第04讲 基本不等式及其应用（10类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第04讲 基本不等式及其应用 （10类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第9题，4分 基本不等式与指数、对数结合 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】近五年的高考中，只有2024年考查了基本不等式，难度较高，分值为4分. 【备考策略】 1. 了解基本不等式的证明过程，掌握基本不等式及其变形； 2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题； 3. 会用基本不等式解决实际问题. 【命题预测】基本不等式主要是作为工具，与其他知识结合考查，单独出题较少，考生在复习过程中需注意解题技巧和条件的验证 知识讲解 知识点 1 基本不等式 1、重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【说明】，当且仅当时，等号成立． （2）常见变形：、、． 2、基本不等式 （1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）常见变形：； （3）常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； （），当且仅当时取等号； 知识点 2 最值定理 1、最值定理：已知都是正数， （1）若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． （2）若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． 2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 知识点 3 基本不等式的变式与拓展 1、基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2、基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 考点一、基本不等式及其应用 【典例1】（23-24高三上·北京通州·期中）已知函数，则（    ） A．当且仅当，时，有最小值 B．当且仅当时，有最小值2 C．当且仅当时，有最小值 D．当且仅当时，有最小值.2 【答案】B 【解析】因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以当且仅当时，有最小值2.故选：B 【典例2】（22-23高三下·上海宝山·开学考试）下列定理中，被称为幂的基本不等式的是（    ） A．如果，且，那么 B．对任意的实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立 C．对任意的正实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立 D．当，时， 【答案】C 【解析】只有选项C中不等式左边是两个正数的算术平均数，右边是几何平均数， 这个不等式称为幂的基本不等式．故选：C． 1．（22-23高三下·北京顺义 ·测试）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A中，由，因为，可得，因为不确定，所以A错误； 对于B中，只有当不相等时，才有成立，所以B错误； 对于C中，例如，此时满足，但，所以C错误； 对于D中，由不等式的基本性质，当时，可得成立，所以D正确.故选：D 2．（23-24高三上·河南信阳·期中）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知：， 在中，， 所以，即，故选：C 考点二、基本不等式证明不等式 【典例1】（23-24高三下·西藏林芝·三模）已知a，b，c均为正实数，且． (1)求abc的最大值； (2)求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）， 当且仅当，即时等号成立． （2）证明： ， 当且仅当同时成立， 即时等号成立． 【典例2】（23-24高三上·全国·模拟预测）已知．证明： (1)当时，； (2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明：由， 等式两边同时除以，得， 当时，，所以， 所以，得，又，所以； （2）证明：由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以． 1．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）设为正数，且. 证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）由已知有，从而， 故， 当且仅当时等号成立. （2）方法一：由已知条件，结合基本不等式即可得到 . 方法二：等价于， 根据题设有， 当且仅当时等号成立. 2．（23-24高三上·全国·模拟预测）已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明：由已知可得，，所以， 所以， ． 当且仅当，且， 即，时等号成立． （2）证明：解法一 ， 当且仅当，即时等号成立. 又，所以，当且仅当时等号成立． 解法二 由柯西不等式得. 当且仅当，且，即时等号成立． 所以，， 所以. 考点三、直接法求最值 【典例1】（22-23高三下·北京东城·一模）已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】∵，∴，当且仅当即时等号成立．故选：B． 【典例2】（23-24高三下·重庆·模拟预测）若实数，满足， 则 的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】， 当且仅当时，等号成立.故选：D. 1．（22-23高三上·北京东城·专题练习）已知实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为取最大值时为，所以，，故， 当且仅当时取等号，的最大值为. 故答案为：. 2．（223-24高三上·北京交大附属·开学考试）已知，，且满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为，，且满足，则 当且仅当时取等号，所以的最大值为3. 故答案为： 考点四、常规配凑法求最值 【典例1】（23-24高三上·安徽亳州·阶段练习）已知，则的最小值是 . 【答案】 【解析】由，得，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是. 故答案为：. 【典例2】（23-24高三下·河南·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】由于，所以， 由, （当且仅当时取等号），可得的最小值为3，故选：D． 1．（22-23高三上·四川巴中·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】因为正数x，y满足， 所以有， 则， 当且仅当，即，时等号成立．故选：C． 2．（23-24高三上·福建厦门·期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】， 当且仅当时取等号.即的最大值为.故选：A 考点五、消元法求最值 【典例1】（23-24高三下·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为.故选：A. 【典例2】（23-24高三下·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由可得， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为.故选：A. 1．已知，，且，则的最小值是 【答案】7 【解析】方法一：因为，故，解得， 故， 当且仅当 ，即，时等号成立． 方法二：因为，则，且，故， 故， 当且仅当 ，即，时等号成立． 故答案为：． 2．（23-24高三下·浙江绍兴·三模）若，且，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由，则， 即 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 考点六、“1”的代换求最值 【典例1】（23-24高三下·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【解析】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号.故选：D 【典例2】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9.故选：B 1．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】A 【解析】因为，可得，且， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是.故选：A. 2．（22-23高三上·北京第八十中学·开学考试）已知都是正数，且，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】由题意知，，， 则 ， 当且仅当时，取最小值.故选：C． 考点七、构造不等式求最值 【典例1】（23-24高三下·河南焦作·三模）已知正数，满足，则当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，平方得， 当且仅当，即，时取得等号， 故取得最小值时，.故选：A. 【典例2】（23-24高三下·河北张家口·三模）已知正数m，n满足，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】因为m，n为正数，则， 当且仅当时，等号成立， 因为， 所以，在等式两边同时乘以， 可得：， 即，解得. 当且仅当时，即当时，取得最大值8.故选：D. 1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）对于正数，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知：， 因为都是正数，所以（当且仅当时取等）， 所以（当且仅当时取等）， 化简可得，解得，故C正确.故选：C. 2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知正实数m，n满足，则的最大值为 ． 【答案】2 【解析】依题意得， 则， 即，则，解得， 则的最大值为2．当且仅当时取得最大值. 故答案为：2. 考点八、齐次化求不等式 【典例1】（23-24高三下·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 设， 则， ， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为.故选：D 【典例2】（23-24高三下·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】因为，若，可得， 设，只需要小于等于右边的最小值即可，则， 令，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以， 即的最大值为．故选：A． 1．（22-23高三上·浙江绍兴·阶段练习）已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】，，，即有且， 将代入得， 令，，， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值，即的最小值是.故选：D. 2．已知，，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】由题知，原式， 设，所以原式， 令，，当且仅当，即时取等号， 所以原式. 故答案为：. 考点九、基本不等式恒成立 【典例1】（23-24高三上·北京朝阳·阶段练习）已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．不存在 【答案】B 【解析】不等式可整理为， 因为，不等式恒成立，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以.故选：B. 【典例2】（23-24高三上·北京昌平·期中）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是 . 【答案】 【解析】当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当时，显然； 综上，，所以，即实数的最小值为. 故答案为：. 1．（23-24高三上·北京·阶段练习）若关于x的不等式 对于任意恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】，即，，故， 则，，当且仅当，时等号成立，故.故选：A 2．（23-24高三上·江苏·阶段练习）若两个正实数满足且不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设， 当且仅当时取等号， 又恒成立，即.故选：A 考点十、基本不等式实际应用 【典例1】（23-24高三上·北京·阶段练习）要制作一个面积为2平方米，形状为直角三角形的铁架框，现有下列四种长度的铁管，最合理（够用，又浪费最少）的是（    ） A．4.6 B．4.8米 C．6.8米 D．7米 【答案】D 【解析】设一个直角边长为米，则另一直角边长为米，斜边长为米， 可得直角三角形的周长， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为，可得，即直角三角形的周长大于6.8米， 所以合理（够用，又浪费最少）的是7米.故选：D. 【典例2】（23-24高三上·北京八一·阶段练习）某批救灾物资随41辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长360km，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于（车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 【答案】C 【解析】第一辆汽车到达灾区所用的时间为， 由题意，知最短每隔到达一辆， 则最后一辆汽车到达灾区所用的时间为， 要使这批物资尽快全部到达灾区，即要求最后一辆汽车到达灾区所用的时间最短. 又，当且仅当，即时等号成立.故选：C 1．（23-24高三下·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（    ） A．10000 B．10480 C．10816 D．10818 【答案】C 【解析】设矩形场地的长为米，则宽为米， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以平整这块场地所需的最少费用为元.故选：C 2．（22-23高三上·北京西城·开学考试）某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元. (1)把全程运输成本（元）表示为速度（海里/小时）的函数； (2)为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得：， 即 （2）由于，所以函数， 当且仅当，即时取等号(最小值)． 1．（23-24高三上·北京·阶段练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，故A错； ，，即，可得，，故B错； ，，且，则，故C正确； ，，而，则，故D错.故选：C 2．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，满足，但， 若，，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B 3．（23-24高三下·北京通州·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】不妨设，此时满足， 但不满足，充分性不成立， 两边平方得，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故，解得，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件.故选：B 4．（23-24高三下·北京汉德·联考）已知a>1，b>2，=2，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ∴，当且仅当，即，时取等号.故选：C. 5．（23-24高三下·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值，故选：D． 6．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解. 当且仅当，即，时等号成立.故选：B. 7．（23-24高三上·北京顺义·阶段练习）已知，，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由基本不等式，， 当且仅当取到等号，即时，的最大值是.   故答案为： 1．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】∵，，，， ∴，， ∴， 当且仅当，时取等号. ∴的最大值为1.故选：C. 2．（22-23高三上·北京五十七中·开学考试）已知，，，则下列不等式错误的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，由可得，故A正确； 对B，因为，所以，， 因为，所以，故B正确； 对C，，化简得，故C正确； 对D，，由得，即， 故，故D项错误，故选：D 3．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A：，故A正确； 对B：由，则，故，故B正确； 对C：由， 故， 当且仅当时等号成立，由，故等号不成立，即，故C正确； 对D：当、时，符合题意，但此时，故D错误.故选：D. 4．（23-24高三下·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立.故选：C. 5．（23-24高三上·江西宜春·阶段练习）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以，因为恒成立，所以， 即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C 6．（23-24高三下·河北·开学考试）已知，均为正实数，且满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，均为正实数，且，得， 所以， 又， 当且仅当即时取等号，所以.故选：B. 7．（22-23高三上·北京师大附属·单元练习）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量不小于30百件时，；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（利润总收入成本） (1)求年利润（万元）关于年产量（百件的函数关系式； (2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？ 【答案】(1)；(2)当年产量为百件时，获利最大. 【解析】（1）依题意， . （2）当时，当时， 取得最大值为万元. 当时，万元， 当且仅当百件时等号成立. 综上所述，当年产量为百件时，获利最大. 1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误，故选：B. 2．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，当且仅当时取等号， 所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，， 当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，， 当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且， 如当，，D不符合题意．故选：C． 3．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】，， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 4．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】，, ， 当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 5．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】∵ ∴且 ∴，当且仅当，即时取等号. ∴的最小值为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 基本不等式及其应用 （10类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第9题，4分 基本不等式与指数、对数结合 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】近五年的高考中，只有2024年考查了基本不等式，难度较高，分值为4分. 【备考策略】 1. 了解基本不等式的证明过程，掌握基本不等式及其变形； 2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题； 3. 会用基本不等式解决实际问题. 【命题预测】基本不等式主要是作为工具，与其他知识结合考查，单独出题较少，考生在复习过程中需注意解题技巧和条件的验证 知识讲解 知识点 1 基本不等式 1、重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【说明】，当且仅当时，等号成立． （2）常见变形：、、． 2、基本不等式 （1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）常见变形：； （3）常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； （），当且仅当时取等号； 知识点 2 最值定理 1、最值定理：已知都是正数， （1）若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． （2）若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． 2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 知识点 3 基本不等式的变式与拓展 1、基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2、基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 考点一、基本不等式及其应用 【典例1】（23-24高三上·北京通州·期中）已知函数，则（    ） A．当且仅当，时，有最小值 B．当且仅当时，有最小值2 C．当且仅当时，有最小值 D．当且仅当时，有最小值.2 【典例2】（22-23高三下·上海宝山·开学考试）下列定理中，被称为幂的基本不等式的是（    ） A．如果，且，那么 B．对任意的实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立 C．对任意的正实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立 D．当，时， 1．（22-23高三下·北京顺义 ·测试）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·河南信阳·期中）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 考点二、基本不等式证明不等式 【典例1】（23-24高三下·西藏林芝·三模）已知a，b，c均为正实数，且． (1)求abc的最大值； (2)求证：． 【典例2】（23-24高三上·全国·模拟预测）已知．证明： (1)当时，； (2)． 1．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）设为正数，且. 证明： (1)； (2). 2．（23-24高三上·全国·模拟预测）已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2)． 考点三、直接法求最值 【典例1】（22-23高三下·北京东城·一模）已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 【典例2】（23-24高三下·重庆·模拟预测）若实数，满足， 则 的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 1．（22-23高三上·北京东城·专题练习）已知实数满足，则的最大值为 . 2．（223-24高三上·北京交大附属·开学考试）已知，，且满足，则的最大值为 . 考点四、常规配凑法求最值 【典例1】（23-24高三上·安徽亳州·阶段练习）已知，则的最小值是 . 【典例2】（23-24高三下·河南·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 1．（22-23高三上·四川巴中·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C．5 D．6 2．（23-24高三上·福建厦门·期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 考点五、消元法求最值 【典例1】（23-24高三下·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 1．已知，，且，则的最小值是 2．（23-24高三下·浙江绍兴·三模）若，且，则的最小值是 ． 考点六、“1”的代换求最值 【典例1】（23-24高三下·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【典例2】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 1．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 2．（22-23高三上·北京第八十中学·开学考试）已知都是正数，且，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 考点七、构造不等式求最值 【典例1】（23-24高三下·河南焦作·三模）已知正数，满足，则当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·河北张家口·三模）已知正数m，n满足，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）对于正数，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知正实数m，n满足，则的最大值为 ． 考点八、齐次化求不等式 【典例1】（23-24高三下·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 1．（22-23高三上·浙江绍兴·阶段练习）已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 2．已知，，则的最大值是 ． 考点九、基本不等式恒成立 【典例1】（23-24高三上·北京朝阳·阶段练习）已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．不存在 【典例2】（23-24高三上·北京昌平·期中）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是 . 1．（23-24高三上·北京·阶段练习）若关于x的不等式 对于任意恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高三上·江苏·阶段练习）若两个正实数满足且不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点十、基本不等式实际应用 【典例1】（23-24高三上·北京·阶段练习）要制作一个面积为2平方米，形状为直角三角形的铁架框，现有下列四种长度的铁管，最合理（够用，又浪费最少）的是（    ） A．4.6 B．4.8米 C．6.8米 D．7米 【典例2】（23-24高三上·北京八一·阶段练习）某批救灾物资随41辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长360km，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于（车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 1．（23-24高三下·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（    ） A．10000 B．10480 C．10816 D．10818 2．（22-23高三上·北京西城·开学考试）某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元. (1)把全程运输成本（元）表示为速度（海里/小时）的函数； (2)为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 1．（23-24高三上·北京·阶段练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高三下·北京通州·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高三下·北京汉德·联考）已知a>1，b>2，=2，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 6．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（23-24高三上·北京顺义·阶段练习）已知，，则的最大值为 ． 1．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（22-23高三上·北京五十七中·开学考试）已知，，，则下列不等式错误的是（    ）. A． B． C． D． 3．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 5．（23-24高三上·江西宜春·阶段练习）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·河北·开学考试）已知，均为正实数，且满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 7．（22-23高三上·北京师大附属·单元练习）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量不小于30百件时，；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（利润总收入成本） (1)求年利润（万元）关于年产量（百件的函数关系式； (2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？ 1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 3．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 4．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ． 5．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$