第三章 整式及其加减 回顾与思考 课件 2024-2025学年北师大版七年级数学上册

第三章　整式及其加减 回顾与思考 数学 七年级上册 BS版 数学 七年级上册 BS版 要点回顾 典例讲练 目录 CONTENTS 1. 相关概念. （1）代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数 式.单独一个 或一个 也是代数式. （2）单项式：由数与字母的 ⁠所组成的代数式叫作单项 式.一个单项式中，所有字母的指数和叫作这个单项式的次数. （3）多项式：几个单项式的 叫作多项式.一个多项式 中，单项式的个数叫作多项式的 ；次数最高的项 的 叫作这个多项式的次数. （4）整式： 和 统称为整式. 数　 字母　 乘积　 和　 项数　 次数　 单项式　 多项式　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 2. 求代数式的值的一般步骤. （1）代入：用具体的数值 代数式中对应的字母； （2）计算：按照代数式中给出的 计算出结果. 代替　 运算关系　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 3. 整式加减运算. （1）同类项：所含字母 ，并且相同字母的指数也 ⁠ 的项叫作同类项.把同类项合并成一项叫作合并同类项. （2）去括号法则：括号前是“＋”号，把括号和它前面的 “＋”号去掉后，原括号里各项的符号都 ；括号前 是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各 项的符号都要 ⁠. （3）整式的加减，实际上就是 和 ⁠. 相同　 相 同　 不改变　 改变　 去括号　 合并同类项　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 4. 探索与表达规律. 有两种形式：数字变化规律和图形变化规律.变化规律体现了由 特殊到一般的思想. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 数学 七年级上册 BS版 典例讲练 0 2 要点一　代数式 如图，要在一个长为 a m、宽为 b m的长方形地面上修建宽 度都为 x m的两条道路（两条道路分别与长方形的边平行），剩 余部分栽种 花草，则栽种花草部分的面积是 m2. 【思路导航】整个长方形的面积减去两条道路的占地面积就是 栽种花草部分的面积.要注意对两条路重叠部分面积的处理. （ ab － ax － bx ＋ x2）　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【解析】空白部分的面积＝大长方形的面积－两个阴影长方形 的面积＋两个阴影长方形重叠部分的面积，故栽种花草部分的 面积是（ ab － ax － bx ＋ x2）m2.故答案为（ ab － ax － bx ＋x2）. 【点拨】（1）用代数式表示图形的面积时，需掌握面积公式， 并能对图形作适当的分割或组合.（2）此题空白部分的面积也 可表示为（ a － x ）（ b － x ）. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 1. 有下列各式： x ＋5， pq ≠1，2024，3（ m ＋ n ）， y ＝1， ，（3 x －2 y ）2，其中是代数式的有（　B　） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 B 数学 七年级上册 BS版 返回目录 2. 已知 a2＋2 a －5＝0，则代数式2 a2＋4 a －5的值是 ⁠. 5　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 要点二　整　式 已知整式（｜ k ｜－3） x3＋（ k －3） x2－ k . （1）当 k 为何值时，该整式是单项式？ 【思路导航】（1）根据单项式的定义得出关于 k 的方程，解答 即可； 解：（1）若关于 x 的整式是单项式， 则有｜ k ｜－3＝0，且 k －3＝0，解得 k ＝3. 故当 k 的值是3时，该整式是单项式. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）当 k 为何值时，该整式是二次多项式？ 【思路导航】（2）若该整式为二次式，则三次项系数为0，据此得出关于 k 的方程，解答即可； 解：（2）若关于 x 的整式是二次多项式， 则有｜ k ｜－3＝0，且 k －3≠0，解得 k ＝－3. 故当 k 的值是－3时，该整式是二次多项式. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）当 k 为何值时，该整式是二项式？ 【思路导航】（3）若该整式为二项式，需讨论是哪两项. 解：（3）因为关于 x 的整式是二项式，所以需分情况讨论：①当两项是二次项和常数项时， 则有｜ k ｜－3＝0，且 k －3≠0， k ≠0，解得 k ＝－3； ②当两项是三次项和二次项时， k ＝0； ③当两项是三次项和常数项时， 则有｜ k ｜－3≠0， k ≠0，且 k －3＝0，无解. 综上所述，当 k 的值是－3或0时，该整式是二项式. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【点拨】几个单项式的和叫作多项式，每个单项式叫作多项式 的项，其中不含字母的项叫作常数项，单项式的个数叫作多项 式的项数.多项式中次数最高的项的次数叫作多项式的次数. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 1. 下列说法中，正确的是（　D　） A. 单项式 的系数是－2，次数是3 B. 单项式 a 的系数是0，次数是1 C. 多项式－6 x2 y ＋4 x －1的常数项是1 D. 多项式 xy2＋4 x2 y3－ x3＋2的次数是5 D 数学 七年级上册 BS版 返回目录 2. 在下列代数式中，单项式有 ，多项式有 ⁠ .（填序号） ① a2 b ＋ ab － b2；② ；③－ ；④－ x ＋ ；⑤2；⑥ ； ⑦ . ③⑤⑦　 ① ②　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 3. 已知多项式（ n －3） x｜ n＋2｜－（ m －2） x3＋6 x2－（ n ＋ 1） x ＋ 是关于 x 的五次多项式，且三次项的系数为3，则 m － n 的值为 ⁠. 【解析】因为多项式（ n －3） x｜ n＋2｜－（ m －2） x3＋6 x2－ （ n ＋1） x ＋ 是关于 x 的五次多项式，且三次项的系数为3， 所以｜ n ＋2｜＝5， n －3≠0，－（ m －2）＝3，解得 n ＝－7， m ＝－1.所以 m － n ＝－1－（－7）＝6.故答案为6. 6　 数学 七年级上册 BS版 返回目录 要点三　整式的加减 先化简，再求值： （1）－3 y2－6 y ＋2 y2＋5 y ，其中 y ＝2； 【思路导航】（1）先合并同类项，再代入值即可求解； 解：（1）原式＝－ y2－ y . 当 y ＝2时，原式＝－22－2＝－4－2＝－6. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）15 a2－[－4 a2－（6 a － a2）－3 a ]，其中 a ＝－2； 【思路导航】（2）先去小括号，再去中括号，接着合并同类项，最后代入值即可求解； 解：（2）原式＝15 a2－（－4 a2－6 a ＋ a2－3 a ） ＝15 a2－（－3 a2－9 a ） ＝18 a2＋9 a . 当 a ＝－2时，原式＝18×（－2）2＋9×（－2）＝54. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （3）3 xy ＋10 y ＋5 x －（2 xy ＋2 y －3 x ），其中 xy ＝2， x ＋ y ＝3. 【思路导航】（3）先去括号，再合并同类项，最后把 xy 和 x ＋ y 的值代入即可求解. 解：（3）原式＝3 xy ＋10 y ＋5 x －2 xy －2 y ＋3 x ＝ xy ＋8 y ＋8 x ＝ xy ＋8（ x ＋ y ）. 当 xy ＝2， x ＋ y ＝3时，原式＝2＋8×3＝26. 【点拨】解答整式的加减混合运算和求值的问题，关键是正确 去括号和合并同类项，注意整体思想的灵活运用. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 1. 先化简，再求值：－2 y3＋（3 xy2－ x2 y ）－2（ xy2－ y3）， 其中｜2 x －2｜＋（ y ＋1）2＝0. 解：原式＝ xy2－ x2 y . 因为｜2 x －2｜＋（ y ＋1）2＝0， 所以2 x －2＝0， y ＋1＝0. 解得 x ＝1， y ＝－1. 故原式＝1×（－1）2－12×（－1）＝2. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 2. 小明同学在做“求（2 x3－3 x2 y －2 xy2）－（ x3－2 xy2＋ y3） ＋（－ x3＋3 x2 y － y3）的值，其中 x ＝ ， y ＝－1”时，把 “ x ＝ ”错抄成了“ x ＝－ ”，但他的计算结果竟然正 确.请你说明原因，并计算出正确结果. 解：原式＝2 x3－3 x2 y －2 xy2－ x3＋2 xy2－ y3－ x3＋3 x2 y － y3＝ －2 y3. 所以此题的结果与 x 的取值无关. 当 y ＝－1时，原式＝－2×（－1）3＝2. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 要点四　整式在实际生活中的应用 某公司在A，B两地分别有同型号的机器17台和15台，现要 从A，B两地将该机器运往甲地18台，乙地14台.已知运费如下 表： 来源地 运费（元/台） 甲地 乙地 A地 600 500 B地 400 800 数学 七年级上册 BS版 返回目录 若从A地运往甲地 x 台，则总运费需要多少元？（用含 x 的代数 式表示） 【思路导航】总费用＝从A地运往甲地的费用＋从A地运往乙地 的费用＋从B地运往甲地的费用＋从B地运往乙地的费用，把相 关数值代入即可求解. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：因为从A地运往甲地 x 台，A地有机器17台， 所以从A地运往乙地（17－ x ）台. 因为甲地需要18台， 所以从B地运往甲地（18－ x ）台. 因为乙地需要14台， 所以从B地运往乙地14－（17－ x ）＝（ x －3）台. 故总运费为600 x ＋500×（17－ x ）＋400×（18－ x ）＋800× （ x －3）＝（500 x ＋13300）元（3≤ x ≤17，且 x 为整数）. 【点拨】解决列代数式及相关计算问题，找到等量关系是解决 问题的关键. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 某中学七（1）班5名老师决定带领本班 x 名学生去一景区旅游. 该景区每张门票的票价为40元，现有A，B两种购票方案可供选 择.方案A：教师全价，学生半价；方案B：不分教师与学生， 全部六折优惠. （1）请用含 x 的代数式分别表示选择A，B两种方案所需的 费用； 解：（1）方案A：40×5＋40×50％ x ＝（20 x ＋200）元； 方案B：40×60％（5＋ x ）＝（24 x ＋120）元. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）当学生人数 x ＝50时，且只选择其中一种方案购票，请通 过计算说明选择哪种方案更为优惠. 解：（2）当 x ＝50时， 方案A：20 x ＋200＝20×50＋200＝1200（元）， 方案B：24 x ＋120＝24×50＋120＝1320（元）. 因为1200＜1320， 所以选择方案A更为优惠. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 要点五　探索与表达规律 （1）一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上 的数字之和能否被3整除.你能说明其中的道理吗？ 解：（1）设这个三位数为100 a ＋10 b ＋ c ， 则100 a ＋10 b ＋ c ＝99 a ＋9 b ＋（ a ＋ b ＋ c ） ＝9（11 a ＋ b ）＋（ a ＋ b ＋ c ）， 所以只要（ a ＋ b ＋ c ）能被3整除，9（11 a ＋ b ）＋（ a ＋ b ＋ c ）就能被3整除， 即一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上的数字之 和能否被3整除. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 （2）可以用（1）中的规律判断一个四位数能否被3整除吗？请 说明理由. 【思路导航】先设每个数位上的数字，表示出三位数或四位 数，再变形看是否是3的倍数. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解：（2）可以用（1）中的规律判断一个四位数能否被3整除. 理由如下： 设这个四位数是1000 a ＋100 b ＋10 c ＋ d ， 则1000 a ＋100 b ＋10 c ＋ d ＝999 a ＋99 b ＋9 c ＋（ a ＋ b ＋ c ＋ d ） ＝9（111 a ＋11 b ＋ c ）＋（ a ＋ b ＋ c ＋ d ）， 所以只要（ a ＋ b ＋ c ＋ d ）能被3整除，9（111 a ＋11 b ＋ c ）＋ （ a ＋ b ＋ c ＋ d ）就能被3整除. 所以可以用（1）中的规律判断一个四位数能否被3整除. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【点拨】寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般 和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果 入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 1. 观察以下等式： 第1个等式： × ＝ ； 第2个等式： × ＝ ； 第3个等式： × ＝ ； 第4个等式： × ＝ ； 第5个等式： × ＝ ； 数学 七年级上册 BS版 返回目录 …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： ⁠； （2）请根据你的猜想写出第 n 个等式： （用含 n 的等式表示）. × ＝ 　 × ＝ 数学 七年级上册 BS版 返回目录 2. 末两位是00，25，50，75的任何数均能被25整除，这是为什 么？请解释其中的道理. 解：设去掉末两位的数是 a . 若末两位是00，则这个数可以表示为100 a . 因为100 a 是25的倍数， 所以末两位是00的任何数能被25整除； 若末两位是25，则这个数可以表示为100 a ＋25. 因为100 a ＋25＝25（4 a ＋1）是25的倍数， 所以末两位是25的任何数能被25整除； 数学 七年级上册 BS版 返回目录 若末两位是50，则这个数可以表示为100 a ＋50. 因为100 a ＋50＝25（4 a ＋2）是25的倍数， 所以末两位是50的任何数能被25整除. 同理可得，末两位是75的任何数能被25整除. 故末两位是00，25，50，75的任何数均能被25整除. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 七年级上册 BS版 $$