专题03 空间向量基本定理7种常考题型归类（55题）-2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题03 空间向量基本定理7种常考题型归类（55题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量基本定理基底的判断 题型二 用基底表示空间向量 题型三 利用空间向量基本定理求参数 题型四 用向量法证明平行、共面问题 题型五 用基底法求空间向量的数量积 题型六 用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题 （一）应用空间向量基本定理求夹角 （二）应用空间向量基本定理证明线线垂直 题型七 用向量法解决立体几何的距离问题 知识点1：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 知识点2：空间向量的正交分解 1、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 2、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3、特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 解题策略 1．正确理解基底的概念 基底中不能有零向量．因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量． 2．用基底表示向量的方法 用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示． 3.基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法 ①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 注：(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 4.用基底表示空间向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 注：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行． (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求． 5.证明平行、共面问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可． (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． 6.(1)向量法是证明异面直线垂直常用的方法，常选一基底表示两异面直线． 7.(2)利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 　　 题型一 空间向量基本定理基底的判断 1．【多选】（2024·江苏连云港·高二统考期中）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．，，两两不共线，但两两共面 B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得 C．，，能构成空间另一个基底 D．若，则实数，，全为零 2．（2024·全国·高三对口高考）已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 3．【多选】（2024·高二课时练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．【多选】（2024·山西晋中·高二统考期末）是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（    ） A． B． C． D． 5.【多选】（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河北邯郸·高二统考期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·云南大理·高二统考期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 题型二 用基底表示空间向量 8．（2024·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·高二单元测试）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 10.（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，是的中点，点在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 11．（2024·江苏徐州·高二统考期中）在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 13．（2024·高二课时练习）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（    ）      A． B． C． D． 14.（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知四面体，是的重心，是上一点，且，若，则为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·江苏连云港·高二统考期中）在正四面体中，为的重心，记，，．若，，则______．（用，，表示） 16．（2024·高二课时练习）如图，空间四边形OABC中，G、H分别是、的重心，D为BC的中点，设，，，试用试用基底表示向量和.    题型三 利用空间向量基本定理求参数 17．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（    ） A． B． C． D． 18．（2024·全国·高三对口高考）已知正方体中，侧面的中心是P，若，则_________，_________． 19.（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 20．（2024·高二课时练习）已知为三条不共面的线段，若，那么（    ） A．1 B． C． D． 21．（2024·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，．若，则（    ） A． B． C． D．－1 22．（2024·山东聊城·高二统考期末）已知四棱锥的底面是平行四边形，若，则______． 23．（2022秋·吉林延边·高二校考期末）已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 24．（2024·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（    ） A． B． C． D． 25．（2024·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，，，则______. 26.（2023·陕西·统考一模）空间四边形中，与是四边形的两条对角线，，分别为线段，上的两点，且满足，，若点在线段上，且满足，若向量满足，则______． 题型四 用向量法证明平行、共面问题 27．（2024·广西河池·高二统考期末）已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 28．（2024·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点． (1)试证：与，共面； (2)，，，试用基底{，，}表示向量． 29．（2024·高二课时练习）如图，正方体中，O为上一点，且，BD与AC交于点M.求证：三点共线． 30．（2024·广东·高二统考阶段练习）如图，在四面体OABC中，，，，用向量表示，则________．若，且 平面ABC，则实数________． 31．（2024·四川达州·统考二模）如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________. 32．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________. 题型五 用基底法求空间向量的数量积 33．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，. (1)用，，表示； (2)计算. 34．（2024·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为____________． 35．（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 题型六 用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题 （一）应用空间向量基本定理求夹角 36．（2024·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体中，，且，则的余弦值是________. 37．（2024·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 38.（2023·江苏·高三专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求与的夹角的余弦值． 39．（2024·河北·统考模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则______． 40．【多选】（2024·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在三棱锥A-BCD中， ， ， 两两夹角均为，且若G，M分别为线段AD，BC的中点，则（    ） A． B． C．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 D．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 41．（2024·浙江湖州·高二统考期末）在四棱柱中，底面为平行四边形，且，. (1)用表示，并求的长； (2)若为中点，求异面直线与所成角的余弦值. 42．（2024·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体中，，，且. (1)求的长； (2)求向量与夹角的余弦值. （二）应用空间向量基本定理证明线线垂直 43.（2023·江苏·高二专题练习）已知空间四边形中，，且，，分别是，的中点，是的中点，求证：． 44.（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由． 45.（2024秋·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 46．（2024·全国·高二假期作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 47．【多选】（2024·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 48．【多选】（2024·江苏连云港·高二校考期中）如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．直线AC与直线是相交直线 D．与AC所成角的余弦值为 题型七 用向量法解决立体几何的距离问题 49．（2024·宁夏银川·高二银川一中校考期中）如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 50．（2024·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体中，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 51.（2023秋·福建三明·高二统考期末）如图，在四面体中，，，，. (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 52.（2023·高一单元测试）如图，三棱柱中，，分别是上的点，且．设，，． (1)试用，，表示向量； (2)若，求的长． 53．（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.若是的中点，设. (1)将空间向量与用表示出来； (2)求线段BM的长. 54．（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，四面体中，分别为上的点，且设 （1）以为基底表示，则＝________； （2）若且则________. 55．（2024·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，两个正方形，的边长都是3，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段______. $$2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题03 空间向量基本定理7种常考题型归类（55题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量基本定理基底的判断 题型二 用基底表示空间向量 题型三 利用空间向量基本定理求参数 题型四 用向量法证明平行、共面问题 题型五 用基底法求空间向量的数量积 题型六 用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题 （一）应用空间向量基本定理求夹角 （二）应用空间向量基本定理证明线线垂直 题型七 用向量法解决立体几何的距离问题 知识点1：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 知识点2：空间向量的正交分解 1、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 2、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3、特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 解题策略 1．正确理解基底的概念 基底中不能有零向量．因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量． 2．用基底表示向量的方法 用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示． 3.基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法 ①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 注：(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 4.用基底表示空间向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 注：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行． (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求． 5.证明平行、共面问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可． (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． 6.(1)向量法是证明异面直线垂直常用的方法，常选一基底表示两异面直线． 7.(2)利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 　　 题型一 空间向量基本定理基底的判断 1．【多选】（2024·江苏连云港·高二统考期中）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．，，两两不共线，但两两共面 B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得 C．，，能构成空间另一个基底 D．若，则实数，，全为零 【答案】ABD 【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以，，两两不共线，但两两共面，故A正确； 对空间任一向量，总存在有序实数组，使得，故B正确； 因为， 所以，，共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误； 根据空间向量基本定理可知，若，则实数，，全为零，故D正确； 故选：ABD 2．（2024·全国·高三对口高考）已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基底的性质进行求解. 【详解】因为，所以是共面向量，不能构成基底，A不正确； 因为不是共面向量，所以可以构成基底，B正确； 因为与平行，所以不能构成基底，C不正确； 因为，所以共面，不能构成基底，D不正确. 故选：B. 3．【多选】（2024·高二课时练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理逐项分析判断作答. 【详解】构成空间的一个基底， 对于A，，因此，，共面，A正确； 对于B，，因此，，共面，B正确； 对于C，假定，，共面，则存在使得 ，而不共面，则，解得， 于是，共面，与不共面矛盾，因此，，不能共面，C错误； 对于D，，因此，，共面，D正确． 故选：ABD 4．【多选】（2024·山西晋中·高二统考期末）是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量基本定理判断即可. 【详解】由于，故与、共面，无法构成空间的一个基底，故B错误； 因为是空间的一个基底，由于不存在实数对、，使得， 若成立则，显然方程组无解，故、与可以作为空间的一个基底，故A正确，同理可得C、D正确； 故选：ACD 5.【多选】（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】如图所示，令，则，又， 由A、B1、C、D1四点不共面知：向量不共面， 同理和也不共面. 故选：BCD 6．（2024·河北邯郸·高二统考期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1. 【详解】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内， 所以，. 因为，，，所以，又SA=1， 所以空间的一个单位正交基底可以为. 故选：A 7．（2024·云南大理·高二统考期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，向量、、共面，则存在实数、使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得的值. 【详解】因为向量，，不能构成空间的一个基底， 所以、、共面，故存在实数、使得， 即， 因为是空间的一个基底，则，解得. 故选：D. 题型二 用基底表示空间向量 8．（2024·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【详解】   如图所示，， 故选：C 9．（2024·高二单元测试）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答. 【详解】在平行六面体中，M为与的交点， . 故选：B 10.（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，是的中点，点在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为P是的中点， 所以， 又因为点Q在上，且， 所以 ， 所以， 故选：C. 11．（2024·江苏徐州·高二统考期中）在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】由题知，在正四面体中， 因为平面， 所以是的中心， 连接，则， 所以 .    故选：B 12．（2024·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基底表示，再利用向量线性运算求解即可. 【详解】因为，所以，    因为Q是的中点，所以， 因为M为PQ的中点，所以， 故选：A. 13．（2024·高二课时练习）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为，所以， 所以，即， 又， 所以. 故选：D    14.（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知四面体，是的重心，是上一点，且，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点， ，则， 由题设，， 所以. 故选：A 15．（2024·江苏连云港·高二统考期中）在正四面体中，为的重心，记，，．若，，则______．（用，，表示） 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意，为的重心，则， 所以 . 故答案为：    16．（2024·高二课时练习）如图，空间四边形OABC中，G、H分别是、的重心，D为BC的中点，设，，，试用试用基底表示向量和.    【答案】 【分析】由已知得，，可得； 由可得可得答案. 【详解】由已知得，， 因为G是的重心，D为BC的中点， 所以，， 所以； 又因为H是的重心， 所以， . 题型三 利用空间向量基本定理求参数 17．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用点位于平面内的充要条件，建立关系即可判断作答. 【详解】因为点P为平面ABC上的一点，，则， 于是，即，显然选项BCD都不满足，A选项满足. 故选：A 18．（2024·全国·高三对口高考）已知正方体中，侧面的中心是P，若，则_________，_________． 【答案】 / / 【分析】用表示出，从而得出，的值． 【详解】由于， 所以，， 故答案为：；．    19.（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】因为， 所以，所以，所以 ， 所以， 故选：A. 20．（2024·高二课时练习）已知为三条不共面的线段，若，那么（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果. 【详解】根据向量加法法则可得：， 即， 因为， 所以，，， 所以，，，所以. 故选：B. 21．（2024·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，．若，则（    ） A． B． C． D．－1 【答案】A 【分析】利用空间向量基本定理表示出，即可求解. 【详解】矩形中，,所以.      因为，所以. 因为,，所以. 所以. 所以，所以. 故选：A 22．（2024·山东聊城·高二统考期末）已知四棱锥的底面是平行四边形，若，则______． 【答案】 【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案. 【详解】因为四棱锥的底面是平行四边形，所以， 又，由空间向量基本定理可得，，故. 故答案为：. 23．（2022秋·吉林延边·高二校考期末）已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量基本定理，结合正方体的结构特征求解作答. 【详解】正方体，点是上底面的中心，如图， 则， 不共面，又，于是得， 所以. 故选：C 24．（2024·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解. 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则x=2，，，解得. 故选：D. 25．（2024·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，，，则______. 【答案】 【分析】根据空间向量线性运算得到，证明出共线定理的推论，由三点共线，得到，求出. 【详解】因为，所以， 即，， 下面证明：已知，若三点共线，则， 因为三点共线，所以存在非零实数，使得， 即，整理得， 故，，所以， 因为三点共线， 故，解得：. 故答案为： 26.（2023·陕西·统考一模）空间四边形中，与是四边形的两条对角线，，分别为线段，上的两点，且满足，，若点在线段上，且满足，若向量满足，则______． 【答案】 【详解】因为 ， 所以． 故答案：. 题型四 用向量法证明平行、共面问题 27．（2024·广西河池·高二统考期末）已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，分析出当共面时，，从而分析四个选项，得到正确答案. 【详解】当共面时，不妨设， 变形得到， 则， 设，若点与点共面， 则， 只有选项中符合题意. 故选：. 28．（2024·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点． (1)试证：与，共面； (2)，，，试用基底{，，}表示向量． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF，根据直线与平面平行的判定定理可得AD∥平面PEF，BC∥平面PEF，从而可得向量与，共面； （2）直接利用向量的加减法运算得答案． 【详解】（1）   证明：如图，连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF． ∵P，F分别为AC，CD的中点，∴AD∥PF． 又∵PF⊂平面PEF，AD⊄平面PEF． ∴AD∥平面PEF． 同理可证，BC∥平面PEF． ∴向量与，共面. （2）解： . 29．（2024·高二课时练习）如图，正方体中，O为上一点，且，BD与AC交于点M.求证：三点共线． 【答案】证明见解析. 【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求的关系，即可推理作答. 【详解】在正方体中，令， ，BD与AC交于点M，即点M是的中点， 于是 ， ， 因此，即，而直线与直线有公共点， 所以三点共线. 30．（2024·广东·高二统考阶段练习）如图，在四面体OABC中，，，，用向量表示，则________．若，且 平面ABC，则实数________． 【答案】 /0.75 【分析】运用空间向量的线性运算法则，将 用基底 表示出来，延长OP与AM交于D，当 时， 平面ABC. 【详解】 由条件可知： ； 延长 与AM交于D，连接BD，则当 时， 平面ABC， 平面ABC， 平面ABC； 令 ，则有 ， ， 根据向量基底表示法的唯一性，有：  ，解得 ， ， . 故答案为：， 31．（2024·四川达州·统考二模）如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________. 【答案】 【分析】设，其中，将、、用基底表示，分析可知、、共面，则存在、，使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出的值，即可得出的长度. 【详解】设，其中，， ， ， 因为平面，则、、共面，显然、不共线， 所以，存在、，使得， 即 ， 因为为空间中的一组基底，所以，，解得， 因此，. 故答案为：. 32．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________. 【答案】 【分析】设，其中，用、、表示向量、、，利用共面向量的基本定理可知存在、使得，由空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得实数的方程组，即可解得实数的值. 【详解】设，其中， ， ，， 因为、、、四点共线，则向量、、共面， 由共面向量定理可知，存在、使得， 即 ， 所以，，解得. 故答案为：. 题型五 用基底法求空间向量的数量积 33．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，. (1)用，，表示； (2)计算. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用表示出； （2）应用向量数量积的运算律得，结合已知即可求数量积. 【详解】（1）； （2） . 34．（2024·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为____________． 【答案】/-0.5 【分析】，，两两成角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算. 【详解】 根据题意ABCD为正四面体， ，，两两成角，, 由， ， 所以 ． 故答案为： 35．（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由点为的中点，可得，而，代入前面的式子化简可得结果； （2）由（1）可知，由于，再利用数量积的运算律结合已知条件可求得结果. 【详解】（1）因为点为的中点，所以， 因为，所以， 所以， 所以； （2）由（1）得， 因为，， 所以 . 题型六 用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题 （一）应用空间向量基本定理求夹角 36．（2024·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体中，，且，则的余弦值是________. 【答案】/ 【分析】利用空间向量基本定理，得到，求出，，再由向量夹角公式求的余弦值. 【详解】由题设，可得如下示意图，    ∴， 设，则，又， 所以，，， 所以以 . ， 所以 故答案为：. 37．（2024·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解. 【详解】设，，， 因为向量不共面，故可构成空间的一组基底， 结合，，，，， 所以=0，，， 则，， 可得 ， ， ， 所以， 又因为异面直线所成角的范围是， 所以与所成角的余弦值为. 故选：B. 38.（2023·江苏·高三专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求与的夹角的余弦值． 【答案】 【详解】设，，， 由已知可得. 因为， ， 所以，， ， ， 所以，， 所以，， 故直线与的夹角的余弦值为. 39．（2024·河北·统考模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则______． 【答案】 【分析】以为基底，，即可求解. 【详解】解：以为基底，它们两两之间均为，设正四面体ABCD棱长为2，则 , 所以 ， 所以, 故答案为： 40．【多选】（2024·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在三棱锥A-BCD中， ， ， 两两夹角均为，且若G，M分别为线段AD，BC的中点，则（    ） A． B． C．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 D．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 【答案】BC 【分析】根据空间向量对应线段的位置及数量关系，用表示出，应用数量积的运算律求向量的模长，根据向量夹角公式、数量积运算律求异面直线夹角. 【详解】 不妨设，则，且， ， 所以， 因为，且， 所以 ，则， 所以异面直线AC与DB所成角的正弦值为 故选：BC 41．（2024·浙江湖州·高二统考期末）在四棱柱中，底面为平行四边形，且，. (1)用表示，并求的长； (2)若为中点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解； （2）用表示，计算，由向量法求异面直线所成的角． 【详解】（1）， ， ， ， 即，解得； （2）由（1）知 设异面直线与所成角为，则. 42．（2024·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体中，，，且. (1)求的长； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）用空间的一个基底表示向量，再利用空间向量数量积的运算律求解作答. （2）利用（1）中信息，结合空间向量的夹角公式计算作答. 【详解】（1）在平行六面体中，为空间的一个基底， 因为，，且， 则， ， 所以 . （2）由（1）知，，则， 又，所以向量与夹角的余弦值. （二）应用空间向量基本定理证明线线垂直 43.（2023·江苏·高二专题练习）已知空间四边形中，，且，，分别是，的中点，是的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】在空间四边形OABC中，令，则， 令，G是MN的中点，如图， 则，， 于是得 ， 因此，， 所以OG⊥BC. 44.（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时， 【详解】（1）解：因为是中点，所以， 所以 ； （2）解：假设存在点，使，设，， 显然，， 因为，所以， 即， ，，， 即， 解得，所以当时，. 45.（2024秋·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【详解】（1）． （2）证明：，， ，共面． （3）当，， 证明：设， 底面为菱形，则当时，， ，， ， ， ． 46．（2024·全国·高二假期作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平面向量转化基底，以及加减运算和数量积的运算性质，得到，即可证得； （2）根据平面向量转化基底，求出、、，再利用夹角公式即可求解. 【详解】（1）证明：∵以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是， ∴， ∴ ， ∴. （2）∵，， ∴ ， ， ， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 47．【多选】（2024·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断. 【详解】如图， 由题意得，， ， ， ， 对于选项A， 所以，即. 故选项A正确. 对于选项B， 故选项B正确. 对于选项C， 所以即 故选项C错误. 对于选项D， 故选项D错误. 故选：AB 48．【多选】（2024·江苏连云港·高二校考期中）如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．直线AC与直线是相交直线 D．与AC所成角的余弦值为 【答案】AB 【分析】A选项，利用空间向量运算法则得到，平方后，由向量数量积公式求出，求出，A正确； B选项，求出，，得到B正确； C选项，作出辅助线，得到四边形为平行四边形，点平面，而点平面，从而得到C错误； D选项，先得到，，从而求出，，利用空间向量余弦夹角公式求出答案. 【详解】由空间向量运算法则得到：， 所以 ， 故，A正确； 因为， 所以 ， 故，，B正确； 连接， 因为，且，所以四边形为平行四边形， 点平面，而点平面， 故直线AC与直线是异面直线，C错误； ，， ， 又 ， ， 故， 设与AC所成角为， 所以 故与AC所成角的余弦值为，D错误. 故选：AB 题型七 用向量法解决立体几何的距离问题 49．（2024·宁夏银川·高二银川一中校考期中）如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】记，，，由，利用向量法即可求出的长. 【详解】解：记，，， 由题意可知，， 所以， ， 所以，即的长为， 故选：D. 50．（2024·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体中，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到，再利用空间向量的数量积及运算律求模长. 【详解】以为基底向量，可得， 则 ， ∴． 故选：C. 51.（2023秋·福建三明·高二统考期末）如图，在四面体中，，，，. (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在四面体中，设，，，则，， ，，， . （2）由（1）知，因为，则，因为F是CD中点，则，如图， 于是得， 因此 ，即有， 所以线段EF的长为. 52.（2023·高一单元测试）如图，三棱柱中，，分别是上的点，且．设，，． (1)试用，，表示向量； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解：， ， ， ， ， 即MN的长为. 53．（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.若是的中点，设. (1)将空间向量与用表示出来； (2)求线段BM的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算用基底表示向量即可； （2）利用（1）的结论以及模长公式计算可求出结果. 【详解】（1） （2）由题可知因为， 又因为， 所以. 易得， 所以， 所以，即的长为. 54．（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，四面体中，分别为上的点，且设 （1）以为基底表示，则＝________； （2）若且则________. 【答案】 【分析】利用空间向量的加减法运算和基底的定义表示，再根据向量的数量积的运算律求解. 【详解】(1) . (2) ，所以， 故答案为: ，. 55．（2024·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，两个正方形，的边长都是3，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段______. 【答案】 【分析】由已知可得.进而表示出，即可根据数量积的运算性质求出，进而即可求出答案. 【详解】由已知可得，，，所以即为二面角的平面角，即. 因为，为对角线的中点，所以. 因为为对角线靠近点的三等分点，所以， 所以. 所以， 所以. 所以， 所以线段. 故答案为：. $$