1.2.3全称量词和存在量词（教学课件）数学湘教版2019必修第一册

1.2 常用逻辑用语 1.2.3 全称量词和存在量词 第1章 集合与逻辑 新知探索——含有量词的命题 前面看到，像这样带有不确定变量的语句不是命题.但如果加上一个约束，例如“对每一个实数有”或者“有一个实数使”，它们就是命题了.前者假而后者真，有了真假就是命题. 这里的“每一个”和“有一个”叫作量词，两者分别叫作全称量词和存在量词.涉及量词的命题必须指出量词的作用范围，说明“每一个”是哪个集合中的每一个，“有一个”是在哪个集合中有一个. “任意”“所有”“每一个”等全称量词，数学上用符号“”表示.设语句中变量的取值范围为集合(当取值时，成为一个命题)，则语句“对的任一个元素，有成立”是命题，叫作全称量词命题.用符号简单地表示为. 新知探索——含有量词的命题 全称量词和存在量词不但在数学里经常被使用，在日常生活中也经常被使用. “存在某个”“至少有一个”等存在量词，数学上用符号“”表示.语句“存在的任一个元素，有成立”也是命题，叫作存在量词命题.用符号简单地表示为. 例如，市场上卖鸡蛋的老太太说：“我篮子里的每一个鸡蛋都是好的.”老太太表述了一个含有全称量词的命题.“每一个”是全称量词，并且指出了全称量词“每一个”的作用范围是“我篮子里的鸡蛋”，不是市场上的所有鸡蛋. 在数学里有许多命题明显地或暗含地使用了量词. 新知探索——含有量词的命题 例如：对任意实数，.这里“任意实数”和“每一个实数”是意义相同的全称量词，命题中全称量词“任意”的作用范围是实数集.用符号表示就是“”. 又如：存在某个整数，使得是的倍数.“存在某个”是存在量词，命题中它的作用范围是整数集.用符号表示就是“”. 例析 例 6 指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号取代： (1)对任意正实数，； (2)对某个大于的正整数，. 解 (1)命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合.该命题可以写成“”. (2)命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于的正整数集合.该命题可以写成“”，或者写成“”“”. 新知探索——含有量词的命题 如何判断含有量词的命题的真假呢？命题“我篮子里的每一个鸡蛋都是好的”究竟是真命题还是假命题？如果篮子里的每一个鸡蛋确实都是好的，这个命题就是真命题；只要篮子里某一个鸡蛋是坏的，这个命题就是假命题. 例如：因为对每个实数，有成立，所以命题“”是真命题. 又如：因为，所以命题“是的倍数”是真命题. 例析 例 7 判断下列命题的真假： (1)，； (2) (3)； 解 (1)因为，从而有，即.因此(1)是真命题. (2)因为，但当时，不成立.因此(2)是假命题. (3)因为且，因此(3)是真命题. 例析 例 7 判断下列命题的真假： (4)； (5)设，，是平面上不在同一直线上的三点，在平面上存在某个点使得 . 解 (4)因为只有两个实数根或，所以当时.因此(4)是假命题. (5)三点构成一个三角形，三角形总有外接圆，设是外接圆的圆心，则.因此(5)是真命题. 新知探索——含量词命题的否定 如何对含有量词的命题进行否定呢？先看下面两个例子： (1)这个篮子里的鸡蛋都是好的； (2)存在实数，使得. 命题(1)的否定为“这个篮子里的鸡蛋并非是好的”，换言之，“这个篮子里有鸡蛋是坏的”.命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变为“否定”. 命题(2)的否定为“不存在实数，使得”，即“对所有的实数，”.命题否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变为“否定”. 新知探索——含量词命题的否定 一般地，命题“”的否定是“”；命题“，”的否定是“”.即 ； . 注： 含量词命题的否定：改量词，否结论. 新知探索——含量词命题的否定 要注意的是，在很多情形下，全称量词习惯上常常被省略.例如“三角形的任意两边之和大于第三边”“平行四边形对角线互相平分”“直角三角形斜边的平方等于两直角边平方之和”等，这里分别指的是任意三角形、任意平行四边形和任意直角三角形.平方差公式中，和指的是任意两个实数. 例析 例 8 写出下列存在量词命题的否定： (1)； (2)有的三角形的垂心在其外部； (3)有一个小于的正整数至少有个质因数. 解 (1)，. (2)任意三角形的垂心都在其内部或边上； (3)：任意小于的正整数至多有个质因数. 注： 含量词命题的否定：改量词，否结论. 例析 例 9 对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假： (1)任意有理数都可以写成两个整数之商； (2)，. 解 (1)有个有理数不能写成两个整数之商.假命题. (2)真命题. 练习 题型一：全称量词命题与存在量词命题真假的判断 例1.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假. (1)是奇数； (2)存在一个使； (3)对任意实数； (4)有一个角，使. 解：(1)全称量词命题,假命题； (2)存在量词命题，假命题； (3)全称量词命题,假命题； (4)存在量词命题，真命题. 练习 方法技巧： 1.判断全称量词命题真假的思维过程 2.判断存在量词命题真假的思维过程 全称量词命题 经证明为真或与性质、定理等真命题相符 可举出反例 真命题 假命题 存在量词命题 可找到，使成立 找不到，使成立 真命题 假命题 练习 解：(1)假命题； (2)假命题； (3)真命题； (4)假命题. 变1.判断下列命题的真假. (1)任意两个面积相等的三角形一定相等； (2)为正实数，使； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点； (4). 练习 题型二：求含有量词命题中参数的值或取值范围 例2.已知命题是真命题，求实数的取值范围. 解：∵，∴. 由题意知又 ∴∴ 故实数的取值范围为. 练习 方法技巧： 求解含有量词命题中参数范围的策略 已知含量词命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查，解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路. 解决此类问题的关键是根据合理量词命题的真假转化为相关数学知识，利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制. 练习 解：若为真命题，则对于恒成立，∴ 若为真命题，则关于的方程有实数根，所以即或. 综上，实数的取值范围为. 变2.已知命题，命题若与都是真命题，求实数的取值范围. 练习 题型三：全称量词命题的否定与真假判断 例3.写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)对于任意的实数方程必有实数根； (2)任意一个实数乘以-1都等于它的相反数； (3)正方形的对角线相等. 解：(1)存在实数使得方程没有实数根. 当，即时，方程没有实数根， ∴是真命题. (2)存在一个实数乘以-1不等于它的相反数.假命题. (3)有的正方形的对角线不相等.假命题. 练习 方法技巧： 全称量词命题的否定形式与判断真假的方法 (1)全称量词命题的形式是“”，其否定形式为“”，所以全称量词命题的否定是存在量词命题. (2)若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题. 练习 变3.写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假. (1)所有自然数的平方都是正数； (2)任意实数都是方程的根； (3)对任意实数. 解：(1)有些自然数的平方不是正数.真命题. (2)存在实数不是方程的根.真命题. (3)存在实数，使得.假命题. 练习 题型四：存在量词命题的否定与真假判断 例4.写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)有些三角形的三条边相等； (2)有的平行四边形是矩形； (3)，使得. 解：(1)所有三角形的三条边不全相等.假命题. (2)没有一个平行四边形是矩形，即每一个平行四边形都不是矩形.由于矩形是平行四边形，因此该命题的否定是假命题. (3).当时，.因此该命题的否定是假命题. 练习 方法技巧： 存在量词命题的否定形式与判断真假的方法 (1)存在量词命题的形式是“”，其否定形式为“”，所以存在量词命题的否定是全称量词命题. (2)存在量词命题的否定真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可. 练习 变4.写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假. (1)存在； (2)存在； (3)有些分数不是有理数. 解：(1)任意.假命题. (2)任意. ∵真命题. (3)该命题的否定是一切分数都是有理数，真命题. 练习 题型五：全称量词命题、存在量词命题为假时求参数问题 例5.已知命题“函数的图象和轴至多有一个公共点”是假命题，求实数的取值范围. 解：全称量词命题“函数的图象和轴至多有一个公共点”的否定形式为“函数的图象和轴有两个公共点”.由“命题为真，其否定为假；命题为假，其否定为真”可知，这个否定形式的命题是真命题. 由二次函数的图象易知 解得所以实数的取值范围是 练习 方法技巧： 已知命题为假时，一般转化为是真命题求参数，从而减少失误，运算过程中注意合理的选择方法. 练习 解：∵命题“”为假命题， ∴它的否定命题：“”为真命题. 即关于的方程有实数根， 当时，方程化为，显然有解； 当时，应满足解得且； 综上可知，实数的取值范围是 变5.已知命题“”为假命题，求实数的取值范围. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)全称量词、存在量词命题及其真假的判断； (2)全称量词、存在量词命题的否定. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P20的练习1、2题，P21的练习； (3)课本P22的习题1.2的6、9题. 谢谢学习 Thank you for learning $$