第十二章 全等三角形 课件 2024-2025学年人教版八年级数学上册

第十二章 全等三角形 知识梳理、真题剖析 单元练习 1 知识梳理2 2 全 等 三 角 形 全等 三角 形的 定义 完全重合 形状相同 大小相等 完全重合 三角形 对应顶点 对应边 对应角 <m></m> 一一对应 3 全 等 三 角 形 全等 三角 形的 性质 （5）全等三角形____________；全等三角形____________. （6）全等三角形对应角的角平分线______；全等三角形对 应边的中线______；全等三角形对应边上的高______；全 等三角形的面积______；全等三角形的周长______. 对应边相等 对应角相等 相等 相等 相等 相等 相等 续表 4 全 等 三 角 形 全等 三角 形的 判定 （7）______________的两个三角形全等. （8）两角和____________对应相等的两个三角形全等. （9）两角和________________对应相等的两个三角形全等. （10）两边和____________对应相等的两个三角形全等. （11）__________________对应相等的两个直角三角形全 等. 在寻找全等的条件时，总是先寻找____相等的可能性. 三边对应相等 它们的夹边 其中一角的对边 它们的夹角 斜边和一条直角边 边 续表 5 全 等 三 角 形 角平 分线 的性 质 （12）角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等. （13）角平分线的性质的逆定理：到一个角的两边距离相 等的点在角平分线上. 续表 6 全 等 三 角 形 角平 分线 的性 质 图1 续表 7 真题剖析2 8 考点1 全等三角形的性质与判定 图1 例1 （2022·柳州）如图1，点 ， ， ， 在同一条直线上， ， .有下 列三个条件：① ，② ， ③ . 9 （1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得 .你选取 的条件为____（填序号,只需选一个条件），你判定 的 依据是____. ① <m></m> 解：在 和 中， ， 选取的条件为①，判定 的依据是 . 故答案为①， （答案不唯一）. 图1 10 （2）利用（1）的结论 ,求证 . 证明： ， ， . 图1 11 考点1 变式 图2 （2022·云南）如图2， 平分 ， 分别是射 线 、射线 、射线 上的点， 与点 都不 重合，连接 .若添加下列条件中的某一个，就能使 .添加的那个条件是( ) . D A. B. C. D. 12 考点2 有关角平分线的计算 图3 例2 （2020·湘潭）如图3，点 是 的平分线上 一点， ，垂足为点 ，且 ，点 是 射线 上一动点，则 的最小值为___. 3 13 [解析] 根据垂线段最短知：当 时， 最小. 当 时， 平分 ， ， ， . 故答案为3. 图3 14 考点2 变式 图4 （2021·福建）如图4， 是 的角平分线.若 ， ，则点 到 的距离是____. <m></m> 15 考点3 全等三角形的实际应用 图5 例3 （2022·扬州）如图5，小明家仿古家具的一块三 角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块.小明打电话给 玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角 形记为 ，提供下列各组元素的数据，配出来的 玻璃不一定符合要求的是( ) . C A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 16 [解析] 选项A，B不符合题意；选项C只提供 ， ， ，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；选项D，根据 ， ， ，三角形形状可以确定，故此选项不符合题意.故选C. 17 考点3 变式 图6 （2021·攀枝花）如图6，一名工作人员不慎将一 块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两 块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具， 他带( ) 去最省事. C A.① B.② C.③ D.①③ 18 考点4 尺规作图 图7 例4 （2020·贵阳）如图7， 中， ，利用尺规在 ， 上分别截取 ， ，使 ；分别以 ， 为圆心， 大于 的长为半径作弧，两弧在 内交 C A.无法确定 B. C.1 D.2 于点 ；作射线 交 于点 .若 ， 为 上一动点，则 的最小值为( ) . 19 [解析] 当 垂直于 时， 取到最小值，即运用角平分线上的点到两边的距离相等以及点到直线的距离，垂线段最短的知识可解题.故选C. 20 考点4 变式 （2021·赤峰）如图8，在 中， ，且 . 图8 21 （1）作 的平分线，交 于点 ；（要求尺规作图，不写作法， 保留作图痕迹） [答案] 如答图10 答图10 22 （2）在（1）的条件下，连接 ，证明 . 答图10 证明：如答图10.连接 ，由（1）知 在 和 中， ， ，又 ， ， 23 单元练习2 24 一、选择题 1.通过下列变换能得到全等图形的是( ) . D A.只有平移 B.只有平移、旋转 C.只有平移、翻转 D.平移、旋转、翻转 2.有下列说法：①三边对应相等的两个等边三角形全等；②有三个角对 应相等的两个三角形全等；③所有等边三角形都全等；④有一个锐角和 一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.其中正确的说法有( ) . B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 25 图1 3.如图1， ， ，添加的条件不能判断 的是( ) . C A. B. C. D. 26 图2 4.在测量一个小口圆柱形容器的内径时，小明用“ ”形转动 钳按如图2所示的方法进行测量，其中 ， ，因此可得 ，从而测得 的长， 就可以得到圆柱形容器的内径 的长，其中判定 的依据是( ) . B A. B. C. D. 27 5.如图3是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要 使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( ) . D 图3 A. 三条中线的交点 B. 内任意一点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三条角平分线的交点 28 图4 6.如图4，在 中， ， ， ， ，则 等 于( ) . C A. B. C. D. 29 图5 7.如图5，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点， 三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形.图中 是格点三角形，请你找出方格中所有与 全 等，且以 为顶点的格点三角形，这样的三角形共有 ( ) 个（ 除外）. D A.2 B.3 C.4 D.5 30 图6 8.如图6， 于 ， 于 ， 与 交于 ， ，则图中全等的直角三角形共有 ( ) . C A.5对 B.4对 C.3对 D.2对 31 图7 9.如图7， 中， ， 平分 ，交 于点 ，若 ， 为 上 一动点，则 的最小值为( ) . A A.2 B. C.1 D.无法确定 图8 10.如图8，已知在 中， 是 边上的高 线， 平分 ，交 于点 ， ， ，则 的面积等于( ) . B A.16 B.20 C.28 D.40 32 二、填空题 图9 11.如图9，在 中， ，点 在 上（不与点 ， 重合）.只需添加一个条件即可证明 ， 这个条件可以是______________________________（写出一 个即可）. <m></m> （或 <m></m> ） 12. ，且 的周长为12，若 ， ，则 ___. 5 33 图10 13.如图10， 是 的角平分线，若 ， ，则点 到 的距离是___. 3 图11 14.如图11， 的三边 ， ， 长分别是 10，15，20.其三条角平分线交于点 ，将 分为 三个三角形， _ ______. <m></m> 34 15.在 轴、 轴上分别截取 ，再分别以点 ， 为圆心，以 大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，若点 的坐标为 ，则 的值是_ ______. 2或 <m></m> 图12 16.如图12，两个全等的直角三角形重叠 在一起，将其中的一个三角形沿着点 到点 的方向平移到 的位置， ， ，平移距离为6，则阴 影部分的面积为____. 39 35 三、解答题 图13 17.如图13，在 和 中， ， ， ， 分别交 ， 于点 ， ，连接 . 36 （1）求证 . 证明： ， ，即 ，在 和 中， ， 图13 37 （2）若 ，求 的度数. 答图11 解： ， ， ， ，过点 分别 作 于点 ， 于点 ，如答 图11，在 和 中， , ， 平分 ， 38 图14 18.小明与爸爸妈妈在操场上荡秋千，如图14，小明 坐在秋千上的起始位置 处，起始位置 与地面 垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 高的 处接住他，妈妈用力一推，爸爸在 处接住他.若妈妈与爸爸到秋千起始位置 的水 平距离 ， 分别为 和 ， . 39 （1） 与 全等吗？请说明理由. 解： 与 全等.理由如下：由题意可知 ， ， ， ，在 和 中， 图14 40 （2）请直接写出爸爸在距离地面多高的地方接住小明. 解： ， ， ， ， 分别为 和 爸爸在距离地面 处接住小明 图14 41 图15 19.如图15，某村有一块五边形的田地， ， ，连 接对角线 ， ， . （1） ， 与 之间的数量关系是 _ _____________________. <m></m> 解： ， ， ， 故答案为 42 （2）为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围 一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花 费多少元？（提示：延长 至点 ，使 ） 答图12 解： 如答图12，延长 至点 ，使 ， 连接 . 在 与 中， ， 43 ， ， ，即 .在 与 中， ， ， .五边形 的周长 ， （元） 答图12 20.【知识再现】学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直 角边分别相等的两个直角三角形全等（简称 定理）”是判定直角三角 形全等的特有方法. 【简单应用】 图16 （1）如图16，在 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上.若 ，则线段 和线段 的数量关系是 _ ________. <m></m> 45 【拓展延伸】 图17 （2）在 中， ， ， 点 在边 上.若点 在边 上，且 ，如图17所示，则线段 与线段 相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等， 请说明理由. 46 答图13 [答案] .理由如下：如答图13，过点 作 交 的延长线于 ，过点 作 交 的延长线于N. ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 47 $$