第15讲 两条直线平行和垂直的判定（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第15讲 两条直线平行和垂直的判定 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 两条直线平行的判定 2 题型02 两条直线垂直的判定 6 题型03 平行与垂直的综合应用 9 易错归纳 13 分层练习 14 夯实基础 14 能力提升 19 创新拓展 26 一、两条直线平行的判定 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔____________. 注意点： (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在 二、两条直线垂直的判定 对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率____________，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1＝－. 题型01两条直线平行的判定 【解题策略】 判断两条不重合的直线是否平行的方法 【典例分析】 课本例2　已知A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－1,2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论． 【例1】判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1，3)，N(2,0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，，直线经过点， B．直线经过点，，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 【变式2】已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为__________. 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 题型02 两条直线垂直的判定 【解题策略】 　判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直 【典例分析】 课本例4　已知A(－6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ的位置关系． 【例2】已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值． 【变式演练】 【变式1】（22-23高二·江苏·假期作业）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)，； (2)，； (3)，. 题型03 平行与垂直的综合应用 【解题策略】 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 【典例分析】 课本例3　已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 课本例5　已知A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试判断△ABC的形状． 【例3】已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状． 【变式演练】 【变式1】（21-22高二·全国·课后作业）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 【变式2】（22-23高二上·江西九江·开学考试）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 ． 【变式3】已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)． 易错点 对直线平行与垂直时的斜率关系理解有误 【例】已知直线与平行，求的值. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以为直角顶点的直角三角形 D．以为直角顶点的直角三角形 2．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如果直线与互相垂直，那么a的值等于（   ） A．－1 B． C． D．2 3．（23-24高二上·湖南常德·期中）下列说法中正确的有（    ） ①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行； ②若，则； ③所有的直线都有倾斜角； ④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知不重合的两直线与对应的斜率分别为与，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分也不是必要条件 二、多选题 5．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线，，，则下列结论正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．当m＝1时，直线l的倾斜角为 C．当m＝0时，直线l的斜率不存在 D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直 6．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（   ） A．若斜率相等，则平行 B．若平行，则的斜率相等 C．若的斜率乘积等于，则垂直 D．若垂直，则的斜率乘积等于． 三、填空题 7．（23-24高二下·上海·阶段练习）设.若直线和直线平行，则 . 8．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知两条直线和互相垂直，则a＝ . 9．（2021高二上·全国·专题练习）已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 四、解答题 10．（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各题中直线与是否平行或垂直． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点. (3)经过点，经过点； (4)经过点，经过点. 11．（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·江西上饶·期末）下列与直线平行的直线的方程是（    ）. A． B． C． D． 2．（22-23高二上·广东·阶段练习）已知直线的斜率是方程的两个根，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 3．（22-23高二上·辽宁鞍山·期末）直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 4．（23-24高二上·全国·课后作业）以为顶点的四边形是（    ） A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形 二、多选题 5．（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）已知直线，则（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为150° C．直线不经过第三象限 D．直线与直线平行 6．（23-24高二上·湖北宜昌·期中）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于 C．与直线垂直 D．与直线平行 三、填空题 7．（2022高二上·全国·专题练习）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是 ． 8．（22-23高二·全国·课后作业）当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 时，两条直线互相垂直. 9．（22-23高二上·河南商丘·期中）若，，，则的外接圆面积为 ． 四、解答题 10．（2022高二·全国·专题练习）已知，试判断四边形的形状． 11．（23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，点，，下列结论正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．当时，直线l的斜率不存在 C．当时，直线l的倾斜角为 D．当时，直线l与直线垂直 三、填空题 3．（21-22高二·全国·课后作业）已知两条直线的斜率是方程的两个根，则与的位置关系是 四、解答题 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的顶点为，求证：四边形为正方形． 【下节预览】 一、解答题 1．（2024高二·全国·专题练习）分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 两条直线平行和垂直的判定 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 两条直线平行的判定 2 题型02 两条直线垂直的判定 6 题型03 平行与垂直的综合应用 9 易错归纳 13 分层练习 14 夯实基础 14 能力提升 19 创新拓展 26 一、两条直线平行的判定 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 注意点： (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在 二、两条直线垂直的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1＝－. 题型01两条直线平行的判定 【解题策略】 判断两条不重合的直线是否平行的方法 【典例分析】 课本例2　已知A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－1,2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论． 解　如图，由已知可得直线BA的斜率kBA＝＝， 直线PQ的斜率kPQ＝＝. 因为kBA＝kPQ， 所以直线AB∥PQ. 【例1】判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1，3)，N(2,0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． 解　(1)k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，l1与l2不平行． (2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2， 故l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝＝－1，k2＝＝－1， 则有k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠－1， 则A，B，M三点不共线．故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，，直线经过点， B．直线经过点，，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 【答案】A 【分析】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论. 【详解】对于A，因为， 所以； 对于B，因为， 所以直线不平行； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行. 故选：A. 【变式2】已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为__________. 答案　 0或1 解析　当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m≠－2，且m≠－1时，kAB＝＝， kMN＝＝. 因为AB∥MN，所以kAB＝kMN， 即＝，解得m＝0或m＝1. 当m＝0或1时，经检验，两直线不重合． 综上，m的值为0或1. 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不平行 (2)平行或重合 (3)平行 (4)重合 【分析】先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断； 【详解】（1），，，所以与不平行． （2） 的斜率，的斜率，，所以l1与l2平行或重合． （3）由题意，知的斜率不存在，且不与轴重合，的斜率也不存在，且与轴重合，所以. （4） 由题意，知，, ，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，. 所以，，，四点共线，所以与重合 题型02 两条直线垂直的判定 【解题策略】 　判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直 【典例分析】 课本例4　已知A(－6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ的位置关系． 解　直线AB的斜率kAB＝， 直线PQ的斜率kPQ＝－. 因为kABkPQ＝×＝－1， 所以直线AB⊥PQ. 【例2】已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值． 解　若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1， 即·＝－1，解得m＝－7； 若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1， 即·＝－1，解得m＝3； 若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1， 即·＝－1，解得m＝±2. 综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2. 【变式演练】 【变式1】（22-23高二·江苏·假期作业）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 【答案】A 【分析】由题意利用根与系数的关系可得两直线的斜率乘积为，从而可判断出两直线的位置关系. 【详解】设两直线的斜率分别为，， 因为，是方程的两根， 所以利用根与系数的关系得， 所以两直线的位置关系是垂直． 故选：A． 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】分，，三种情况讨论即可. 【详解】①当时，直线过点和点， 直线过点和点， 此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此； ②当时，直线过点和点，直线过点 和点．此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此； ③当时，直线的斜率，直线的斜率， 此时，∴． 故答案为：垂直. 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1)不平行也不垂直 (2)平行 (3)不平行也不垂直 【分析】先判断直线是否存在斜率，若不存在，则易判断两直线位置关系；若不存在，则求出斜率，并判断斜率是否相等，或乘积是否为-1，斜率相等时注意是否重合即可. 【详解】（1）由题意得：，故即不平行也不垂直； （2）由题意得：且，故平行； （3）因为，所以重合，即即不平行也不垂直 题型03 平行与垂直的综合应用 【解题策略】 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 【典例分析】 课本例3　已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 解　如图， 由已知可得AB边所在直线的斜率 kAB＝－， CD边所在直线的斜率 kCD＝－， BC边所在直线的斜率kBC＝， DA边所在直线的斜率kDA＝. 因为kAB＝kCD，kBC＝kDA， 所以AB∥CD，BC∥DA. 因此四边形ABCD是平行四边形． 课本例5　已知A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试判断△ABC的形状． 解　边AB所在直线的斜率kAB＝－， 边BC所在直线的斜率kBC＝2. 由kABkBC＝－1，得AB⊥BC， 即∠ABC＝90°. 所以△ABC是直角三角形． 【例3】已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状． 解　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图， 由斜率公式可得 kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3， kBC＝＝－， ∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， ∴AB∥CD. 由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行． 又kAB·kAD＝×(－3)＝－1， ∴AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形． 【变式演练】 【变式1】（21-22高二·全国·课后作业）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 【答案】B 【分析】结合直角梯形的性质，利用两直线间的平行和垂直关系来判断即可得出结论. 【详解】，，则， 所以,与不平行， 因此 故构成的图形为直角梯形. 故选：B 【变式2】（22-23高二上·江西九江·开学考试）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 ． 【答案】， 【分析】 设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则由正方形一条对角线所在直线的斜率为2，结合倾斜角与斜率的关系求出，利用正方形的性质即可得到答案． 【详解】 设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则， 解得，故， 根据垂直关系可得另一条边的斜率为， 所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，． 故答案为：； 【变式3】已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)． 解　设所求点D的坐标为(x，y)， 如图所示，由于kAB＝3， kBC＝0， ∴kAB·kBC＝0≠－1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰． (1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD， ∵kBC＝0， ∴CD的斜率不存在，从而有x＝3. 又kAD＝kBC， ∴＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行， 故所求点D的坐标为(3,3)． (2)若AD是直角梯形的直角腰， 则AD⊥AB，AD⊥CD， ∵kAD＝，kCD＝， ∴ 解得x＝，y＝， ∴D点坐标为. 综上，D点坐标为(3,3)或. 易错点 对直线平行与垂直时的斜率关系理解有误 【例】已知直线与平行，求的值. 【解析】当，即时，直线与的斜率均不存在，此时两直线的方程为与，所以//. 当时，此时两条直线的方程为与. 由//得，解得， 经检验知，此时有. 所以当//时，或. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以为直角顶点的直角三角形 D．以为直角顶点的直角三角形 【答案】D 【分析】通过斜率证明两直线垂直，得到三角形形状. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 由，所以， 故是以为直角顶点的直角三角形． 故选：D 2．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如果直线与互相垂直，那么a的值等于（   ） A．－1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】直接利用直线垂直的性质列方程求解即可. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得. 故选：C. 3．（23-24高二上·湖南常德·期中）下列说法中正确的有（    ） ①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行； ②若，则； ③所有的直线都有倾斜角； ④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①，根据斜率的定义进行判断；对于②，举出反例；对于③，根据倾斜角定义得到③正确；对于④，举出反例. 【详解】对于①，若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行，正确； 对于②，若，但可能斜率不存在，此时不能得到，错误； 对于③，所有的直线都有倾斜角，正确； 对于④，若两条直线中，一条直线斜率为0，另一条没有斜率，也满足垂直关系，但不满足它们的斜率之积为-1，错误.， 故正确的个数为2. 故选：B 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知不重合的两直线与对应的斜率分别为与，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分也不是必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，由直线斜率与直线的位置关系，即可判断. 【详解】不重合的两直线与对应的斜率分别为与， 当时，可得，当时，可得， 故“”是“”的充分必要条件， 故选：C． 二、多选题 5．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线，，，则下列结论正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．当m＝1时，直线l的倾斜角为 C．当m＝0时，直线l的斜率不存在 D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直 【答案】BD 【分析】对于选项A，将代入，即可求得定点坐标；对于选项B、C、D，分别将m＝1、m＝0、m＝2代入，求斜率、倾斜角和判断两条直线垂直即可． 【详解】对于选项A，直线，令，解得直线l恒过定点，选项A错误； 对于选项B，当m＝1时，设直线l的方程为，斜率为，倾斜角为，选项B正确； 对于选项C，当m＝0时，直线l的方程化为，斜率为，斜率存在，选项C错误； 对于选项D，当m＝2时，直线，所以． 由，，可得，得， 所以直线l与直线AB垂直，选项D正确． 故选：BD． 6．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（   ） A．若斜率相等，则平行 B．若平行，则的斜率相等 C．若的斜率乘积等于，则垂直 D．若垂直，则的斜率乘积等于． 【答案】AC 【分析】利用两直线平行或垂直与斜率之间的关系逐项判断即可得出结论. 【详解】根据两直线的位置关系可知若斜率相等，则平行； 若平行，当都与轴平行时，的斜率不存在，即可得A正确，B错误； 易知若的斜率乘积等于，则垂直； 若垂直,当与轴平行，与轴平行时，直线的斜率为，的斜率不存在，即可得C正确，D错误； 故选：AC 三、填空题 7．（23-24高二下·上海·阶段练习）设.若直线和直线平行，则 . 【答案】4 【分析】利用两直线平行的条件建立方程，求解参数即可. 【详解】若直线和直线平行， 可得，解得， 则直线为，直线为， 显然两直线平行，故符合题意. 故答案为：4. 8．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知两条直线和互相垂直，则a＝ . 【答案】 【分析】由两直线互相垂直斜率间的关系，求的值. 【详解】直线斜率为3，直线和互相垂直， 则直线的斜率. 故答案为： 9．（2021高二上·全国·专题练习）已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 【答案】矩形 【分析】分别求出直线的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论. 【详解】解：，且不在直线上，. 又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又. 平行四边形为矩形. 故答案为：矩形. 四、解答题 10．（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各题中直线与是否平行或垂直． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点. (3)经过点，经过点； (4)经过点，经过点. 【答案】(1)既不平行也不垂直 (2)平行 (3)既不平行也不垂直 (4)垂直 【分析】根据点的坐标，先判断直线是否与坐标轴垂直，若垂直则易判断两直线位置关系；若不垂直，则求出斜率，并判断斜率是否相等，或乘积是否为，斜率相等时注意是否重合. 【详解】（1）两直线斜率都存在， 由，. 由，得与既不平行也不垂直． （2）与都与x轴垂直，且与不重合，所以与平行. （3），， 由，得与既不平行也不垂直． （4）与x轴垂直，与轴垂直，得与垂直． 11．（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【答案】平行四边形，理由见解析 【分析】应用两点式求四边形各边所在直线斜率，由斜率及点的关系判断边之间的位置关系； 【详解】如下图示：   OA边所在直线的斜率，AB边所在直线的斜率， BC边所在直线的斜率，CO边所在直线的斜率． 由知：点O不在BC上，则OA与BC不重合，又，得． 同理，由且AB与CO不重合，得． 因此四边形OABC是平行四边形． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·江西上饶·期末）下列与直线平行的直线的方程是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行直线斜率相等，截距不等可得答案. 【详解】直线斜率为，纵截距为， A选项：直线斜率为，纵截距为，符合； B选项：直线斜率为，纵截距为，不符合； C选项：直线斜率为，纵截距为，不符合； D选项：直线斜率为，纵截距为，不符合； 故选：A. 2．（22-23高二上·广东·阶段练习）已知直线的斜率是方程的两个根，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 【答案】C 【分析】由可知两直线不垂直，且知两直线不平行，由此可得结论. 【详解】设直线的斜率为，则， ，不垂直，A错误； 若，则，与矛盾，，不平行，B错误； 不平行，也不垂直，相交但不垂直，C正确，D错误. 故选：C. 3．（22-23高二上·辽宁鞍山·期末）直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 【答案】B 【分析】根据两直线的方程求出各自的斜率，然后斜率的关系进行判断即可. 【详解】方程可化为，因此该直线的斜率. 方程可化为，因此该直线的斜率， 因为，所以这两条直线相交但不垂直. 故选：B. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）以为顶点的四边形是（    ） A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形 【答案】D 【分析】先在坐标系内画出ABCD点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形ABCD的形状. 【详解】    在坐标系中画出ABCD点，大致如上图，其中， ， ， 所以四边形ABCD是直角梯形； 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）已知直线，则（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为150° C．直线不经过第三象限 D．直线与直线平行 【答案】BCD 【分析】由直线方程确定斜率、倾斜角判断A、B；根据直线方程直接判定所过象限判断C；由直线平行的判定判断D. 【详解】由题设，若倾斜角，则，A错，B对； 显然直线过第一、二、四象限，不过第三象限，C对； 由，故与平行，D对. 故选：BCD 6．（23-24高二上·湖北宜昌·期中）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于 C．与直线垂直 D．与直线平行 【答案】CD 【分析】根据题意求出直线的方程，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 因为直线经过点，所以直线的方程为， 即， A，直线的斜率，则倾斜角等于，A错误； B，当时，，所以在轴上的截距等于，B错误； C，因为直线的斜率，直线直线的斜率为，，所以两直线垂直，C正确； D，因为直线的斜率，直线的斜率，不过（1，-2），所以两直线平行，D正确. 故选：CD 三、填空题 7．（2022高二上·全国·专题练习）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是 ． 【答案】 【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可； 【详解】解：因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，. ①由于斜率都存在，若，则，此命题正确； ②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确； ③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确； ④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确； 所以正确的命题个数是4． 故答案为：． 8．（22-23高二·全国·课后作业）当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 时，两条直线互相垂直. 【答案】 【分析】根据直线垂直的性质与斜率公式进行填空即可. 【详解】当一条直线没有斜率时，其倾斜角为； 当另一条直线的斜率为0时，由可得其倾斜角为； 此时，这两条直线互相垂直. 9．（22-23高二上·河南商丘·期中）若，，，则的外接圆面积为 ． 【答案】 【分析】由斜率得，从而可得是直角三角形的斜边，也是的外接圆的直径，求得长后得圆半径，从而得圆面积． 【详解】，，，∴，是直角三角形的斜边，也是的外接圆的直径， ，外接圆半径为， 圆表面积为． 故答案为：． 四、解答题 10．（2022高二·全国·专题练习）已知，试判断四边形的形状． 【答案】矩形 【分析】根据直线平行、垂直求得正确答案. 【详解】由题意，可得， ∴． ∴，． ∴四边形为平行四边形． 又， ∴直线与垂直，即． ∴四边形为矩形．    11．（23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【详解】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 二、多选题 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，点，，下列结论正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．当时，直线l的斜率不存在 C．当时，直线l的倾斜角为 D．当时，直线l与直线垂直 【答案】CD 【分析】利用直线过定点的求法，结合直线斜率公式逐项分析即可得解. 【详解】直线，故时，，故直线l恒过定点，故A错误； 当时，直线，斜率，故B错误； 当时，直线，斜率，故倾斜角为，故C正确； 当时，直线，斜率，而， 故，故直线与直线垂直，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 3．（21-22高二·全国·课后作业）已知两条直线的斜率是方程的两个根，则与的位置关系是 【答案】垂直 【分析】根据二次方程的根与韦达定理，并结合斜率关系判断即可. 【详解】解析由方程，知恒成立. 故方程有两相异实根，即与的斜率均存在. 设两根为，则 ，所以 故答案为：垂直 四、解答题 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的顶点为，求证：四边形为正方形． 【答案】证明见解析 【分析】先根据平行且相等得出四边形是平行四边形，再根据相邻两边垂直得出平行四边形是长方形，最后因为对角线垂直得出长方形是正方形即可. 【详解】证明  ． 又， ， ∴四边形为平行四边形． 又， ∴四边形为矩形． ， ， 即矩形的对角线互相垂直， ∴四边形为正方形． 【下节预览】 一、解答题 1．（2024高二·全国·专题练习）分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 【答案】(1)，图形见解析 (2)，图形见解析 (3)图形见解析 【分析】（1）由点斜式即可求解直线方程，进而可作出图形， （2）（3）由与坐标轴平行的直线的性质即可求解. 【详解】（1）由点斜式方程得，即 （2）与x轴平行时，， ∴，即 （3）与x轴垂直，斜率不存在，方程为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$