第14讲 倾斜角与斜率（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第14讲 倾斜角与斜率 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 直线的倾斜角 3 题型02 直线的斜率 5 题型03 倾斜角和斜率的应用 7 易错归纳 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 17 创新拓展 23 一、直线的倾斜角 1．当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴________与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________． 2．直线的倾斜角α的取值范围为________． 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角． (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度 二、直线的斜率 1．把一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________. 2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝______________，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3．直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝________. 注意点： (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0 三、倾斜角和斜率的应用 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 不存在 k的增减性 随α的增大而_______ 随α的增大而_______ 题型01直线的倾斜角 【解题策略】 直线倾斜角的概念和范围 (1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的范围 【典例分析】 【例1】　(1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为－30° C．倾斜角为0°的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1) (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α－45° 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·安徽黄山·期末）直线的倾斜角等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·上海·期末）已知，若直线l：经过点，则直线l的倾斜角为 . 【变式3】　(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________． 题型02 直线的斜率 【解题策略】 求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α. (2)利用斜率公式：k＝(x1≠x2) 【典例分析】 【例2】(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角． ①A(2,3)，B(4,5)； ②C(－2,3)，D(2，－1)； ③P(－3,1)，Q(－3,10)． 【变式演练】 【变式1】　(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为________． (2)若过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________． (3)已知直线l的方向向量的坐标为(1，)，则直线l的倾斜角为_________． 【变式2】（22-23高二上·四川雅安·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 . 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）求经过两点，的直线l的斜率． 题型03 倾斜角和斜率的应用 【解题策略】 倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解 【典例分析】 课本例1　如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 【例3】已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【变式2】（21-22高二·江苏·课后作业）已知点Q(－2，0)，A(1，)，B(1，－)，P为动点．当点P在线段AB上运动时，求直线PQ的倾斜角的取值范围． 【变式3】已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 易错点1 对直线的斜率和倾斜角的关系理解不透彻致错 【例1】（多选）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有 （ ） A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C.若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 D.若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 易错点2 忽略直线的斜率不存在致错 【例2】求经过两点的直线的斜率. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二上·北京丰台·阶段练习）已知是直线上的两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·宁夏吴忠·开学考试）若直线经过、两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东潮州·期中）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 二、多选题 5．（23-24高二上·山西太原·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若，，则直线的倾斜角为 C．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 6．（23-24高二上·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（    ） A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为 C．倾斜角为的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为，则 三、填空题 7．（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 8．（23-24高二上·浙江·期末）过、两点的直线的斜率为 ． 9．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·全国·课后作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. (1)，； (2)，； (3)，). 11．（23-24高二上·全国·课后作业）已知 (1)求直线AB的斜率k； (2)已知实数，求直线AB的倾斜角的取值范围． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·贵州安顺·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·北京·期中）过和两点的直线的斜率是（　　） A．1 B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）直线经过两点，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知点，若经过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 6．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二上·上海宝山·期末）直线经过点和，则此直线的斜率为 ． 8．（23-24高二下·上海·期中）直线的倾斜角为 . 9．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线，则直线的倾斜角为 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，，，点Q是线段AB上的动点． (1)求直线PQ的斜率的范围； (2)求直线PQ的倾斜角的范围． 11．（23-24高二上·全国·课后作业）直线过点，且与以，为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）在下列四个命题中，正确的是（    ）． A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为 D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大 三、填空题 3．（21-22高二上·江苏镇江·阶段练习）已知直线l与直线的夹角为，则直线l的倾斜角为 . 四、解答题 4.（22-23高二·江苏·假期作业）已知点、，若直线过点且总与线段有交点，求直线的斜率的取值范围． 【下节预览】 一、解答题 1.（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由． (1)经过点，经过点； (2)的斜率为，经过点； (3)，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 倾斜角与斜率 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 直线的倾斜角 3 题型02 直线的斜率 5 题型03 倾斜角和斜率的应用 7 易错归纳 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 17 创新拓展 23 一、直线的倾斜角 1．当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角． (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度 二、直线的斜率 1．把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3．直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 注意点： (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0 三、倾斜角和斜率的应用 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 题型01直线的倾斜角 【解题策略】 直线倾斜角的概念和范围 (1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的范围 【典例分析】 【例1】　(1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为－30° C．倾斜角为0°的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1) 答案　AC 解析　任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；倾斜角不可能为负，故B错误；倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故C正确； 当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误． (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α－45° 答案　AB 解析　根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·安徽黄山·期末）直线的倾斜角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用倾斜角和斜率的关系处理即可. 【详解】化简得，显然斜率为，故倾斜角为. 故选：B 【变式2】（23-24高二上·上海·期末）已知，若直线l：经过点，则直线l的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据题意，将点代入直线方程，即可得到结果. 【详解】将代入，可得，解得，所以直线方程为， 设直线l的倾斜角为，则，且，则. 故答案为： 【变式3】　(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． 答案　60°或120° 解析　有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. (1)　　　　　　(2) ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________． 答案　135° 解析　设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°， 所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°. 题型02 直线的斜率 【解题策略】 求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α. (2)利用斜率公式：k＝(x1≠x2) 【典例分析】 【例2】(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角． ①A(2,3)，B(4,5)； ②C(－2,3)，D(2，－1)； ③P(－3,1)，Q(－3,10)． 解　①存在．直线AB的斜率kAB＝＝1， 则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1， 又0°≤α<180°， 所以倾斜角α＝45°. ②存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1， 则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1， 又0°≤α<180°， 所以倾斜角α＝135°. ③不存在．因为xP＝xQ＝－3， 所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°. (2)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率． 解　当a＝3时，斜率不存在； 当a≠3时，直线的斜率k＝. 【变式演练】 【变式1】　(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为________． 答案　－ (2)若过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________． 答案　1 解析　由斜率公式k＝＝1，得m＝1. (3)已知直线l的方向向量的坐标为(1，)，则直线l的倾斜角为_________． 答案　 解析　设直线l的斜率为k， 则k＝，所以直线的倾斜角为. 【变式2】（22-23高二上·四川雅安·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 . 【答案】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系计算可得. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线斜率. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）求经过两点，的直线l的斜率． 【答案】答案见解析 【分析】由斜率的概念以及过两点的斜率公式可直接求解，注意讨论斜率不存在的情况. 【详解】当，即时，直线l垂直于x轴，其斜率不存在； 当，即时，直线l的斜率 题型03 倾斜角和斜率的应用 【解题策略】 倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解 【典例分析】 课本例1　如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 解　直线AB的斜率kAB＝＝； 直线BC的斜率kBC＝＝＝－； 直线CA的斜率kCA＝＝＝1. 由kAB>0及kCA>0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角； 由kBC<0可知，直线BC的倾斜角为钝角． 【例3】已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 解　如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. (1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用倾斜角与斜率的定义、正切函数的图象与性质运算即可得解. 【详解】解：设直线的倾斜角为，则，斜率. 由题意，直线的斜率，则： 当时，； 当时，； 综上知，直线的倾斜角的取值范围是. 故答案为： 【变式2】（21-22高二·江苏·课后作业）已知点Q(－2，0)，A(1，)，B(1，－)，P为动点．当点P在线段AB上运动时，求直线PQ的倾斜角的取值范围． 【答案】0°≤α≤30°或150°≤α＜180°. 【分析】设直线PQ的倾斜角为α，线段AB与x轴的交点为M，然后结合图象和倾斜角的定义可得答案. 【详解】 设直线PQ的倾斜角为α，线段AB与x轴的交点为M. 当点P在线段AM(含端点)上时，因为，所以0°≤α≤30°； 当点P在线段BM(含端点B但不含端点M)上时，因为，所以150°≤α＜180°. 所以α的取值范围为0°≤α≤30°或150°≤α＜180° 【变式3】已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 解　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. (2)如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是. 易错点1 对直线的斜率和倾斜角的关系理解不透彻致错 【例1】（多选）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有 （ ） A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C.若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 D.若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 【错因分析】对直线的倾斜角和斜率的定义理解不透彻，忽略倾斜角的范围及倾斜角与斜率的对应关系. 【解析】平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故正确； 倾斜角是的直线没有斜率，故错误； 若一条直线的斜率为，因为，即斜率为，则该直线的倾斜角为，故错误； 若一条直线的倾斜角为（不等于），则该直线的斜率为，故正确. 故选. 【答案】 易错点2 忽略直线的斜率不存在致错 【例2】求经过两点的直线的斜率. 【解析】当，即时，直线垂直于轴，其斜率不存在； 当，即时，直线的斜率. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二上·北京丰台·阶段练习）已知是直线上的两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求斜率，再求倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， ， 所以. 故选：C. 2．（23-24高二下·宁夏吴忠·开学考试）若直线经过、两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的斜率，根据斜率的定义，即可求得直线的倾斜角. 【详解】直线经过、两点，则其斜率为， 设直线倾斜角为，则， 由于直线的倾斜角范围为大于等于小于， 故该直线的倾斜角为， 故选：B 3．（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围. 【详解】直线的斜率为， 由于，设倾斜角为， 则，， 所以. 故选：B. 4．（23-24高二上·广东潮州·期中）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】过点C的直线l与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线l的斜率或，进而求解即可 【详解】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或， 而，于是直线l的斜率或， 所以直线l斜率k的取值范围是， 故选：C 二、多选题 5．（23-24高二上·山西太原·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若，，则直线的倾斜角为 C．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 【答案】BC 【分析】根据斜率与倾斜角的关系以及两点间斜率公式，即可逐个选项判断. 【详解】对于A，若直线倾斜角大于，则直线的斜率存在负值，故A错； 由，，可知直线与轴垂直，则其倾斜角为，故B正确； 对于C，直线倾斜角为，则斜率，又过，且，故C正确； 直线斜率定义为倾斜角的正切值，但不能是，D错. 故选：BC 6．（23-24高二上·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（    ） A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为 C．倾斜角为的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为，则 【答案】AC 【分析】直接根据倾斜角的定义依次判断得到AC正确，B错误，举反例得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：任意一条直线都有唯一的倾斜角，正确； 对选项B：倾斜角的范围是，不可能为负，错误； 对选项C：倾斜角为的直线有无数条，它们都垂直于y轴，正确； 对选项D：当时，；当时，，错误. 故选：AC 三、填空题 7．（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】由斜率公式计算可得直线的斜率. 【详解】因为直线经过两点，， 所以它的斜率为. 故答案为：. 8．（23-24高二上·浙江·期末）过、两点的直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】利用两点间的斜率公式可得出直线的斜率. 【详解】由已知可得. 故答案为：. 9．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】借助倾斜角与斜率的关系及三角函数值域即可得. 【详解】，故. 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高二上·全国·课后作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. (1)，； (2)，； (3)，). 【答案】(1)存在，斜率，倾斜角 (2)存在，斜率，倾斜角 (3)答案见解析 【分析】（1）存在，计算斜率和倾斜角即可； （2）存在，计算斜率和倾斜角即可； （3）考虑和两种情况，计算斜率和倾斜角即可； 【详解】（1）存在，直线AB的斜率，即，又，倾斜角. （2）存在，直线CD的斜率，即，又，倾斜角. （3）当时，斜率不存在，则倾斜角； 当时，直线的斜率且倾斜角满足，. 11．（23-24高二上·全国·课后作业）已知 (1)求直线AB的斜率k； (2)已知实数，求直线AB的倾斜角的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合斜率公式可得； （2）分和两种情况，当时，根据m的取值范围求出斜率k的范围，然后结合正切函数图象可解. 【详解】（1）当时，直线AB的斜率不存在，倾斜角为； 当时，由斜率公式得. （2）当时，直线AB的倾斜角为； 当时，因为， 所以， 所以. 由正切函数图象可知，    综上，倾斜角的取值范围为. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·贵州安顺·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倾斜角和斜率的关系求解即可. 【详解】易知的斜率为，显然倾斜角为. 故选：C 2．（21-22高二上·北京·期中）过和两点的直线的斜率是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由斜率公式可得. 【详解】根据斜率公式求得所给直线的斜率. 故选：A 3．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）直线经过两点，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点坐标求出直线斜率，根据斜率与倾斜角关系即可得出答案. 【详解】由题知：， 设直线的倾斜角为，故， 所以倾斜角. 故选：C 4．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知点，若经过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合求出直线的斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系可求得结果. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足， 当时，直线l的倾斜角，当时，， 所以直线l的倾斜角的取值范围为. 故选：C 二、多选题 5．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】CD 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可. 【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为， 当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，故C正确； 对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确. 故选：CD. 6．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意画出图形，数形结合即能求出使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围与倾斜角的范围. 【详解】 由题意，，， 且直线与连接点的线段总有公共点，如下图所示， 所以，即 又因为．故. 故选：AD． 三、填空题 7．（23-24高二上·上海宝山·期末）直线经过点和，则此直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据两点求斜率公式求过、两点的直线的斜率即可. 【详解】因为，已知，，所以过、两点的直线的斜率 为. 故答案为： 8．（23-24高二下·上海·期中）直线的倾斜角为 . 【答案】/ 【分析】由题意，根据斜率的定义直接得出结果. 【详解】由题意知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 所以. 故答案为： 9．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线，则直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】设直线的倾斜角为，，求出直线的斜率即可得出答案. 【详解】设直线的倾斜角为，， 由直线，可得：， 因为，因为，所以. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，，，点Q是线段AB上的动点． (1)求直线PQ的斜率的范围； (2)求直线PQ的倾斜角的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两点式求直线的斜率，数形结合判断直线PQ的斜率的范围即可； （2）由（1）所得斜率范围，结合倾斜角范围确定直线PQ的倾斜角的范围. 【详解】（1）如下图，，， 则直线PQ的斜率范围为.    （2）令直线倾斜角为，而直线对应倾斜角分别为， 则直线PQ的倾斜角范围为. 11．（23-24高二上·全国·课后作业）直线过点，且与以，为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合图象，即可求解. 【详解】解：由斜率公式，可得， 要使得直线过点，且与以，为端点的线段相交， 如图所示，则满足，即直线斜率的取值范围是.    【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线恒过的定点，根据斜率公式即可求解. 【详解】由直线， 变形可得， 由，解得， 可得直线恒过定点，则， 结合图象可得： 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为， 由斜率定义，可得直线倾斜角的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 2．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）在下列四个命题中，正确的是（    ）． A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为 D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大 【答案】AC 【分析】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，其斜率，所以A正确； 对于B，若一条直线的斜率为,则此直线的倾斜角为，所以B错误； 对于C，根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有确定的倾斜角， 由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以C正确； 对于D，直线的倾斜角为锐角时斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D错误； 故选：AC. 三、填空题 3．（21-22高二上·江苏镇江·阶段练习）已知直线l与直线的夹角为，则直线l的倾斜角为 . 【答案】或 【分析】先由题意确定直线l的倾斜角，再由两条直线夹角的定义结合直线倾斜角的范围即可得解． 【详解】直线的斜率为，故它的倾斜角为， 因为直线l和它的夹角等于， 如下图，记直线与x轴的交点为A， 由两条直线间的夹角定义，可看作为：直线l绕着A点逆时针旋转或顺时针旋转，使得直线l与直线的夹角为， 由于直线的倾斜角的范围是，所以直线l倾斜角为或. 故答案为：或. 四、解答题 4.（22-23高二·江苏·假期作业）已知点、，若直线过点且总与线段有交点，求直线的斜率的取值范围． 【答案】 【分析】 设过点且垂直于轴的直线交线段于点，当直线绕着点旋转时，观察直线的斜率的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】 解：设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示：    当直线由位置绕点转动到位置时，的斜率从逐渐变大， 此时，； 当直线由位置绕点转动到位置时，的斜率为负值，且逐渐增大至， 此时，. 综上所述，直线的斜率的取值范围是 【下节预览】 一、解答题 1.（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由． (1)经过点，经过点； (2)的斜率为，经过点； (3)，. 【答案】(1)既不平行又不垂直，理由见解析 (2)垂直，理由见解析 (3)平行，理由见解析 【分析】先判断直线是否存在斜率，若不存在，则易判断两直线位置关系；若不存在，则求出斜率，并判断斜率是否相等，或乘积是否为，斜率相等时注意是否重合. 【详解】（1）设直线，的斜率分别为， 因为，， 所以，从而与既不平行又不垂直． （2）设直线，的斜率分别为， 因为， 所以，从而与垂直． （3）设直线，的斜率分别为， 因为，且与不重合， 从而与平行. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$