第二十八届“YMO”青少年数学思维研学交流活动复选试卷（五年级）

第二十八届“YMO”青少年数学思维研学交流活动复选试卷（五年级） 一、填空题.（把正确的答案填在括号内，每题4分，共100分） 1．（4分）计算2021×202220222022﹣2022×202120212021＝ 2．（4分）计算：11.99×73+1.09×297＝ 3．（4分）计算：＝ 4．（4分）420×814×1616×911除以13的余数为 　 　。 5．（4分）若质数m、n满足 5m+7n＝129，则m+n的最大值是 　 　。 6．（4分）用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，任意截取其中相邻两位可以得到5个不同的两位数，那么这5个两位数的和最小是 　 　。 7．（4分）已知990×991×992×993＝，则＝　 　． 8．（4分）有一类四位数，除以5余2，除以7余5，除以11余10。这类四位数中最小的一个是 　 　。 9．（4分）有三块草地，面积分别为4公顷、12公顷和22公顷.草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供8头牛吃30天，第二块草地可供20头牛吃45天。问；第三块草地可供 　 　头牛吃60天。 10．（4分）有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干，原计划调来8台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑，实际调来了9台抽水机，这样比原计划节省了4小时。工程师们测算出，如果最初调来10台抽水机，将会比原计划节省6小时。这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没有水，还应该至少留下 　 　台抽水机。 11．（4分）15！与非0自然数n的积是一个完全平方数，n最小是 　 　。 12．（4分）计算1+2+3+……+n的和，如果所求的和是111的倍数，n最小是 　 　。 13．（4分）用2021!除以275，再将所得的商继续除以275，以此类推，直到所得的商不能被275整除为止。问：整个过程一共除以了 　 　次275。 14．（4分）平行四边形ABCD中，点P、Q、R、S分别是边AB、BC、CD、DA的中点，而点T为线段SR的中点。已知△PQT的面积为45平方厘米，则平行四边形ABCD面积为 　 　平方厘米。 15．（4分）如图，△ABC面积为120，E、F分别为AB和AC上的点，满足AB＝4AE，AC＝4AF，点D是线段BC上的动点，设△FBD的面积为S1，△EDC的面积为S2，则S1×S2的最大值为 　 　。 16．（4分）如果N是1，2，3，……2088，2089，2090的最小公倍数，则N可以写成2的 　 　次方与一个奇数的积。 17．（4分）由4、6、8组成的所有无重复数字的三位数的最大公因数是 　 　。 18．（4分）已知A和B的最小公倍数为108，则A+B共有 　 　种不同的取值。 19．（4分）如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是56，24，20。那么三角形DBE的面积是 　 　。 20．（4分）如图，在△ABC 中，延长AB至D，使BD＝AB，延长BC至E，使BC＝2CE，F是AC的中点，若△ABC 的面积是12平方厘米，则△DEF的面积是 　 　平方厘米。 21．（4分）如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形EFGH的面积为240平方厘米，则四边形ABCD的面积是 　 　平方厘米。 22．（4分）在n小于100的自然数范围内，使得4n+5 和7n+6有大于1的公因数的所有n的可能值有 　 　个。 23．（4分）三人从环形跑道的同一起点同时出发，同向运动。甲每16分钟跑15圈，乙每24分钟跑25圈，丙每48分钟跑35圈。出发后 　 　秒钟后，三人第一次同时回到起点。 24．（4分）一只青蛙在A，B，C，D四点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳5次仍回到A点，则这只青蛙一共有 　 　种不同的跳法。 25．（4分）有1张写有数字1的卡片、2张写有数字2的卡片、3张写有数字3的卡片……、n张写有数字n的卡片（n＜100）；另外还有k张写有数字2021的卡片。从中随意抽取2021张卡片，都能确保这2021张卡片中有写有20和21的两张卡片。当n取得最大的可能值的时候，k的最大值是 　　。 参考答案与试题解析 一、填空题.（把正确的答案填在括号内，每题4分，共100分） 1．（4分）计算2021×202220222022﹣2022×202120212021＝ 【解答】解：2021×202220222022﹣2022×202120212021 ＝2021×2022×100010001﹣2022×2021×100010001 ＝0 2．（4分）计算：11.99×73+1.09×297＝ 【解答】解：11.99×73+1.09×297 ＝1.09×11×73+1.09×297 ＝1.09×803+1.09×297 ＝1.09×（803+297） ＝1.09×1100 ＝1.09×（1000+100） ＝1.09×1000+1.09×100 ＝1090+109 ＝1199 3．（4分）计算：＝ 【解答】解： ＝1++﹣+++﹣+……+++﹣﹣（++……+） ＝（1++++++……+++）﹣（++……+）﹣（++……+） ＝（1++++++……+++）﹣（1++……+）﹣（++……+） ＝（1++++++……+++）﹣（1++……++++……+） ＝0 4．（4分）420×814×1616×911除以13的余数为 　11　。 【解答】解：420÷13＝32…4， 814÷13＝62…8， 1616÷13＝124…4， 911÷13＝70……1 4×8×4×1＝128， 128÷13＝9…11； 答：420×814×1616×911除以13的余数为11。 5．（4分）若质数m、n满足 5m+7n＝129，则m+n的最大值是 　25　。 【解答】解：5、7、129是奇数，所以m、n一定有1个是偶数，即是质数“2”， 如果m＝2，则n＝（129﹣5×2）÷7＝17，符合题意，则m+n＝2+17＝19； 如果n＝2，则m＝（129﹣7×2）÷5＝23，符合题意，则m+n＝23+2＝25； 所以m+n的值为19或25，最大是25。 答：m+n的最大值是25。 故答案为：25。 6．（4分）用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，任意截取其中相邻两位可以得到5个不同的两位数，那么这5个两位数的和最小是 　166　。 【解答】解：设这个六位数是，则5个不同的两位数之和为： ++++ ＝10a+b+10b+c+10c+d+10d+e+10e+f ＝10a+b+10b+c+10c+d+10d+e+10e+f+a+10f﹣ ＝11（a+b+c+d+e+f）﹣ ＝11×（1+2+3+4+5+6）﹣ ＝11×21﹣ ＝231﹣ 即要使这5个不同的两位数之和最小，则最大，最大为65 所以231﹣＝231﹣65＝166 答：用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，任意截取其中相邻两位可以得到5个不同的两位数，那么这5个两位数的和最小是166。 故答案为：166。 7．（4分）已知990×991×992×993＝，则＝　50　． 【解答】解：由于99丨990，所以99丨， 所以99丨96+64+28+++40， 所以99丨+247， 所以＝50． 故答案为50． 8．（4分）有一类四位数，除以5余2，除以7余5，除以11余10。这类四位数中最小的一个是 　1132　。 【解答】解：方法一： 如果这个数加上23，则该数一定是7和11的倍数，即7×11＝77。 77﹣23＝54，但54除以5余4，不符合题意； 54+77＝131，131除以5余1，不符合题意； 54+77×2＝208，208除以5余3，不符合题意； 54+77×3＝285，285除以5没有余数，不符合题意； 54+77×4＝362，362除以5余2，符合题意； [5，7，11]＝385 362+385＝747，不是四位数，不符合题意； 362+385×2＝1132，是最小的四位数，符合题意。 即这类四位数中最小的一个是1132。 方法二： 假设满足提交的一个数是N，则： N＝5×7×a+5×11×b+7×11×c（a、b、c均为自然数） 5×7×a和5×11×b都是5的倍数，调整c使7×11×c满足除以5余2，则c＝6时满足要求； 5×7×a和7×11×c都是7的倍数，调整b使5×11×b满足除以7余5，则b＝2时满足要求； 5×11×b和7×11×c都是11的倍数，调整a使5×7×a满足除以11余10，则a＝5时满足要求。 所以，N＝5×7×5+5×11×2+7×11×6 ＝175+110+462 ＝747 747不是四位数，又因为[5，7，11]＝385 747+385＝1132，是最小的四位数，符合题意。 即这类四位数中最小的一个是1132。 答：这类四位数中最小的一个是1132。 故答案为：1132。 9．（4分）有三块草地，面积分别为4公顷、12公顷和22公顷.草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供8头牛吃30天，第二块草地可供20头牛吃45天。问；第三块草地可供 　33　头牛吃60天。 【解答】解：设每头牛每天吃草1份。 8×30÷4 ＝240÷4 ＝60（份） 20×45÷12 ＝900÷12 ＝75（份） （75﹣60）÷（45﹣30） ＝15÷15 ＝1（份） 60﹣1×30 ＝60﹣30 ＝30（份） 30×22＝660（份） 1×22＝22（份） 22+660÷60 ＝22+11 ＝33（头） 答：第三块草地可供33头牛吃60天。 故答案为：33。 10．（4分）有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干，原计划调来8台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑，实际调来了9台抽水机，这样比原计划节省了4小时。工程师们测算出，如果最初调来10台抽水机，将会比原计划节省6小时。这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没有水，还应该至少留下 　6　台抽水机。 【解答】解：设泉水每小时涌出的水量为a，每台抽水机每小时的抽水量为b，调来8台抽水机同时工作需用c小时可将水池的水抽干。根据题意得： 即 所以36b﹣4a＝30b﹣3a 即a＝6b 所以泉水每小时涌出的水量等于6台抽水机每小时的抽水量 即为了保持池中始终没有水，还应该至少留下6台抽水机。 答：为了保持池中始终没有水，还应该至少留下6台抽水机。 故答案为：6。 11．（4分）15！与非0自然数n的积是一个完全平方数，n最小是 　1430　。 【解答】解：15!＝211×36×53×72×11×13 所以n最小是：2×5×11×13＝1430 答：n最小是1430。 故答案为：1430。 12．（4分）计算1+2+3+……+n的和，如果所求的和是111的倍数，n最小是 　36　。 【解答】解：根据高斯求和公式可得n（n+1）÷2＝111k， n（n+1）＝111k×2＝2×3×37×k 要使n最小，两个因数37与（2×3×k）要尽量接近， 即2×3×k＝37﹣1＝36，则k＝6，符合题意， 则n最小是36。 答：n最小是36。 故答案为：36。 13．（4分）用2021!除以275，再将所得的商继续除以275，以此类推，直到所得的商不能被275整除为止。问：整个过程一共除以了 　200　次275。 【解答】解：[]＝183 []＝16 []＝1 183+16+1＝200（次） 答：整个过程一共除以了200次275。 故答案为：200。 14．（4分）平行四边形ABCD中，点P、Q、R、S分别是边AB、BC、CD、DA的中点，而点T为线段SR的中点。已知△PQT的面积为45平方厘米，则平行四边形ABCD面积为 　180　平方厘米。 【解答】解：连接SP、QR，如下图所示： 因为点P，Q，R，S分别为边AB，BC，CD，DA的中点，所以平行四边形SRQP的面积是平行四边形ABCD面积的，又因为三角形PQT和平行四边形SRQP等底等高，所以三角形PQT的面积是平行四边形SRQP的面积的，则三角形PQT的面积是平行四边形ABCD面积的。 所以三角形PQT的面积：45×4＝180（平方厘米） 答：平行四边形ABCD面积为180平方厘米。 故答案为：180。 15．（4分）如图，△ABC面积为120，E、F分别为AB和AC上的点，满足AB＝4AE，AC＝4AF，点D是线段BC上的动点，设△FBD的面积为S1，△EDC的面积为S2，则S1×S2的最大值为 　2025　。 【解答】解：连接EF，如下图所示： 因为AB＝4AE，AC＝4AF 所以＝＝ 所以EF//BC 所以S△EBD＝S△FBD＝S1 所以S1+S2＝S△EBD+S△EDC＝S△EBC＝S△ABC＝×120＝90 如果和一定，则差越小，积越大 所以当S1＝S2时，即D为中点时，则S1×S2最大。 即当S1＝S2＝90÷2＝45时，S1×S2最大，最大为45×45＝2025。 答：S1×S2的最大值为2025。 故答案为：2025。 16．（4分）如果N是1，2，3，……2088，2089，2090的最小公倍数，则N可以写成2的 　11　次方与一个奇数的积。 【解答】解：因为210＝1024 211＝2048 212＝4096＞2090 即每一个不大于2090的正整数表示为质因数相乘，其中2的个数不多于11个，所以N等于11个2与某个奇数的积。 答：如果N是1，2，3，……2088，2089，2090的最小公倍数，则N可以写成2的11次方与一个奇数的积。 故答案为：11。 17．（4分）由4、6、8组成的所有无重复数字的三位数的最大公因数是 　18　。 【解答】解：4＝2×2；6＝2×3；8＝2×2×2 即4、6、8组成的无重复数中必然有公因数2， 又4、6、8组成的无重复数的数字和是4+6+8＝18＝2×9， 即4、6、8组成的无重复数中必然有公因数9。 所以2×9＝18，即4、6、8组成的所有无重复数字的三位数的最大公因数是18。 答：由4、6、8组成的所有无重复数字的三位数的最大公因数是18。 故答案为：18。 18．（4分）已知A和B的最小公倍数为108，则A+B共有 　16　种不同的取值。 【解答】解：因为108＝2×2×3×3×3，A，B是108的约数，它们只能取2，3．不妨设A≥B，当取A＝108时，B＝1，2，3，4，6，9，12，18，27，36；54，108 当取A＝54时，B＝4，12，36，54 所以，A+B共有16种可能的不同数值． 两个自然数A、B的最小公倍数等于108，当A≥B时，有 1+108＝109 2+108＝110 3+108＝111 4+108＝112 6+108＝114 9+108＝117 12+108＝120 108+18＝126 108+27＝135 108+36＝144 108+54＝162 108+108＝216 54+4＝58 54+12＝66 54+36＝90 54+54＝108 答：A+B有16种可能的数值。 19．（4分）如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是56，24，20。那么三角形DBE的面积是 　14　。 【解答】解：根据题意可知：S△ADE＝56，S△DCE＝24，S△BCD＝20。 根据三角形高一定时，三角形的面积与高成正比的性质可得： ＝＝＝ 所以＝＝ 所以S△ABE＝S△ABC 又S△ABC＝S△ADE+S△DCE+S△BCD＝56+24+20＝100 所以S△ABE＝S△ABC＝×100＝70 所以S△DBE＝S△ABE﹣S△ADE＝70﹣56＝14 答：三角形DBE的面积是14。 故答案为：14。 20．（4分）如图，在△ABC 中，延长AB至D，使BD＝AB，延长BC至E，使BC＝2CE，F是AC的中点，若△ABC 的面积是12平方厘米，则△DEF的面积是 　21　平方厘米。 【解答】解：如下图所示，连接AE、CD。 因为S△ABC＝12平方厘米，BC＝2CE 所以S△ACE＝S△ABC＝×12＝6（平方厘米） 又因为F是AC的中点 所以AF＝CF 所以S△AEF＝S△CEF＝S△ACE＝×6＝3（平方厘米） 所以S△ABE＝S△ABC+S△ACE＝12+6＝18（平方厘米） 因为BD＝AB 所以S△BDE＝S△ABE＝18（平方厘米），S△BCD＝S△ABC＝12（平方厘米） 所以S△CDE＝S△BDE﹣S△BCD＝18﹣12＝6（平方厘米） 因为S△ACD＝S△ABC+S△BCD＝12+12＝24（平方厘米），AF＝CF 所以S△CDF＝S△ACD＝×24＝12（平方厘米） 所以S△DEF＝S△CDF+S△CDE+S△CEF＝12+6+3＝21（平方厘米） 答：△DEF的面积是21平方厘米。 故答案为：21。 21．（4分）如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形EFGH的面积为240平方厘米，则四边形ABCD的面积是 　20　平方厘米。 【解答】解：如下图所示：连接AC，BD。 因为BE＝2AB，BF＝2BC 由共角定理得＝＝ 即S△BEF＝4S△ABC 同理S△DGH＝4S△ACD 所以S△BEF+S△DGH＝4S△ABC+4S△ACD＝4（S△ABC+S△ACD）＝4S四边形ABCD 又因为AE＝3AB，AH＝3AD 由共角定理得＝＝ 即S△AEH＝9S△ABD 同理S△CFG＝9S△BCD 所以S△AEH+S△CFG＝9S△ABD+9S△BCD＝9（S△ABD+S△BCD）＝9S四边形ABCD 又因为S四边形EFGH＝S△BEF+S△DGH+S△AEH+S△CFG﹣S四边形ABCD 所以S四边形EFGH＝4S四边形ABCD+9S四边形ABCD﹣S四边形ABCD＝12S四边形ABCD 而四边形EFGH的面积为240平方厘米 即S四边形EFGH＝12S四边形ABCD＝240 所以S四边形ABCD＝240÷12＝20（平方厘米） 答：四边形ABCD的面积是20平方厘米。 故答案为：20。 22．（4分）在n小于100的自然数范围内，使得4n+5 和7n+6有大于1的公因数的所有n的可能值有 　9　个。 【解答】解：设4n+5和7n+6的公约数为k。 则（4n+5）÷k为整数，（7n+6）÷k为整数， （4n+5）÷k×7为整数，（7n+6）÷k×4，结果还是都为整数， 则[7（4n+5）﹣4（7n+6）]÷k＝11÷k为整数， 因为k≠1，则11÷k为整数时k只能为11，即两代数式大于1个公约数为11， 又因为[2（4n+5）﹣（7n+6）]÷k为整数， 代入k＝11，有（n+4）÷11为整数 因为n＜100 则n＝7，18，29，40，51，62，73，84，95。 故所有n的可能值有9个。 故答案为：9。 23．（4分）三人从环形跑道的同一起点同时出发，同向运动。甲每16分钟跑15圈，乙每24分钟跑25圈，丙每48分钟跑35圈。出发后 　576　秒钟后，三人第一次同时回到起点。 【解答】解：16分钟＝960秒 24分钟＝1440秒 48分钟＝2880秒 960÷15＝64＝（秒） 1440÷25＝（秒） 2880÷35＝（秒） 因为[64，288，576]＝576，（1，5，7）＝1 所以，，的最小公倍数是：576÷1＝576，即出发后576秒钟后，三人第一次同时回到起点。 答：出发后576秒钟后，三人第一次同时回到起点。 故答案为：576。 24．（4分）一只青蛙在A，B，C，D四点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳5次仍回到A点，则这只青蛙一共有 　60　种不同的跳法。 【解答】解：画图如下： 20×3＝60（种） 答：这只青蛙一共有60种不同的跳法。 故答案为：60。 25．（4分）有1张写有数字1的卡片、2张写有数字2的卡片、3张写有数字3的卡片……、n张写有数字n的卡片（n＜100）；另外还有k张写有数字2021的卡片。从中随意抽取2021张卡片，都能确保这2021张卡片中有写有20和21的两张卡片。当n取得最大的可能值的时候，k的最大值是 　24　。 【解答】解：除了写有20的数字外，把写有其它1～n的数字和k张写有数字2021的卡片全部取出，再取出1张写有20的数字卡片，正好凑成2021张，即得到不定方程： k+n（n+1）÷2﹣20+1＝2021 k+n（n+1）÷2＝2040 n＜100，可以从10估算，也可以从60估算，也可以从58估算……；也没有必要把1～99都一一列举，只要求出大概的范围即可，估算可得： 当n＝64时，n（n+1）÷2＝64×（64+1）÷2＝2080，2080＞2021，不符合题意舍去； 当n＝63时，n（n+1）÷2＝63×（63+1）÷2＝2016，2016＜2021，符合题意舍去； 即k+2016＝2040 所以，k＝2040﹣2016＝24 答：k的最大值是24。 故答案为：24。 第1页（共1页） 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