21.2 一元二次方程的根与系数的关系（第5课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

九年级人教版数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 第五课时 一元二次方程的根与系数的关系 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点） 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？ 2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根. 情景导入 复习导入 算一算 解下列方程并完成填空： （1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0. 一元二次方程 两 根 关 系 x1 x2 x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 2x2+3x+1=0 -4 1 2 3 -1 x1+x2=-3 x1 · x2=-4 x1+x2=5 x1 · x2=6 1.探索一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程 （x-x1)(x-x2)=0(x1, x2为已知数）的两根是什么？将方程化为 x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？ (x-x1)(x-x2)=0. x2-(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0， x1+x2= -p , x1 ·x2=q. 化成一般式 重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q. 猜一猜 如果一元二次方程的二次项系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？你能证明你的猜想吗？ ax2+bx+c=0(a≠0)（b2-4ac≥0）根据公式法得到两个根为： 猜一猜 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为： 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比． 【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0. （韦达定理） 概念归纳 例1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2－6x－15＝0； (2) 3x2＋7x－9＝0； (3) 5x－1＝4x2. 典例剖析 解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15. (3)方程化为4x2－5x＋1＝0，　　　 (1) x2－6x－15＝0； (2) 3x2＋7x－9＝0； (3) 5x－1＝4x2. 例2.已知a，b为实数，且满足a2－2a－1＝0，b2－2b－1＝0，求 的值． 【点睛】求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 【分析】分两种情况讨论：①当a=b时，直接得出答案；②当a≠b时，根据根与系数的关系科求出答案. 解：①当a＝b时， ＝2. ②当a≠b时，a，b可看作方程x2－2x－1＝0的两根，则a＋b＝2，ab＝－1， 因此 因此 的值为2或－6. 典例剖析 1. 求下列方程的两根x1，x2的和与积： （1）x2－3x+2=0； （2）x2+x=5x+6 解：x1+x2=3 x1x2=2 解：化简得 x2-4x-6=0 x1+x2=4 x1x2=-6 练一练 2. 已知两个数的和为8，积为9.75，求这两个数. 解：设其中一个数为x，则另一个数为(8-x). 根据题意，得x(8-x)=9.75，整理， 得x2-8x+9.75=0. 解得x1=6.5, x2=1.5. 当x=6.5时，8-x=1.5；当x=1.5时，8-x=6.5. ∴这两个数是6.5和1.5. 练一练 3. x1，x2是方程x2－5x－7=0的两根，不解方程求下列各式的值： （1） ；（2） . 解：∵x1，x2是方程x2-5x-7=0的两根. 则x1+x2=5，x1x2=-7. 例3：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0; 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 新知探究 （2）2x2 - 3x - 2 = 0. 解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 . 例4 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 · x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=－7. 答：方程的另一个根是 ，k=－7. 典例剖析 变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1·x2=1×5= 得：m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15. 典例剖析 例5 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知： 典例剖析 设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: （1）x1+x2= , (2)x1·x2= , (3) , (4) . 4 1 14 12 练一练 例6：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值. 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去. 典例剖析 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 总结常见的求值: 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 归纳 概念归纳 22 1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____. 2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= . 1 -2 -3 练一练 3.已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两根为m，n，则m2＋n2＝ ． 4．设一元二次方程x2－7x＋3＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，(x1－2)(x2－2)＝ ． 7 3 -7 练一练 5.关于x的方程x2+px+q=0的根为x1=1+ ，x2=1- ，则p= ，q= . 6.已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，则另一根是 ， k＝ . -2 -1 -7 7.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 × x1 = ∴x1 = 练一练 8．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1，x2. (1)求实数m的取值范围； (2)是否存在m使得x1－x2＝0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． （1）△≥0 解： （2） 练一练 课本练习 不解方程，求下列方程两个根的和与积： （1）x²-3x=15； （2）3x²+2=1-4x； （3）5x²-1=4x²+x； （4）2x²-x+2=3x+1. 解：（1）设方程的两根分别为.方程可化为. =-15. （2）设方程的两根分别为.方程可化为. ， = . （1）x²-3x=15； （2）3x²+2=1-4x； 课本练习 解：（3）设方程的两根分别为.方程可化为. . （2）设方程的两根分别为.方程可化为. 故 ， = . （3）5x²-1=4x²+x； （4）2x²-x+2=3x+1. 课本练习 1．解下列方程： （1）36x2 – 1 = 0； 解：移项，得 36x² = 1． 直接开平方，得 6x = ±1． ∴原方程的解是 x1 = ，x2 = - . 习题21.2 复习巩固 解：直接开平方，得 2x = ±9． ∴原方程的解是 x1 = ，x2 = - . （2）4x2 = 81； 解：直接开平方，得 x + 5 = ±5． ∴原方程的解是 x1 = 0，x2 = -10． 1．解下列方程： （3）(x + 5)2 = 25； 解：原方程可化为 (x + 1)2 = 4， 直接开平方，得 x + 1 = ±2， ∴原方程的解是 x1 = 1，x2 = -3. （4）x2 + 2x + 1 = 4． 复习巩固 2．填空： （1）x2 + 6x + = (x + )2； （2）x2 - x + = (x - )2； （3）4x2 + 4x + = (2x + )2； （4）x2 - x + = (x - )2. 9 3 1 1 复习巩固 3．用配方法解下列方程： （1）x2 + 10x + 16 = 0； 解：移项，得 x² + 10x = –16． 配方，得 x² + 10x + 5² = –16 + 5²， 即 (x + 5)² = 9． 开平方，得 x + 5 = ±3， ∴原方程的解为 x1 = –2，x2 = –8． 复习巩固 解：移项，得 x2 - x = ． 配方，得 x2 - x + = + ，即 (x - )2 = 1. 开平方，得 x - = ±1， ∴原方程的解为 x1 = ，x2 = - . 3．用配方法解下列方程： （2）x2 - x - = 0； 复习巩固 解：二次项系数化为 1，得 x² + 2x - = 0． 移项，得 x² + 2x = ． 配方，得 x² + 2x + 1 = + 1，即 (x + 1)² = . 开平方，得 x + 1 = ± . ∴原方程的解为 x1 = -1 + ，x2 = -1- . 3．用配方法解下列方程： （3）3x2 + 6x - 5 = 0； 复习巩固 3．用配方法解下列方程： （4）4x2 - x - 9 = 0． 解：二次项系数化为 1，得 x² - x - = 0． 移项、配方，得 x² - x + = + ． 即 (x - )² = ，开平方，得 x - = ± . ∴原方程的解为 x1 = ，x2 = . 复习巩固 4．利用判别式判断下列方程的根的情况： （1）2x2 - 3x - = 0； （2）16x2 - 24x + 9 = 0； 解：（1）∵ Δ = (-3)² - 4×2×(- ) = 21 > 0， ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）∵ Δ = (-24)² - 4×16×9 = 0， ∴原方程有两个相等的实数根． 复习巩固 4．利用判别式判断下列方程的根的情况： （3）x2 - 4 x + 9 = 0；（4）3x2 + 10 = 2x2 + 8x. 解：（3）∵ Δ = (-4 )² - 4×1×9 = -4 < 0， ∴原方程没有实数根． （4）将原方程整理，得 x2 - 8x + 10 = 0. ∵ Δ = (-8)² - 4×1×10 = 24 > 0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 复习巩固 5．用公式法解下列方程： （1）x2 + x - 12 = 0； 解：∵ a = 1，b = 1，c = -12， ∴ b² - 4ac = 1 - 4×1×(-12) = 49 > 0． ∴ x = = ， 即原方程的根为 x1 = -4，x2 = 3. 复习巩固 5．用公式法解下列方程： （2）x2 - x - = 0； 解：∵ a = 1，b = - ，c = - ， ∴ b² - 4ac = 2 - 4×1×(- ) = 3 > 0． ∴ x = ， 即原方程的根为 x1 = ，x2 = . 复习巩固 解：将原方程整理，得 x² + 2x - 3 = 0． ∵a = 1，b = 2，c = -3， ∴ b² - 4ac = 2² - 4×1×(-3) = 16 > 0． ∴ x = = ， 即原方程的根为 x1 = -3，x2 = 1. 5．用公式法解下列方程： （3）x2 + 4x + 8 = 2x + 11； 复习巩固 解：将原方程整理，得 x² + 4x - 2 = 0． ∵ a = 1，b = 4，c = -2， ∴ b² - 4ac = 4² - 4×1×(-2) = 24 > 0． ∴ x = = ， 即原方程的根为 x1 = -2 + ，x2 = -2 - . 5．用公式法解下列方程： （4）x(x - 4) = 2 - 8x； 复习巩固 解：∵ a = 1，b = 2，c = 0， ∴ b² - 4ac = 2² - 4×1×0 = 4 > 0． ∴ 即原方程的根为 x1 = 0，x2 = -2． 5．用公式法解下列方程： （5）x2 + 2x = 0； 复习巩固 5．用公式法解下列方程： （6） 解：∵ a = 1，b = ，c = 10， ∴ b2 - 4ac = ( )² - 4×1×10 = -20 < 0． ∴ 原方程无实数根. 复习巩固 6．用因式分解法解下列方程： （1）3x2 - 12x = -12； 解：原方程可化为 x² - 4x + 4 = 0， 即 (x - 2)² = 0， ∴ 原方程的根为 x1 = x2 = 2. 复习巩固 解：原方程可化为 4(x + 6)(x - 6) = 0， ∴ x + 6 = 0 或 x - 6 = 0． ∴ 原方程的根为 x1 = -6，x2 = 6． 6．用因式分解法解下列方程： （2）4x2 - 144 = 0； 复习巩固 解：原方程可化为 (x - 1)(3x - 2) = 0， ∴ x - 1 = 0 或 3x - 2 = 0． ∴原方程的根为 x1 = 1，x2 = . 6．用因式分解法解下列方程： （3）3x(x - 1) = 2(x - 1)； 复习巩固 解：原方程可化为 [(2x - 1) + (3 - x)][(2x - 1) - (3 - x)] = 0， 即 (x + 2)(3x - 4) = 0， ∴ x + 2 = 0 或 3x - 4 = 0． ∴ 原方程的根为 x1 = -2，x2 = . 6．用因式分解法解下列方程： （4）(2x - 1)2=(3 - x)2； 复习巩固 *7．求下列方程两个根的和与积： （1）x2 – 3x + 2 = 10； （2）5x2 + x – 5 = 0； （3）x2 + x = 5x + 6； （4）7x2 – 5 = x + 8． 解：设方程的两根分别为 x1，x2． （1）原方程即 x2 – 3x – 8 = 0，∴ x1 + x2 = 3，x1∙x2 = –8. （2）x1 + x2 = ，x1∙x2 = –1. （3）原方程即 x² – 4x – 6 = 0，∴ x1 + x2 = 4，x1∙x2 = –6. （4）原方程即 7x² – x – 13 = 0，∴ x1+x2= ，x1∙x2= . 复习巩固 8．一个直角三角形的两条直角边相差 5 cm，面积是 7 cm2．求斜边的长． 解：设这个直角三角形的较短直角边长为 x cm，则较长直角边长为 (x + 5) cm． 根据题意，得 x(x + 5) = 7， 即 x² + 5x = 14．根据勾股定理，可知该直角三角形的斜边长为 （cm）． 答：这个直角三角形斜边的长为 cm． 综合运用 9．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同， 所有公司共签了 45 份合同，共有多少家公司参加商品交易会？ 解：设共有 x 家公司参加商品交易会，则有 ， 即 x2 – x – 90 = 0，解得 x1 = 10，x2 = –9． ∵ x 是正整数，∴ x = –9 不符合题意，舍去． ∴ x = 10． 答：共有 10 家公司参加商品交易会． 综合运用 10．分别用公式法和因式分解法解方程 x2 – 6x + 9 = (5 – 2x)2． 解法 1（公式法）：将原方程整理得 3x² – 14x + 16 = 0， 故 a = 3，b = -14，c = 16． ∴ b² – 4ac =（-14）²-4×3×16=4>0， ∴ ∴ 原方程的根为 x1 = 2，x2 = ． 综合运用 解法 2（因式分解法）：因式分解，得 [(x – 3) + (5 – 2x)][(x – 3) – (5 – 2x)]=0， 即 (2 – x)(3x – 8) = 0， ∴ 2 – x = 0 或 3x – 8 = 0． ∴ 原方程的根为 x1 = 2，x2 = ． 10．分别用公式法和因式分解法解方程 x2 – 6x + 9 = (5 – 2x)2． 综合运用 11．有一根 20 m 长的绳，怎样用它围成一个面积为 24 m2 的矩形？ 解：设围成的矩形的一边长为 x m，则其邻边长为 – x = 10 – x（m）． 根据题意，得 x(10 – x) = 24． 整理，得 x² – 10x + 24 = 0， 解得 x1 = 4，x2 = 6．10 – 4 = 6（m），10 – 6 = 4（m）． 答：使矩形的长和宽分别为 4 m和 6 m即可． 综合运用 12．一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？ 是否存在有 18 条对角线的多边形？ 如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理． 解：设这个凸多边形的边数为 n，由题意可知 n(n – 3) = 20， 解得 n = 8，或 n = –5（不合题意，舍去）． ∴ n = 8，即有 20 条对角线的凸多边形是八边形． 假设存在有 18 条对角线的多边形，其边数为 x， 则有 x(x – 3) = 18，解得 ． ∵ x 是正整数， ∴方程的解不符合题意．故不存在有 18 条对角线的多边形. 拓广探索 13．无论 p 取何值，方程 (x – 3)(x – 2) – p2 = 0 总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由. 解：无论 p 取何值，方程 (x – 3)(x – 2) – p² = 0 总有两个不等的实数根．理由如下： 原方程可以化为 x² – 5x + 6 – p² = 0，∴ Δ = b² – 4ac = (-5)2 – 4×1×(6 – p2) = 25 – 24 + 4p² = 1 + 4p²．∵ 无论 p 取何值，p² ≥ 0，∴ 1 + 4p² > 0，即 Δ > 0．∴原方程总有两个不等的实数根. 拓广探索 －p q －7 4 3 D 分层练习-基础 A 　 分层练习-基础 C 　 分层练习-基础 分层练习-基础 D A 分层练习-巩固 A A －2 3 分层练习-巩固 1 　 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 内 容 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 应 用 课堂小结 根与系数的关系 （韦达定理） 知识点一：二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ . 1．设α、β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α·β＝ . 2．关于x的方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为－3和－1，则p＝ ，q＝ . 3．下列一元二次方程两实数根的和为－4的是(　　) A．x2＋2x＋4＝0　　　　　 B．x2－4x＋4＝0 C．x2－4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝0 4．已知m、n是方程x2－x－1＝0的两实数根，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的值为(　　) A．－1　　　　 B．－eq \f(1,2)　　　　　 C.eq \f(1,2)　　　　 D．1 解：(1)原式＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)＋1＝2； (2)原式＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(eq \f(3,2))2－2×(－eq \f(1,2))＝eq \f(13,4). 知识点二：二次项系数不为1的一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2＝　 　，x1x2＝　 　. 5．已知方程3x2－5x－7＝0的两个根为x1、x2，则下列各式正确的是(　　) A．x1＋x2＝5，x1·x2＝7 B．x1＋x2＝－5，x1·x2＝－7 C．x1＋x2＝eq \f(5,3)，x1·x2＝－eq \f(7,3) D．x1＋x2＝－eq \f(5,3)，x1·x2＝－eq \f(7,3) －eq \f(b,a) eq \f(c,a) 6．若x1、x2是一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根，求下列代数式的值： (1)(x1＋1)(x2＋1); (2)xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2). 能力点：能准确求一元二次方程中字母系数的值 在用根与系数关系求字母的取值时，求出待定字母的值后一定要检验该一元二次方程是否有实数根． 7．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根，且x1、x2满足(x1－1)(x2－1)＝28.求m的值． 解：根据题意得Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)≥0，解得m≥2，∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5，∵(x1－1)(x2－1)＝28，即x1x2－(x1＋x2)＋1＝28，∴m2＋5－2(m＋1)＋1＝28，整理得m2－2m－24＝0，解得m1＝6，m2＝－4，而m≥2，∴m的值为6. 8．(宜宾中考)一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为(　　) A．－2　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．0 9．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则m＋n的值是(　　) A．－10 B．10 C．－6 D．2 10．已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1、x2，则xeq \o\al(2,1)x2＋x1xeq \o\al(2,2)的值为(　　) A．－3 B．3 C．－6 D．6 11．(泰州中考)已知x1、x2是关于x的方程x2－ax－2＝0的两根，下列结论一定正确的是(　　) A．x1≠x2 B．x1＋x2＞0 C．x1·x2＞0 D．x1＜0，x2＜0 12．(南京中考)设x1、x2是一元二次方程x2－mx－6＝0的两个根，且x1＋x2＝1，则x1＝ ，x2＝ . 13．方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1、x2满足xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＝4，则k的值为 . 14．若x1、x2是一元二次方程－2x2＋3x＋1＝0的两根，求： (1)(x1－x2)2; (2)eq \f(x2,x1)＋eq \f(x1,x2). 解：∵x1＋x2＝eq \f(3,2)，x1·x2＝－eq \f(1,2). ∴(1)原式＝(x1＋x2)2－4x1x2＝eq \f(17,4)； (2)原式＝eq \f(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2),x1x2)＝eq \f(x1＋x22－2x1x2,x1x2)＝－eq \f(13,2). 15．已知一元二次方程x2－2x＋m＝0的两根为x1、x2，且x1＋3x2＝3，求m的值． 解：由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2,x1＋3x2＝3))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝\f(3,2),x2＝\f(1,2)))，又∵x1·x2＝m，∴m＝eq \f(3,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,4). 16．(南充中考)已知关于x的一元二次方程x2－(2m－2)x＋(m2－2m)＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两实数根为x1、x2，且xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＝10，求m的值． (1)证明：∵Δ＝[－(2m－2)]2－4(m2－2m)＝4＞0，∴该方程有两个不相等的实数根； (2)解：由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝2m－2，x1·x2＝m2－2m.∵xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＝10，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝10，即(2m－2)2－2(m2－2m)＝10，化简，得m2－2m－3＝0，解得m1＝3，m2＝－1，∴m的值为3或－1. 17．关于x的方程x2－(5k＋1)x＋k2－2＝0是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求满足条件的k的值；若不存在，请说明理由． 解：假设存在这样的负数k，使方程的两根的倒数和为4，设关于x的方程x2－(5k＋1)x＋k2－2＝0的两根为x1、x2，则由根与系数的关系，得x1＋x2＝5k＋1，x1·x2＝k2－2. 所以eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1＋x2,x1·x2)＝eq \f(5k＋1,k2－2)＝4. 整理，得4k2－5k－9＝0. 解得k1＝－1，k2＝eq \f(9,4). 因为k＜0，所以k＝－1. 此时方程为x2＋4x－1＝0. Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－1)＝20＞0. 所以存在这样的负数k，当k＝－1时，方程的两实数根的倒数和等于4. 不解方程，会求一元二次方程的两根的和与积． 【例1】不解方程，求下列方程的两根的和与积． (1)x2－4x＋1＝0； (2)4x2－2x－7＝0. 【思路分析】直接利用公式法． 【规范解答】(1)∵a＝1，b＝－4，c＝1，∴x1＋x2＝－eq \f(－4,1)＝4，x1·x2＝eq \f(1,1)＝1；　 (2)∵a＝4，b＝－2，c＝－7，∴x1＋x2＝－eq \f(－2,4)＝eq \f(1,2)，x1·x2＝eq \f(－7,4)＝－eq \f(7,4). 会利用根与系数的关系求代数式的值． 【例2】若x1、x2是方程x2－2x－5＝0的两根，求xeq \o\al(2,1)＋x1x2＋xeq \o\al(2,2)的值． 【思路分析】首先根据方程得到两根之和与两根之积，然后将所求代数式变形后代入即可求解． 【规范解答】∵x1、x2是方程x2－2x－5＝0的两根，∴x1＋x2＝2，x1·x2＝－5，∴xeq \o\al(2,1)＋x1x2＋xeq \o\al(2,2)＝xeq \o\al(2,1)＋2x1x2＋xeq \o\al(2,2)－x1x2＝(x1＋x2)2－x1x2＝4－(－5)＝9. 【方法归纳】根据根与系数的关系求值，要将方程两根化为两根之和或两根之积的形式．(1)xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2；(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；(3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；(4)eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1＋x2,x1x2)；(5)eq \f(x1,x2)＋eq \f(x2,x1)＝eq \f(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2),x1x2)＝eq \f(x1＋x22－2x1x2,x1x2)；(6)|x1－x2|＝eq \r(x1－x22)＝eq \r(x1＋x22－4x1x2). $$