． C．﹣或 D．或 【答案】D 【详解】解：， ∴抛物线（m是常数）的顶点坐标为， ∵顶点到x轴的距离为2， ∴， 即或， 解得或， 故选：D． 变式10-2．（2024·安徽宿州·二模）抛物线（a，b，c是常数且）经过点和点．当时，下列结论可能成立的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】解：∵抛物线经过点和点， ∴，． ∵， ∴， 整理，得：，故B和D错误； ∵， ∴当时，，即，故A错误； 当时，可能成立，即可能成立，故C正确． 故选C． 例11.（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． （1）此二次函数的对称轴为直线 ； （2）已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是 ； 【答案】 /0.5 【详解】（1）二次函数， 函数经过和，是对称点， 对称轴为直线， 故答案为： （2）二次函数， 二次项系数为， 函数图象开口向上， 又和在此函数的图象上，对称轴为直线， 画出图象如下图，点关于对称轴的对称点横坐标， ， 点应在线段下方部分的抛物线上（包括点、）， ， 故答案为： 变式11-1．（2024·安徽马鞍山·一模）设，若对于任意实数x，都满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，， 将代入， 得：， 化简得：，即 ， 故选：D． 【思想方法】数形结合、转化、消元 【题型十：在二次函数与图形综合问题中利用两点间的距离表示线段的长】 例12.平移抛物线，平移后的图象记为图象，其顶点在抛物线上，直线分别与抛物线和函数图象交于点和点，求线段长的最大值． 【答案】 【详解】 解：平移抛物线，其顶点始终在二次函数上， 顶点坐标为，故平移后的解析式为， ， 直线分别与抛物线和函数图象G交于点P和点Q， （）， ，   当时，长的最大值为． 变式12-1．如图，已知二次函数与一次函数相交于两点，是线段上一动点，是拋物线上的动点，且平行于轴，求在移动过程中，线段的最大值． 【答案】2 【详解】解：设， ， 当时，有最大值，最大值为2． 变式12-2.（2024·安徽淮北·三模）抛物线，与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为． 若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 ． 【答案】 1 【详解】解：（1）由题意，将代入中，得， 解得， 故答案为：1； （2）由（1）得抛物线的表达式为， 联立方程组，解得或， ∴抛物线与直线的交点坐标为，， 设，， 当时，， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而减小，不符合题意； 当时，， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而增大，当时，的长度随t的增大而减小， 故答案为：． 【技巧与方法】①先根据条件表示出线段端点的横坐标、设出动点的坐标；②利用函数表达式表示端点的纵坐标；③利用两点间的距离公式表示出线段的长（一般情况下是建立一个新的二次函数） 例13．（2024·安徽芜湖·三模）如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，连接，已知抛物线的对称轴为直线，． (1)求，的值． (2)若点在线段上，过点作，交抛物线于点，求线段的最大值． (3)若点在轴上，点在抛物线上，当，，，为平行四边形的四个顶点时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【详解】（1）由题意可得点的坐标为， ∴， 解得； （2）如图，过点E作轴于点， 当时，， ∴点的坐标为，， 当时，，， ∴点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵点在抛物线上， ∴设， ∴ ∵， ∴当时，的最大值为， ∴的最大值为； （3）设， 情况一：如图，当时，过点作轴于点，， ∵，， ∴， 解得（舍去），， ∴，， ∴，； 情况二：如图，当时，过点作轴于点F，， ∵，， ∴， 解得（舍去），， ∴，， 综上所述，点的坐标为或． 变式13-1.已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值    【答案】 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，， ，               解得， ∴抛物线的解析式为； 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴，                   ，    ， ∴； 【技巧与方法】①设而不求代数法；②联立直线（一次函数表达式）和抛物线（二次函数表达式）构造方程组，确定直线和抛物线的交点坐标。 一、选择题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）抛物线的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的图象得对称轴为y轴，顶点坐标为原点，开口向上， ∴抛物线的图象一定经过第一、二象限． 故选：A 2．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（    ）    A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：时，函数， ∴ ∴ 函数, ∴ ∴ ∴. 故选：D 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）下列对于二次函数，说法不正确的是（　　） A．最小值为3 B．图象与y轴没有公共点 C．当时，y随x的增大而减小 D．其图象的对称轴是y轴 【答案】B 【详解】解：A. 开口向上，最小值为3，说法正确； B. 图象与y轴交于，说法错误； C. 当时，y随x的增大而减小，说法正确； D. 其图象的对称轴是y轴，说法正确； 故选B． 4．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，函数的最大值是 C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，故A错误； ∵当时，函数的最大值是，故B正确； ∵抛物线的对称轴是y轴，故C错误； ∵， ∴抛物线与x轴没有交点，故D错误． 故选：B． 5．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【详解】 解：因为二次函数的表达式为， 所以抛物线的开口向上，故A说法正确； 又抛物线的对称轴是直线，故B说法正确； 因为抛物线的顶点坐标为，故C说法正确； 因为抛物线对称轴为直线，且开口向上， 所以当时，y随x的增大而减小．故D说法不正确； 故选：D． 6．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期末）关于二次函数 下列说法正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．当时，有最大值 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线的顶点坐标是 【答案】A 【详解】解：由题意可得， 二次函数 的顶点为：，对称轴为直线，故C，D选项错误不符合题意， ∵， ∴当时，有最小值，开口向上，故B选项错误，不符合题意，A选项正确，符合题意， 故选：A． 7．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）抛物线的对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，把解析式配成顶点式，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 8．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）若点，，都在抛物线上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，在处有最大值， 到的距离为，到的距离为， ， 故选：D． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）把一抛物线向上平移3个单位，再向左平移个单位得到的解析式为，则原抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线向上平移3个单位，再向左平移个单位得到的解析式为， ∴向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到原抛物线， ∴原抛物线的函数解析式为． 故选：D． 10．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】把二次函数的图象向右平移个单位得，再向下平移个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是． 故选：C． 二、填空题 11．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【详解】解：， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线的表达式为 ． 【答案】 【详解】解：依题意， 因为抛物线先向右平移4个单位， 所以 因为向下平移5个单位， 所以， 故答案为： 三、解答题 13.一个二次函数（）的图象经过点关于坐标轴的对称点B，求其关系式． 【答案】 【详解】把点代入中得： 这个二次函数的关系式为； 14．抛物线经过点，且点在此抛物线上，求的值． 【答案】 【详解】解：把点代入得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴． 15．抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线，求该抛物线的表达式． 【答案】 【详解】解：将和代入得： ， 解得， 抛物线的表达式为； 16．已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，求抛物线的函数解析式； 【答案】抛物线的函数解析式为 【详解】解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴可设抛物线的函数解析式为．      ∵抛物线经过点，则， 解得．     ∴抛物线的函数解析式为 17．已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求该二次函数的表达式． 【答案】二次函数的解析式为 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标是， 设二次函数的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 18．如图，函数的图象经过点A，B，C． (1)求b，c的值； (2)画出这个函数的图象； 【答案】(1)；(2)见解析 【详解】（1）解：由图象可得， 点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， 则， 解得， 即b、c的值分别是2，3； （2）由（1）知，，， ， 该函数的顶点坐标为，对称轴为直线，图象开口向下， 由对称性可知，图象过点， 所画的函数图象如图所示； 19．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数． (1)将二次函数化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出的大致图象，并根据图象直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析， 【详解】（1）； （2）由（1）得顶点坐标是； 当时，，， 可知抛物线与x轴的交点是，． 画出图像如图所示． 当时，． 20．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）二次函数，其中为实数． (1)判断点是否在该拋物线上． (2)求该二次函数顶点的纵坐标（用含的代数式表示）． (3)若将该二次函数图像向下平移3个单位长度，所得抛物线顶点纵坐标的最小值为________．（直接写出答案） 【答案】(1)在 (2)或 (3) 【详解】（1）解：当时，， ∴点在该拋物线上； （2） ， ∴该二次函数顶点的纵坐标为； （3）将该二次函数图像向下平移3个单位长度，所得抛物线为， 则抛物线顶点纵坐标为， ∵， ∴， 故：所得抛物线顶点的纵坐标的最小值是． 故答案为：．21．如图，二次函数的图象与轴相交于点A、B，与轴相交于点．过点作轴，交该图象于点．若、．    (1)求该抛物线的对称轴； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)的面积 【详解】（1）解：∵轴， ∴，两点关于抛物线对称轴对称， ∴， ∴此抛物线的对称轴为直线：，即 （2）解：连接， ∵，关于对称轴对称，， 抛物线的对称轴为直线：， ∴， ∴， ∴的面积． 22．在平面直角坐标系中，点是抛物线上任意一点，点在该抛物线上．若存在，恰好使．比较的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【详解】设抛物线对称轴为直线，则抛物线上点关于对称轴的对称点为， 存在，恰好使． ，即． 抛物线开口向上， 在对称轴的左侧随增大而减小． 又关于对称轴的对称点为且， 点都在对称轴左侧，且， ． 23．如图，已知二次函数与一次函数相交于两点，是线段上一动点，是拋物线上的动点，且平行于轴，求在移动过程中，线段的最大值． 【答案】2 【详解】解：设， ， 当时，有最大值，最大值为2． 24．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，且二次函数的对称轴为直线，一次函数的图象与抛物线交于、两点． (1)请求出点的坐标； (2)请利用图象直接写出时x的取值范围． (3)请利用图象直接写出当两函数的函数值的积小于0时的自变量取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点，且二次函数的对称轴直线， ∴； （2）解：由图象可知，当或时，； （3）解：由图象可知，两函数的函数值的积小于0时的自变量取值范围是． 25．（23-24九年级上·北京门头沟·期末）在平面直角坐标系中，点，为抛物线上任意两点，其中．    (1)若抛物线的对称轴为，当为何值时，； (2)设抛物线的对称轴为，若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， ； （2）解：由题意可得： ，， ，， ， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 一、选择题 1．（2024·安徽亳州·三模）二次函数与一次函数（，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵二次函数 ∴对称轴为直线，故B，D不符合题意； ∵当时，，， ∴二次函数与一次函数交于y轴上的点，故C不符合题意，A符合题意． 故选：A． 2．（2024·安徽合肥·二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、 根据一次函数图象分布，得到即，根据抛物线的图象，得，矛盾，不符合题意； B、根据一次函数图象分布，得到即，根据抛物线的图象，得，即，，矛盾，不符合题意； C、根据一次函数图象分布，得到即，，根据抛物线的图象，得，即，矛盾，不符合题意； D、根据一次函数图象分布，得到即，，根据抛物线的图象，得，即，一致，符合题意； 故选D 3．（2024·安徽·二模）已知二次函数的图象经过点，，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：代入，得， 得， 解得 ∵ ∴， ∴， 当时，； ∵， 当时，的取值范围为． 4．如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（   ） A． B．若抛物线与x轴交于，两点，则 C． D．对任意实数t，总有 【答案】B 【详解】解：由图知开口向下， ， 与交于正半轴， ， 图象关于直线对称， ， ， ，A选项错误； 若抛物线与x轴交于，两点， ，则，故B选项正确； ， ， 由图知，当时，， 不成立，故C选项错误； 当时，有，故D选项错误． 故选：B． 5．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③m为任意实数时，；④；⑤若，且，则．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：由图象知，抛物线开口向上，则；图象与y轴交于y轴负半轴，则；对称轴为直线，即，则，故①正确； 由，得，故②错误； 由于二次函数当时取得最小值，则对于任意实数m，，故有，故③正确； 由图象知，时的函数值与时的函数值相等，所以当时，，故④正确； 由于，且，即，表明自变量取时，二次函数的函数值相等，由抛物线的对称性得：，即，故⑤正确；因此正确的有①③④⑤三个． 故选：C． 二、填空题 6．（2024·安徽蚌埠·三模）已知二次函数． （1）当，时，该函数图象的顶点坐标为 ； （2）当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，则 ． 【答案】 【详解】解：（1）当、时， ， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）∵， ∴顶点坐标为， ∵正中，， ∴抛物线开口向下， ∵当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3， ∴该抛物线的顶点坐标在第二象限，即，解得：， ∴当时，；当时，， ∴，解得：， ∴． 故答案为：，． 7.（23-24九年级上·安徽六安·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作正方形．则抛物线的顶点坐标是 ，正方形周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线， ∴顶点坐标为； ∵四边形是正方形， ∴， ∵点在抛物线上运动， ∴当点运动到抛物线的顶点处时，的最小， ∴当时，，则有最小值， ∴的最小值是，正方形周长的最小值为． 8．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）二次函数（a，b，c是常数，）图象的对称轴是直线，其中图象的一部分如图所示．对于下列说法：①；②当时，；③；④．其中正确的是 （把正确说法的序号都填上）． 【答案】①③④ 【详解】解：①∵开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴ ， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故正确； ②如图，当时，y不只是大于0．故错误； ③∵对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点横坐标在2与3之间， ∴另一个交点的横坐标在0与之间； ∴当时，，故正确； ④∵对称轴， ∴， ∴， ∵当时，， ∴，故正确； ∴正确的有3个． 故答案为：①③④． 三、解答题 9．（2024·河南郑州·三模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在点的右边，． (1)求抛物线的表达式； (2)为抛物线上任意一点，将点向上平移个单位长度得到点，若点关于原点的对称点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， 将点代入中，， ， 抛物线的解析式为； （2）设， 将点向上平移个单位长度得到点， ， 关于原点对称的点的坐标为， ， 解得， 或； （3）平移后的抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 解得， ， ． 10．（2024·安徽六安·一模）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P． (1)求点P的坐标； (2)当时，二次函数的最大值是15，求a的值； (3)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）∵二次函数的图象与x轴交于O(O 为原点)，两点，已知二次函数图象经过点， ∴，解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）①设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：， 解得：， 即直线的表达式为：， ②过点P作轴交于点H，    ∵点P的横坐标为t，则点，则点， 则， 即； ∵， 即S有最大值，此时，， 则点P的坐标为：． 1．如图，二次函数，第一个正方形，第二个正方形，第三个正方形，，点，，，，，点，，，，在二次函数上，，，，，在轴正半轴上，则第个正方形的边长为 ． 【答案】 【详解】解：连接 设点坐标为，，依题意，坐标为，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴正方形边长为， 同理设坐标为，则坐标为， ∵， ∴, ∴， ∴正方形边长， 同理设坐标为，则坐标为， ∴, 解得：, ∴正方形边长， …… 依此类推可得正方形的边长． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，抛物线与轴负半轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若是直线上方抛物线上一点，过点作交直线于点．设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的坐标； ②请用含的代数式表示出线段的长，并求出线段的最大值． 【答案】(1) (2)①；②当时，最大，最大值为 【详解】（1）解：把，代入， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 过点作轴于点， ， ∴， ∵点坐标为， ∴，，（舍去）， ∴时，， ∴点坐标为； ②过点作轴交于点， ， 设直线为，把，代入， ，解得， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为． 3．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求直线的解析式及抛物线的解析式； (2)如图，点为第一象限抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，求当点的横坐标为多少时，最大； (3)如图，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点，若点是线段的中点，求抛物线的解析式． 【答案】(1)，； (2)点的横坐标为时，有最大值； (3)． 【详解】（1）解：抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：设点的横坐标为，则，，， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 轴， 为等腰直角三角形， ， ∴， 当时，有最大值， 即点的横坐标为时，有最大值； （3）解：由（）可知，直线的解析式为， 抛物线为：， 设平移后抛物线的解析式， 联立函数解析式得，， ， 整理得，， 设，，则，是方程的两根， ， ∵为的中点， ∴， ∴， 解得， 抛物线的解析式． 4．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知． (1)求a，b的值； (2)已知横坐标为t的点P为对称轴左侧的抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M， ①若与的面积之和为8，求t的值； ②过点P作x轴的垂线，垂足为N，直线交线段于点D，是否存在这样的点P，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，且t的值为． 【详解】（1）解：由题意得把代入 且结合对称轴 得， 解得； ∴； （2）解：①由（1）知，抛物线的函数表达式为， 点的坐标为， 由题意知，， 当时，的面积，的面积， 此时与的面积之和为6，不符合题意； 当时，的面积，的面积； 与的面积之和为，此时， 解得； 综上，的值为； ②存在，点的横坐标为．理由如下： ，， 直线的函数表达式为， ， 点为线段的中点， 点的横坐标为， 点在直线上， ， 点的纵坐标为5，则， 解得或（不合题意，舍去）， 存在，的值为． 5．（2024·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C． (1)求a，b满足的关系式及c的值； (2)当时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值 (3)当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，当m取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． 【答案】(1)，； (2) (3)最大值为1． 【详解】（1）解：直线中，当时，， ， 当时，， ， ， 将，代入抛物线中，得： ， ，； （2）解：如图1，当时，， ， 抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴是：， 由对称性可得， 要使的周长最小，只需最小即可， 如图1，连接交直线于点， 因为点与点关于直线对称，由对称性可知：， 此时的周长最小，所以的周长为， 中，， 中，， 周长的最小值为； （3）解：当时，， ， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形， 设，则， ， ， 当时，有最大值是， 当时，， 点的坐标为时，有最大值是，此时的面积最大； ． 当时，的面积最大；面积的最大值为1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$