5.5.2三角恒等变换教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5 三角恒等变换教学设计 主备人 日期 课型：复习课 总第 2 课时 课题:三角恒等变换 教学目标 1.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。 2.本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识。 3.从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。 教学重点 引导学生以已有的公式为依据，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。 教学难点 认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。 教学方式 探究互动式 导 学 过 程 个人补充及反思 （一）新知预习： 1．半角公式 2．辅助角公式 asinx＋bcosx＝·sin(x＋φ)，其中tanφ＝ （二）化解疑难： (1)三角函数式化简的一般原则是：①能求值的应求出值；②三角函数种数尽量少；③项数尽量少；④分母中尽量不含三角函数；⑤次数尽量低． (2)三角函数式化简的常用方法：①降幂化倍角；②升幂角减半． (3)利用辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝将形如asinx＋bcosx(a，b不同时为零)的三角函数式写成一个角的某个函数值． （三）课堂探究，互动讲练 1.类型一 三角函数式的化简求值 [例1]　(1)化简＝______； [例2]　＋2的化简结果是________ 方法归纳：三角函数式化简原则和方法 (1)三角函数式化简的一般原则是：①能求值的应求出值；②三角函数种数尽量少；③项数尽量少；④分母中尽量不含三角函数；⑤次数尽量低． (2)三角函数式化简的常用方法：①降幂化倍角；②升幂角减半． (3)利用辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝将形如asinx＋bcosx(a，b不同时为零)的三角函数式写成一个角的某个函数值． 2.类型二 三角恒等式的证明 [例3]　(1)已知sinα＝Asin(α＋β)，|A|>1，求证：tan(α＋β)＝. [例4]求证：＝sin2α. 方法归纳：三角恒等式证明的思路 通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一． 3.类型三 三角恒等变换与三角函数的综合 [例5]　已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x，x∈R，求： (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间上的值域 方法归纳： 函数的解析式的次数可以降低，项数可以减少时，要先化简解析式成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式再研究其图象及性质． （4） 总结提升： 1.常用的三角恒等变换思想方法 (1)常值代换 用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式，化简得以顺利进行．我们把这种代换称为常值代换． (2)切化弦 当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基本三角函数关系式tanα＝，将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称． (3)降幂与升幂 由C2α变形后得到公式：sin2α＝(1－cos2α)，cos2α＝(1＋cos2α)，运用它就是降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，就是升幂． (4)角的变换 角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α等． 2.求解三角函数最值问题的常用方法 (1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数，可通过引入辅助角φ，化为y＝sin(x＋φ)＋c求解． (2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设t＝sinx，化为二次函数y＝at2＋bt＋c在t∈[－1,1]上的最值求解． (3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为二次函数y＝±a(t2－1)＋bt＋c在t∈[－，]上的最值求解． (4)根据正、余弦函数的有界性，即可用分析法求最值． (5)利用“数形结合”或单调性求最值． 教学时强调三角函数式化简的一般原则以及化简的常用方法，能使同学们掌握化简的思路和方向。 通过例1、例2的探究，能让同学们更好掌握三角函数式化简原则和方法。 通过例3三角恒等式的证明题的探究，能使同学们理解三角恒等式证明的思路，由繁到简，左右归一等等。 （四）教学小结 个人补充及反思 1.三角函数式化简的一般原则是：①能求值的应求出值；②三角函数种数尽量少；③项数尽量少；④分母中尽量不含三角函数；⑤次数尽量低； 2.三角函数式化简的常用方法：①降幂化倍角；②升幂角减半。 （五）作业精选 个人补充及反思 1.【题文】化简：＝________. 【详解】原式＝＝2cos α. 答案：2cos α 2.【题文】化简：－2cos(α＋β)． 【详解】原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝. (六)知识点过关内容 个人补充及反思 1. 两角和与差的正弦、余弦公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 3.辅助角公式 asinx＋bcosx＝·sin(x＋φ)，其中tanφ＝ 4.降幂公式 sin2α＝(1－cos2α)，cos2α＝(1＋cos2α) （七）板书设计 个人补充及反思 课题:三角恒等变换 1．半角公式 3.自我尝试，典例讲解：例1,2,3,4，5 2．辅助角公式 4.总结提升，作业练习 （八）反思 1.教学时注意引导学生总结三角函数式化简的一般原则： ①能求值的应求出值；②三角函数种数尽量少；③项数尽量少；④分母中尽量不含三角函数；⑤次数尽量低． 2.教学时注意引导学生总结三角函数式化简的常用方法：①降幂化倍角；②升幂角减半． 3.教学时注意引导学生通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$