1.3.2空间向量运算的坐标表示课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

新授课 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 第一章 空间向量与立体几何 在空间选定一点O和一个单位正交基底{,,}，以点O为原点，分别以, , 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系Oxyz. x y z i j k O 向量终点的坐标 A(x,y,z) 向量的坐标 OA=(x,y,z) 一一对应 以坐标原点O为起点的向量的坐标和终点A的坐标相同。 温故知新 1．在长方体OABC﹣D'A'B'C′中，OA＝3，OC＝4，OD'＝3，A'C′与B'D'交T点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． （1）写出点C，B'，P的坐标； （2）写出向量，的坐标． 2．已知点B是点A（3，4，5）在坐标平面Oxy内的射影，求． 1.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 ＋ ＋＝_______________________ 减法 － －＝_______________________ 数乘 λ λ＝______________，λ∈R 数量积 · ·＝________________ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3 新知探究 下面我们来证明空间向量的数量积运算的坐标表示： 设{i, j, k}为空间向量的正交基底，则 a=a1i+a2 j+a3k , b=b1i+b2 j+b3k ∴ab=（a1i+a2 j+a3k）（b1i+b2 j+b3k） ∵ii=j j=k k=1 ij=j k=k i=0 ∴ab=a1b1+a2b2+a3b3 2.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则有 ①b1，b2，b3≠0时，∥⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)⇔ ②⊥⇔·＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； ③求模：； ④求夹角：cos<,>== 3.设空间任意两点(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，则 ①=(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； 向量坐标等于终点坐标减起点坐标. ②空间两点距离公式： = 【注】点A(x，y，z)到原点O的距离 4、空间两点的中点公式 例1．已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4), (1) 求a+b，a-b，|a|，8a，a·b。 (1) 求| 2a+b | 及向量a与b的夹角余弦值。 例题讲解 例2. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上， (1) 求AM的长. (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 方法总结 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算； (4)转化：转化为几何结论． 巩固练习 【练习1】已知＝(2，-1，3)，＝(-4，2，x)，且⊥()，求x的值. 【练习2】已知＝(1，-1，1)，＝(1，3，2)，＝(1，2，1)，则()＝____. 【练习3】已知＝(1，0，1)，＝(2，0，-2)，若(k()=2，则k＝ . 【练习4】已知＝(2，x，-1)，＝(x，8，x-6)，且//，求x的值. 【练习5】点B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，若＝6，//，则的坐标为____. 【练习6】在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)和到点B(1,-3,1)的距离相等. 【练习7 】点P(1,3,5)关于点M(2,﹣1,﹣4)的对称点的坐标是__________. 8.在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点． (1)求FH的长； (2)求EF与C1G所成角的余弦值． 解：如图所示，以DA，DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E(0,0，)，F(，，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G(0，，0)． (1)∵H是C1G的中点，∴H . 又F (，，0)， ∴FH＝||＝＝. (2)∵ ＝，则| |＝. 又||＝，且 ·＝， ∴cos〈，〉＝＝， 即EF与C1G所成角的余弦值为 . 9.如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3 ＝，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．若PQ⊥AE，求点Q的坐标． 解：由题可知：A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，设点P的坐标为(a，a,1)， 因为3 ＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)， 所以3a－3＝－a，解得a＝，所以点P的坐标为 . 由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)， 因为PQ⊥AE，所以 · ＝0，所以 ·＝0， 即－－＝0，解得b＝，所以点Q的坐标为. $$