精品解析：广西壮族自治区来宾市等2地2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试题

2024年春季期高一期末教学质量监测 数学 （试卷总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ） A. ①②都采用简单随机抽样 B ①②都采用分层随机抽样 C. ①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D. ①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 3. 某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示： 射击次数 50 100 200 400 1000 射中8环以上的次数 44 78 158 320 800 根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（ ） A. 0.78 B. 0.79 C. 0.80 D. 0.82 4. 如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile．此船的航速是（ ）n mile/h． A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 5. 已知α、β是平面，m、n是直线，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 如图，在钝角中，角所对的边分别是，，过点作与垂直的单位向量，将与向量表达式两边进行数量积的运算，即，化简后得到的结论是（ ） A. B. C. D. 7. 掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数不超过3”，事件“出现的点数是3或5”，事件“出现的点数是偶数”，则事件、与的关系为（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与对立 C 事件与独立 D. 事件与独立 8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，为球的直径，，则这个三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分． 9. 关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 设是的共轭复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 是实数 11. 如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，P是上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ） A. 若平面，则 B. B到平面的距离为 C. 当P为中点时，过P、A、B的截面为直角梯形 D. 当P为中点时，有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 三条不同的直线a、b、c，若，c与a、b都相交，则a、b、c三条直线能确定的平面的个数是______个． 13. 乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为，乙发球得1分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________. 14. 等边的边长为6，设其内心为，若平面内的点满足，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）若，求； （2）若，求； （3）若与垂直，求当k为何值时，？ 16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 17. 如图，在正三棱柱中，为的中点． （1）求直线与所成角的大小； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人．按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数； （2）现从以上各组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者． （ⅰ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的宣传使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； （ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 19. 如图，某公司出产了一款美观实用的筷子笼，是由与圆柱底面成一定角度的截面截圆柱所得．如果从截面的最底端到最高端部分还原圆柱，如下图所示，，分别为圆柱底面直径，，为圆柱的母线，，过的平面截圆柱且与底面所在平面交于直线，且． （1）证明：； （2）若底面有一动点从点出发在圆上运动一周，过动点母线与截面交于点，设，，求与的函数关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春季期高一期末教学质量监测 数学 （试卷总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】求出复数可得答案. 【详解】, 复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限． 故选：B． 2. 现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ） A. ①②都采用简单随机抽样 B. ①②都采用分层随机抽样 C. ①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D. ①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 【答案】C 【解析】 【分析】由简单随机抽样、分层随机抽样的概念即可判断. 【详解】由题意对于①，40台刚出厂的大型挖掘机被抽取的可能性一样，故为简单随机抽样， 对于②，为了研究血型与色弱的关系，说明某校800名学生被抽取的可能性要按照血型比例分层抽取，故为分层随机抽样. 故选：C. 3. 某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示： 射击次数 50 100 200 400 1000 射中8环以上的次数 44 78 158 320 800 根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（ ） A. 0.78 B. 0.79 C. 0.80 D. 0.82 【答案】C 【解析】 【分析】利用频率估计概率即可求解. 【详解】大量重复试验，由表格知射击运动员射中8环以上的频率稳定在， 所以这名运动员射击一次射中8环以上的概率为， 故选：C. 4. 如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile．此船的航速是（ ）n mile/h． A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】B 【解析】 【分析】运用正弦定理进行求解即可. 【详解】解析：设航速为v n mile/h，在△ABS中，AB＝v，BS＝ n mile，∠BSA＝45°， 由正弦定理，得＝，∴ v＝32 n mile/h． 故选：B 5. 已知α、β是平面，m、n是直线，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，，则，故A正确， 对于B，若，，则或者异面，故B错误， 对于C，若，，则，C正确， 对于D,若，，则,D正确， 故选：B 6. 如图，在钝角中，角所对的边分别是，，过点作与垂直的单位向量，将与向量表达式两边进行数量积的运算，即，化简后得到的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量数量积的运算律和定义可化简等式得到，由此可得结论. 【详解】，， ，又，，即. 故选：A. 7. 掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数不超过3”，事件“出现的点数是3或5”，事件“出现的点数是偶数”，则事件、与的关系为（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与对立 C. 事件与独立 D. 事件与独立 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，知，，，根据互斥与对立的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意可知：，，， 对于A中，因为，所以事件与不可能是互斥，所以A不正确； 对于B中，因为，可能B、C都不发生，别的事件发生，所以与不对立，所以B不正确； 对于C中，因为，，，所以有， 因此事件与独立，所以C正确； 对于D中，因为，，所以，所以，不独立，所以D不正确． 故选：C． 8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，为球的直径，，则这个三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得为直角三角形，则斜边的中点为的外接圆的圆心，连接，结合已知可证得平面，从而可求出三棱锥的体积 【详解】解：如图所示，由条件为直角三角形，则斜边的中点为的外接圆的圆心， 连接得平面，， ，， 平面， 三棱锥的体积为． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分． 9. 关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由相等向量定义即可判断；对于B,由共线向量的内涵即可判断；对于C，因为非零向量，故可以利用平行传递性判断；对于D，因向量有方向，不能比较大小即可判断. 【详解】对于A，若，但与方向不确定，则得不到，，故A错误； 对于B，若，说明与方向相反，故，即B正确； 对于C，因，由，，易得，故C正确； 对于D，若，但、不能比较大小，故D错误． 故选：BC． 10. 设是的共轭复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 是实数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算、复数的模、共轭复数以及复数的定义加以计算判断. 【详解】对于A，令，则， 于是，所以A正确； 对于B，令，则，因为， ，所以B正确； 对于C，令，满足， 而，，所以C错误； 对于D，令，则， 而是实数，所以D正确. 故选：ABD. 11. 如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，P是上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ） A. 若平面，则 B. B到平面的距离为 C. 当P为中点时，过P、A、B的截面为直角梯形 D. 当P为中点时，有最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据线面平行的性质定理证明判断；对于B：利用等体积法求D到平面的距离；对于C：根据三角形中位线先证∥，则过P、A、B的截面为，再利用长度结合勾股定理证；对于D：借助于侧面展开图分析判断． 【详解】∵平面，平面，平面平面 ∴，A正确； 设B到平面的距离为，则有 ∵，即，则，B正确； 当P为中点时，如图1，取的中点，连接 则∥， ∵∥，则∥ ∴过P、A、B的截面为，则 ∴，则，即为直角梯形，C正确； 借助于侧面展开图，如图2，连接交于点，此时为最小值 若P为中点时，∵，则 ∴，这与题意相矛盾，D错误； 故选：ABC． 【点睛】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 三条不同的直线a、b、c，若，c与a、b都相交，则a、b、c三条直线能确定的平面的个数是______个． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面基本性质，即可得到a、b、c三条直线能确定唯一的平面，即可得到答案. 【详解】由直线，可得直线可以唯一确定一个平面，设该平面为， 设，可得， 因为，所以，所以a、b、c三条直线能确定的平面的个数是个. 故答案为：. 13. 乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为，乙发球得1分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定比分为1比2时甲乙在三次发球比赛中得分情况，再分别求对应概率，最后根据互斥事件概率公式求结果 【详解】比分为1比2时有三种情况：（1）甲第一次发球得分，甲第二次发球失分，乙第一次发球得分（2）甲第一次发球失分，甲第二次发球得分，乙第一次发球得分（3）甲第一次发球失分，甲第二次发球失分，乙第一次发球失分 所以概率为 【点睛】本题考查根据互斥事件概率公式求概率，考查基本分析求解能力，属中档题. 14. 等边的边长为6，设其内心为，若平面内的点满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题先算出三角形的内切圆半径和外接圆半径，由可知点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，作图并化简，利用三角形中线性质将其化成取最小值问题，结合图形使两向量反向共线即得. 【详解】 设的内切圆半径为，则由可得，， 因等边的内心为，则也为的中心， 由正弦定理， ，可得. 又，故在以为圆心，1为半径的圆上，且的轨迹在三角形内部，如上图所示，. 由 ， 若是中点，则，综上，. 要使值最小，须使最小，即需，反向共线， 由，可得， 此时，． 故答案：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查向量的数量积的范围问题，属于难题. 解题的关键在于结合点的轨迹特征，运用数形结合思想，将所求数量积进行转化，利用两向量反向共线时数量积最小即得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）若，求； （2）若，求； （3）若与垂直，求当k为何值时，？ 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）由平行向量的定义可知，若，则它们的夹角为或，即可计算；（2）根据平面向量的应用可知将平方即可求得结果；（3）根据与垂直可得，再由可计算出. 【小问1详解】 由可知，两向量的夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，； 所以，. 【小问2详解】 由题意可知， 若，则 ， 所以. 【小问3详解】 由与垂直可得，即； 若，则， 即，得， 所以 当时，. 16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得答案； （2）由正弦定理得，结合求出，再由三角形的面积公式可得答案. 【小问1详解】 由， ， 由，； 【小问2详解】 ，由正弦定理得①， 又②， 联立①②解得，， ． 17. 如图，在正三棱柱中，为的中点． （1）求直线与所成角的大小； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）法1：证明出平面，故，得到直线与所成角为；法2：作出辅助线，找到为直线与的所成角（或其补角），设，，求出各边长，得到，由勾股定理逆定理得到垂直关系，得到答案； （2）法1：由（1）知平面，从而得到即为直线与平面所成的角，设等边的边长为2，求出其他各边长，得到；法2：先证明平面，从而得到即为直线与平面所成的角，设等边的边长为2，求出其他各边长，得到； 【小问1详解】 法1：在正三棱柱中， 因为平面，平面，所以． 因为为等边三角形，为的中点，所以． 又因为，平面， 所以平面； 又因为平面，所以， 所以直线与所成角的大小为． 法2：取的中点，连结，，又为的中点， 所以为的中位线，， 故为直线与的所成角（或其补角） 设，，因为为正三角形，所以， 在中，，在中，， 所以，， 所以直线与所成角的大小为． 【小问2详解】 法1：由（1）知，平面，所以即为直线与平面所成的角， 设等边的边长为2，则， 所以在中，，， 所以． 即直线与平面所成的角的正弦值为． 法2：在正三棱柱中，因为平面，平面， 所以． 因为为等边三角形，为的中点，所以． 又因为，平面， 所以平面，所以即为直线与平面所成的角， 设等边的边长为2，则， 所以在中，，， 所以． 即直线与平面所成的角的正弦值为． 18. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人．按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计这人平均年龄和第80百分位数； （2）现从以上各组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者． （ⅰ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的宣传使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； （ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 【答案】（1）32.25岁；37.5 （2）（ⅰ），（ⅱ）10 【解析】 【分析】（1）应用频率分布直方图求平均数再求百分位数即可； （2）先应用古典概型计算概率，再应用分层抽样求平均数和方差公式计算方差. 【小问1详解】 设这人的平均年龄为，则（岁） 设第80百分位数为，分数低于35分占， 分数低于40分占，故， 所以，解得． 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙， 对应的样本空间为： ， 共15个样本点． 设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则， 共有9个样本点， 所以，． （ⅱ）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为． 则， ， 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10， 据此，可估计这人中年龄在35至45岁的所有人的年龄方差约为10． 19. 如图，某公司出产了一款美观实用的筷子笼，是由与圆柱底面成一定角度的截面截圆柱所得．如果从截面的最底端到最高端部分还原圆柱，如下图所示，，分别为圆柱底面直径，，为圆柱的母线，，过的平面截圆柱且与底面所在平面交于直线，且． （1）证明：； （2）若底面有一动点从点出发在圆上运动一周，过动点的母线与截面交于点，设，，求与的函数关系． 【答案】（1）证明见解析； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理可得平面，从而可证. （2）过点M作MF垂直于直线l垂足为F，连接NF，作ME垂直于直径AB垂足为E.四边形AFME为矩形，结合线段长度关系可得. 【小问1详解】 由题意，， ∵为圆柱的母线，则垂直圆柱下底面圆O， ∴直线l是平面与底面交线 ∴，又因为，平面 ∴平面，而平面，则 【小问2详解】 因为且， 所以为平面与底面二面角的平面角 又因为，所以. 过点M做MF垂直于直线l垂足为F，连接NF， 则， 作ME垂直于直径AB垂足为E.四边形AFME为矩形， ∵，则底面圆O半径 又因为，所以 ，，， 又∵，∴， ∴， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$