三角形（知识梳理+案例讲解+巩固提升训练）（讲义）-2023-2024学年四年级下册复习（人教版）

三角形 （知识梳理+案例讲解+巩固提升训练） 单元重点： 1、 由三条线段围成的封闭图形叫三角形。一个角的顶点向对边作的垂线段就是高。高对应的这条边叫底。 2、 根据一个三角形拥有锐角、钝角、直角的情况，可以把三角形分成三类： 有一个钝角的三角形叫钝角三角形。（其余两个是锐角） 有一个直角的三角形叫直角三角形。（其余两个是锐角） 没有钝角也没有直角的三角形叫锐角三角形。也就是三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形。 3、 根据一个三角形的边是不是相等，可以把三角形分成三类： 有两条边相等的叫等腰三角形。 三条边都相等的叫等边三角形，也叫正三角形。 三条边都不相等的叫一般三角形，或斜三角形，也可以说是普通三角形。 三条边都相等的，那么肯定有两条边相等。所以等边三角形一定是等腰三角形。 4、 三角形按角分类，按边分类。分类的标准是不一样的。它们分别可以用集合图来表示。 右边的集合图，是按边分类的情况，请补充完整。   5、 三角形的特点： 三角形具有稳定性。 三角形的三个内角之和肯定是180度。 三角形的任意两边之和一定大于第三边。   根据这个特点，判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条，加起来是不是大于第三条。   6、 会画出任意一种三角形的高和底。每个三角形都有三条高，三条底。至少能画对一条。 画的时候要看清楚，题目中有没有指定要求，一定要画出那一条底上的高。 【例题一】．下列各组木棒首尾相连能围成三角形的一组是（    ）。 A．2cm，5cm，7cm B．3cm，4cm，10cm C．5m，13m，13m 31．16厘米 【详解】(40-8)÷2=16(厘米) 【分析】三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边。 【详解】A．2＋5＝7厘米，7＝7，不满足 B．3＋4＝7厘米，7＜10，不满足 C．5＋13＝18厘米，18＞13，满足 故答案为：C 【点睛】熟练掌握三角形三条边之间的关系是解答本题的关键。 【例题二】．．已知，求的度数和． 【详解】解：如图 ，所以 【点睛】考查了平角的概念和三角形内角和等于180°. 【例题三】．叔叔送给佳佳一个等腰三角形风筝，它的一个底角是，另外两个角分别是多少度？ 【分析】等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底；两腰的夹角叫做顶角，等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，由此即可算出另外两个角的度数。 【详解】另一个底角为：50°； 顶角为：180－50－50＝80°。 答：另外两个角分别是50°、80°。 【点睛】此题考查了三角形的内角和，清楚等腰三角形的特征是解答此题的关键。 一、选择题 1．将一个长30厘米的铁丝截成三段围成三角形，最长的一段是（    ）厘米（取整数厘米）。 A．13 B．14 C．15 D．16 2．用三根长度为整厘米数的小棒围成一个三角形，如果其中两根小棒分别长8cm、10cm，那么第三根小棒最短是（    ）cm。 A．2 B．3 C．9 D．17 3．将一根11厘米长的木棒截成三段整数米长的小棒来围成三角形，最长的一段小棒不超过（    ）厘米。 A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．7厘米 4．如果点A用数对表示为（1，5），点B用数对表示为（1，1），点C用数对表示为（3，1），那么三角形ABC是（    ）三角形。 A．锐角 B．钝角 C．直角 D．等腰 5．用4根木条钉成一个长方形，然后向相反方向拉它的一组对角，就变成了一个平行四边形，这个平行四边形的内角和与原来长方形的内角和相比，（    ）。 A．变大了 B．一样大 C．变小了 D．无法确定 二、填空题 6．在一个三角形中，∠1=45°，∠2=30°，∠3=( )，这是一个( )三角形。 7．明明不小心将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有数字①、②、③、④的四块），现要配一块与原来完全相同的三角形玻璃，应该带第( )块到玻璃店去。（填序号） 8．给摇晃的椅子加固（如左图），这样做是应用了( )。 9．三角形的内角和是( )°，梯形的内角和是( )°。 10．爸爸的椅子脚坏了，小张想帮爸爸修一下你觉得图中( )方案最好，说说你的理由：( )。请你再举出一个生活中利用这一特性的例子：( )。 11．已知两条线段的长为5cm和12cm，当第三条线段长( )cm时，这三条线段能组成一个直角三角形． 12．一个等腰三角形的两条边分别是6厘米和10厘米，这个等腰三角形的周长是( )厘米。 13．一个多边形的内角和是1440°，它是( )边形。 14．一个等边三角形，周长24cm，每条边长( )cm，每个内角( )度。 15．三角形ABC的一个内角是30°（如图），截去这个角，剩下图形的内角和是( )。 16．用剪刀剪去长方形的一个角，剩下图形的内角和可能是( )。 三、判断题 17．直角三角形的两条直角边互为底和高．   ( ) 18．正三角形是轴对称图形，它有3条对称轴。( ) 19．三角形的三条边分别是4cm、4cm、8cm。( ) 20．用3根同样长的小棒摆三角形，无论怎样摆，摆出的三角形的形状和大小都相同。( ) 21．在一个直角三角形的3个内角中，最多可以有两个内角是直角。( ) 四、作图题 22．作一作：作出下面3个三角形给定底边上的高。 五、解答题 23．李老师做了一个等腰三角形的教具，已知其中的两条边分别是20厘米、9厘米，这个等腰三角形教具的周长是多少厘米？ 24．一个直角三角形中，一个锐角角是70度，那么另一个锐角是多少度？ 25．把一条长15cm的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两个三角形是相同的．） 26．小明做了一个等腰三角形的风筝，顶角是100度，底角是多少度？ 27．小花要去奶奶家，有几条路可走？各有多少米远？走哪条路最近？ 28．春天到了，小刚想做一个等腰三角形的风筝，风筝的周长是20分米，是底边长的5倍，这个风筝的一条腰长多少分米？ 29．一个三角形，其中一个内角占三个内角之和的，这个三角形是一个什么三角形？为什么？ 30．一个三角形有一个内角是65°，比另一个内角少10°，第三个内角是多少度？这个三角形是什么三角形？ 31．用一根40厘米长的铁丝围成一个底边长为8厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的一条腰长多少厘米? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；因为此三角形的周长是30厘米，所以最长边应小于周长的一半，由此解答即可。 【详解】30÷2＝15（厘米） 15－1＝14（厘米） 所以最长的一段是14厘米。 故答案为：B 【点睛】此题解答关键是根据在三角形中，任意两边之和大于第三边的特征解决问题。 2．B 【分析】三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此即可解答。 【详解】8＋10＝18（cm） 10－8＝2（cm） 2cm＜第三边＜18cm，所以第三根小棒最短是3cm，最长是17cm。 故答案为：B 3．B 【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答。 【详解】A．假设最长一段是4厘米，那么两边之和是7厘米，7厘米＞4厘米，可以围城三角形。     B．假设最长一段是5厘米，那么两边之和是6厘米，6厘米＞5厘米，可以围城三角形。 C．假设最长一段是6厘米，那么两边之和是5厘米，5厘米＜6厘米，不可以围城三角     D．假设最长一段是7厘米，那么两边之和是4厘米，4厘米＜7厘米，不可以围城三角形。     A、B两个选项符合要求，又因为是最长的一段小棒，5厘米＞4厘米 故答案为：B 【点睛】本题考查了三角形的三边关系的应用。 4．C 【分析】根据各点的位置可以看出来，AB边与BC边相互垂直，所以三角形ABC是直角三角形。 【详解】如果点A用数对表示为（1，5），点B用数对表示为（1，1），点C用数对表示为（3，1），那么三角形ABC是直角三角形。 故答案为：C 【点睛】此题考查了学生对三角形的认识。要求学生熟练掌握并灵活运用。 5．B 【分析】因为任意四边形的内角和都是，所以不管形状怎样变化，只要变成的图形还是四边形，它的内角和就与原来的长方形的内角和相等。据此解答即可。 【详解】这个平行四边形的内角和与原来长方形的内角和相比，一样大。 故答案为：B。 【点睛】解决本题的关键是明确任意一个四边形的内角和都是。 6． 105° 钝角 【解析】略 7．① 【分析】只要确定三角形的一条边和两个角的度数，就能确定这个三角形的形状，据此即可解答。 【详解】④仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能确定三角形的形状；②③仅保留了原三角形的部分边，不能确定三角形的形状；①不但保留了原三角形的两个角，还保留了其中一个边，可以确定三角形的形状，所以应该拿这块。 【点睛】判断出哪一块能确定三角形的形状是解答本题的关键。 8．三角形的稳定性 【分析】四边形有易变形的特点，三角形具有稳定性。 【详解】给摇晃的椅子加固（如左图），这样做是应用了（三角形的稳定性）。 【点睛】熟悉三角形的特征是解答此题的关键。 9． 180 360 【分析】首先明确三角形的内角和是180°；连接梯形的一条对角线，将梯形分成两个三角形，两个三角形的内角和即是梯形的内角和；据此解答。 【详解】根据分析： ①三角形的内角和是180°； ②180°×2＝360°，所以梯形的内角和是360°。 【点睛】这是一道求多边形内角和的题目，熟练掌握求多边形内角和的方法是解题的关键。 10． B 三角形具有稳定性 自行车三角形架 【分析】紧扣三角形具有稳定性的性质，即可解答。 【详解】A．围成的是四边形； B．围成的是三角形； C．围成的是四边形。 根据三角形具有稳定性的性质，所以B方案最好，生活中像自行车三角形架等都是利用了三角形具有稳定性的性质。 【点睛】此题主要考查三角形具有稳定性的性质的实际应用。 11．13或． 【详解】试题分析：已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形斜边和短边二种情况下的结果，然后根据勾股定理解答． 解：根据勾股定理，当12为直角边时，第三条线段长为=13； 当12为斜边时，第三条线段长为=； 点评：本题考查了勾股定理的逆定理，注意要分两种情况讨论．本题用小学知识解答比较困难． 12．22或26 【分析】根据三角形3条边之间的关系，在三角形中，任意两边之和大于第三边，由此可知，这个等腰三角形的底是6厘米，腰是10厘米，或底是10厘米，腰是6厘米。根据三角形的周长公式解答。 【详解】 （厘米） （厘米） 它的周长是（22）厘米或（26）厘米。 【点睛】此题主要考查三角形周长公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是根据三角形3条边之间的关系确定三角形的底和腰各是多少厘米。 13．十 【分析】根据多边形的内角和＝（边数－2）×180°来解答。 【详解】1440°÷180°＝边数－2 边数＝8＋2 边数＝10 一个多边形的内角和是1440°，它是（ 十 ）边形。 14． 8 60 【分析】等边三角形三条边都相等，三个内角也相等，一个三角形是180°，因此用180°除以3就是每个角的度数，用24除以3就是每条边的长度。 【详解】24÷3＝8（厘米） 180°÷3＝60° 【点睛】熟记三角形的内角和度数与熟练掌握等边三角形的特点是解答此题的关键。 15．360° 【分析】截去了一个角可以看做是截去一个三角形，被截去的三角形两个未知内角的和为150°，相应的，原三角形ABC的另外两个内角和也为150°。根据与截去三角形的另外两个未知角组成的平角即可解答。 【详解】四边形左边两个角的和：180°＋180°－150°＝210° 四边形右边两个角的和：180°－30°＝150° 四边形内角和：210°＋150°＝360° 故答案为：360° 【点睛】本题主要考查利用三角形的内角和以及平角解题，仔细审题，分析清楚内角之间的关系是解决本题的关键。 16．180°/360°/540° 【分析】用剪刀捡去长方形的一个角，如果是沿着长方形的对角线剪，那么长方形将变为直角三角形，三角形的内角和是180°；如果是将长方形沿着一个角剪到这个角所在的两条边之外的另一条边，那么这个长方形被剪成了四边形，四边形的内角和是360°；如果这个长方形被沿着一组邻边剪去一个角，那么这个长方形就被剪成了五边形，五边形的内角和是540°。 【详解】长方形剪去一个角，可能会变成三角形、四边形、五边形。剪成三角形时内角和是180°；剪成四边形时内角和是360°；剪成五边形时内角和是540°。 【点睛】本题考查学生对于多边形内角和的认识。多边形的内角和可以用公式（n－2）×180°来计算，其中n表示多边形的边数。 17．正确   【分析】直角三角形的一条直角边为底，另一条直角边就是这条底边上的高，由此判断即可. 【详解】直角三角形的两条直角边互为底和高，原题说法正确. 故答案为正确 18．√ 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴；据此进行判断即可。 【详解】正三角形也是等边三角形，如下图所示： 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴。 故答案为：√ 【点睛】判断一个图案是否是轴对称图形的关键是看在这个图形中能否找到一条直线，使图形沿着这条直线对折后能够完全重合。 19．× 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。 【详解】4＋4＝8，则长4m，4cm，8m的三条线段不能围成三角形，题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握三角形的三边关系，灵活运用三角形的三边关系解决问题。 20．√ 【分析】根据三角形的稳定性来判断即可解答。 【详解】因为三角形具有稳定性，所以三角形3条边的长度确定，只能拼出一种固定形状的三角形，也就是组成的三角形不能变形。本题说法正确。 故答案为：√。 【点睛】考查学生对三角形的稳定性知识的掌握。 21．× 【分析】根据三角形的内角和是180°可知，若直角三角形中有两个内角是直角，则这个三角形的内角和将大于180°，这是不可能的。所以直角三角形中只有一个内角是直角。 【详解】在一个直角三角形的3个内角中，只有一个内角是直角。 故答案为：× 【点睛】明确三角形的内角和是180°是解决本题的关键。 22．见详解 【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底，依此画图。 【详解】画图如下： 【点睛】熟练掌握三角形的高的画法是解答此题的关键。 23．49厘米 【分析】等腰三角形的两腰相等，三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此确定出这个等腰三角形教具的腰长，再计算出这个等腰三角形教具三条边的总长度即可。 【详解】当腰长为9厘米时，9＋9＝18（厘米），18厘米＜20厘米，因此腰长不能为9厘米； 当腰长为20厘米时，20＋9＝29（厘米），20－9＝11（厘米），29厘米＞20厘米，11厘米＜20厘米，因此腰长为20厘米。 20＋20＋9＝49（厘米） 答：这个等腰三角形教具的周长是49厘米。 【点睛】此题考查的是三角形的周长的计算，应熟练掌握三角形三边的关系，以及等腰三角形的特点。 24．20度 【分析】根据在直角三角形中，另两个锐角和为90°，已知一个锐角，用减法即可求得另一个锐角的度数，据此解答。 【详解】 答：另一个锐角是20度。 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，是基础题，应注意基础知识的积累。 25．7个 【详解】试题分析：根据三角形三边关系可得：截出的三条线段的最大边最大是7厘米，最小是5厘米．由此进行推理归纳即可得出结论． 解：最大边为7厘米时，另两边之和为8厘米，可构成4个（1厘米+7厘米，2厘米+6厘米，3厘米+5厘米，4厘米+4厘米）不同的三角形， 最大边为6厘米时，另两边之和为9厘米，可构成2个（3厘米+6厘米，4厘米+5厘米）不同的三角形， 最大边为5厘米时，可构成1个（5厘米+5厘米）不同的三角形．所以一共可组成7个不同的三角形， 4+2+1=7个， 答：用这三条线段可以组成7个不同的三角形． 点评：此题考查了三角形三边关系的灵活运用． 26．40度 【分析】三角形内角和为180°，根据题意可知这是一个等腰三角形的风筝，顶角是100度，把顶角100度去掉剩下两个底角同样大，剩下的度数平均分成两份就是其中一个底角的度数。 【详解】（180－100）÷2 ＝80÷2 ＝40（度） 答：底角是40度。 【点睛】三角形还有其他的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边。三角形具有稳定性，当一个三角形三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小就不会改变。 27．有3条路；分别为600m；300m；460m；中间那条路最近 【详解】略 28．8分米 【分析】风筝的周长除以5等于底边长度，再用周长减去底边长度的差除以2得一条腰的长度，据此即可解答。 【详解】20÷5＝4（分米） （20－4）÷2 ＝16÷2 ＝8（分米） 答：这个风筝的一条腰长8分米。 【点睛】考查学生对等腰三角形周长知识的掌握。 29．钝角三角形． 【详解】试题分析：因为三角形的内角和是180度，所以其中一个内角占三个内角之和的是180°×=120°，又因为在三角形里，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，所以是钝角三角形． 解：由题意得： 其中一个角的度数为：180°×=120°，是钝角， 根据三角形的分类得出：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形． 答：这个三角形有一个角是钝角，是一个钝角三角形． 点评：此题主要考查三角形内角和是180度的灵活运用． 30．40°，锐角三角形 【分析】根据题干，先求出另一个内角是65°＋10°＝75°，再根据三角形内角和是180°求出第三个角的度数，再按照三角形按角分类的方法即可判断三角形的形状。 【详解】另一个内角是：65°＋10°＝75° 第三个角是：180°﹣65°﹣75°＝40° 因为三个角都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形， 答：第三个角的度数是40°，这个三角形是锐角三角形。 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理以及三角形按角分类的方法的灵活应用。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$