12.2 分段函数的应用（第4课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十二章 一次函数 12.2 一次函数 第四课时 分段函数的应用 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解分段函数的特点;(重点) 2.会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象;（重点） 3. 在多变量的问题的解决中，能合理选择某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数.（难点） 情景导入 旧知回顾 通过先设定函数解析式（确定函数模型），再根据条件确定解析式中的未知系数，从而求出函数解析式的方法称为待定系数法. 什么是待定系数法？ 使用待定系数法解一次函数的步骤是什么？ 1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b. 2.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组. 3.解这个二元一次方程组得k，b. 4.进而求出一次函数的表达式. 如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A（1， -2），求kb. 解：∵ 一次函数y=kx+b的图象与 正比例函数y=2x的图象平行， ∴ k=2， ∴ y=2x+b， 把点Ａ(1,-2)代入y=2x+b 得2+b=-2,解得b=-4, ∴ kb=2×( -4)= -8 A市出租车按里程长短计价收费，它的计价方式为：不超过3km内收费6元，3km后每增加1km(不足1km，也以1km计)加收1元． (1)请写出乘车路程xkm与收费y元的关系式； (2)李磊乘车5.6km，他应付多少钱？ (3)莉莉乘车付了15元，她乘车多少km？ 情景导入 本节课我们就来探讨这个问题的解决方法 新知探究 课本例5：为节约用水，某城市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8m3时，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过8m3时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费.设一户每月用水量为xm3，应缴水费y元. 分析：用水时以8m3为界，分为两段，收费标准不同 （1）x≤8时，每立方米收费（1+0.3）元 （2）x＞8时，超过的部分每立方米收费（1.5+1.2）元 （ x取整，不足1m3的计入下月） 分段函数的应用 （2）画出上述函数图象； （1）给出y关于x的函数关系式； 解：y关于x的函数关系式为 (1+0.3)x =1.3x (0≤x≤8)， (1.5+1.2)(x-8)+1.3 × 8=2.7x-11.2 (x＞8)； y= 30 20 10 8 16 O y/元 x/m3 函数图象如右图所示； . . (8,10.4) (16,32) （3）当该市一户某月的用水量为x=5m3或x=10m3时，求其应缴的水费； 解：当x=5 m3时，y=1.3×5=6.5（元）； 当x=10m3时，y=2.7×10-11.2=15.8（元）. 即当用水量为5m3时，该户应缴水费6.5元； 当用水量为10m3时，该户应缴水费15.8元. 解： y=26.6>1.3×8，可知该户这月用水超过8m3, 因此，2.7x-11.2=26.6， 解方程，得 x=14. 即该户本月用水量为14m3. （4）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这个月用水量. 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 注意： (1)分段函数是一个整体，这个整体是一个函数. (2)函数y在x的某个范围内可能是特殊函数，如一次函数. (3)由于问题的不同，分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论. 概念归纳 典例剖析 A市出租车按里程长短计价收费，它的计价方式为：不超过3km内收费6元，3km后每增加1km(不足1km，也以1km计)加收1元． (1)请写出乘车路程xkm与收费y元的关系式； (2)李磊乘车5.6km，他应付多少钱？ (3)莉莉乘车付了15元，她乘车多少km？ 解：当x≤3时，y=6 当x>3时，y=6+1×（x-3）=x+3 ∴ y= (1)请写出乘车路程xkm与收费y元的关系式； x+3 x>3 6 x≤3 (2)李磊乘车5.6km，他应付多少钱？ (3)莉莉乘车付了15元，她乘车多少km？ 解：李磊乘车5.6km，即乘车6km y=x+3=6+3=9 所以应该付9元 解：莉莉付了15元，大于6元 所以x+3=15 x=12 答，她乘车12km. 1.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示. 25 50 75 100 25 50 70 100 O y(元） x(度） 75 练一练 15 ⑴请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50 和x>50时，y与x的函数表达式； 解:当0≤x≤50 时，由图象可设 y=k1x， ∵其经过（50，25），代入得25=50k1， ∴k1=0.5，∴y=0.5x ; 当x＞50时，由图象可设 y=k2x+b， ∵其经过（50,25）、（100,70）， 得k2=0.9,b=-20,∴y=0.9x-20. 25 50 75 100 25 50 70 100 O y(元） x(度） 75 16 ⑵根据你的分析：当每月用电量不超过50度时，收费标准是多少？当每月用电量超过50度时，收费标准是多少？ 解：不超过50度部分按0.5元/度计算，超过部分按0.9元/度计算. 课本练习 1.某地邮寄信件，平信（外埠）每件：20g以内邮资1.2元；在20~100 g内，每增20 g，加收1.2元（不足20g以20g计）；100g以上先贴6元邮票，每增100 g，加收2元（不足100 g以 100 g计）.设平信每件质量为xg，邮资为y元. y与x之间的函数图象如下： 1.解：（1）因为40<47<60，所以需贴邮票1.2+1.2+1.2=3.6（元）. （2）当100<x≤200时，需贴8元邮票，所以该信函的质量大于100g，且小于或等于 200 g （1）若要寄一封质量为47 g 的信件，需贴邮票多少元？ （2）若寄一封信函贴了8元邮票，问这信函的质量可能是多少？ 2.某地规定，每月每户的用电量 x kW·h 与应缴电费 y 元的关系如图所示.求出 y 与 x之间的函数表达式. 3.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定质量，则需要购买行李票.行李票费用y元是行李质量xkg的一次函数，如图所示. （1）求y与x之间的函数表达式； （2）求旅客最多可免费携带行李的质量是多少？ （1）求y与x之间的函数表达式； （2）求旅客最多可免费携带行李的质量是多少？ D C 随堂练 A 随堂练 C 8 y＝x－1 y＝－2x＋4 随堂练 随堂练 不同取值范围 表达式 大括号 分层练习-基础 A B 分层练习-基础 2 6 y＝100x－40 16 分层练习-基础 4 8 分层练习-巩固 分层练习-巩固 24 40 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 330 660 分层练习-拓展 分层练习-拓展 504 课堂反馈 分段函数 分段函数的具体应用 对分段函数图象的理解 课堂小结 1．一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行且经过点A(1，－2)，则kb的值为(　　) A．－2　 　 B．2　　 C．－4　　 D．－8 2．已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过(2，－1)、(－3,4)两点，则它的图象不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．(杭州中考)在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax＋a(a≠0)的图象经过点P(1,2)，则该函数的图象可能是(　　) A． INCLUDEPICTURE"H024A.TIF" B． C． D． 4．(绍兴中考)若三点(1,4)、(2,7)、(a,10)在同一直线上，则a的值等于(　　) A．－1 B．0 C．3 D．4 5．(抚顺中考)若一次函数y＝2x＋2的图象经过点(3，m)，则m＝ . 6．(六盘水中考)如图，直线l过A(0，－1)、B(1,0)两点，则直线l的解析式为 . 7．已知一次函数的图象平行于直线y＝－2x＋1，且与直线y＝3x－6的交点在x轴上，则此一次函数的解析式为 . 8．如图，一次函数y＝kx＋3的图象经过点A(1,4)． (1)求这个一次函数的表达式； (2)试判断点B(－1,5)、C(0,3)、D(2,1)是否在这个一次函数的图象上． 解：(1)将点A(1,4)代入表达式y＝kx＋3，得k＋3＝4，k＝1.∴y＝x＋3； (2)将各点的坐标代入表达式y＝x＋3，得点B：y＝－1＋3＝2≠5，不在函数图象上；点C：y＝0＋3＝3，在函数图象上；点D：y＝2＋3＝5≠1，不在函数图象上． 知识点：分段函数 在自变量的 内表示函数关系的 有不同的形式，这样的函数称为分段函数．分段函数中，自变量在不同的取值范围内，函数的解析式不相同．求分段函数解析式的基本方法是先分求，后整合，在整合时要用 联结，并在各解析式后注明自变量的取值范围． 1．如图，是某复印店复印收费y(元)与复印面数(8开纸)x(面)的函数图象，那么从图象中可看出，复印超过100面的部分，每面收费(　　) A．0.4元　　 B．0.45元　　 C．约0.47元　　 D．0.5元 2．(镇江中考)甲、乙两地相距80km，一辆汽车上 午9∶00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y(km)与时间x(h)之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午(　　) A．10∶35 B．10∶40 C．10∶45 D．10∶50 3．如图，从A地向B地打长途电话，设通话时间x(分钟)需付话费y(元)．请根据图象反映的y随x变化的规律找出通话2分钟要付 元，通话5分钟要付 元． 4．一辆汽车在行驶过程中，路程y与时间x之间的函数关系如图所示．如果当0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为y＝60x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为 . 5．某市出租车公司收费标准如图所示，如果小明乘此出租车公司的出租车最远能到达13千米处，那么他最多只有 元． 6．某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图所示，那么乙播种机参与播种的天数是 天． 7．一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y(单位：升)与时间x(单位：分)之间的部分关系如图所示．那么，从关闭进水管起 分钟该容器内的水恰好放完． 8．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y(单位：厘米)与观察时间x(单位：天)的关系，并画出如下的图象(AC是线段，直线CD平行于x轴)． (1)该植物从观察时起，多少天以后停止长高？ (2)求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？ 解：(1)50天； (2)y＝eq \f(1,5)x＋6(0≤x≤50)，x＝50时，y＝16 cm.∴该植物最高长16cm. 9．(盐城中考)学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示． (1)根据图象信息，当t＝ 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 米/分钟； (2)求出线段AB所表示的函数表达式． 解：∵甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，t＝24分钟时甲乙两人相遇，∴甲、乙两人的速度和为2400÷24＝100米/分钟，∴乙的速度为100－40＝60米/分钟．乙从图书馆回学校的时间为2400÷60＝40分钟，40×40＝1600，∴A点的坐标为(40,1600)．设线段AB所表示的函数表达式为y＝kx＋b，∵A(40,1600)、B(60,2400)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(40k＋b＝1600,60k＋b＝2400))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝40,b＝0))，∴线段AB所表示的函数表达式为y＝40x(40≤x≤60)． 10．(咸宁中考)某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价位为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售，售价为8元/件．工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成图象，图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件． (1)第24天的日销售量是 件，日销售利润是 元； (2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？ 解：(2)设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx，将(17,340)代入y＝kx中，340＝17k，解得，k＝20.∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝20x.根据题意得，线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y＝340－5(x－22)＝－5x＋450.联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝20x,y＝－5x＋450))， 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝18,y＝360)). ∴交点D的坐标为(18,360)． 所以y与x之间的函数关系式为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝20x0≤x≤18,y＝－5x＋45018＜x≤30))；　 (3)当0≤x≤18时，根据题意得，(8－6)×20x≥640，解得x≥16；当18＜x≤30时，根据题意得：(8－6)×(－5x＋450)≥640，解得x≤26.所以16≤x≤26.所以26－16＋1＝11(天)，即日销售利润不低于640元的天数共有11天．∵点D的坐标为(18,360)，∴日最大销售量为360件，360×2＝720(元)，所以试销售期间，日销售最大利润是720元． 　分段函数的应用． 【例1】如图所示是某工程队在“村村通”工程中，修筑的公路长度y(米)与时间x(天)之间的关系图象．根据图象提供的信息，可知该公路的长度是 米． 【思路分析】设2～8天函数解析式为y＝kx＋b，当x＝2时，y＝180.当x＝4时，y＝288.∴y＝54x＋72，当x＝8时，y＝504，即公路长504米． 【例2】某玉米种子的价格为a元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折．某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出了函数图象．如图表是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为(2,10)．请你结合表格和图象解答下列问题： 付款金额(元) a 7.5 10 12 b 购买量(千克) 1 1.5 2 2.5 3 (1)指出付款金额和购买量哪个变量是函数的自变量x， 并写出表中a、b的值； (2)求出当x＞2时，y关于x的函数解析式； (3)甲农户将8.8元钱全部用于购买该玉米种子，乙农户购买了4165克该玉米种子，分别计算他们的购买量和付款金额． 【规范解答】(1)购买量是函数中自变量x，a＝5，b＝14；　 (2)当x＞2时，设y与x的函数解析式为y＝kx＋b，图象经过点(2,10)．当x＝3时，y＝14，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2k＋b＝10,3k＋b＝14))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝4,b＝2)).∴当x＞2时，y关于x的函数解析式为y＝4x＋2(x＞2)；　 (3)y＝8.8＜10时，代入y＝5x，得x＝eq \f(8.8,5)＝1.76；当x＝4.165＞2时，代入y＝4x＋2得，y＝4×4.165＋2＝18.66，∴甲农户的购买量为1.76千克，乙农户的付款金额为18.66元. $$