1.5.1 全称量词与存在量词（教学课件）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019高一数学（必修一）第一章 集合与常用逻辑用语 1.5.1 全称量词与存在量词 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题，提升数学抽象核心素养（重点） 2.会判断全称量词命题、存在量词命题的真假，强化逻辑推理核心素养。（难点） 情景导入 情景导入 全称量词 下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)x>3 (2)2x+1是整数 (3)对所有的x R,x>3 (4)对任意一个x Z,2x+1是整数 是 是 不是 不是 (3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量 x进行限定; 关系: (3)(4) 全称量词命题 (4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对 变量x进行限定. 1.全称量词与全称命题 新知探究 1.全称量词与全称命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__________,并用符号“∀”表示. (2)含有全称量词的命题,叫做__________________. (3)全称命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:___________,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”. (4)全称量词命题的真假判断:要判断一个全称命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个x0∈M,使得p(x0)不成立即可. 名师点拨常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.只要含有这些量词,或者命题具有全称量词所表达的含义,就是全称量词命题. 全称量词 全称量词命题 ∀x∈M,p(x) 概念归纳 例1.判断下列全称量词命题的真假. (1) 所有的素数都是奇数; (2) x R, |x|+1≥1 (3) 对每一个无理数x,x2也是无理数 解: (1)∵2是素数,但不是奇数. ∴全称命题(1)是假命题 (2)∵ x R,|x|≥0,从而|x|+1≥1 ∴全称命题(2)是真命题 (3)∵ 是无理数,但 是有理数 ∴全称命题(3)是假命题 典例剖析 思考：如何判断全称量词命题的真假？ 方法: 若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立; 若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x)不成立即可。 典例剖析 关系: 存在量词 下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3 (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x∈R,使2x+1=3; (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除. (3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句; 不是 不是 是 是 (4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句. (3)(4) 存在量词命题 2. 存在量词与存在量词命题 新知探究 2.存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做_________,并用符号“∃”表示. (2)含有存在量词的命题,叫做__________________. (3)存在量词命题的表述形式:存在M中的一个x0,使p(x0)成立,可简记为_____________:,读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”. (4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0,使得命题p(x0)成立即可;否则这一命题就是假命题. 名师点拨常用的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.只要含有这些量词,或者命题具有存在量词所表达的含义,就是存在量词命题. 全称量词 全称量词命题 ∃x0∈M,p(x0) 概念归纳 例2.下列命题是不是存在量词命题？ （1）有的平行四边形是菱形; （2）有一个素数不是奇数 都是存在量词命题. 练习： 设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出存在量词命题“∃x∈R,q(x)” 解: 存在实数x,使x2=x成立 至少有一个x∈R,使x2=x成立 对有些实数x,使x2=x成立 有一个x∈R,使x2=x成立 对某个x∈R,使x2=x成立 典例剖析 例3.下列语句是不是全称量词命题或存在量词命题 (1) 有一个实数a,a不能取倒数； (2) 所有不等式的解集A,都是A⊆R； (3) 有的四边形不是平行四边形。 存在量词命题 全称量词命题 存在量词命题 典例剖析 例4.判断下列存在量词命题的真假 (1)有一个实数x,使x2+2x+3=0; (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线; (3)有些平行四边形是菱形. 解: (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线. 所以,存在量词命题(1)是假命题. 所以,存在量词命题(2)是假命题. (1)由于 因此使x2+2x+3=0的实数x不存在. （3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。 典例剖析 要判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可. 思考：如何判断存在量词命题的真假 方法: 如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题. 例1.判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|； (5)方程3x－2y＝10有整数解． 素养点睛：考查数学抽象的核心素养． 题型1　全称量词命题与存在量词命题的判断 典例剖析 解：(1)可以改为：所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题． (2)可以改为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． (3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题． (4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题． (5)可改写为：存在整数x，y，使3x－2y＝10成立，故为存在量词命题． 典例剖析 全称量词命题与存在量词命题的判断思路　 [注意]　全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． 概念归纳 1．给出下列命题： ①存在实数x>1，使x2>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数． 其中存在量词命题的个数为 (　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 【答案】C　 【解析】①③④为存在量词命题，②为全称量词命题．故选C． 练一练 例2.判断下列命题的真假． (1)∃x∈Z，x3<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0. 素养点睛：考查数学抽象的核心素养． 题型2　 全称量词命题、存在量词命题的真假判断 典例剖析 解：(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1， 所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题． (2)真命题，如梯形． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题． 典例剖析 判断全称量词命题与存在量词命题真假的技巧 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可． (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题． 概念归纳 2．下列是存在量词命题且是真命题的是 (　　) A．∀x∈R，x2>0 B．∃x∈Z，x2>2 C．∀x∈N，x2∈N D．∃x，y∈R，x2＋y2<0 【答案】B　 【解析】对于A，∀x∈R，x2>0是全称量词命题，不合题意；对于B，∃x∈Z，x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；对于C，∀x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；对于D，∃x，y∈R，x2＋y2<0是存在量词命题，是假命题，不合题意．故选B． 练一练 例3.(1)命题“存在实数x，使x>1”的否定是 (　　) A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1 题型3　全称量词命题与存在量词命题的否定 典例剖析 (2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 素养点睛：考查数学抽象的核心素养． 【答案】(1)C　(2)D　 典例剖析 【解析】(1)利用存在性命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.故选C． (2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．故选D． 典例剖析 全称量词命题与存在量词命题的否定的思路 (1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论． (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 概念归纳 3．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则∃ p是 (　　) A．有些三角形不是等腰三角形 B．所有三角形是等边三角形 C．所有三角形都不是等腰三角形 D．所有三角形是等腰三角形 【解析】在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词，“有些”改为“所有”，否定结论，“是等腰三角形”改为“都不是等腰三角形”，故綈p为“所有三角形都不是等腰三角形”． C 练一练 例4.已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围． 题型四：根据命题的真假求参数范围 典例剖析 【素养养成】由命题的真或假推断参数的取值范围考查逻辑推理的核心素养，由全称量词命题和存在量词命题的真假，推断不等式成立与否，考查数学抽象的核心素养． 概念归纳 随堂练 随堂练 随堂练 4.下列语句不是全称量词命题的是(　　) A.任何一个实数乘零都等于零 B.自然数都是正整数 C.高一(1)班绝大多数同学都是团员 D.所有二次函数的图象都开口向上 解析:“高一(1)班绝大多数同学都是团员”,即“高一(1)班有的同学不是团员”,是存在量词命题. 随堂练 C 解析:当x=0时,0∈N,但0<1. 故“∀x∈N,x≥1”是假命题. 随堂练 B 6.存在量词命题“至少有一个整数,它既能被3整除又能被5整除”是　　　　　命题.(填“真”或“假”)  7.若对任意x>3,x>a恒成立,则a的取值范围是　　　　　.  解析:对任意x>3,x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,故a≤3. 随堂练 真 a≤3 8.用全称量词表述下列命题,并判断真假: (1)x2+2x+3≥2; (2)负数都没有算术平方根; (3)对角线垂直的四边形是菱形. 解:(1)∀x∈R,x2+2x+3≥2. x2+2x+3=(x+1)2+2≥2.是真命题. (2)所有的负数都没有算术平方根.是真命题. (3)所有对角线垂直的四边形都是菱形.是假命题. 随堂练 （1）每个四边形的内角和都是360°； （2）任何实数都有算术平方根； （3）∀x∈{ x｜x是无理数}，x３是无理数． 1. 判断下列全称量词命题的真假: (1)命题真 (2)命题假 (3)命题假 课本练习 （1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； （2）至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数； （3）∃x∈{y｜y是无理数｝，x2是无理数． 2.判断下列存在量词命题的真假: (1)命题真 (2)命题假 (3)命题真 课本练习 错因分析 防范措施是记准两点：一是否定量词，二是否定结论． 错因分析 对量词理解不到位致错 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)矩形有一个外接圆; (2)非负实数有两个平方根. 错解:(1)存在量词命题. (2)存在量词命题. 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 错因分析 提示:(1)误认为含有存在量词“有一个”,(2)误认为含有存在量词“有两个”,即判断为存在量词命题. 正解:(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”,是全称量词命题. (2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”,是全称量词命题. 错因分析 防范措施 1.全称量词命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题,存在量词命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题,是对某集合一些元素的限定,而不是对结论的限定. 2.注意对全称量词命题和存在量词命题概念的理解,培养数学抽象素养. 错因分析 【变式训练】 用全称量词或存在量词表述下列命题: (1)有理数都能写成分数形式; (2)n边形的内角和等于(n-2)×180°; (3)有一个实数乘任意一个实数都等于0. 解:(1)任意一个有理数都能写成分数形式. (2)所有n边形的内角和都等于(n-2)·180°. (3)存在一个实数x,它乘任意一个实数都等于0. 错因分析 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 17．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”(“∀”表示“任意”)或“∃”(“∃”表示“存在”)表示下面的命题，再判断真假： (1)实数的平方大于或等于0； (2)存在一对实数(x，y)，使2x－y＋1＜0成立； (3)勾股定理． 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 全称量词与存在量词 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 全称量 词命题 存在量 词命题 逻辑推理：通过具体命题真假的判断，培养逻辑推理的核心素养 （1）注意全称量词命题和存在量词命题的自然语言与符号语言的转化 （2）注意省略量词的命题的真假判断 （3）对于“至多”“至少”型的命题，多采用逆向思维的方法处理 判断全称、存在量词命题真假的方法: （1）若全称量词命题为真，则给定集 合中每一个元素x使p(x)为真，若为假命题，则只需举一反例即可. （2）若存在量词命题为真，则给定集 合中只要有一个元素x使p(x)为真即可，否则为假命题. 否定 否定结论   课堂小结 下列两组命题： 【第一组】 ①所有的矩形都是平行四边形；②对任意一个x∈R，都有x2＞0；③每一个菱形的对角线都垂直；④自然数是正整数． 【第二组】 ①有些矩形不是平行四边形；②存在一个x∈R，使得x2≤0；③至少有一个菱形的对角线不垂直；④有的自然数不是正整数． 【问题1】第一组命题中的“所有的”“任意一个”“每一个”都表示什么含义？如何定义这类命题？ 【问题2】第二组命题中的“有些”“存在一个”“至少有一个”“有的”都表示什么含义？如何定义这类命题？ 解：题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题， 所以其否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根． 所以a＝0，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≠0，,4－4a≥0，))即a＝0，或a≤1且a≠0，所以a≤1. 所以实数a的取值范围是{a|a≤1}． 1．“存在集合A，使∅A”，对这个命题，下面说法中正确的是(　　) A．全称量词命题、真命题 B．全称量词命题、假命题 C．存在量词命题、真命题 D．存在量词命题、假命题 【解析】选C.当A≠∅时，∅A，是存在量词命题，且为真命题． 2．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称量词命题是(　　) A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 B．∃a＜0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 C．∀a＞0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 【解析】选D.命题对应的全称量词命题为： ∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2. 3．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________． ①正方形的四条边相等； ②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 【解析】①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词命题． 答案：①②③　④ 5.下列命题是假命题的是(　　) A.∀x∈R,x2≥0 B.∀x∈N,x≥1 C.∃x∈Z,x<1 D.∃x∈Q,∉Q 易错辨析　 例　命题“∃x0<1，eq \f(1,x0)<1”的否定是________． 解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时，既改量词，又否结论，∴原命题的否定是∀x<1，eq \f(1,x)≥1. 答案：∀x<1，eq \f(1,x)≥1 易错警示 易错原因 纠错心得 易出现的错误是：①改量词的同时错改范围，即写成∀x≥1；②“eq \f(1,x)<1”的否定写成“eq \f(1,x)>1”，忽略“eq \f(1,x)<1”的否定是“eq \f(1,x)≥1”. 牢记命题的否定与原命题的真假性相反，可以以此来检验命题的否定是否正确. 一、选择题(每小题5分，共35分) 1．【多选题】下列命题中是全称量词命题的是(　　) A．任意一个自然数都是正整数 B．所有的素数都是奇数 C．有的平行四边形是矩形 D．三角形的内角和是180° 答案　ABD 解析　命题A，B含有全称量词，而命题D可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称量词命题． 2．下列命题是存在量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．梯形有两边平行 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数不小于3 答案　D 解析　“存在”是存在量词． 3．【多选题】下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是(　　) A．对所有的x∈R，都有x2>3 B．对有些x∈R，使得x2>3 C．任取一个x∈R，都有x2>3 D．至少有一个x∈R，使得x2>3 答案　AC 解析　“所有的”和“任取一个”都是全称量词． 4．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题，下列说法正确的是(　　) A．∀x，y∈R，x2＋y2≥2xy B．∃x，y∈R，使x2＋y2≥2xy C．∀x>0，y>0，x2＋y2≥2xy D．∃x<0，y<0，使x2＋y2≥2xy 答案　A 解析　x2＋y2≥2xy对一切实数x，y均成立． 5．下列命题中既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使eq \f(1,x)>2 答案　B 解析　A中，锐角三角形的内角都是锐角，所以A是全称量词命题且是假命题；B中，x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中，因为eq \r(3)＋(－eq \r(3))＝0，所以C是全称量词命题且是假命题；D中，对于任意一个负数x，都有eq \f(1,x)<0，所以D是假命题． 6．下列命题正确的是(　　) A．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0 B．∀x∈N，x3>x2 C．若x>1，则x2>1 D．若a>b，则a2>b2 答案　C 解析　因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，故A错误；当x＝1时，x3＝x2，故B错误；当a>0>b时，不一定有a2>b2，故D错误．故选C. 7．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是(　　) A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0 B．菱形的两条对角线相等 C．∃x∈R，eq \r(x2)＝x D．平行四边形的对角线互相平分 答案　D 解析　A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题；C是存在量词命题．故选D. 二、填空题(每小题5分，共15分) 8．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为________． 答案　∀x≤0，x3≤0 9．【双空题】下列命题是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________． ①正方形的四条边相等； ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 答案　①③　②④ 解析　①③是全称量词命题，②④是存在量词命题． 10．若命题“∀x∈{x|－1<x≤10}，x>a”是真命题，则实数a的取值范围是________． 答案　a≤－1 三、解答题(本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 11．(10分)将下列命题用量词符号表示，并判断真假． (1)实数的平方是非负数； (2)整数中1最小； (3)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根； (4)对于某些正数x，有2x＋1＞0. 解析　(1)∀x∈R，x2≥0.真命题． (2)∀x∈Z，x≥1.假命题． (3)∃x＜0，有ax2＋2x＋1＝0(a＜1)．真命题 (4)∃x>0，有2x＋1＞0.真命题． 12．(10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立； (2)每个二次函数的图象都与x轴相交； (3)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除． 解析　(1)存在量词命题． ∵x2＋x＋8＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(31,4)>0，∴命题为假命题． (2)全称量词命题，假命题． 如存在y＝x2＋x＋1与x轴不相交． (3)存在量词命题．例如10既能被2整除，又能被5整除，真命题． 13．(5分)设非空集合A，B满足A⊆B，则(　　) A．∃x∈A，使得x∉B B．∀x∈A，有x∈B C．∃x∈B，使得x∉A D．∀x∈B，有x∈A 答案　B 解析　因为非空集合A，B满足A⊆B，所以A中元素都在B中，即∀x∈A，有x∈B. 14．(5分)已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列四个命题中真命题的序号是________． ①∃x∈R，f(x)≤f(x0)； ②∃x∈R，f(x)≥f(x0)； ③∀x∈R，f(x)≤f(x0)； ④∀x∈R，f(x)≥f(x0)． 答案　①②④ 解析　由题意：x0＝－eq \f(b,2a)为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此③∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的． 15．(10分)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 解析　(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，B≠∅， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3. (2)q为真，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以m≥2. 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤5，,2m－1≥－2，,m≥2.))解得2≤m≤4. 16．若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围． 解析　(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交， 所以a∈R. (2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立． 又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1. 综上所述，当m＝0时，a∈R； 当m≠0时，－1≤a≤1. 解：(1)是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”． 改写后命题为：∀x∈R，x2≥0，它是真命题． (2)是存在量词命题．改写后命题为：∃(x，y)，x∈R，y∈R，2x－y＋1＜0，它是真命题．如x＝0，y＝2时，2x－y＋1＝0－2＋1＝－1＜0成立． (3)是全称量词命题，所有直角三角形都满足勾股定理． 改写后命题为：∀Rt△ABC，a，b为直角边长，c为斜边长，a2＋b2＝c2，它是真命题． 18．命题“＝”是全称量词命题吗？如果是，请给予证明；如果不是，请补充必要的条件，使之成为全称量词命题． 解：存在1＋b＜0使得“＝”不成立， 故不是全称量词命题， 增加“对∀a，b∈R，且满足1＋b＞0，a＋b≥0”，得到的命题是全称量词命题． $$