2.1.1等式与不等式（教学课件）数学湘教版2019必修第一册

2.1 相等关系与不等关系 2.1.1 等式与不等式 第2章 一元二次函数、方程和不等式 章前导语 函数关系、相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建函数、方程与不等式的基础.本章将学习一些关于不等式的基本知识，并从函数的观点来看方程和不等式，以理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性. 情境引入 现实世界和日常生活中，“等”与“不等”是两个不同的概念，反映在数学上就是相等关系和不等关系.两者既对立，又统一，它们在一定条件下可以相互转化，在数学研究和数学应用中起着重要的作用. 现实世界中，既有大量的相等关系，又广泛地存在着不等关系.在方程的学习中，我们学会了用相等关系解决生活中的诸多问题.同样地，可以用不等式刻画现实世界中的数量关系.相等关系更多地刻画“静态的数量关系”，而不等关系经常用来刻画“动态的数量关系”. 情境引入 在日常生活中，我们经常用大与小、重与轻、长与短、高与矮、不低于或不超过等来描述客观对象在数量上的不等关系. 例如，在交通标识中常见的不等关系有： 如图，该图标的意思是机动车的行驶速度不可超过，即.如图，该图标的意思是机动车的总高度不可超过，即.如图，该图标的意思是机动车的总重不可超过，即. 情境引入 在数学中，我们也经常探究几个量之间的不等关系，例如，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，任何实数的平方都大于或等于，随机事件发生的概率在与之间，等等. 我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题.下面看两个具体的问题. 新知探索 问题1 图(1)是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图(2).图(3)中的正方形中有4个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直角边长分别为，，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积之和为，正方形的面积为.由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积之和，我们就得到一个不等式. 新知探索 问题2 某商店食用碘盐以单价元销售，可以卖出袋.据市场调查，若单价每提高元，销售量就会减少袋.若把提价后食用碘盐的单价设为元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于元呢？ 分析 若食用碘盐的单价为元，则销售的总收入为元.那么不等关系“销售的总收入不低于元”可以用不等式表示为 新知探索 为了利用不等式研究不等关系，需要对不等式的性质做必要的了解. 我们知道，实数可以比较大小.如果在数轴上两个不同的点与分别对应两个不同的实数与，那么右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大(如图). 新知探索 关于实数与大小的比较，有以下基本事实： 如果，那么；如果，那么；如果，那么.反过来也成立.即： ， ， . 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.如要证明，只需证明即可. 例析 解 因为 例 1 比较与的大小. 所以. 例析 解 因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为： ，其中，. 例 2 糖水中含有糖，若再添加糖(其中，)，生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一个不等式吗？试给出证明. 下面用作差法给出证明. 因为，，都是正数，且，所以，. 所以 .即. 例析 假设有一种机器可以抽取糖水中的糖，生活常识告诉我们：若把糖水中的糖抽掉，则糖水会变淡.于是提炼出一个不等式： 若，则. 你能证明这个不等式吗？ 新知探索 我们早已熟悉等式的很多基本性质，例如“等式两边同加(或减)一个数，等式仍然成立”“等式两边同乘(或除以)一个数，等式仍然成立”等等.类比等式，不等式有哪些基本性质呢？ 性质1 如果，那么；如果，那么.即. 性质2 如果，，那么.即. 证明 因为，，所以，. 因此.(理由：正数正数正数) 即.从以上两个性质还可以推出不等式的以下性质： . 新知探索 性质3 如果，那么. 推论1 如果，那么. 证明 这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向. 对于等式，如果，那么. 这就是说，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等式的另一边.由此可见，“三角形的任意两边之和大于第三边”“三角形的任意两边之差小于第三边”，这两句话逻辑上是等价的. 新知探索 推论2 如果，那么. 证明 因为，，所以 所以. 显然，这一推论可以推广为：有限个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向. 新知探索 性质4 如果，，那么.如果，那么 证明 因为，所以. 又，因此(理由：正数正数正数) 即. 对于的情况，尝试自行证明. 这就是说，在不等式的两边同乘一个正数，不等号的方向不变；若同乘一个负数，则不等号的方向反向. 对于等式，如果，那么. 新知探索 推论3 如果，，那么. 证明 因为，，则. 又因为，，则 由性质2得 . 反复利用推论3即可得证. 推论4 如果，那么. 新知探索 推论5 如果，那么. 证明 假设，则有两种情况： 或 由性质2得 . 当时，由推论4知，； 当时，由二次根式的性质知， 这些都与已知条件矛盾，所以. 新知探索 性质5 如果，且，那么.如果，且，那么. 证明 因为， 所以，当，且时，有， 即. 当，且时，有， 即. 例析 证明 因为，所以 由和推论2知， 例 3 已知，，求证：. 例 4 求证：如果，且，那么. 证明 由和性质5，得 又由和推论3，得 练习 题型一：用不等式(组表示不等关系) 例1.用一段长为30的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园，墙长18，要求菜园的面积不小于110靠墙的一边长为试用不等式表示其中的不等关系. 解：由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18，∴ 这时菜园的另一条边长为 因此菜园的面积 依题意有即 故该题中的不等式关系表示为 练习 方法技巧： 1.用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数； (2)适当设未知数表示变量； (3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式. 2.用不等式表示不等关系的注意点 (1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示. (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一. 练习 变1.用一段长为30的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园，墙长18，要求矩形菜园的长宽都不能超过11，靠墙的一边长为试用不等式表示其中的不等关系. 解：由于矩形菜园靠墙的一边长为， 这时菜园的另一条边长为 而矩形的长宽都不能超过11， ∴有 即. 练习 题型二：比较实数(式子)的大小 例2.已知，比较与的大小. 解：∵ 由，得，而 ∴ 即. 练习 方法技巧： 比较两个实数(代数式)大小的步骤： (1)作差.对要比较大小的两个实数(或式子)作差； (2)变形.对差进行变形； (3)判断差的符号.结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)得出结论. 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键.在变形中，一般变得越彻底，越有利于下一步的判断.其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等. 练习 变2.(1)已知，比较与的大小. 解(1)：∵ 而在上恒成立. ∴当，即时，此时， 当，即时，此时， 当，即时，此时， 练习 变2.(2)比较与的大小. 解(2)：∵ ∵ ∴ ∴ 即 练习 题型三：不等式性质的大小应用 例3.已知，且则下列命题中是真命题的是（ ）. A.如果，那么 B.如果，那么 C.如果，那么 D.如果，那么 答案：D. 解：A.如果那么.故错误. B.如果，那么故错误. C.如果，那么.故错误. D.∵∴，∴如果，那么即D正确. 角度(一) 判断命题的真假 练习 例4.已知，求证： 证明：∵∴ ∴ 又∵，∴ ∴，即. 两边同时乘以得 角度(二) 证明不等式 练习 例5.已知，试求与的取值范围. 解：∵， ∴， ∴，即， 又∵ 即 角度(三) 求取值范围 练习 方法技巧： 利用不等式判断正误的2种方法： (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可. (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 练习 方法技巧： (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式，一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质及其推论，并注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)利用不等式的性质进行证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步证明，更不能随意构造性质与法则. 方法一(性质法)简单快捷，但思路不易发现； 方法二(作差法)思路简单，但通分较麻烦； 方法三(作商法)首先需要判断两个式子的符号，然后再判断其比值与1的大小关系，证明步骤较复杂. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)等式和不等式的基本性质； (2)比较大小的方法(作差法). 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P33的练习1、2题； (3)课本P36的练习1题； (4)课本P41习题2.1的1、2、3、4、10题. 谢谢学习 Thank you for learning $$