概率、统计的综合问题 专项训练——2025届高三数学一轮复习

概率、统计的综合问题 1．为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门抽取了100间学生宿舍在某月的用电量，发现每间宿舍的用电量都在50 kW·h到350 kW·h之间，将其分组为[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350]，得到如图所示的频率分布直方图． (1)为降低能源损耗，节约用电，规定：当每间宿舍的月用电量不超过200 kW·h时，按每度0.5元收取费用；当每间宿舍的月用电量超过200 kW·h时，超过部分按每千瓦时1元收取费用．用t(单位： kW·h)表示某宿舍的月用电量，用y(单位：元)表示该宿舍的月用电费用，求y与t之间的函数关系式； (2)在抽取的100间学生宿舍中，月用电量在区间[200，250)内的学生宿舍有多少间？ 2．某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)根据频率分布直方图，估计这m人年龄的第75百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取40人，担任“民法典”知识的宣传使者． ①若有甲(年龄23)，乙(年龄43)2人已确定人选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率； ②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差． 3．某校设置了篮球挑战项目，现在从本校学生中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表： (1)根据条件完成下列2×2列联表： 性别 接受挑战情况 合计 愿意 不愿意 男生 女生 合计 (2)根据2×2列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析该校学生是否愿意接受挑战与性别有关； (3)挑战项目共有两关，规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加第一关的每一次挑战通过的概率均为，参加第二关的每一次挑战通过的概率均为，且每轮每次挑战是否通过相互独立．记甲通过的关数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式与数据： χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n＋1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n－1，n－2，n－3，…次状态是“没有任何关系的”．现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n(n∈N*)次操作后，记甲盒子中黑球个数为Xn，甲盒中恰有1个黑球的概率为an，恰有2个黑球的概率为bn.求： (1)X1的分布列； (2)数列{an}的通项公式； (3)Xn的期望． 5．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分组，绘制频率分布直方图如图所示，试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立． (1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及α＝0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关． 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体． ①用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p； ②以①中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X.试验后统计数据显示，当X ＝99时，P(X)取最大值，求参加人体接种试验的人数n. 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 6．为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分．学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响． (1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率； (2)记甲第i次答题所得分数Xi(i∈N*)的数学期望为E(Xi)． ①写出E(Xi－1)与E(Xi)满足的等量关系式； ②若E(Xi)>100，求i的最小值． 参考答案 1．解：(1)根据题意，得当50≤t≤200时，月用电费用为y＝0.5t； 当t>200时，月用电费用为y＝200×0.5＋(t－200)×1＝t－100. 综上，宿舍的月用电费用为y＝ (2)因为月用电量在[200，250)内的频率为50x＝1－(0.006 0＋0.003 6＋0.002 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1－0.015 6×50＝0.22，所以月用电量在[200，250)内的宿舍有100×0.22＝22(间)． 2．解：(1)不妨设第75百分位数为a， 此时5×(0.01＋0.07＋0.06)＋(a－35)×0.04＝0.75， 解得a＝36.25. (2)由条件可知，第一、二、三、四、五组应分别抽取2人，14人，12人，8人，4人． ①第一组应抽取2人，记为A，甲， 第五组抽取4人，记为B，C，D，乙， 此时对应的样本空间为Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，甲)，(A，乙)，(B，C)，(B，D)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(C，D)，(D，甲)，(D，乙)，(甲，乙)}，共15个样本点， 记“甲、乙两人恰有一人被选上”为事件M， 此时M＝{(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(D，甲)，(D，乙)}，共8个样本点， 则甲、乙两人恰有一人被选上的概率P(M)＝. ②设第四组，第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，方差分别为s2，s′2， 此时＝42，s2＝1，s′2＝2， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为s″2， 此时＝＝＝38， s″2＝ ＝＝， 故这m人中35～45岁所有人的年龄的方差为. 3．解：(1)根据条件得2×2列联表如表所示． 性别 接受挑战情况 合计 愿意 不愿意 男生 15 45 60 女生 20 20 40 合计 35 65 100 (2)零假设为H0：该校学生是否愿意接受挑战与性别无关，根据列联表的数据，经计算得到χ2＝≈6.593<6.635＝x0.01， 依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分理由证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为该校学生是否愿意接受挑战与性别无关． (3)记甲第i次通过第一关为Ai(i＝1，2)，第i次通过第二关为Bi(i＝1，2)， 由题意得，X的可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝P()＝×＝， P(X＝1)＝P(A1)＋P(A2)＝××＋×××＝， P(X＝2)＝P(A1B1)＋P(A1B2)＋P(A2B1)＋P(A2B2) ＝×＋××＋××＋×××＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 4．解：(1)由题可知，X1的可能取值为0，1，2．由相互独立事件概率乘法公式可知：P(X1＝0)＝＝，P(X1＝1)＝＝，P(X1＝2)＝＝， 故X1的分布列为 X1 0 1 2 P (2)由全概率公式可知： P(Xn＋1＝1)＝P(Xn＝1)·P(Xn＋1＝1|Xn＝1)＋P(Xn＝2)·P(Xn＋1＝1|Xn＝2)＋P(Xn＝0)·P(Xn＋1＝1) ＝P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)＋P(Xn＝0) ＝P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)＋P(Xn＝0)， 即an＋1＝an＋bn＋(1－an－bn)， 所以an＋1＝－an＋， 所以an＋1－＝－， 又a1＝P(X1＝1)＝，a1－＝－， 所以数列为以－为首项，以－为公比的等比数列， 所以an－＝－＝， 即an＝. (3)由全概率公式可得： P(Xn＋1＝2)＝P(Xn＝1)·P(Xn＋1＝2|Xn＝1)＋P(Xn＝2)·P(Xn＋1＝2|Xn＝2)＋P(Xn＝0)·P(Xn＋1＝2|Xn＝0)＝·P(Xn＝1)＋·P(Xn＝2)＋0×P(Xn＝0)， 即bn＋1＝an＋bn， 又an＝， 所以bn＋1＝bn＋， 所以bn＋1－ ＝， 又b1＝P(X1＝2)＝， 所以b1－＝＝0， 所以bn－＝0， 所以bn＝， 所以E(Xn)＝an＋2bn＋0×(1－an－bn)＝an＋2bn＝1. 5．解：(1)由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为： 在[0，20)内有0.002 5×20×200＝10(只)； 在[20，40)内有0.006 25×20×200＝25(只)； 在[40，60)内有0.008 75×20×200＝35(只)； 在[60，80)内有0.025×20×200＝100(只)， 在[80，100]内有0.007 5×20×200＝30(只)． 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只， 而指标值小于60的小白鼠共有10＋25＋35＝70只， 所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只， 同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只， 故列联表如表所示． 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计 70 130 200 零假设为H0：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联． 根据列联表中数据，得χ2＝≈4.945>3.841＝x0.05， 根据α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立， 即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，以此推断犯错误的概率不大于0.05. (2)①令事件A＝“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”， 事件B＝“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”， 事件C＝“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”， 记事件A，B，C发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)， 则P(A)＝＝0.8，P(B|)＝＝0.5， P(C)＝1－P()＝1－0.2×0.5＝0.9， 所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p＝0.9. ②由题意，知随机变量X～B(n，0.9)， P(X＝k)＝×0.9k×0.1n－k(k＝0，1，2，…，n)， 因为P(X＝99)最大， 所以 解得109≤n≤110， 因为n是整数，所以n＝109或n＝110， 所以接受接种试验的人数为109或110. 6．解：(1)甲前3次答题得分之和为40分的事件A是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件， 所以甲前3次答题得分之和为40分的概率P(A)＝＝. (2)①甲第1次答题得20分，10分的概率分别为，则E(X1)＝20×＋10×＝，甲第2次答题得40分，20分，10分的概率分别为， 则E(X2)＝40×＋20×＋10×＝，显然E(X2)＝2＋10×＝E(X1)＋， 当i≥2，i∈N*时，甲第i－1次答题所得分数Xi－1的数学期望为E(Xi－1)， 因此第i次答对题所得分数为2E(Xi－1)，答错题所得分数为10分，其概率分别为， 于是甲第i次答题所得分数Xi的数学期望为E(Xi)＝2E(Xi－1)×＋10×＝E(Xi－1)＋， 所以E(Xi－1)与E(Xi)满足的等量关系式是E(Xi)＝E(Xi－1)＋，i≥2，i∈N*，且E(X1)＝. ②由①知，E(X1)＝，当i≥2，i∈N*时，E(Xi)＋5＝[E(Xi－1)＋5]，而E(X1)＋5＝， 因此数列{E(Xi)＋5}是以为首项，为公比的等比数列，E(Xi)＋5＝＝15×， 于是E(Xi)＝15×－5，由15×－5>100得：>7，显然数列是递增数列， 而＝<7，＝>7，则有正整数imin＝5， 所以i的最小值是5 学科网（北京）股份有限公司 $$